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微专题 周期性及应用
题型一 函数周期性的定义与求解
1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期 4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 5、函数周期性的判定： 函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。 周期函数f(x)满足的条件周期f(x＋a)＝f(x－a)2af(x＋a)＝－f(x)2af(x＋a)＝－2af(x＋a)＝2a关于直线x＝a与x＝b对称2|b－a|偶函数，关于直线x＝a对称2a关于点(a,0)与点(b,0)对称2|b－a|奇函数，关于对称关于直线x＝a与点(b,0)对称4|b－a|奇函数，关于直线x＝a对称4a4a
1．（2025高一·陕西宝鸡·期末）我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，2022年是虎年，那么1949年是（ ）
A．牛年 B．虎年 C．兔年 D．龙年
【答案】A
【分析】利用周期函数的定义求解即可.
【详解】根据题意，农历年号对应的动物是以12为周期的周期函数，
所以，
所以1949年是牛年.
故选：A.
2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（ ）．
A． B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据函数周期的定义，求解即可．
【详解】因为的周期是3，
所以，令，
则，所以的周期为6，
故选：C．
3．（2025·广东·模拟预测）设是定义在实数集上的周期函数，则“的最小周期为1”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分必要条件
【答案】B
【分析】利用周期的定义即可得充分性，当时，即可验证必要性.
【详解】由的最小周期为1可得，即，
所以“的最小周期为1” ，
当时，，但的最小正周期是2，
所以推不出“的最小周期为1”，所以“的最小周期为1”是“”的充分不必要条件，
故选：B.
4．（2025高一·上海杨浦·期中）有下面两个命题：
①若是周期函数，则是周期函数；
②若是周期函数，则是周期函数，
则下列说法中正确的是（ ）．
A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误
【答案】B
【分析】由周期函数的定义判断两个命题即可.
【详解】若是周期函数，设周期为，则，则也是周期函数，故①正确；
若是周期函数，设周期为，则， 不一定成立，故②错误.
故选：B.
题型二 判断或证明抽象函数的周期性
判断抽象函数周期性,先抓已知关系式(如f(x+a)=-f(x)等),通过迭代推导：用x+a替换x,代入原式化简,若得f(x+T)=f(x),则周期为T。也可结合奇偶性、对称性辅助推导(如奇函数+对称轴x=a,周期为4a)。关键是迭代替换、化简式子,锁定f(x+T)=f(x)的形式。
5．（2025高一·上海·课堂例题）若函数满足，求的周期.
【答案】的周期为4（或4的非零整数倍）.
【分析】利用抽象函数的运算性质得到周期性即可.
【详解】因为，所以，
所以的周期为4（或4的非零整数倍）.
6．（2025高一·云南曲靖·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求的函数值；
(2)证明：为周期函数．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，得到，再由，利用赋值法求解；
（2）由函数是定义在上的奇函数，得到，再由，利用周期函数的定义求解.
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因为，
所以，
则；
（2）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，又，
所以，即，
则，
所以是以4为周期的周期函数.
7．（2025高一·上海·课后作业）已知函数满足，且．
（1）求的值；
（2）求的一个周期，并加以证明．
【答案】（1）；（2）一个周期为4．证明见解析.
【分析】（1）令，由即可求解.
（2）由，利用周期的定义即可求解.
【详解】（1）令，则由得：；
令，则由得：.
（2），
，
即.
的一个周期为.
【点睛】本题考查了函数的周期性、求函数值，考查了基本运算能力，属于基础题.
8．（2025高一·全国·课后作业）已知函数f(x)对于任意实数x满足条件．
（1）求证：函数f(x)是周期函数；
（2）若f（1）＝－5，求f(f(5))的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由得出，从而得出函数的周期为4；
（2）根据周期以及f（1）的值得出f(5)＝－5，从而得出，即可得出答案.
【详解】（1）证明：∵
∴
∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
（2）∵4是f(x)的一个周期
∴f(5)＝f（1）＝－5
∴
【点睛】本题主要考查了证明函数为周期函数，根据周期求函数值，属于中档题.
9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据抽象函数的等式和相关条件，通过赋值求得，推得函数为偶函数，以及函数的一个周期为6，依次求出的值，利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为，令可得，，所以，
令可得，，即，所以函数为偶函数，
令得，，则有，
从而可得，，故，
即，所以函数的一个周期为6．
因为，
，，
所以．
因为2025除以6余3，所以．
故选：B．
10．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】令，得，为奇函数，令，得，进而得周期为4，可得解.
【详解】令，则，
为奇函数，
令，则
为奇函数，
，
的周期为4，所以.
故选：C
11．（2025高三·福建福州·阶段练习）已知函数满足，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】赋值法令，可得函数是周期为12的周期函数，运算得解.
【详解】由题，，，
令，可得，
则，
即，即，
所以，函数是周期为12的周期函数，
则.
故选：C.
12．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用赋值法可得，且为奇函数，再结合已知的偶函数求得8为的一个周期，借助性质求出目标值.
【详解】函数的定义域为，且有，
令，得，解得；
令，得，则，
而，即不恒为0，因此，函数为奇函数，
由为偶函数，得，则，
于是，，8为的一个周期，
由，得，即
，因此，所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
13．（2025高一·上海·假期作业）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意都有.
（1）设，求；
（2）证明是周期函数.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由，可得和，即可求解；
（2）由函数对称性，得到，再由是偶函数，得到，两式联立，推得，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数满足，
可得，
因为，所以，解得，
又由，所以，
所以，解得.
（2）由题意知，函数关于直线对称，可得，
又由是偶函数，可得，
两式联立，可得，
将上式中以代换，可得，
所以函数是周期函数，且周期为.
14．（2025高一·上海·课后作业）已知定义在N上的函数满足：．
（1）求证：是周期函数，并求出其周期；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析，周期为6；（2）3
【分析】（1）利用周期函数的定义和已知条件证明周期即可；
（2）根据周期函数的定义得，即可得出答案.
【详解】解：（1）因为，
所以
所以.
所以是周期函数，周期为6.
（2）因为是周期为6的函数，且，
所以，.
【点睛】本题主要考查抽象函数周期的证明方法，属于中档题.
15．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，对任意，有，并存在正实数，使，则是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由．
【答案】是周期函数，是它的一个周期
【分析】用分别替换条件中的，可得，即可得结论.
【详解】解：用分别替换条件中的，
得，
即，
所以，
故是周期函数，是它的一个周期．
16．（2025高三·全国·专题练习）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性并证明；
(3)求证是周期函数，并求出的一个周期.
【答案】(1)1
(2)偶函数，证明见解析
(3)证明见解析，
【分析】（1）令，可得到答案
（2）令，可得，进而判断出单调性
（3）令，化简得到，再用代替得到，从而求出周期
【详解】（1）∵任意均有，
令，则.∵，∴.
（2）由题意知定义域为，关于原点对称
令，∴，∴，∴为偶函数.
（3）∵，又，
∴，即，
∴，
∴的周期为.
题型三 应用周期性求值
可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
17．（25-26高三·贵州贵阳·阶段练习）奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．0.8 B． C．0.2 D．
【答案】D
【分析】推导出函数的周期为，可得出，结合题中函数的解析式计算可得结果.
【详解】由题知，，则，则函数为周期函数，且其周期为，
则，
故选：D
18．（2025·福建·模拟预测）已知定义域上的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得函数的周期，利用周期函数的性质求解即可.
【详解】由，可得，
所以是周期为4的周期函数，
所以.
故选：B.
19．（25-26高三·江苏扬州·阶段练习）已知函数是周期为2的奇函数，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】先由题意求得，再由奇函数性质即可求解.
【详解】由题函数是周期为2的奇函数，且，
所以.
故选：A
20．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由条件结合奇函数性质可得，结合周期函数性质可得，故，再利用条件求可得结论.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，所以，
因为函数是定义在上且周期为的函数，
所以，所以，
所以，
因为当时，，
所以，
所以，
故选：A.
21．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得函数的周期为2，利用函数为奇函数及周期为2，求解即可.
【详解】因为，
所以函数是周期函数，是其一个周期，
所以，
又因为函数为R上的奇函数，
所以，
即.
故选：B.
22．（25-26高三·安徽·阶段练习）已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用周期性与奇偶性转换求值即可.
【详解】由条件得.
故选：D.
23．（25-26高三·河南·阶段练习）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由周期性、奇函数性质转换即可求解.
【详解】已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，
则.
故选：D.
24．（2025高三·陕西咸阳·开学考试）设奇函数满足，当时，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用得到周期，结合奇函数性质可解.
【详解】为奇函数，则，
又，则，即，故函数周期为4.
则.
故选：C.
25．（安徽省部分学校2025-2026学年高三学期10月联考数学试卷）是定义在上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据函数是定义在上的奇函数且关于直线对称可证明出是周期为的周期函数，然后利用函数的周期性和奇偶性即可求出.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以①，
又关于直线对称，所以②，
联立①②可得，即③，
把用替换可得④，
联立③④可得，所以是周期为的周期函数，
所以.
故选：C
题型四 应用周期性求解析式
根据周期性求解析式,核心是用 " " 为周期) 转化区间。先确定已知解析式的区间,再将待求区间的 改写为 " "( 为整数),使其落入已知区间；代入已知解析式,结合周期性化简,即可得待求区间的解析式。注意判断 的取值,确保转化后区间正确。
26．（2025高一·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合时，，分别讨论和的两种情况下对应的解析式，综合可得答案.
【详解】是定义在上的周期为的偶函数，时，，
时，， ，
此时，
当时，，，
此时，
所以，
综上可得：时，
故选：C.
27．（2025高三·河北·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性求出时的解析式，再求出函数的周期为4，故得到时，
【详解】由题意知，所以函数是以4为周期的周期函数，
又当时，，且是定义在上的奇函数，
所以时，，，
所以当时，，.
故选：B.
28．（2025高二·贵州铜仁·期末）设函数的定义域为R，满足，且当时.则当，的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知有周期为1，利用周期性可得时，即可求其最小值；
【详解】由知：周期为1，
∴令，有则，
∴，
故在上的最小值为.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的性质，利用函数周期性求对应区间解析式，进而求最值，属于简单题；
29．（2025高三·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案．
【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数，
所以，，即，
所以，
所以，可得，
所以的最小正周期为，
又当时，，
当时，则，所以，
又由是周期为的奇函数，
则，
故，.
故选：D．
30．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，．
(1)求当时，函数的解析式；
(2)求当时，函数的解析式．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）当时，，根据已知关系式得，再代入已知解析式即可得；
（2）根据已知关系式得函数的周期为4，由时，利用周期性得，再由即可得.
【详解】（1）由于，则，即，
当时，，则；
（2）由，得，则，即函数周期，
当时，，
则，
因为，所以；
31．（25-26高三·河北石家庄·阶段练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)1
【分析】（1）利用周期函数定义证明即可；
（2）当时，可得出，再由可求得解析式；
（3）计算出的值，再利用函数的周期性即可解出.
【详解】（1）∵对任意实数，恒有，
∴，
∴函数是周期为4的周期函数.
（2）∵，∴.
当时，，
此时.
（3）当时，；当时，.
∴，
∴，又函数的一个周期为4，
∴
.
题型五 单个函数的周期性迭代
对于函数周期性迭代，可通过反复代入函数关系式进行迭代推导周期。比如已知 f (x+2)=-f (x)，先迭代一次得 f (x+4)=-f (x+2)=f (x)，由此直接得出周期为4。核心是对原式多次迭代，消去括号、化简后，若出现f (x+T)=f (x)，则周期为 T，以此简化问题。
32．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知是定义域为R的偶函数，且，则（ ）．
A．2025 B．5050 C．6024 D．6075
【答案】D
【分析】根据题意结合偶函数的定义分析可知的一个周期为4，利用赋值法可得，，进而可得结果.
【详解】因为是定义域为R的偶函数，且，
则，即，
可得，可知的一个周期为4，
对于，令，可得，即，
对于，
分别令，可得，
即，
所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
33．（2025高三·云南·阶段练习）已知定义在上的函数满足：关于对称，为奇函数，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】B
【分析】根据两个对称性得出，再根据对称性和周期性即可求出.
【详解】关于对称，则有，
由为奇函数，则有，
则，即，则，
故，故以4为周期，
又，则，故.
故选：B.
34．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解.
【详解】由，用代换，可得，
联立方程组，可得，即，
又由函数为偶函数，且，可得与同号，
所以，可得函数是周期为的函数，
因为，与同号，则，
令，可得，所以，
则.
故选：C.
35．（2025·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，为偶函数，，则（ ）
A．1013 B．1014 C．2025 D．2026
【答案】A
【分析】由题意可得函数的周期与对称轴，可得函数在自变量取整数时的函数值，可得答案.
【详解】∵，，
则，
∴的最小周期为4．令，解得．
∵为偶函数，由函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，
∴关于直线成轴对称．∴，∴，
∴．又，∴，，
∴.
故选：A．
36．（2025高一·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】赋值求解，赋式证明奇偶性性与周期性，再利用性质转化求值.
【详解】函数的定义域为，由，，
令，则，解得；
令，则，则；
因为①，
①式中，用替换，则，
故，所以为偶函数.
①式中，用替换，则，
所以，即②，
①②可得，，则③，
③式中，用替换，得④，
④式中，用替换，⑤，
由④⑤得，则为周期函数且周期为6，
所以，，
故.
故选：C.
37．（25-26高一·河南南阳·阶段练习）已知函数满足，且，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】由题可得函数的周期为4，利用周期求解.
【详解】由，得，
两式相减得，即，
所以函数的周期为4，又，，所以，
因为,，
，
.
故选：B.
38．（2025高三·山东泰安·期末）已知函数的定义域为在上单调递增，且为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A．4是的一个周期 B．为偶函数
C． D．在上单调递减
【答案】C
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性、对称性，再逐项分析判断.
【详解】由，得，由是奇函数，得，
则，即，因此，8是的一个周期，
对于A，，4不是的周期，A错误；
对于B，由，得函数的图象关于直线对称，
由，得的图象关于点对称，因此的图象关于点对称，
函数的图象关于直线不对称，则不为偶函数，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，在上单调性与它在上的单调性相同，
因此在上单调递增，D错误.
故选：C
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
39．（2025高一·贵州黔东南·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．
【答案】D
【分析】推导出是周期函数，是它的一个周期，并计算出，结合周期性可判断B选项；利用题中等式进行推导，结合函数的对称性可判断BC选项；分析函数在上的单调性，结合函数的周期性可判断D选项.
【详解】因为函数为奇函数，则，
所以，，可得，
因为函数为偶函数，则，
所以，，
所以，，所以是周期函数，是它的一个周期.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，
所以，，B对；
对于C选项，因为，即，
所以，函数的图象关于点对称，C对；
对于D选项，对任意的、，且，有，
不妨设，则，所以，函数在为增函数，
因为，，
因为，则，所以，，D错.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
题型六 两个函数的周期性迭代
处理两个函数的周期性迭代，先梳理函数间关联式（如等式、奇偶性、对称性），通过交替代入迭代推导各自周期或共同周期：将一个函数表达式代入另一个关系式，反复迭代化简，直至出现 f (x+T)=f (x) 或 g (x+T)=g (x)，确定周期 T。再利用周期将所求自变量转化到已知区间，结合函数间关系计算。关键是通过迭代消元找周期，利用周期简化运算，同步关联两函数的转化规则。
40．（2025高三·广东汕头·期中）定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象关于对称
C．4是的一个周期
D．
【答案】D
【分析】由偶函数可得，由可得，再由这两个关于的恒等式可得到周期性，最后利用函数的性质进行判断即可.
【详解】由，把换成可得：，
两式相加得：，故关于点对称，故A正确；
再由为偶函数可得，，
可知：关于直线对称，故B正确；
再由上面关于两式可得：，
即有，可知：4是的一个周期，故C正确；
令，有，，
又因为，所以，
则，故D不正确；
故选：D.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
41．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知对于，，，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】D
【分析】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可.
【详解】因为，所以，所以.
由，得，两式相加得，所以，
所以，所以是以6为周期的周期函数.
当时，，又，所以，所以，所以；
当时，，所以，因为，
所以，
所以.
故选：D.
42．【多选】（25-26高三·四川内江·开学考试）已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）.
A．的图象关于直线对称
B．是以4为周期的周期函数
C．的图象关于点对称
D．
【答案】BC
【分析】由已知可判断是偶函数，是奇函数.由及是奇函数，可得，判断C对；由C及是偶函数可判断的周期为4，进而求和判断D错；由，可判断关于对称，A错；由，及是奇函数，可得，B对.
【详解】对于C，由①，得，
因为，所以，故②，
①＋②，得，所以的图象关于点对称，
且，故C正确；
对于D，因为关于对称，所以关于对称，所以偶函数，
所以，
所以，
故，所以的周期为4，
在中，令，得，
所以，
结合的周期性得，，，
所以，故D错误；
对于A，①－②，得，
所以，
所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误；
对于B，由得，
因为是奇函数，所以，
所以是以4为周期的周期函数，故B正确.
故选：BC.
43．（2025高三·河南南阳·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设条件利用赋值法可得为周期函数且周期为，再结合赋值法可求、、，从而可求的值.
【详解】因为的图象关于直线对称，故，
因为，故，
因为，故，
所以，故，
所以，故，
所以为周期函数且周期为.
因为且，故，
又，故即，
而即，
故，
而且，故，
故.
故，
故选：A.
44．【多选】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．的周期为4 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于为偶函数，图象关于轴对称，
所以图象关于对称，
所以，
所以①，
而②，
两式相加得，则③，
所以，
所以是的一个周期，A选项正确.
由③令得，
由①令得，
由②令得，则，
所以，
所以，C选项正确.
由①令得，
由，
得，
两式相减得，即，
且关于对称，，
所以④，
所以，
所以是周期为的周期函数，所以，所以B选项错误.
由④令得，所以，
所以，所以D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常用的结论.如等等，这些都是与周期性有关；如等等，这些都是与对称性有关.
45．【多选】（2025高三·辽宁葫芦岛·期末）已知函数、的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A．函数对称轴为方程为
B．函数的周期为
C．对于函数，有
D．对于函数，有
【答案】BC
【分析】推导出，结合函数对称性的定义可判断A选项；推导出，结合函数周期性的定义可判断B选项；推导出函数的周期，计算出的值，结合函数的周期性可判断C选项；计算出的值，结合函数的周期性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，
又因为，所以，，
所以，函数的图象关于点中心对称，A错；
对于B选项，因为函数的图象关于直线对称，所以，，
因为，则，
又因为，则，即，
所以，，所以，，即，
所以，函数的周期为，B对；
对于C选项，因为，可得，
所以，，
所以，函数为周期函数，且周期为，所以，，
由且，则，所以，，
由可得，所以，，
由可得，则，
所以，，C对；
对于D选项，因为，所以，，D错.
故选：BC.
题型七 类周期函数
（1）类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 类周期函数图象倍增函数图象 （2）倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 注意当时，构成一系列平行的分段函数，．
46．（2024高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，且，，则 ．
【答案】512．
【分析】根据得，由可依次递推得到.
【详解】，，
，，
，
，，
，，
．
故答案为：512．
47．（2025·安徽淮南·模拟预测）定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，在区间上，，作函数的图象，如图所示，然后结合图像可求出的最小值
【详解】根据题设可知，当时，，故，
同理可得：在区间上，，
所以当时，.
作函数的图象，如图所示.
在上，由，得.
由图象可知当时，.
故选：D.
【点睛】此题考查函数在给定区间上恒成立问题，考查数形结合思想，属于中档题
48．【多选】（2025高二·辽宁·期末）定义在R上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的m可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据题意一步步转化到时，，
，作函数的图象，结合图像可求出的最大值.
【详解】由题意可知，
，
当时，，故，
当时，，故，
令
解得或，
所以或，
所以m的最大值为，故或，
故选：AB
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微专题 周期性及应用
题型一 函数周期性的定义与求解
1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期 4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 5、函数周期性的判定： 函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。 周期函数f(x)满足的条件周期f(x＋a)＝f(x－a)2af(x＋a)＝－f(x)2af(x＋a)＝－2af(x＋a)＝2a关于直线x＝a与x＝b对称2|b－a|偶函数，关于直线x＝a对称2a关于点(a,0)与点(b,0)对称2|b－a|奇函数，关于对称关于直线x＝a与点(b,0)对称4|b－a|奇函数，关于直线x＝a对称4a4a
1．（2025高一·陕西宝鸡·期末）我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，2022年是虎年，那么1949年是（ ）
A．牛年 B．虎年 C．兔年 D．龙年
2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（ ）．
A． B．3 C．6 D．9
3．（2025·广东·模拟预测）设是定义在实数集上的周期函数，则“的最小周期为1”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分必要条件
4．（2025高一·上海杨浦·期中）有下面两个命题：
①若是周期函数，则是周期函数；
②若是周期函数，则是周期函数，
则下列说法中正确的是（ ）．
A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误
题型二 判断或证明抽象函数的周期性
判断抽象函数周期性,先抓已知关系式(如f(x+a)=-f(x)等),通过迭代推导：用x+a替换x,代入原式化简,若得f(x+T)=f(x),则周期为T。也可结合奇偶性、对称性辅助推导(如奇函数+对称轴x=a,周期为4a)。关键是迭代替换、化简式子,锁定f(x+T)=f(x)的形式。
5．（2025高一·上海·课堂例题）若函数满足，求的周期.
6．（2025高一·云南曲靖·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求的函数值；
(2)证明：为周期函数．
7．（2025高一·上海·课后作业）已知函数满足，且．
（1）求的值；
（2）求的一个周期，并加以证明．
8．（2025高一·全国·课后作业）已知函数f(x)对于任意实数x满足条件．
（1）求证：函数f(x)是周期函数；
（2）若f（1）＝－5，求f(f(5))的值．
9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1
10．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．（2025高三·福建福州·阶段练习）已知函数满足，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
12．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
13．（2025高一·上海·假期作业）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意都有.
（1）设，求；
（2）证明是周期函数.
14．（2025高一·上海·课后作业）已知定义在N上的函数满足：．
（1）求证：是周期函数，并求出其周期；
（2）若，求的值．
15．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，对任意，有，并存在正实数，使，则是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由．
16．（2025高三·全国·专题练习）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性并证明；
(3)求证是周期函数，并求出的一个周期.
题型三 应用周期性求值
可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
17．（25-26高三·贵州贵阳·阶段练习）奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．0.8 B． C．0.2 D．
18．（2025·福建·模拟预测）已知定义域上的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
19．（25-26高三·江苏扬州·阶段练习）已知函数是周期为2的奇函数，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
20．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．
21．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
22．（25-26高三·安徽·阶段练习）已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．
23．（25-26高三·河南·阶段练习）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则（ ）
A． B． C． D．
24．（2025高三·陕西咸阳·开学考试）设奇函数满足，当时，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
25．（安徽省部分学校2025-2026学年高三学期10月联考数学试卷）是定义在上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
题型四 应用周期性求解析式
根据周期性求解析式,核心是用 " " 为周期) 转化区间。先确定已知解析式的区间,再将待求区间的 改写为 " "( 为整数),使其落入已知区间；代入已知解析式,结合周期性化简,即可得待求区间的解析式。注意判断 的取值,确保转化后区间正确。
26．（2025高一·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
27．（2025高三·河北·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
28．（2025高二·贵州铜仁·期末）设函数的定义域为R，满足，且当时.则当，的最小值是（ ）
A． B． C． D．
29．（2025高三·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
30．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，．
(1)求当时，函数的解析式；
(2)求当时，函数的解析式．
31．（25-26高三·河北石家庄·阶段练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算
题型五 单个函数的周期性迭代
对于函数周期性迭代，可通过反复代入函数关系式进行迭代推导周期。比如已知 f (x+2)=-f (x)，先迭代一次得 f (x+4)=-f (x+2)=f (x)，由此直接得出周期为4。核心是对原式多次迭代，消去括号、化简后，若出现f (x+T)=f (x)，则周期为 T，以此简化问题。
32．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知是定义域为R的偶函数，且，则（ ）．
A．2025 B．5050 C．6024 D．6075
33．（2025高三·云南·阶段练习）已知定义在上的函数满足：关于对称，为奇函数，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
34．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
35．（2025·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，为偶函数，，则（ ）
A．1013 B．1014 C．2025 D．2026
36．（2025高一·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
37．（25-26高一·河南南阳·阶段练习）已知函数满足，且，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
38．（2025高三·山东泰安·期末）已知函数的定义域为在上单调递增，且为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A．4是的一个周期 B．为偶函数
C． D．在上单调递减
39．（2025高一·贵州黔东南·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．
题型六 两个函数的周期性迭代
处理两个函数的周期性迭代，先梳理函数间关联式（如等式、奇偶性、对称性），通过交替代入迭代推导各自周期或共同周期：将一个函数表达式代入另一个关系式，反复迭代化简，直至出现 f (x+T)=f (x) 或 g (x+T)=g (x)，确定周期 T。再利用周期将所求自变量转化到已知区间，结合函数间关系计算。关键是通过迭代消元找周期，利用周期简化运算，同步关联两函数的转化规则。
40．（2025高三·广东汕头·期中）定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象关于对称
C．4是的一个周期
D．
41．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知对于，，，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．0
42．【多选】（25-26高三·四川内江·开学考试）已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）.
A．的图象关于直线对称
B．是以4为周期的周期函数
C．的图象关于点对称
D．
43．（2025高三·河南南阳·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
44．【多选】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．的周期为4 B．
C． D．
45．【多选】（2025高三·辽宁葫芦岛·期末）已知函数、的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A．函数对称轴为方程为
B．函数的周期为
C．对于函数，有
D．对于函数，有
题型七 类周期函数
（1）类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 类周期函数图象倍增函数图象 （2）倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 注意当时，构成一系列平行的分段函数，．
46．（2024高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，且，，则 ．
47．（2025·安徽淮南·模拟预测）定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A． B． C． D．
48．【多选】（2025高二·辽宁·期末）定义在R上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的m可以是（ ）
A． B． C． D．
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