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微专题 抽象函数及应用
题型一 抽象函数的定义域问题
抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
1．（25-26高一·江苏苏州·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
2．（25-26高一·浙江舟山·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一·河北沧州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一·四川成都·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高一·湖北咸宁·阶段练习）的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．不确定
6．（25-26高三·广东江门·阶段练习）已知函数的定义域为,则函数的定义域为 .
题型二 抽象函数的值域问题
解决抽象函数值域问题，核心是 “紧扣定义域，利用函数性质”。 1.先明确抽象函数的定义域，这是求值域的前提。 2.分析已知性质，如单调性、奇偶性、周期性，据此推导函数值的变化范围。 3.若有复合结构，用换元法将其转化为熟悉函数（如一次、二次函数）再求值域。
7．（25-26高二·江西宜春·期中）若函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
8．（2025高二·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 .
9．（25-26高二·山西阳泉·开学考试）函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为 .
10．（2025高三·重庆·阶段练习）已知满足，且，则的值域为
11．（2025高二·江西·期末）已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．的周期为 D．的值域为
题型三 求抽象函数的值
“赋值法”求抽象函数的值 赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1, -1等),从而使问题获得简捷有效的解决。 注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等. （2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取. （3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.
12．（25-26高三·云南曲靖·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
13．（25-26高一·全国·期中）已知函数满足，且，则的值为
14．（25-26高三·江西·阶段练习）若定义在上的函数满足，则 .
15．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，且，求的值．
16．（25-26高一·江苏·阶段练习）已知函数满足：，若，则（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
题型四 求抽象函数的解析式
赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题 设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。
17．（25-26高一·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
18．（25-26高一·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式 ．
19．（25-26高一·重庆·阶段练习）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 .
20．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ．
题型五 抽象函数的单调性问题
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或．
21．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是上的增函数；
(2)若，解不等式．
22．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意实数满足：，若时，恒成立，则满足不等式的实数的取值范围是 ．
23．（25-26高一·全国·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ．
24．（2025高二·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且.
(1)求，的值；
(2)用函数单调性的定义证明在上单调递减；
(3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
25．（2025高一·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．
(1)求，；
(2)判断并证明的单调性；
(3)解不等式：．
26．（2025高一·广东·期中）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
(1)证明：对任意实数，，；
(2)求证：是上的增函数；
(3)若命题，为假命题，求实数的取值范围.
题型六 抽象函数的奇偶性问题
判断抽象函数的奇偶性的关键是得到与的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留与的关系。 注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律. （1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， （2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。 （3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
27．（2025高一·广西河池·阶段练习）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立，且当时，.
(1)求；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)解不等式.
28．（25-26高三·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，.
(1)求；
(2)探究的奇偶性；
(3)用定义法证明在区间上单调递增.
29．（25-26高一·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，.
(1)证明：为奇函数.
(2)证明：在上是减函数.
(3)求不等式的解集.
30．（2025高一·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在R上单调递增；
31．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足：对任意都有，当时，有．
(1)判定在上的奇偶性，并说明理由；
(2)判定在上的单调性，并给出证明；
(3)求证：；
题型七 抽象函数周期性问题
抽象函数周期性的常用结论（是不为0的常数） 1、若，则； 2、若，则； 3、若，则； 4、若，则； 5、若，则；注：；（为常数） 6、若，则（）；
32．（25-26高三·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
33．（2025高一·北京·阶段练习）设是奇函数且满足，当时，，则（ ）
A．-1.6 B．-1.2 C．0.7 D．0.84
34．（25-26高三·浙江温州·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（ ）
A．47 B． C．1 D．2
35．（2025高三·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，且，若，则 ．
36．（2025·江苏·模拟预测）已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则 .
37．（2025高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 .
38．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1
39．（2025高三·全国·专题练习）已知函数定义在上，对任意，都有，且存在正数满足，求证：
(1)是偶函数；
(2)是的周期；
(3)当在上是减函数时，的最小正周期是．
40．（2025高三·全国·专题练习）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性并证明；
(3)求证是周期函数，并求出的一个周期.
题型八 抽象函数的对称性问题
抽象函数的对称性 （1）轴对称： ①函数关于直线对称 ②函数关于直线对称. （2）中心对称： ①函数关于点对称； ②函数关于点对称 9.函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称.
41．【多选】（25-26高一·全国·期中）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．在区间上单调递减 D．
42．（25-26高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．函数的一个周期为2
C．函数图象关于点中心对称
D．函数图象关于直线对称
43．【多选】（2025·广东清远·模拟预测）已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．
44．【多选】（25-26高三·四川内江·阶段练习）已知函数的定义域为，是奇函数，，，则（ ）
A．的一个周期为4
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点中心对称
D．
题型九 解抽象不等式
抽象单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
45．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ．
46．（25-26高三·河南·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为 ．
47．（25-26高三·湖北武汉·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
48．（2025高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
49．（2025高一·江西萍乡·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
50．【多选】（25-26高一·江苏苏州·阶段练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（ ）
A． B．
C．在R上单调递增 D．的解集为
51．（25-26高二·广东·阶段练习）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（ ）
A．
B．
C．在上为增函数
D．解集为或
52．（25-26高一·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是
53．（2025高一·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
54．（2025高一·四川成都·期中）函数是定义在上的偶函数，且增函数，若对任意，均有，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
55．（2025高一·广东·期中）已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型十 抽象函数比较大小
核心是 “用性质定增减，用条件找关系”。若涉及奇偶性，先将自变量转化到同一单调区间，再利用单调性比较。
56．【多选】（25-26高一·安徽阜阳·阶段练习）定义在上的函数满足，且对任意的，都有恒成立，则（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．
D．有最大值，无最小值
57．（25-26高一·四川眉山·阶段练习）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
58．（2025高一·北京·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ）
A． B．
C． D．
59．（25-26高一·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
60．（25-26高三·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型十一 抽象函数的最值问题
关键是 “借性质明趋势，抓特殊点定最值”。 利用单调性确定最值，单调递增函数在定义域端点取最值，递减则相反。 结合奇偶性简化分析，如奇函数在对称区间最值互为相反数。 若有周期性，可先求一个周期内的最值，再推广到整个定义域。
61．（2025高三·浙江·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
62．（2025·山西·模拟预测）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型十二 双函数混合型
核心是 “分拆函数关系，用已知性质联动求解”。先明确两个函数各自的性质，如单调性、奇偶性，标注已知条件。将混合型表达式拆分为两个函数的单独部分。利用函数性质建立关联，通过代入已知值或不等式传递，推导结果。
63．（2025·山东日照·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A． B． C．4 D．6
64．【多选】（25-26高三·四川内江·开学考试）已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）.
A．的图象关于直线对称
B．是以4为周期的周期函数
C．的图象关于点对称
D．
65．（2025高三·河南南阳·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
66．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，且的图象关于直线对称，则以下说法不正确的是（ ）
A．和均为奇函数 B．
C． D．
1中小学教育资源及组卷应用平台
微专题 抽象函数及应用
题型一 抽象函数的定义域问题
抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
1．（25-26高一·江苏苏州·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域列式求解.
【详解】由函数的定义域为，得，则，
即函数的定义域为，则由函数，得，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
2．（25-26高一·浙江舟山·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域求法，即可列式求解.
【详解】函数的定义域满足不等式,解得且,
则函数的定义域为;
故选：A
3．（25-26高一·河北沧州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念列出不等式求解即可.
【详解】由题，可得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B.
4．（25-26高一·四川成都·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据抽象函数定义域问题得的定义域为，再结合，解出即可.
【详解】因为，则，
则的定义域为，则，解得，
则函数的定义域为.
故选：B.
5．（25-26高一·湖北咸宁·阶段练习）的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】利用具体函数与抽象函数定义域求解即可.
【详解】由题可得：，解得：;
所以函数的定义域为;
故选：A
6．（25-26高三·广东江门·阶段练习）已知函数的定义域为,则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由函数的定义域为，列出，解不等式即可得解.
【详解】函数的定义域为，，
，，的定义域为.
故答案为：.
题型二 抽象函数的值域问题
解决抽象函数值域问题，核心是 “紧扣定义域，利用函数性质”。 1.先明确抽象函数的定义域，这是求值域的前提。 2.分析已知性质，如单调性、奇偶性、周期性，据此推导函数值的变化范围。 3.若有复合结构，用换元法将其转化为熟悉函数（如一次、二次函数）再求值域。
7．（25-26高二·江西宜春·期中）若函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】结合函数平移及抽象函数的定义域和值域求解即可.
【详解】函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位得到，
由于函数的定义域和值域都是，
所以函数的定义域为，值域为.
故选：D
8．（2025高二·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 .
【答案】
【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可
【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象，
因此函数的值域为，
则函数的值域是.
故答案为：.
9．（25-26高二·山西阳泉·开学考试）函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】令，解得，分类讨论当和时，由的取值范围结合条件，可得出函数的值域，从而得出实数的取值范围.
【详解】令，即，解得或（舍去），
当时，，
故对任意，都存在，使得，
所以，；
当时，，
故对任意，都存在，使得，
所以，.
综上，函数的值域.
因为集合可取得中所有值，
所以，，则实数的取值范围是.
故答案为：.
10．（2025高三·重庆·阶段练习）已知满足，且，则的值域为
【答案】
【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由函数满足，且，
令，可得，因为，可得，
再令，可得，所以，
令，可得，即，
再令，可得，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以的值域为.
故答案为：.
11．（2025高二·江西·期末）已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．的周期为 D．的值域为
【答案】D
【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断，对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断.
【详解】令得，因为不恒为，所以，所以A错误；
令得，得，则为偶函数，所以B错误；
令得，
则，
则，得周期为，所以C错误；
令得，，即，
令得，即关于中心对称
，即，
所以，所以D正确.
故选：D.
题型三 求抽象函数的值
“赋值法”求抽象函数的值 赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1, -1等),从而使问题获得简捷有效的解决。 注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等. （2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取. （3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.
12．（25-26高三·云南曲靖·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】利用奇函数的性质，在已知关系式中令求得的值，再根据奇函数的定义求.
【详解】由奇函数的性质知，
令，得，则，
所以.
故选：B
13．（25-26高一·全国·期中）已知函数满足，且，则的值为
【答案】/
【分析】先通过赋值法得，再利用赋值法得，最后令得．
【详解】由题意，令，可得，
令，可得，
所以，令，可得，
所以，令，可得，
所以．
故答案为：
14．（25-26高三·江西·阶段练习）若定义在上的函数满足，则 .
【答案】
【分析】利用赋值法直接求解即可.
【详解】对于，令得，解得.
故答案为：
15．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，且，求的值．
【答案】5050
【分析】先化简等式，得到，进而根据求得.
【详解】令，所以，所以，
即，，…，，
以上各式子相加可得，
所以，所以．
16．（25-26高一·江苏·阶段练习）已知函数满足：，若，则（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【答案】D
【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出，，再用赋值法结合应用不等关系计算求解即可.
【详解】依题意，因为，则，
令，则，因为，所以，
又因为，则，即，
在中令，则，即，
在中令，则，所以，
故得，
又
；
又
，
所以，即.
故选：D.
题型四 求抽象函数的解析式
赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题 设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。
17．（25-26高一·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解.
【详解】当时，（1）
在（1）中将替换为，则 （2）
在（1）中将替换为，则 （3）
可得：且
故选：B.
18．（25-26高一·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据给定条件，取代入给定等式，再令并验证即可.
【详解】由，取，得，
令，此时，
且，，符合题意，
所以满足条件的一个函数表达式为.
故答案为：
19．（25-26高一·重庆·阶段练习）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 .
【答案】
【分析】通过赋值，得到，再令，得到，通过累加即可求解.
【详解】令，
可得：，又，
所以，
令，得，
所以，，
由，
令，
则，
两式相加可得：
所以，
当时，满足；
所以，
故答案为：
20．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据题设，进行赋值即可求解.
【详解】是定义在上的函数，，
且对任意，，恒成立，
令，得，
则，
此时，
而，
则，满足题意，
所以.
故答案为：.
题型五 抽象函数的单调性问题
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或．
21．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是上的增函数；
(2)若，解不等式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明；
（2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式．
【详解】（1）设，且，则，即，
∴，
∴，∴是上的增函数；
（2）任意的，都有，
在上式中取，则有，
∵，∴，
于是不等式等价于，
又由（1）知是上的增函数，
∴，解得，
∴原不等式的解集为．
22．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意实数满足：，若时，恒成立，则满足不等式的实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】观察抽象函数的特征式，易知其满足指数函数的函数性质，故采用特殊函数求解即可，本题也可以先运用单调性定义求出函数的单调性，再求解．
【详解】令，又，故，
对于任意的，又，
，故函数单调递减，
又不等式等价于，解得或．
故答案为：．
23．（25-26高一·全国·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性得，解该不等式即可得解.
【详解】因为对任意的a，，都有，，且，
所以，且．
设任意，则，则，又，
所以，若，则当时，，
则，矛盾，所以，所以，所以函数单调递减，
所以不等式等价于，所以，
故，即，解得．
所以不等式的解集是．
故答案为：
24．（2025高二·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且.
(1)求，的值；
(2)用函数单调性的定义证明在上单调递减；
(3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案；
（2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得；
（3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可.
【详解】（1）由，取，可得：，
又当时，，则，
再取，可得：；
（2），
，且，则，依题，
则，
即在上单调递减；
（3）由已知，
又由（1）得，则有，
因在上单调递减，则恒成立，
即恒成立，又，
则，解得，
故实数的取值范围为.
25．（2025高一·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．
(1)求，；
(2)判断并证明的单调性；
(3)解不等式：．
【答案】(1)；
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用赋值法即可求，的值；
（2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性并证明；
（3）结合函数单调性将不等式进行转化，即，可解不等式.
【详解】（1）令，则，，
令，则，
又，；
（2）任取，且，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
所以在上单调递增．
（3）由，
即，
也就是，
即，因为在上是增函数，
所以，
可得不等式解集为或.
【点睛】关键点点睛：由，即，也就是，即，再结合函数单调性即可解不等式.
26．（2025高一·广东·期中）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
(1)证明：对任意实数，，；
(2)求证：是上的增函数；
(3)若命题，为假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）根据题目中的等式，利用特殊值研究新的等式，可得答案；
（2）根据函数单调性的定义，假设参数的大小关系，利用作差法，可得答案；
（3）根据题目中的等量关系，结合函数的单调性，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）因为对任意实数，，，
所以，所以，在中，
令得，，
所以，
在中，用替换得，，
因为，所以，
所以，对任意实数，，成立.
（2）任意取，，且，则，因为当时，，所以，
所以，即，所以是上的增函数.
（3）命题，为假命题，
等价于，为真命题.
在中，令得，，
所以
由（2）的结论得，，
即，
令，
因为，成立，所以，所以，
所以实数的取值范围是.
题型六 抽象函数的奇偶性问题
判断抽象函数的奇偶性的关键是得到与的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留与的关系。 注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律. （1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， （2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。 （3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
27．（2025高一·广西河池·阶段练习）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立，且当时，.
(1)求；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)奇函数
(3)
【分析】（1）利用赋值法求得，
（2）根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性．
（3）利用函数单调性的定义证明函数在上的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集．
【详解】（1）函数对任意的，，都有，
令，得，，
（2）是奇函数，证明如下：
用代替，得，则，
所以是奇函数．
（3）任取，则
故，
由于，所以，
所以，即，
所以在上单调递增．
由可得，
由于在上单调递增，
所以，解得或，
所以不等式的解集是．
28．（25-26高三·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，.
(1)求；
(2)探究的奇偶性；
(3)用定义法证明在区间上单调递增.
【答案】(1)0；
(2)奇函数；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法求出目标值；
（2）利用奇函数的定义推理判断；
（3）利用增函数的定义推理得证.
【详解】（1）对于任意的，均有，
取，得，即得.
（2）函数的定义域为，对，令，得，
，因此，
所以函数为奇函数.
（3）且，令，则，即,
因，则，
故，即，
则，所以函数在区间上单调递增.
29．（25-26高一·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，.
(1)证明：为奇函数.
(2)证明：在上是减函数.
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证；
（2）设有，结合已知和单调性定义即可证；
（3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集.
【详解】（1）令，则，所以，
令，则，
所以且定义域为R，故为奇函数；
（2）设，因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，故在上单调递减；
（3）因为为奇函数，且，所以，
不等式化为，
因为在上单调递减，所以，即，解得，
即不等式的解集是.
30．（2025高一·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在R上单调递增；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可；
（2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明.
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
不妨令，得，
解得或，
又不存在，使得，故，
令，得，
故，即，
因此为奇函数；
（2）时，，
则，
当且仅当，等号成立，
又不存在，使得，则，
于是时，，
又为奇函数，则时，，
于是对，
任取，则，
而，
又，则，
于是，故，
因此在上单调递增；
【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可.
31．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足：对任意都有，当时，有．
(1)判定在上的奇偶性，并说明理由；
(2)判定在上的单调性，并给出证明；
(3)求证：；
【答案】(1)在上是奇函数，理由见解析
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先利用赋值法判断，再利用赋值法得，进而利用奇函数的概念证明即可．
（2）结合抽象函数的运算，利用单调性的定义按照步骤证明即可．
（3），然后求和得，由得，即可证明．
【详解】（1）函数的定义域为，令，得．
令，得，即，
所以在上是奇函数．
（2）设，则，
由，得．
因为当时，所以，
即，从而在上单调递减．
（3）
，
故
，
又且，故，
从而．
题型七 抽象函数周期性问题
抽象函数周期性的常用结论（是不为0的常数） 1、若，则； 2、若，则； 3、若，则； 4、若，则； 5、若，则；注：；（为常数） 6、若，则（）；
32．（25-26高三·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，进而求出目标值.
【详解】由，得，则4是函数的一个周期，
由，得.
故选：B
33．（2025高一·北京·阶段练习）设是奇函数且满足，当时，，则（ ）
A．-1.6 B．-1.2 C．0.7 D．0.84
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合周期性求出函数值.
【详解】由，得，函数的周期是2，
又函数是奇函数，且当时，，
所以.
故选：B
34．（25-26高三·浙江温州·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（ ）
A．47 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得函数是周期函数，用赋值法可求得，利用周期函数的性质即可得到结果.
【详解】因为函数的定义域为,且所以，且，即.
因为函数为偶函数，所以.
所以，所以函数是周期为4的周期函数.
所以.
故
故选：C.
35．（2025高三·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，且，若，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，探求出函数的周期，进而求出函数值.
【详解】由，得，且，
则，，
因此函数是以8为一个周期的函数，而，
所以．
故答案为：
36．（2025·江苏·模拟预测）已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则 .
【答案】0
【分析】根据给定条件可得函数是周期为的函数，进而求出，再利用周期性求出目标值.
【详解】由函数为偶函数，得，即，
由函数为奇函数，得，即，
则，即，因此，
即函数的一个周期为4，由，得，
则，由，令得，则，
所以.
故答案为：0
37．（2025高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 .
【答案】2022
【分析】利用题干中函数的奇偶性，可以得到函数的两种对称性，通过替换变量推导，可以得到函数的周期，通过赋值求出的值，再看包含多少个完整的周期，余下几项，即可得到答案.
【详解】为奇函数，，即，关于点对称，
为偶函数，，关于直线对称，
，将其代入，得，
用替换，得，
将代入，得，即
故的周期为4，
，由，令，得；
由，令，得
，
，
故答案：2022.
38．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据抽象函数的等式和相关条件，通过赋值求得，推得函数为偶函数，以及函数的一个周期为6，依次求出的值，利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为，令可得，，所以，
令可得，，即，所以函数为偶函数，
令得，，则有，
从而可得，，故，
即，所以函数的一个周期为6．
因为，
，，
所以．
因为2025除以6余3，所以．
故选：B．
39．（2025高三·全国·专题练习）已知函数定义在上，对任意，都有，且存在正数满足，求证：
(1)是偶函数；
(2)是的周期；
(3)当在上是减函数时，的最小正周期是．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由赋值法及偶函数的定义求解；
（2）通过赋值，得到，即可判断；
（3）设是的最小正周期，若，则，又在上单调递减，得，而得，则，又，则．但，矛盾，即可证明.
【详解】（1）令得，
由得，又，
得，所以是偶函数．
（2）由，得，即，
故，，
所以是的周期．
（3）设是的最小正周期，若，则，
又在上单调递减，，故．
在中取，得，
则，又，则．
但，矛盾，所以的最小正周期不小于，
又是的正周期，故是的最小正周期．
40．（2025高三·全国·专题练习）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性并证明；
(3)求证是周期函数，并求出的一个周期.
【答案】(1)1
(2)偶函数，证明见解析
(3)证明见解析，
【分析】（1）令，可得到答案
（2）令，可得，进而判断出单调性
（3）令，化简得到，再用代替得到，从而求出周期
【详解】（1）∵任意均有，
令，则.∵，∴.
（2）由题意知定义域为，关于原点对称
令，∴，∴，∴为偶函数.
（3）∵，又，
∴，即，
∴，
∴的周期为.
题型八 抽象函数的对称性问题
抽象函数的对称性 （1）轴对称： ①函数关于直线对称 ②函数关于直线对称. （2）中心对称： ①函数关于点对称； ②函数关于点对称 9.函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称.
41．【多选】（25-26高一·全国·期中）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．在区间上单调递减 D．
【答案】ABD
【分析】由题意可得，，进而求解判断AB；结合周期和对称性可判断出单调区间，即可判断CD.
【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且，
又的图象关于对称，则，
令，则，故A正确；
由，得，
则，故B正确；
由为奇函数，且时，单调递减，则其在单调递减，
又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反，即在区间上单调递增，故C错误；
由，则，
故的周期为4，则在上的单调性与在上的单调性相同，
即在的单调递减，而，且，
则，故D正确.
故选：ABD
42．（25-26高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．函数的一个周期为2
C．函数图象关于点中心对称
D．函数图象关于直线对称
【答案】A
【分析】由易得图象关于直线对称，再由为奇函数，得到图象关于对称，且，令得，并结合得到，函数的一个周期为4，从而判断出四个选项．
【详解】因为满足，
所以，
所以函数图象关于直线对称，
因为为奇函数，所以，
即，
则函数图象关于对称，
则，令得，
由和，得，
所以，即，
故，所以函数的一个周期为4，
所以，A正确.
取，则，
为奇函数，
但，，
此时图象不关于点中心对称，不关于直线对称，2也不是函数的一个周期，
所以BCD错误；
故选：A.
43．【多选】（2025·广东清远·模拟预测）已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．
【答案】ABD
【分析】在已知式中令求得，从而得出的图象关于点对称，再由已知得的图象关于直线对称，由两个对称性得函数的周期性，4是它的一个周期，然后根据对称性与周期性求值判断各选项．
【详解】对A，都有，令得，所以，A正确；
对B，由选项A分析知，所以的图象关于点对称，
从而的图象关于点对称，所以是奇函数，B正确；
对C．的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，因此有，
由两个对称性得，C错误；
对D，由以上分析得，
所以，所以是周期函数，4是其一个周期，
，，，，，
所以，
所以
，D正确．
故选：ABD．
44．【多选】（25-26高三·四川内江·阶段练习）已知函数的定义域为，是奇函数，，，则（ ）
A．的一个周期为4
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点中心对称
D．
【答案】AC
【分析】根据得，即可判断A；根据是奇函数可推出，即可判断B；根据即可判断C；根据周期性和对称性求和判断D．
【详解】对于A，，，
的一个周期为4，故A正确；
对于B，是奇函数，，
，故，
的图象关于直线对称，又故B错误；
对于C，，
的图象关于点中心对称，故C正确；
对于D，，，，
又，，
，，
故，故D错误．
故选：AC
题型九 解抽象不等式
抽象单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
45．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可
【详解】，
不等式可变形为，即，
函数是定义在上的偶函数，，
所以为偶函数，若函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
所以，解得，
故答案为：．
46．（25-26高三·河南·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用偶函数性质和单调性即可求解不等式.
【详解】由定义在上的偶函数可得：，
所以不等式等价于不等式，
又因为在上单调递减，
所以，
整理得：，
即解得：或，
则不等式的解集为，
故答案为：
47．（25-26高三·湖北武汉·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解.
【详解】定义在上的偶函数，，，
当时，单调递减，当时，单调递减，
定义在上的偶函数，
，，，
当时，单调递减，
，，即，
解得或，
的定义域为，
，，
，
或和要同时成立，
，
关于的不等式的解集为.
故选：C.
48．（2025高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可.
【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
由，有，即，
解得或，所以不等式的解集为.
故选：C.
49．（2025高一·江西萍乡·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解.
【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称，
又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，
由，知，作出函数的大致图象，如下：
由图可知，当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以不等式的解集为.
故选：B.
50．【多选】（25-26高一·江苏苏州·阶段练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（ ）
A． B．
C．在R上单调递增 D．的解集为
【答案】ABD
【分析】令计算可得，即A正确，利用奇函数定义可证明B正确，由函数性质以及单调性定义证明可得在R上单调递减，可得C错误，根据函数单调性整理表达式并解不等式可得D正确.
【详解】对于A，令可得可得，因此A正确；
对于B，令可得，因此B正确；
对于C，取任意，且，则可得，
又因为当时，，所以
所以，
因此，所以，
可知在R上单调递减，因此C错误；
对于D，由可得，
也即，因此，
结合C中单调性可知，即，解得；
因此不等式的解集为,可得D正确.
故选：ABD
51．（25-26高二·广东·阶段练习）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（ ）
A．
B．
C．在上为增函数
D．解集为或
【答案】C
【分析】对于A用赋值法即可求值；对于B对条件进行适当变形即可得结论；对于C根据增函数的定义证明即可；对于D对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式.
【详解】对于A，令，则，故A正确；
对于B，，即，故B正确；
对于C，令，则，，即，所以函数为减函数，故C错误；
对于D，由，得，所以，
于是，解得或，故D正确.
故选：C
52．（25-26高一·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是
【答案】
【分析】构造函数判断奇偶性及单调性，利用其单调性解不等式即可.
【详解】对任意的，且，都有不等式，
不妨设，则，
令，则，即函数在上为增函数，
因为函数为R上的奇函数，即，
则，所以函数为偶函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，则，
当时，即当时，
由可得，
则，解得；
当时，即当时，
由可得，
则，解得.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
53．（2025高一·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决.
【详解】由可得，即，
设，则有，因，则在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数.
由可得，
而，即，
由函数的单调性和奇偶性，可得，解得.
故选：A.
54．（2025高一·四川成都·期中）函数是定义在上的偶函数，且增函数，若对任意，均有，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可求解.
【详解】因为，所以，，
又因为函数是定义在上的偶函数，增函数，
且，所以，
两边平方化简得在恒成立，
令，对称轴为，
所以在单调递增，
则，解得，
又因为，所以，
所以的最大值为.
故选:A.
55．（2025高一·广东·期中）已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性结合解析式判断其单调性，将原问题转化为关于x的不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，，
此时函数在单调递增，
故时，，则，，此时函数在单调递增，
且，故，在R上单调递增；
，即，即，
即，即，
故对任意，都有，即恒成立，
由此可得，解得，
即实数m的取值范围为，
故选：B
题型十 抽象函数比较大小
核心是 “用性质定增减，用条件找关系”。若涉及奇偶性，先将自变量转化到同一单调区间，再利用单调性比较。
56．【多选】（25-26高一·安徽阜阳·阶段练习）定义在上的函数满足，且对任意的，都有恒成立，则（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．
D．有最大值，无最小值
【答案】BCD
【分析】根据题设结合对称性及函数单调性的定义易得的图象关于直线对称，函数在上单调递减，即可判断AB；由对称性易得，再根据单调性判断C；根据单调性判断D.
【详解】由，则的图象关于直线对称，故B正确；
对任意的，都有恒成立，则，
所以函数在上单调递减，故A错误；
而，且，则，故C正确；
由上述可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，无最小值，故D正确.
故选：BCD
57．（25-26高一·四川眉山·阶段练习）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，当时，恒成立，
可得函数在上单调递增，
又由函数的图象关于对称，可得，，
则有，即.
故选：D.
58．（2025高一·北京·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到，且在上为减函数，得出，即可求解.
【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以，
又因为时，有，
所以函数在上为单调递减函数，可得，
所以.
故选：D.
59．（25-26高一·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合函数的奇偶性以及在上有单调性，且，判断函数在上单调递增，由此一一判断各选项，即得答案.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，
由，得，又在上有单调性，
所以在上有单调性，且为严格单调递增，
对于A：由，则，不正确；
对于B：由题意知，且，故，正确；
对于C：由于，，故，不正确；
对于D：由题意知，且，，所以，不正确；
故选：B．
60．（25-26高三·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解.
【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称，
又由，都有，
根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减，
结合对称性知：函数在上单调递增，
因为，所以，
又因为，所以.
故选：B.
题型十一 抽象函数的最值问题
关键是 “借性质明趋势，抓特殊点定最值”。 利用单调性确定最值，单调递增函数在定义域端点取最值，递减则相反。 结合奇偶性简化分析，如奇函数在对称区间最值互为相反数。 若有周期性，可先求一个周期内的最值，再推广到整个定义域。
61．（2025高三·浙江·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可.
【详解】令，则，且
故，，故
且令，，可得
设，则，
则，故在上单调递增
的最大值是
故选：A
【点睛】本题需要考生先求出特殊值，后判断抽象函数的单调性，再求出端点值即可. 判断抽象函数的单调性时需要记忆或推理常见的抽象函数模型.
62．（2025·山西·模拟预测）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】令可得，再令可得，再令即可得，再利用函数单调性定义可得该函数为单调递增函数，故的值即为所求.
【详解】令，则，令有，
又，所以，
令，所以，所以，
设，则，所以，
所以，
则，故在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为.
故选：D.
题型十二 双函数混合型
核心是 “分拆函数关系，用已知性质联动求解”。先明确两个函数各自的性质，如单调性、奇偶性，标注已知条件。将混合型表达式拆分为两个函数的单独部分。利用函数性质建立关联，通过代入已知值或不等式传递，推导结果。
63．（2025·山东日照·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据是偶函数，得到关于对称，即，结合和为偶函数即可得到周期为4，故可求出，则即可.
【详解】因为是偶函数，
所以的图象关于直线对称，
即，
即，
所以.
所以关于点中心对称.
又是定义域为的偶函数，
所以，
所以，
即，
所以函数的周期为4.
所以，
所以.
故选：D.
64．【多选】（25-26高三·四川内江·开学考试）已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）.
A．的图象关于直线对称
B．是以4为周期的周期函数
C．的图象关于点对称
D．
【答案】BC
【分析】由已知可判断是偶函数，是奇函数.由及是奇函数，可得，判断C对；由C及是偶函数可判断的周期为4，进而求和判断D错；由，可判断关于对称，A错；由，及是奇函数，可得，B对.
【详解】对于C，由①，得，
因为，所以，故②，
①＋②，得，所以的图象关于点对称，
且，故C正确；
对于D，因为关于对称，所以关于对称，所以偶函数，
所以，
所以，
故，所以的周期为4，
在中，令，得，
所以，
结合的周期性得，，，
所以，故D错误；
对于A，①－②，得，
所以，
所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误；
对于B，由得，
因为是奇函数，所以，
所以是以4为周期的周期函数，故B正确.
故选：BC.
65．（2025高三·河南南阳·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设条件利用赋值法可得为周期函数且周期为，再结合赋值法可求、、，从而可求的值.
【详解】因为的图象关于直线对称，故，
因为，故，
因为，故，
所以，故，
所以，故，
所以为周期函数且周期为.
因为且，故，
又，故即，
而即，
故，
而且，故，
故.
故，
故选：A.
66．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，且的图象关于直线对称，则以下说法不正确的是（ ）
A．和均为奇函数 B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于B，由，得，
又，，
的图象关于直线对称，，
，
，则是周期函数，且周期为，
所以，故B正确；
对于A，的图象关于直线对称，
是偶函数，
若为奇函数，则恒成立，不满足，故A错误；
对于C，由，得，
，
因为，则，
所以是周期函数，且周期为，则，故C正确；
对于D，由，得，
又，
由，得，故D正确.
故选：A.
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