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微专题 指对幂混合运算
题型一 根式的化简求值
有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
1．（2025高一·全国·课前预习）求下列根式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】根据根式的运算法则化简求值即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式
（3）原式
2．（2025高一·上海·期中）化简： ．
【答案】
【分析】由根式的计算求解即可.
【详解】，
故答案为：.
3．（2025高一·上海·期末）当 时，化简: .
【答案】
【分析】利用根式化简计算即可；
【详解】因为
所以，
故答案为：
4．（2025高一·江苏徐州·期中）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据根式的性质化简求值即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
5．（25-26高一·江苏盐城·阶段练习）若，则的化简结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可.
【详解】由，得，
所以.
故选：C.
6．（25-26高一·江苏南通·阶段练习）设，若为定值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分，两种情况进行根式化简讨论，从而可求解.
【详解】由题意当时，不为定值，
当时，为定值，
综上所述：实数的取值范围为，故B正确.
故选：B.
7．（25-26高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合根式的性质化简求解即可.
【详解】因为，
所以，即，解得，
当时，即，
满足.
所以实数的取值范围是．
故答案为：.
8．（2025高一·宁夏银川·阶段练习）若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据根式的性质即可判断.
【详解】因为，即，所以，
解得.
故答案为：
题型二 分数指数幂与根式的互化
根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
9．（2025高一·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示
【答案】
【分析】，结合指数幂运算法则进行求解.
【详解】，.
故答案为：
10．（2025高一·天津·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由根式与分数指数幂的互化公式和指数运算性质，化简运算即可．
【详解】因为，所以.
故选：D.
11．（2025高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据根式与指数式的互化即可得解.
（2）（3）（4）根据根式与指数式的互化结合指数幂的运算性质即可得解.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
12．【多选】（25-26高一·江苏南京·阶段练习）下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C．（） D．（）
【答案】ACD
【分析】根据分数指数幂与根式的转化判断各个选项.
【详解】对于A：，A选项正确；
对于B：当时，，B选项不正确；
对于C：时，C选项正确；
对于D：时，D选项正确；
故选：ACD.
13．（2025高一·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据分数指数幂的运算法则，一一判断各选项，即得答案.
【详解】由于，A正确，B，C错误；
，由于无意义，D错误，
故选：A
14．（2025高一·福建泉州·期中）若，，则不能满足的条件为（ ）
A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数
C．均为奇数 D．均为偶数
【答案】A
【分析】根据分数指数幂的定义判断即可.
【详解】对于A：因为，当为奇数，为偶数时，，此时无意义，不合题意，故A错误；
对于B：因为，当为偶数，为奇数时，，此时，符合题意，故B正确；
对于C：因为，当为奇数，为奇数时，，此时，符合题意，故C正确；
对于D：因为，当为偶数，为偶数时，，此时，符合题意，故D正确；
故选：A
题型三 指数幂的化简、求值
指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．
15．（2025高一·广东深圳·期中）求值： .
【答案】28
【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果.
【详解】
.
故答案为：28.
16．（2025高一·北京顺义·期中） .
【答案】
【分析】根据指数幂的运算性质求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
17．（2025高一·广东广州·期中）计算下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】利用分数指数幂和根式运算法则计算出结果.
【详解】（1）
；
（2）
18．（2025高三·全国·专题练习）计算化简：
（1）.＝ ；
（2）.＝ .
【答案】 0.09
【分析】由分数指数幂定义计算即可得答案.
【详解】（1）＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
（2）＝ ＝ ＝
故答案为：0.09；
19．（2025高一·全国·课堂例题）化简下列各式：
(1)；
(2)（，）；
(3)（且）．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】利用指数的运算性质及根式与分数指数幂的互化即可求解.
【详解】（1）原式．
（2）方法一（由内向外化）
．
方法二（由外向内化）
.
（3）方法一 原式．
方法二 原式．
20．（2025高一·广东深圳·期中）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】；
【分析】（1）根据分数指数的运算性质直接求解即可；
（2）将根式化为分数指数幂，然后根据分数指数的运算性质化简即可.
【详解】（1）
；
（2）
.
21．（2025高一·广西桂林·期中）（1）计算：；
（2）化简
【答案】(1);(2)
【分析】(1)利用根式和指数运算公式化简所求表达式即可求解；
(2)利用根式和分数指数幂的运算法则即可求解.
【详解】(1)原式.
(2)原式.
题型四 整体代换法求分数指数幂
利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝(±)2 2，＋＝(±)2 2.
22．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ．
【答案】/
【分析】根据题意结合平方关系可得，，代入即可得结果.
【详解】因为，两边同时平方得，即，
对两边同时平方得，即，
所以．
故答案为：.
23．（2025高一·全国·随堂练习）已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】将所求式取平方，求出其值，再判断其值为正即可求得.
【详解】由，
因，故，
即得，.
故选：A.
24．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式进行求解；
（2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解.
【详解】（1）因为 ，所以
即 ，.
.
因为 ，所以 ，则 .
（2）.
已知，所以.
25．（2024高三·全国·专题练习）若，则= ；= ．
【答案】 7
【分析】利用完全平方公式及立方和公式结合分数指数幂的运算法则计算即可.
【详解】由题意，所以.
由题意，
所以.
故答案为：7；.
26．【多选】（25-26高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案.
【详解】A.，故A正确；
B.，故B错误；
C.由可知，故，
因为，所以，故C正确；
D.因为，
又，所以原式，故D正确．
故选：ACD.
27．（2025高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)-7
【分析】（1），两边平方得到，进而得到求解；
（2）分子利用指数幂的运算变形，分母利用根式的性质化简求解.
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
.
题型五 指数式和对数式的互化
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
28．（2025高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可.
【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式，
对于，可化为.
（2）对于，可化为.
（3）对于，可化为.
（4）对于，可化为.
29．（25-26高三·浙江·开学考试）已知，，则（ ）
A．0 B．2 C．-1 D．1
【答案】B
【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解.
【详解】因为，所以，又因为，
所以，所以，
则.
故选：B.
30．（25-26高一·全国·课前预习）若，则（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
【答案】B
【分析】将对数式化成指数式，运算得解.
【详解】由题知，解得.
故选：B.
31．（25-26高一·全国·课前预习）若（，且），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值.
【详解】由对数的概念知，故，即.
故选：A.
32．（2025高二·天津·期末）若，则
【答案】/
【分析】根据指对数的运算，即可求解.
【详解】由可得，故，
故，
故答案为:
33．（2025·四川乐山·模拟预测）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可.
【详解】由可得，又因为，
所以，
故选：B.
34．（2025·山东临沂·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．11 B．12 C．16 D．17
【答案】D
【分析】由指对互化公式即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：D.
35．（2025高一·河南郑州·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先指数对数互化，再根据指数幂运算法则将进行变形，再结合已知条件进行计算.
【详解】根据指数幂运算法则，可得.
再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以.
已知，根据对数与指数的关系，可得.
同理，因为，所以.
将和代入中计算结果
把，代入可得：.
故选：D.
题型六 对数的运算
对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
36．（25-26高三·海南·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数运算法则和换底公式直接求解即可.
【详解】.
故选：C.
37．（2025高二·湖南·学业考试）（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质即可求解．
【详解】根据对数运算性质可知，，所以．
故选：C．
38．（2025高一·贵州遵义·阶段练习）设，则 .
【答案】8
【分析】根据对数的运算性质以及对数恒等式，结合分段函数的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，
所以，
故答案为：8.
39．（2025高一·全国·专题练习）计算：．
【答案】
【分析】利用指数运算律、对数的运算法则和指对数恒等式来计算即可；
【详解】解法一：原式．
解法二：原式
．
40．（2025高一·全国·专题练习）求值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)2
(3)2
【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可；
（2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解；
方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解；
（3）注意到各对数式底数均不相同，运用换底公式消除底数的差异即可求解.
【详解】（1）原式．
（2）方法一：原式．
方法二：原式
．
（3）原式．
题型七 换底公式的应用
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
41．（25-26高三·湖北荆州·阶段练习） .
【答案】
【分析】根据对数的运算公式即可求解.
【详解】由题意.
故答案为：2
42．（2025·吉林·模拟预测）求值： .
【答案】8
【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算．
【详解】，
故答案为：8.
43．（25-26高三·云南昆明·阶段练习） .
【答案】
【分析】由对数运算性质可得答案.
【详解】原式=．
故答案为：
44．（25-26高三·吉林长春·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得或，代入，即可化简求得结果.
【详解】由题知，，
则
，可得或，
所以或，
若，又，
则，所以，
则或（舍去），，；
若，又，
则，所以，
则或（舍去），
所以，
综上，.
故选：B
45．（25-26高三·河南商丘·阶段练习）已知，，则 ．
【答案】5
【分析】利用换底公式，结合指数式与对数式恒等式进行求解即可.
【详解】由得，，所以．
故答案为：5
46．（25-26高一·江苏南京·阶段练习）已知，则 .
【答案】
【分析】用换底公式将换成以2为底的对数，进而根据对数的运算性质得到答案.
【详解】.
故答案为：.
47．（2025·上海崇明·模拟预测）已知，则 ．
【答案】1
【分析】先把指数式化为对数式求出的值，再利用对数的运算性质即可求解.
【详解】由已知，则，
所以.
故答案为：1.
48．（25-26高三·天津西青·阶段练习）已知，，则
【答案】1
【分析】将转化为对数式，然后利用换底公式和对数运算化简可得.
【详解】∵，
∴，又，
∴.
故答案为：1.
49．（25-26高三·天津武清·阶段练习）已知，且，则的值为 ．
【答案】20
【分析】指数式化为对数式，结合换底公式得到方程，求出.
【详解】且，故，
则，所以，
又，故，解得.
故答案为：20
50．（2025高一·湖北恩施·期中）若，且，则t的值为 ；
【答案】或
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算公式进行求解即可.
【详解】由，
当时，显然符合，此时，
当时，，
由，代入中，
得，
故答案为：或
51．（25-26高三·四川广元·阶段练习）若，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
【答案】C
【分析】由换底公式可得与互为倒数，则可以换元解一元二次方程得到，再代入第二个方程进一步求解即可.
【详解】设，由换底公式可得，
所以，解得或，
由于题干中a、b地位等价，不妨设 ，
则，代入可得，
由于a在对数的底数上，所以且，
由单调可得，解得，
则.
故选：C.
题型八 用已知对数表示其他对数
解题核心是活用对数运算法则与换底公式。先将目标对数拆分为已知对数的和差、倍数形式,借助统一底数；优先用换底公式转化未知底数,再通过运算法则拆分组合,注意符号与系数处理,避免运算失误,聚焦“转化—拆分—合并”的逻辑链。
52．（2025高一·全国·课后作业）已知，，试用m，n表示．
【答案】
【分析】应用对数运算及已知化简表示即可.
【详解】∵，，
∴
．
53．（2025高一·全国·课后作业）已知，，试用、表示的值．
【答案】
【分析】方法一：将对数化为指数，根据指数运算结合对数概念分析运算；方法二：将指数化为对数，结合对数运算求解.
【详解】方法一：由，得到．设，则．
因为，所以，即．
方法二：因为，则，
所以.
54．（2025高一·上海·专题练习）（1）设，试用含有的代数式表示；
（2）设，，试用、表示；
（3）设，，试用、表示.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】根据对数的运算法则及换底公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即.
（2）因为，
所以.
（3）因为，
所以.
55．（25-26高一·全国·课堂例题）已知，，用a，b表示下列各数的值：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用对数的运算法则逐一计算即可.
【详解】（1）
；
（2）；
（3）
.
题型九 指对幂的综合运算
指对幂综合运算的核心是 “统一形式 + 法则联用”。先通过指对互化、换底公式将不同形式(指数、对数、幂)统一底数或转化为同结构,再活用幂的运算法则( 等)和对数运算法则( 等)逐步化简。
56．（25-26高三·天津南开·阶段练习） .
【答案】/
【分析】根据指数幂和对数的运算法则求值.
【详解】
.
故答案为：
57．（25-26高三·北京·阶段练习） .
【答案】
【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则、换底公式计算.
【详解】,
故答案为：.
58．（25-26高三·天津·开学考试）式子的值为（ ）
A． B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据题意利用指数与指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得到结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以.
故选：C.
59．（25-26高三·海南·阶段练习）计算： .
【答案】
【分析】利用对数恒等式、对数的运算性质以及根式的运算性质化简可得所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
60．（2025高三·甘肃白银·阶段练习）求值： .
【答案】
【分析】应用指数对数运算法则计算求解.
【详解】
.
.
故答案为：.
61．（浙江省嘉兴市八校联盟2025-2026学年高一学期期中联考数学试题）计算： ．
【答案】/0.5
【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则，对各项进行化简，然后进行计算．
【详解】，，
，
．
故答案为：．
62．（2025高一·广东中山·阶段练习）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意，利用对数的运算性质，进行运算，即可求解；
（2）根据题意，利用指数幂的运算性质和对数的运算性质，进行运算，即可求解.
【详解】解：（1）由对数的运算性质，可得；
（2）由指数幂与对数的运算性质，可得：
原式.
63．（2025高一·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】（1）（2）（3）根据指对幂运算法则逐一求解即可.
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
.
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微专题 指对幂混合运算
题型一 根式的化简求值
有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
1．（2025高一·全国·课前预习）求下列根式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
2．（2025高一·上海·期中）化简： ．
3．（2025高一·上海·期末）当 时，化简: .
4．（2025高一·江苏徐州·期中）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．（25-26高一·江苏盐城·阶段练习）若，则的化简结果是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（25-26高一·江苏南通·阶段练习）设，若为定值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是 ．
8．（2025高一·宁夏银川·阶段练习）若，则实数的取值范围为 ．
题型二 分数指数幂与根式的互化
根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
9．（2025高一·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示
10．（2025高一·天津·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．【多选】（25-26高一·江苏南京·阶段练习）下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C．（） D．（）
13．（2025高一·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2025高一·福建泉州·期中）若，，则不能满足的条件为（ ）
A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数
C．均为奇数 D．均为偶数
题型三 指数幂的化简、求值
指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．
15．（2025高一·广东深圳·期中）求值： .
16．（2025高一·北京顺义·期中） .
17．（2025高一·广东广州·期中）计算下列各式：
(1)；
(2)
18．（2025高三·全国·专题练习）计算化简：
（1）.＝ ；
（2）.＝ .
19．（2025高一·全国·课堂例题）化简下列各式：
(1)；
(2)（，）；
(3)（且）．
20．（2025高一·广东深圳·期中）（1）计算：；
（2）化简：．
21．（2025高一·广西桂林·期中）（1）计算：；
（2）化简
题型四 整体代换法求分数指数幂
利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝(±)2 2，＋＝(±)2 2.
22．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ．
23．（2025高一·全国·随堂练习）已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．7
24．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求：
(1)；
(2)．
25．（2024高三·全国·专题练习）若，则= ；= ．
26．【多选】（25-26高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2025高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
题型五 指数式和对数式的互化
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
28．（2025高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
29．（25-26高三·浙江·开学考试）已知，，则（ ）
A．0 B．2 C．-1 D．1
30．（25-26高一·全国·课前预习）若，则（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
31．（25-26高一·全国·课前预习）若（，且），则（ ）
A． B． C． D．
32．（2025高二·天津·期末）若，则
33．（2025·四川乐山·模拟预测）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
34．（2025·山东临沂·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．11 B．12 C．16 D．17
35．（2025高一·河南郑州·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型六 对数的运算
对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
36．（25-26高三·海南·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
37．（2025高二·湖南·学业考试）（ ）
A． B． C． D．2
38．（2025高一·贵州遵义·阶段练习）设，则 .
39．（2025高一·全国·专题练习）计算：．
40．（2025高一·全国·专题练习）求值：
(1)；
(2)；
(3)．
题型七 换底公式的应用
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
41．（25-26高三·湖北荆州·阶段练习） .
42．（2025·吉林·模拟预测）求值： .
43．（25-26高三·云南昆明·阶段练习） .
44．（25-26高三·吉林长春·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
45．（25-26高三·河南商丘·阶段练习）已知，，则 ．
46．（25-26高一·江苏南京·阶段练习）已知，则 .
47．（2025·上海崇明·模拟预测）已知，则 ．
48．（25-26高三·天津西青·阶段练习）已知，，则
49．（25-26高三·天津武清·阶段练习）已知，且，则的值为 ．
50．（2025高一·湖北恩施·期中）若，且，则t的值为 ；
51．（25-26高三·四川广元·阶段练习）若，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
题型八 用已知对数表示其他对数
解题核心是活用对数运算法则与换底公式。先将目标对数拆分为已知对数的和差、倍数形式,借助统一底数；优先用换底公式转化未知底数,再通过运算法则拆分组合,注意符号与系数处理,避免运算失误,聚焦“转化—拆分—合并”的逻辑链。
52．（2025高一·全国·课后作业）已知，，试用m，n表示．
53．（2025高一·全国·课后作业）已知，，试用、表示的值．
54．（2025高一·上海·专题练习）（1）设，试用含有的代数式表示；
（2）设，，试用、表示；
（3）设，，试用、表示.
55．（25-26高一·全国·课堂例题）已知，，用a，b表示下列各数的值：
(1)；
(2)；
(3)
题型九 指对幂的综合运算
指对幂综合运算的核心是 “统一形式 + 法则联用”。先通过指对互化、换底公式将不同形式(指数、对数、幂)统一底数或转化为同结构,再活用幂的运算法则( 等)和对数运算法则( 等)逐步化简。
56．（25-26高三·天津南开·阶段练习） .
57．（25-26高三·北京·阶段练习） .
58．（25-26高三·天津·开学考试）式子的值为（ ）
A． B．10 C．11 D．12
59．（25-26高三·海南·阶段练习）计算： .
60．（2025高三·甘肃白银·阶段练习）求值： .
61．（浙江省嘉兴市八校联盟2025-2026学年高一学期期中联考数学试题）计算： ．
62．（2025高一·广东中山·阶段练习）（1）计算：；
（2）计算：．
63．（2025高一·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
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