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(共58张PPT)
第三部分　统计与概率
第八章　统计与概率
第30讲　统　计
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
平均数 题19，9分 题21（1），2分 题21（2）（3）， 5分 题19（1），2分
中位数 题6，3分 题21（1），2分 题21（2），1分 题19（1），1分
众数 题6，3分 题11，3分 题21（1），2分 题21（2），1分 题19（1），1分
用样本估计总体 题20（2），3分 题19（2），2分
扇形统计图 题20（1），2分 题19（1），3分
广东省卷近年中考数学考情分析 条形统计图 题20（1），2分 题21（1），2分 题19，6分
折线统计图 题21，1分
◇链接教材◇人教版： 七下第十章P134-P161；八下第二十章P110-P137； 七下第十二章P151-P170 北师版： 七上第六章P154-P188；八上第六章P135-P160； 七上第六章P167-P189；八上第六章P146-P178 2022新课标 重要变化 1.理解平均数、中位数、众数的意义.（新增） 2.会计算一组简单数据的离差平方和、方差.（新增） 3.经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法.（新增） 4.会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义.（新增） . . .
. .
. .
. . .
. .
1.（2025湖南）下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A.了解某班同学的跳远成绩
B.了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C.了解全国中学生的身高状况
D.了解某批次汽车的抗撞击能力
A
2. （2025江苏一模）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　）
A
3.（2025江苏二模）如图是某商店连续5天用水量（吨）的折线统计图.下列说法正确的是（　　）
A.平均数是5吨
B.中位数是6吨
C.众数是4吨或8吨
D.第1天用水量最少
B
4.（2025四川一模）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（　　）
A.中位数是8 B.众数是9
C.平均数是8 D.方差是0
B
5.（2025河南三模）某中学八年级学生计划在校园一处空地上种植4种不同的蔬菜，其中黄瓜的种植面积是20 m2，4种蔬菜的种植面积扇形统计图如图所示.根据统计图，可知韭菜的种植面积是（　　）
A.8 m2　 B.10 m2
C.15 m2 D.30 m2
C
考点通关
一、数据的收集
1.收集数据的方式
方式 定义 适用范围
全面 调查 考察全体对象的调查叫做全面调查 调查范围小，调查不具有破坏性，数据要求准确全面
抽样 调查 抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法称为抽样调查 所调查对象涉及面大，范围广，普查的意义或价值不大；调查受条件限制或具有破坏性
2.抽样调查中的相关概念
（1）所要考察的对象的　　 　　称为总体.组成总体的每一个考察
　　　　称为个体；
（2）从总体中抽取的一部分　　　　叫做总体的一个样本，样本中的个体的　　　　叫做样本容量；
（3）在抽取样本的过程中，总体中的每个个体都以相等的机会被抽到，像这样的抽样方法叫做简单随机抽样.
全体
对象
个体
数目
基础对练
1.戴头盔对保护骑电动车人的安全尤为重要.要调查西安市公民“骑电动车”头盔佩戴情况，应选择　　 　调查的方式.（填“抽样”或“全面”）
2.统计调查活动一般需要经历4个重要步骤：①收集数据；②制作并发放调查问卷；③分析数据；④得出结论，提出建议和整改意见.你认为这四个步骤合理的先后排序为（　　）
A.①②③④　　 B.①③②④
C.②①③④　 D.②③④①
抽样
C
二、数据的分析
1.平均数：（1）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，其算术平均数=（x1+x2+…+xn）；加权平均数：如果n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+…+fk=n），则=（x1f1+x2f2+…+xkfk）.
（2）特点：反映数据的总体水平，但易受极端值的影响；
2.中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最　　　　位置上的数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，则中位数是中间两个数据的平均数.特点：去掉最大数和最小数，中位数不变；反映数据的中等水平，受极端值影响较小.
3.众数：在一组数据中，出现次数　　　 　的数据叫做这组数据的众数.特点：日常生活中“最满意”“最受关注”等，都与众数有关，它能反映一组数据的集中程度，不受极端值影响，可能不止一个数字，也可能没有.
中间
最多
4.方差：反映数据的“波动情况”.
（1）x1，x2，…，xn的方差s2=［（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2］.
（2）方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据的波动越
小；方差越大，数据的波动越大.
（3）标准差：方差的算术平方根.
3.已知某应试者的面试成绩为92分，笔试成绩为88分.
（1）如果面试和笔试成绩同等重要，那么他的平均成绩为 　 ；
（2）如果分别赋予面试和笔试成绩6和4的权，那么他的平均成绩为
　　　 　.
4.（2025泸州）一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是　　　　.
5.（2025青海）七名同学一分钟排球垫球个数分别为42，47，43，43，45，43，46.这组数据的众数是　　　　.
90分
90.4分
5
43
6.某数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高度的平均数相同，方差分别为=3.6，=5.8，则这两种小麦长势更整齐的是　　　　（填“甲”或“乙”）.
甲
三、频数与频率
1.频数：把一组数据分成若干组，数据分组后落在各小组内数据的个数叫作频数，频数之和等于数据总数.
2.频率：每一组数据的频数与数据总数的比值叫作频率，频率之和等于1.
3.绘制频数分布直方图的步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③列频数分布表；④画频数分布直方图.
7.已知在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、五组数据的个数分别为2，8，15，5，则第四组的频率是　　　　.
0.4
四、常见的统计图
特点 分析
条形 统计图 能够显示每个对象的具体数目 各组数量之和等于样本总量
折线 统计图 能够显示数据的变化趋势 各组数据之和等于样本总量；相邻两点之间的线段越陡，变化越大
扇形 统计图 可以直观地反映各部分在总体中所占的百分比 ①各百分比之和等于　　　
②圆心角的度数=百分比×　　　
频数分 布直方图 能够显示频数的分布情况 ③各组频数之和等于样本容量；
④数据总数×各组的频率=相应组的
　　 　
1
360°
频数
8.某企业10月份的产值的分配，画成不完整的扇形图和条形图如图所示.那么该企业的税前利润是　　　　万元.
20
普查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量
1.（2025河南模拟）为了解河南省中学生每天的平均睡眠时间，最适合采用的调查方式是　　 　　（填“全面调查”或“抽样调查”）.
2.（2025肇庆二模）双减政策下，为了解某学校七年级1 260名学生的睡眠情况，抽查了其中200名学生的睡眠时间进行统计，则本次抽样调查的样本容量是　　　 　.
抽样调查
200
3. （2025云南模拟）要想了解九年级1 200名学生的心理健康评估报告，从中抽取了350名学生的心理健康评估报告进行统计分析，以下说法：
①1 200名学生是总体；②每名学生的心理健康评估报告是个体；③被抽取的350名学生是总体的一个样本；④350是样本容量.其中正确的是
　　 　　（填序号）.
②④
平均数、中位数、众数
4.（2025福建）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按4∶3∶2∶1的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A　　　　B.（填“>”“=”或“<”）
项目员工 听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
>
5.（2025浙江模拟）某学校体育节的灌篮大赛现场，五位评委对小李同学的灌篮表现给出如下评分（单位：分）：9.5，9.2，9.6，9.4，9.2，则这组数据的中位数是（　　）
A.9.2分 B.9.4分 C.9.5分 D.9.6分
B
6.（2025南充）一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如右所示的统计表，则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（　　）
A.6
B.9
C.11
D.15
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
C
7.（2025牡丹江）一组正整数2，a，b，8，这组数据有唯一众数，中位数为3，则这组数据的平均数是（　　）
A.4.5 B.3.5 C.3 D.4
D
方差
8.（2025泸州）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如右表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
B
9.（2025吴忠模拟）为了提升学生的人文素养，某校九年级（1）班开展了朗诵经典文学作品活动，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图.根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（　　）
A.众数为85分
B.中位数为88分
C.平均数为81分
D.方差为0
A
用样本估计总体、频数与频率
10.（2025长沙）为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体3 600名学生中，随机调查了100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习.由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有　　　　名.
108
11.（2025杭州三模）将数据83，85，87，89，84，85，86，88，87，90分组，则86.5~88.5这组的频数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
12.（2025重庆三模）在“风声雨声读书声声声入耳”这句话中，“声”字出现的频率是　　　　.
C
13.（2025西安一模）为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），进行整理、描述和分析，并将其分成四组（A：x<85，B：85≤x<90，C：90≤x<95，D：95≤x≤100）.下面给出了部分信息：七年级10名学生的比赛成绩是84，85，86，87，88，92，95，97，97，99.八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是91，93，94.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a=　　　　，b=　　　　，c=　　　　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由；
（3）该校七年级有1 200名学生、八年级有1 000名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是多少？
40
93.5
97
解：（2）我认为八年级安全意识更强，理由如下：
从平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，所以八年级学生安全意识更强.
（3）1 200×+1 000×（1-10%-20%）=1 300（人）.
答：估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是1 300人.
常见的统计图
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教7下P150复习巩固） 江涛同学统计了他家10月份的长途电话明细清单，按通话时间画出直方图（如图）. （1）他家这个月一共打了多少次长途电话？ （2）通话时间不足10 min的多少次？ （3）哪个时间范围的通话最多？哪个时间范围的通话最少？ 解： 解：（1）30+23+13+15+21=102（次）. 2分 答：他家这个月一共打了102次长途电话. 3分 （2）30+23=53（次）. 4分 答：通话时间不足10 min的为53次. 5分 （3）0 min~ 5 min的通话最多， 6分 10 min~ 15 min的通话最少. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
14. （2025江苏三模）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动.在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表.
（1）活动前B类别对应人数a的值为　　　 　；若该市约有20万人使用电瓶车，估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为
　　　　 ；
（2）观察统计图表后，小敏说：宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果.小敏的说法是否合理？请说明理由.
244
1.78万
解：（2）小敏分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动前骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比
×100%=17.7%，
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比 ×100%=8.9%，
∵8.9%<17.7%，∴交警部门开展的宣传活动有效果.
15. （2025南通）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动.为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表.
体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操
人数 6 a 10 9 8 5
（1）表格中a的值为　　　　；
（2）若该校有1 000名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数；
（3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队.已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示.你建议选择哪名同学，请说明理由.
12
解：（2）1 000×=120（人）.
答：估计该校参加足球活动的学生人数为120人.
（3）选择甲，理由如下：
由图知，=×（8+7+6+7+8+6）=7，
=×（3+4+7+8+10+10）=7，∴=，
又∵甲成绩明显比乙成绩更稳定，
∴选择甲.（答案不唯一）
16.（2025广东）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95.这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A.92，94 B.95，95
C.94，95 D.95，96
17.（2024广东）数据5，2，5，4，3的众数是　　　　.
B
5
18.（2025广东）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》.某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理.部分信息如下：
调查问卷 整理与描述
1.你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（　　）（单选） A.0.5≤x<1　　　　　　 B.1≤x<1.5 C.1.5≤x<2 D.x≥2
调查问卷 整理与描述
2.随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有 （　　）（可多选） E.球类　F.田径类　 G.体操类　H.水上类 希望增设的活动项目统计表
活动项目 球类 田径类 体操类 水上类
百分比 72% 23% 40% 46%
（1）求参与这次问卷调查的学生人数；
（2）估计该校1 000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数；
（3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议.
解：（1）35÷17.5%=200（人）.
答：参与这次问卷调查的学生人数为200人.
解：（2）1 000×37.5%=375（人）.
答：估计该校1 000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为375人.
（3）由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小时，建议学校多提供一些球场等活动场所，多提供学生活动时间.（言之有理即可）
19.（2024广东）端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩.为了选择一个最合适的景区，王先生对A，B，C三个景区进行了调查与评估.他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）.三个景区的得分如下表所示：
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
（1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？
（2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？
（3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由.
解：（1）景区A得分为 =7.15，
景区B得分为 =7.4，
景区C得分为 =6.9，
∵7.4>7.15>6.9，∴王先生会选择景区B去游玩.
（2）景区A得分为 =7.5，
景区B得分为 =7.25，
景区C得分为 =7，
∵7.5>7.25>7，∴王先生会选择景区A去游玩.
（3）（答案不唯一）将特色美食、自然风光、乡村民宿和科普基地四项得分的百分比定为20%，30%，30%，20%，
景区A得分为 =7.5，
景区B得分为 =7.3，
景区C得分为 =7，
∵7.5>7.3>7，∴选择景区A去游玩.
20.（2025江门一模）豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣.为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程.
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据.
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x<2），B类（2≤x<4），C类（4≤x<6），D类（6≤x<8），E类（8≤x<10）.
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图.
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动中随机抽取了　　　个豌豆荚，图中a=　　　　，b=　　　　；
（2）所调查豆子粒数的中位数落在　　　　类中；（只填写字母）
100
40
35
C
解：（3）不能得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律，理由如下：
由于甲、乙抽取的数量不多，不足以判断B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律.
（3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个.能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由.

21.（人教8下P137综合运用改编）（运算能力、数据观念、应用意识）甲、乙两门大炮在相同的条件下向同一目标各发射50发炮弹，炮弹落点情况如左下表.为了方便比较，制作了如右下统计表.
炮弹落点与目标距离/m 20 15 10 5 0
甲发射的炮弹个数 0 3 9 13 25
乙发射的炮弹个数 1 5 9 a 32
平均数 中位数 众数 方差
甲 4 m 0 22
乙 4 0 n s2
（1）根据以上表格填空：a=　　　　，m=　　　　，n=　　　　，s2=　　　　；
（2）请根据以上数据分析：　　　　大炮射击的准确性好.
3
2.5
0
34
甲
炮弹落点与目标距离/m 20 15 10 5 0
甲发射的炮弹个数 0 3 9 13 25
乙发射的炮弹个数 1 5 9 a 32
平均数 中位数 众数 方差
甲 4 m 0 22
乙 4 0 n s2
22.（新教材北师8上P175知识技能改编）（运算能力、数据观念、应用意识）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示.
（1）这50户家庭中5月用水量在20 t~30 t的有　　　　户；
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0~10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户的用水量.
3
解：（2）=12.4（t）.
答：估计该小区平均每户的用水量为12.4 t.(共43张PPT)
第三部分　统计与概率
第八章　统计与概率
第31讲　概　率
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
概率公式 题9，3分 题6，3分 题7，3分 题7，3分
用列表法或 画树状图法求概率 题3，3分
◇链接教材◇人教版：九上第二十五章P126-P153 北师版： 七下第六章P135-P159；九上第三章P59-P74； 七下第三章P60-P79 1.（2025武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是（　　）
A.向上两面的数字和为5 B.向上两面的数字和大于1
C.向上两面的数字和大于12 D.向上两面的数字和为偶数
B
2.（2025北京）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（　　）
A. B.
C. D.
A
3.（2025苏州一模）如图，飞镖游戏板由9个全等的小正方形组成，任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，则飞镖击中阴影部分的概率是（　　）
A. B.
C. D.
C
4.（2025深圳模拟）在一个不透明的盒子中装有4个白球、若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为　　　　.
12
5.（2025青岛）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同.将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张.利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率.
解：从印有“生”“旦”“净”“丑”4张卡片中，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张，所有可能出现的结果如下：

共有12种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的有6种，
所以抽取到的两张卡片中有“生”的概率为=.
考点通关
一、概率与事件的分类
1.概率：表示一个事件发生的可能性　　　　的数叫做该事件的概率.
2.事件的分类
事件类型 定义 概率
确定 事件 必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件 　　　
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件 　　　
随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0~1之间
大小
1
0
基础对练
1.下列事件中，　　　　 是必然事件，　　　 　是不可能事件，
　　　　是随机事件（填序号）.
①通常加热到100 ℃时，水沸腾；②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；③掷一次骰子，向上一面的点数是6；④任意画一个三角形，其内角和是360°.
①
④
②③
二、概率的计算
1.公式法：一般地，如果一个试验有n种可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.
2.列表法及画树状图法：（1）列表法：当一次试验涉及两步计算，并且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法不重不漏地列出所有可能的结果，再根据P（A）=计算概率；
（2）画树状图法：当一次试验要涉及两步或两步以上的计算时，通常采用画树状图法来表示所有可能的结果，再根据P（A）=计算概率；
3.几何概型的概率公式：P（A）=.
4.频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P（A）=　　　　.
p
2.掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）P（点数为2）=　　　　；
（2）P（点数为奇数）=　　　　.
3.一个不透明的口袋里有4颗球，除颜色以外完全相同，其中2颗红球，2颗白球，从口袋中随机摸出两颗球，则恰好摸出1颗红球1颗白球的概率是　　　　.
三、概率的应用
判断游戏的公平性：判断公平性时需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.
4.小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到比3大的数姐姐打扫，否则小军打扫.你觉得姐姐的规定对小军　　　 （填“公平”或“不公平”）.
公平
确定事件与随机事件
1.（2025武汉模拟）经过一个红绿灯路口，恰好是绿灯，这个事件是（　　）
A.随机事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.确定性事件
A
2. （2025武汉模拟）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A.买一张电影票，座位号是3的倍数
B.投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数
C.367个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
D.一名射击运动员在某种条件下射中9环
C
概率公式
3.（传统文化）（2025西宁一模）二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（　　）
A. B. C. D.
A
4.（2025苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
B
5. （2025湖北）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是　　　　.
6. （2025东莞模拟）如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是（　　）
A. B.
C. D.
D
用列表法或画树状图法求概率
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教9上P140综合运用） 第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中1个白球、1个黄球的概率. 解： 解：画树状图为： 4分 共有6种等可能的结果，分别为白白，白黄， 白白，白黄，黄白，黄黄， 其中1个白球、1个黄球占3种可能， 6分 所以取出的2个球中1个白球、1个黄球的概率==. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
7.（传统文化）（2025河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　）
A. B.
C. D.
B
8.（跨学科融合）（2025黑龙江）如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，能让两盏灯泡L1，L2同时发光的概率为　　　　.
9.（跨学科融合）（2025西安一模）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A.盐酸（呈酸性）、B.硝酸钾溶液（呈中性）、C.氢氧化钠溶液（呈碱性）、D.氢氧化钙溶液（呈碱性）.
（1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是
　 ；
（2）小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率.
解：（2）根据题意，列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8种，
∴1瓶变红、1瓶不变色的概率为=.
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
10.（2025吉林二模）如图，从甲地到乙地有a1，a2，a3三条路，从乙地到丙地有b1，b2两条路.小明从甲地出发去丙地.已知驾车经过a1，a2，a3，b1，b2分别需要用时12 min，10 min，15 min，15 min，18 min.若小明随机选择驾车路线，利用列表或画树状图的方法求他总用时少于30 min的概率.
解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中小明总用时少于30 min的结果有（a1，b1），（a2，b1），（a2，b2），共3种，
∴他总用时少于30 min的概率为=.
b1 b2
a1 （a1，b1） （a1，b2）
a2 （a2，b1） （a2，b2）
a3 （a3，b1） （a3，b2）
11. （2025徐州二模）如图，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.
（1）从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是
　　　　；
（2）先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，求摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的概率.
解：（2）由轴对称图形的定义可知，正三角形、正方形、矩形是轴对称图形，列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中都是轴对称图形的有6种，
∴摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的概率为=.
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
12.（2023广东）某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为（　　）
A. B. C. D.
C
13.（2024广东）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（　　）
A. B. C. D.
A
14.（2025广东）如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为
（　　）
A. B.
C. D.
D
15.（2025成都二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.以点A为圆心，AB的长为半径作；再以BC为直径作，向该图形随机投掷飞镖，每次飞镖都落在图形上，则飞镖落在阴影部分的概率为　　　　　　（用含π的代数式表示）.
16.（2025深圳二模）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字-1，-2，-3，-4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y.
（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数y=x-1的图象上的概率；
（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数x，y满足y>x-1的概率.
解：（1）列表如下：
由表可得，共有16种等可能的结果.
　　x y　　 -1 -2 -3 -4
-1 （-1，-1） （-2，-1） （-3，-1） （-4，-1）
-2 （-1，-2） （-2，-2） （-3，-2） （-4，-2）
-3 （-1，-3） （-2，-3） （-3，-3） （-4，-3）
-4 （-1，-4） （-2，-4） （-3，-4） （-4，-4）
（2）∵小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数y=x-1的图象上的有（-1，-2），（-2，-3），（-3，-4），共3种，
∴小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数y=x-1的图象上的概率为.
（3）∵小强、小华各取一次小球所确定的数x，y满足y>x-1的有（-1，-1），（-2，-1），（-2，-2），（-3，-1），（-3，-2），（-3，-3），（-4，-1），（-4，-2），（-4，-3），（-4，-4），共10种，
∴小强、小华各取一次小球所确定的数x，y满足y>x-1的概率为=.
17.（人教9上P153综合运用、北师9上P62例题改编）（运算能力、推理能力、应用意识）小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏.游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，则小颖获胜的概率为　　　　，这个游戏对三人　　　　 （填“公平”或“不公平”）.
公平
18.（人教9上P141拓广探索改编）（运算能力、数据观念、创新意识）在一个不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外其他都相同.
（1）从袋中随机取出两个球，都是黑球的概率是　　　　；
（2）若往袋中再放进x个白球和y个黑球，从袋中随机取出一个球，取得白球的概率变为，求y关于x的函数关系式.
（1）【解答】设三个黑球分别用A，B，C表示，两个白球分别用D，E表示，列表如下：
由表格可知，一共有20种等可能性的结果，其中从袋中随机取出两个球，都是黑球的结果数有6种，
∴从袋中随机取出两个球，都是黑球的概率是=.
A B C D E
A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A）
B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B）
C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D）
E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E）
（2）由题意得=，
∴3x+6=5+x+y，∴y=2x+1.

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