资源简介

(共8张PPT)
第一部分 数与代数
第二章 方程与不等式
微专题2　运用换元法解方程
（运算能力）
类型一：运用换元法解一次方程（组）
1.解方程组时，设a-1=x，b+2=y，则可化为
解得即解得此方法叫做换元法.则方程组的解为 　 .
类型二：运用换元法解分式方程
2.【阅读材料】解方程：-=0.
解：设y=，则原方程化为y-=0，方程两边同时乘y得y2-4=0，解得y=±2，
经检验，y=±2都是方程y-=0的解，∴当y=2时，=2，解得x=-1；
当y=-2时，=-2，解得x=，经检验，x=-1或x=都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-1或x=.上述这种解分式方程的方法称为换元法.
【解决问题】（1）若在方程-=0中，设y=，则原方程可化为
　　　　　　　；
-=0
（2）利用上述方法解方程：-=0.
（2）解：设y=，则原方程化为y-=0，
方程两边同时乘y，得y2-1=0，解得y=±1，
经检验，y=±1都是方程y-=0的解.
当y=1时，=1，该方程无解；
当y=-1时，=-1，解得x=-.
经检验，x=-是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-.
类型三：运用换元法解二次方程
3.【阅读材料】已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2-1）=80，求2m2+n2的值.
解：设2m2+n2=t，则原方程化为（t+1）（t-1）=80，整理得t2-1=80，t2=81，∴t=±9，
∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2=9.
上面这种方法称为换元法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
【解决问题】（1）若a，b满足等式（a2+b2）（2a2+2b2-1）=3，求3a2+3b2-1的值；
解：（1）设a2+b2=m，则原方程化为m（2m-1）=3，
整理得2m2-m=3，解得m=或m=-1，
∵a2+b2≥0，∴a2+b2=，
∴3a2+3b2-1=3×-1=.
（2）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
（2）解：设最小的正整数为x，
由题意得x（x+1）（x+2）（x+3）=24，
整理得（x2+3x）（x2+3x+2）=24，设x2+3x=y，
则方程化为y（y+2）=24，整理得y2+2y-24=0，
解得y1=-6，y2=4，
∵x为正整数，∴y=x2+3x=4，
解得x1=1，x2=-4<0（舍去），
故这四个连续正整数为1，2，3，4.(共37张PPT)
第一部分 数与代数
第二章 方程与不等式
第7讲　一元二次方程及应用
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
一元二次方程的解 题14，3分 题14，4分
解一元二次方程
一元二次方程根的判别式 题13，3分 题13，3分
一元二次方程的应用
◇链接教材◇人教版：九上第二十一章P1-P26　北师版：九上第二章P30-P58 2022新课标 重要变化 了解一元二次方程的根与系数的关系.（删除“*”，改为必学） 1.（2025清远二模）方程（x-1）2=4的解是（　　）
A.x1=-4，x2=5 B.x=3
C.x1=-1，x2=3 D.x=1
2.（2025青海）若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值为
　　　　.
C
3
3.（2025北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A.-4 B.-1 C.1 D.4
4.（2025广西）已知x1，x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根，则x1+x2=（　　）
A.-25 B.-20 C.20 D.25
C
C
5.（2025新疆）若关于x的一元二次方程x2-2x+a=0无实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A.a<1 B.a>1
C.a≤1 D.a≥1
B
6.（2025齐齐哈尔）解方程：x2-7x=-12.
解：整理得x2-7x+12=0，
因式分解得（x-4）（x-3）=0，∴x-4=0或x-3=0，
解得x1=4，x2=3.
7.（2025云南）某书店今年3月份盈利6 000元，5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意，下列方程正确的是（　　）
A.6 000（1+x）2=6 200 B.6 000（1-x）2=6 200
C.6 000（1+2x）=6 200 D.6 000x2=6 200
A
考点通关
一、一元二次方程的相关概念
1.概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是　　　 　，且二次项系数不为0的整式方程.
2.一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a　　　0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数.
3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫一元二次方程的　　　　.
二次（或2）
≠
根
基础对练
1.（1）若（a+1）x2-4x-1=0是关于x的一元二次方程，则a满足
　　　　；
（2）方程3x（x-1）=5（x+2）化为一般形式后的二次项的系数是
　　　 ，一次项的系数是 　 ， 常数项是　　　　.
（3）若关于的一元二次方程（m-1）x2+m2-1=0有一根为0，则m=
　　　　.
a≠-1
3
-8
-10
-1
二、一元二次方程的解法
1.基本思想：降次.
2.方法：（1）直接开平方法：（x+m）2=n（n≥0）的根是　　　 ；
（2）配方法：将ax2+bx+c=0（a≠0）化成 　 的形式，
当　　　　 　≥0时，用直接开平方法求解；
（3）公式法：ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为x= 　 ；
（4）因式分解法：将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解.
x=-m±
=
b2-4ac
（b2-4ac≥0）
2.解下列方程：
（1）x2-3x=0； （2）x2+2x-15=0.
解：x1=3，x2=0
解：x1=-5，x2=3
三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b2-4ac，记作Δ=b2-4ac.
（1）当b2-4ac>0时，方程有　　　　　　　　的实数根；
（2）当b2-4ac=0时，方程有　　　　　　　的实数根；
（3）当b2-4ac<0时，方程　　　实数根.
2.根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=　　　　，x1·x2=　　　　.
两个不相等
两个相等
无
-
3.（2025常州）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为　　　　.
4.（2025苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根，其中x1=1，则x2=　　　　.
1
-3
四、一元二次方程的应用
常见的等量关系：
平均 变化 率问题 设a为起始量，x为平均增长率或降低率，b为增长或降低后的量，则有a（1+x）2=b或a（1-x）2=b.
销售 问题 售价=标价×；利润=售价-成本；
总利润=总收入-总支出=（售价-成本）×销量；
利润率=×100%.
解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程，最后还要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义.
面积 问题 S阴影=（a-2x）（b-2x）
S阴影=（a-x）（b-x）
循环 问题 单循环问题（握手）： 参加人数为m，握手次数为　　　　 ； 双循环问题（互送礼物）： 互送人数为n，送礼次数为n（n-1）. m（m-1）
5.（1）为了满足师生的阅读需求，某校园图书馆的藏书从2022年至2024年两年内由5万册增加到7.2万册，则这两年藏书的年平均增长率为
　　　 　.
（2）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1 440元，则每箱应降价　　　　 元.
20%
3或4
（3）如图，把小圆形场地的半径增加5得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，则小圆形场地的半径=　　　　　　.
（4）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有　　　　个队参加比赛.
5+5
10
一元二次方程及其解法
1.（2025青岛模拟）若关于x的方程（m-4）x|m-2|+2x-5=0是一元二次方程，则m=　　 　　.
2.（2025深圳模拟）若x=1是一元二次方程x2-3mx+5=0的解，则m的值为（　　）
A.-1 B.0
C.1 D.2
0
D
3.用多种方法解方程：x2+2x-15=0.（提示：公式法、因式分解法、配方法）
解：公式法：a=1，b=2，c=-15，Δ=22-4×1×（-15）=64>0.
∴x=，∴x1=3，x2=-5.
因式分解法：因式分解得（x-3）（x+5）=0，
∴x1=3，x2=-5.
配方法：x2+2x=15，x2+2x+1=15+1，（x+1）2=42，
x+1=±4，∴x1=3，x2=-5.
4.（整体思想）（2025山东模拟）已知m是方程x2-x-2=0的一个根，则代数式m2-m+2 025的值为　　 　　.
2 027
一元二次方程根的判别式
5.（开放性问题）（2025佛山三模）若关于x的一元二次方程x2+2x-k+1=0没有实数根，则k的值可以是　　 　　.（写出一个即可）
-1（任一负数即可）
6.（2025天津模拟）已知关于x的一元二次方程kx2-2x-4=0有两个不等的实数根.
（1）求k的取值范围；
解：（1）由题意，
∴k>-且k≠0.
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根.
（2）∵方程有一个根为2，代入方程，
得4k-4-4=0，∴k=2，
∴方程为2x2-2x-4=0，
∴2（x-2）（x+1）=0，解得x1=2，x2=-1，
∴另一个根为-1.
7.（2025广州一模）对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算=ad-bc，例如：=3×5-2×6=3，则关于x的方程=0的根的情况为（　　）
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
B
一元二次方程根与系数的关系
8.（2025湖北）一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　）
A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3
C.x1x2=4 D.x1x2=3
D
9.（代数推理）（2025四川二模）已知关于x的一元二次方程x2-（k+2）x+2k-1=0.
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（1）证明：由题意可知，Δ=［-（k+2）］2-4×1×（2k-1）
=k2+4k+4-8k+4=k2-4k+8=（k-2）2+4≥4>0，
∴无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根.
（2）若方程的两个根为x1，x2，且满足（x1-1）（x2-1）=k2-2，求k的值.
（2）解：由题意可知，x1+x2=k+2，x1x2=2k-1.
∵（x1-1）（x2-1）=k2-2，∴x1x2-（x1+x2）+1=k2-2，
即2k-1-（k+2）+1=k2-2，解得k1=0，k2=1，
∴k的值为0或1.
10. （2025广安）已知方程x2-5x-24=0的两根分别为a和b，则代数式a2-4a+b的值为　　　 　.
29
一元二次方程的应用
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教9上P19探究） 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解： ____________________________________　 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 1分 根据题意，得1+x+x（1+x）=121， 4分 解得x1=10，x2=-12（不合题意，舍去）. 6分 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
11.（2025威海）如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20-4x）m，宽为（14-4x）m的矩形，
根据题意得（20-4x）（14-4x）=24×9，
整理得2x2-17x+8=0，解得x1=，x2=8（不符合题意，舍去）.
答：小路的宽度为 m.
12.（2024广东）若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根，则c=　　　　.
13.（2025广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是 　
　　　　 　.
14.（2024广州）定义新运算：a b=例如：-2 4=（-2）2-4=0，2 3=-2+3=1.若x 1=-，则x的值为　　　　　.
1
该方程有两个不相等的实数根
-或
15.（2025广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　）
A.2 500（1+x）2=9 100 B.2 500（1-x）2=9 100
C.2 500（1-2x）2=9 100 D.2 500（1+2x）2=9 100
A
一元二次方程的实际应用
16.中国是世界上最大的茶叶种植国，并发展出独具民族特色的茶文化.
（1）今年8月，某茶商购进一批某种茶叶，进价为121元/盒，相比6月的进价提高了21%，求6月到8月这种茶叶进价的月平均增长率；

（1）解：设6月到8月这种茶叶进价的月平均增长率为a，
6月的进价为121÷（1+21%）=100（元），
∴100×（1+a）2=121，解得a=0.1=10%.
答：6月到8月这种茶叶进价的月平均增长率为10%.
（2）销售过程中，销售价为161元/盒时，每天可售出20盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价1元，那么平均每天可多售出2盒.在更多地让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，茶商平均每天能盈利1 200元？

（2）解：设每盒茶叶降价m元，则每盒的销售利润为161-121-m=（40-m）元，平均每天的销售量为（20+2m）盒，
依题意得（40-m）（20+2m）=1 200，
整理得m2-30m+200=0，解得m1=10，m2=20，
∵需要更多地让利于顾客，∴m=20.
答：每盒茶叶降价20元时，能更多地让利于顾客，且茶商平均每天能盈利1 200元.
（3）降价销售时，能否使得每天的利润达到1 300元，若能，请求出应降价多少元；若不能，请说明理由；

（3）解：设降价n元销售时，每天能获得利润1 300元，
依题意得（40-n）（20+2n）=1 300，
整理得n2-30n+250=0，
∵Δ=302-4×1×250=-100<0，∴原方程无解.
答：无法降价销售使得每天的利润达到1 300元.
（4）茶商将购进的茶叶堆放在矩形仓库中，矩形ABCD为仓库俯视示意图，其布局如图所示.已知AD=52 m，AB=28 m，阴影部分设计为堆放区，需要铺设防潮设施，铺设防潮设施的面积为640 m2，其余部分均为宽度为x m的道路.求道路的宽.
（4）解：根据道路的宽为x m，可列方程得，
（52-2x）（28-2x）=640，
解得x1=34（不符合题意，舍去），x2=6.
答：道路的宽为6 m.(共32张PPT)
第一部分 数与代数
第二章 方程与不等式
第6讲　分式方程
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
解分式方程 题17，7分 题9，3分
分式方程的应用 题17，7分 题22（1），4分
◇链接教材◇人教版： 八上第十五章P149-P155； 八上第十八章P164-P169 北师版：八下第五章P125-P130 1.（2025甘肃）方程=1的解是x=　　　　.
2.（2025黑龙江三模）已知关于x的分式方程-2=的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A.m≤5且m≠-3　 B.m≥5且m≠-3
C.m≤5且m≠3　 D.m≥5且m≠3
-1
C
3.（2025深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　）
A.-=3 B.-=3
C.=2× D.=2×
A
4.（2025云南）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20 kg，机器人A搬运800 kg所用时间与机器人B搬运1 000 kg所用时间相等.求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料.
解：设机器人A每小时搬运x kg化工原料，则机器人B每小时搬运（x+20）kg化工原料，
根据题意得=，解得x=80，
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，∴x+20=80+20=100（kg）.
答：机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料.
考点通关
一、分式方程的有关概念
1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程；
2.增根：使分式方程的分母为　　　　的根叫做增根.
零
基础对练
1.下列方程中不是分式方程的是（　　）
A.-x=0　　 B.=1
C.=x　 D.+y=2
A
二、分式方程的解法
1.解分式方程的基本思想：将分式方程化为整式方程.
2.常用方法：①去分母法；②换元法.
3.去分母法的步骤：①去分母，将分式方程转化为整式方程；②解所得的整式方程；③求根验根.
4.换元法的步骤：①设辅助未知数；②得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代回原式中，求出原来未知数的值；④求根验根.
2.（新教材人教8上P165）解下列方程：
（1）=； （2）-1=.
解：x=9
解：无解
三、分式方程的实际应用
1.常见问题及等量关系：（1）行程问题：时间=；
（2）销售问题：单价=；（3）工程问题：工作时间=.
2.解题步骤：审题（找等量关系）→设未知数→列分式方程→解分式方程→双检验→作答.［双检验：既要检验是否为分式方程的增根（增根舍去），又要检验是否符合实际意义］
3.（新教材人教8上P173）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.求现在平均每天生产多少台机器.设现在平均每天生产x台机器，则可列方程为　　　　　　　　　.
=
分式方程及其解法
1.（2025湖南）将分式方程=去分母后得到的整式方程为（　　）
A.x+1=2x B.x+2=1
C.1=2x D.x=2（x+1）
A
2.已知关于x的分式方程+=2.
（1）若分式方程的解为x=1，则a的值为　　　　；
（2）若a为实数，且a≠2，则方程的解为　　　 　；（用含a的式子表示）
（3）若分式方程无解，则a的值为　　　 　；
（4）若分式方程有增根，则a的值为　　　 　.
-1
-　
2或1
1
分式方程的增根与无解并非同一概念.
（1）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根；
（2）分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为 0.
3.解下列分式方程：
（1）（2025杭州三模）+=2；
（1）解：去分母得x-3-1=2x-4，
解得x=0，经检验，x=0是分式方程的解.
∴分式方程的解为x=0.
（2）（2025浙江）-=0.
（2）解：方程两边同时乘（x+1）（x-1），
得3（x-1）-（x+1）=0，
去括号，得3x-3-x-1=0，解得x=2，
检验：把x=2代入（x+1）（x-1）≠0，
∴分式方程的解为x=2.
分式方程的应用
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8上P152例题） 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 解： __________________________________________　 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的. 1分 根据题意，得+×=1， 3分 解得x=1. 5分 检验：当x=1时，2x≠0， 6分 所以原分式方程的解为x=1. 答：乙队单独施工1个月可以完成总工程，所以乙队的施工速度快. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
4.（2025常州改编）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍，则浇水方式改进后平均每天用水　　　　吨.
1
5.（2025广州）智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘.
（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%.求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
解：（1）用智能机器人采摘的成本是（1-30%）a=70%a（元）.
（2）若要采摘4 000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍.求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.
（2）解：设一个工人每天可采摘该种水果x千克，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果5x千克，
根据题意，得-=1，解得x=200，
经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意，
∴5x=5×200=1 000（千克）.
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1 000千克.
6.（双含参问题）（2025四川模拟）若关于x的分式方程=-2的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A.6 B.9 C.11 D.14
C
7.（新定义问题）（2025杭州模拟）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆b=.例如：1☆3==-2，则方程（-2）☆x=1的解是（　　）
A.x=1 B.x=3 C.x=-3 D.x=-1
C
8.（2024广东）方程=的解是（　　）
A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9
D
9.（2025广东）在解分式方程=-2时，小李的解法如下：
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.
第一步：·（x-2）=-·（x-2）-2，
第二步：1-x=-1-2，
第三步：-x=-1-2-1，
第四步：x=4.
第五步：检验：当x=4时，x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4.
解：小李的解法中，第一步是去分母.
去分母的依据是：等式的基本性质.
小李的解答过程不正确，正确的解答过程如下：
去分母，得·（x-2）=-·（x-2）-2（x-2），
整理，得1-x=-1-2x+4，移项并合并，得x=2.
检验：当x=2时，x-2=0.
∴原分式方程无解.
10.（2023广东）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12 km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度.
解：设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h，
由题意得-=，解得x=12.
经检验，x=12是原分式方程的解，且符合题意.
答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h.
分式方程的实际应用
11.为了在旅游中途中更自由地享受风景，自驾游成为越来越多家庭的选择.小明一家最近恰计划购置新车，同时计划外出自驾游.
（1）小明爸爸经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.45元.若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费；
（1）解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为（x+0.45）元，
根据题意，得=×4，解得x=0.15，
经检验，x=0.15是原方程的解，且符合题意.
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.15元.
（2）最终小明爸爸决定购买电动汽车.国庆期间，小明一家开车从甲市前往乙市旅游，导航系统推荐了两条路线，路线一的路程为240千米，路线二的路程为270千米.汽车在路线二上行驶的平均时速是路线一上平均时速的1.5倍，且路线二的用时比路线一少1个小时.分别求汽车在路线一和路线二上行驶的平均时速；

（2）解：设在路线一上行驶的平均时速为y千米/时，则在路线二上行驶的平均时速为1.5y千米/时，
根据题意有-=1，解得y=60，
经检验，y=60是原方程的解，且符合题意.
∴1.5y=60×1.5=90（千米/时）.
答：在路线一上行驶的平均时速为60千米/时，在路线二上行驶的平均时速为90千米/时.
（3）到达目的地后，小明和爸爸开始搭建帐篷.爸爸单独搭建需要30分钟完成，如果小明与爸爸共同搭建15分钟后，爸爸需要去帮妈妈整理行李，剩余工作由小明单独继续搭建15分钟才能完成.假设两人的搭建效率为常量，求小明单独搭建帐篷需要多少分钟？

（3）解：设小明单独搭建帐篷需要m分钟，
依题意得15+15·=1，解得m=60，
经检验，m=60是原方程的解，且符合题意.
答：小明单独搭建帐篷需要60分钟.(共42张PPT)
第一部分 数与代数
第二章 方程与不等式
第8讲　不等式与不等式组
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
不等式的性质
解一元一次不等式
解一元一次不等式组 题12，3分 题8，3分 题16，8分 题18，6分
一元一次不等式的应用 题14，3分
◇链接教材◇人教版： 七下第九章P113-P133； 七下第十一章P120-P145 北师版：八下第二章P37-P49，P54-P60 1.（2025广州模拟）若aA.a+3>b+3 B.a-3>b-3 C.< D.-3a<-3b
2.（2025吉林）不等式x-3>2的解集为（　　）
A.x>5 B.x<5 C.x>-1 D.x<-1
C
A
3.（2025福建）不等式x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是（　　）
C
4.（2025长春）下列不等式组无解的是（　　）
A. B. C. D.
B
5.（2025广东模拟）进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次/min）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为
　　　 .
100≤x≤120
6.（2025常州）解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
解：解第一个不等式，得x≥-2，
解第二个不等式，得x<0，
故原不等式组的解集为-2≤x<0，
在数轴上表示其解集如下图所示：
考点通关
一、不等式及其基本性质
1.定义：用不等号（如：“>”“<”“≥”“≤”“≠”）连接而成的数学式子叫做不等式.
2.不等式的基本性质：
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即若a>b，则　　　　　　　；
a±c>b±c
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即若a>b，c>0，则ac　　　　bc，　　　 ；
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即若a>b，c<0，则　　　 　　　.
3.（新教材人教7下新增）关于不等式的两个基本事实：
（1）交换不等式的两边，不等号的方向改变：如果a>b，那么b（2）不等关系可以传递：如果a>b，b>c，那么a>c.
>
>
ac基础对练
1.（新教材人教7下P125）已知p>q，用“>”或“<”填空：
（1）p-2　　　　q-2；
（2）p+　　　　q+；
（3）-5p　　　　-5q；
（4）　　　 .
2.若不等式（m-1）x>（m-1）两边同除以（m-1），得x<1，则m的取值范围为　　　 　.
>
>
<
>
m<1
二、一元一次不等式的概念及解法
1.定义：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.
2.解不等式：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求解不等式解集的过程叫作解不等式.
3.解法步骤：试根据以下示例填写相应步骤的依据.
不等式的基本性质1
乘法分配律
不等式的基本性质2或基本性质3
3.（新教材人教7下P128）直接写出下列不等式的解集：
（1）x+2>6；
（2）2x<-8；
（3）x-2>0.1；
（4）-3x<10.
x>4
x<-4
x>2.1
x>-
4.（新教材北师8下P61）解不等式：-x+1>7x-3，并将解集表示在数轴上.
解：解不等式-x+1>7x-3，解得x<，
将解集表示在数轴上如下：
三、一元一次不等式组的概念及解法
1.定义：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
2.解集：组成一元一次不等式组的各个不等式的解集的公共部分，称为这个一元一次不等式组的解集.
3.解一元一次不等式组：先求出各个不等式的解集，再确定其公共部分，即为原不等式组的解集.
4.借助数轴，熟练掌握以下四种基本的不等式组的解集.（其中a不等式组 解集 图示 口诀
x≥b 大大取大
　　 　 小小取小
　　 　 大小小大中间找
无解 大大小小解不了
x≤a
a≤x≤b
注意：在数轴上表示解集时，用空心圈（○）表示不包含该点，用实心点（●）表示包含该点.
5.解不等式组：并在数轴上表示解集.
解：解不等式组，得1在数轴上表示解集如下：
6.（新教材人教7下P141）x取哪些整数值时，2≤3x-7<8成立？
解：解不等式2≤3x-7，得x≥3.
解不等式3x-7<8，得x<5.
∴不等式组的解集为3≤x<5，
∴x可取的整数值是3，4.
四、一元一次不等式（组）的实际应用
1.列不等式（组）解应用题的基本步骤：审题→设未知数→列不等式→解不等式（组）→检验→作答.
2.常见的关键词与不等号的对应表：
常见关键词 不等号 常见关键词 不等号
大于，多于，超过，高于 > 至少，不低于，不小于，不少于 　
小于，少于，不足，低于 < 至多，不高于，不大于，不超过 　
≥
≤
3.易错点提示：
（1）找错不等关系：注意根据关键词区分“≤”和“<”，“≥”和“>”.
（2）计算过程出错：去分母、移项、合并同类项都要正确处理正负号.
（3）忽略实际意义：求出解集后，应考虑未知数（如人数、物品数）应为非负整数等实际情况.
7.（新教材人教7下P141）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本.这些书有多少本？共有多少名同学？
解：设共有x名同学，则这些书有（3x+8）本，
根据题意得，解得5∵x为正整数，∴x=6，
∴3x+8=3×6+8=26（本）.
答：这些书有26本，共有6名同学.
不等式的性质
1.（2025广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a>b.都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　）
A.a+c>b+c B.a+c=b+c
C.a+cA
2.（开放性问题）（2025河南模拟）已知x+a，写出符合题意的a的一个值：　　　 　.
-1（答案不唯一）
解一元一次不等式
3.（2025苏州二模）不等式21-5x>4的非负整数解有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
4.（2025福建二模）解不等式：-1≤，并把它的解集表示在数轴上.
解：∵-1≤，∴2（x+1）-6≤3（2-x），
∴2x+2-6≤6-3x，∴2x+3x≤6-2+6，
∴5x≤10，∴x≤2，
其解集在数轴上表示如下：
5. （2025广州二模）若关于x，y的方程组的解满足3x+2y>7，则m的最小整数解为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
C
解一元一次不等式组
6.（2025广州）解不等式组并在数轴上表示解集.
解：，
解不等式①，得x≥0.5，
解不等式②，得x<4，
故原不等式组的解集为0.5≤x<4，
在数轴上表示其解集如下图所示：
7. （2025内江）对于x，y定义了一种新运算G，规定G（x，y）=x+3y.若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　　　　 　　.
-17≤P<-7
【解答】∵G（x，y）=x+3y，
∴关于a的不等式组，
即为，
∴解不等式①得a≤1，解不等式②得a>.
∵不等式组有3个整数解，∴整数解为-1，0，1，
∴-2≤<-1，
∴-17≤P<-7.
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教7下P129例题） x取哪些整数值时，不等式5x+2>3（x-1）与x-1≤7-x都成立？ 解： ___________________________________　 解：由题意得 解不等式①，得x>-， 2分 解不等式②，得x≤4， 4分 所以不等式组的解集为-< x≤ 4， 5分 所以x可取的整数值为-2，-1，0，1，2，3，4. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
一元一次不等式（组）的应用
8.（2025宜宾）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　）
A.14道 B.13道 C.12道 D.11道
C
9.（2025湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.
（1）求A种材料和B种材料的单价；
解：（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x-3）元，
由题意得4x=6（x-3），解得x=9，∴x-3=6（元）.
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元.
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
（2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50-m）件，
由题意得9m+6（50-m）≤360，
解得m≤20.
答：最多能购买A种材料20件.
10.（2023广东）一元一次不等式组的解集为（　　）
A.-1D
11.（2024广东）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　　　 　.
x≥3
12.（2025深圳）解一元一次不等式组，并在数轴上表示.
解：由不等式①得：　　　　，由不等式②得：　　　　，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为　　　 　　　.
x≥-1
x<4
-1≤x<4
13.（2023广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打　　 　　折.
8.8
不等式（组）的实际应用
14.广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县城经济发展加快，乡村振兴取得新成效.某乡村龙眼上市，先后两次共采摘龙眼21吨.
（1）若第二次采摘龙眼的数量至少是第一次的2倍，则第二次采摘龙眼的数量至少为多少吨？
（1）解：设第二次采摘龙眼x吨，则第一次采摘龙眼（21-x）吨，
根据题意得x≥2（21-x），解得x≥14.
答：第二次采摘龙眼至少14吨.
（2）第一次卖出龙眼的价格为0.5万元/吨，因龙眼大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为0.4万元/吨，两次龙眼共卖了9万元.求两次各摘龙眼多少吨？

（2）解：设第一次摘龙眼y吨，则第二次摘龙眼（21-y）吨，
根据题意得0.5y+0.4（21-y）=9，
解得y=6，则21-6=15（吨）.
答：第一次摘龙眼6吨，第二次摘龙眼15吨.
（3）村民准备把剩下龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能采摘20吨，若1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？

（3）解：设把m吨龙眼加工成桂圆肉，则把（20-m）吨龙眼加工成龙眼干，
根据题意得0.2m×10+0.5（20-m）×3≥36，解得m≥12.
答：至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉.(共35张PPT)
第一部分 数与代数
第二章 方程与不等式
第5讲　一次方程（组）及应用
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
解一元一次方程
一元一次方程的应用
解二元一次方程组 题16（2），2分 题23（1），2分 题11，4分
二元一次方程组的应用 题19，9分
广东省卷近年中考数学考情分析 ◇链接教材◇人教版： 七上第三章P77-P112；七下第八章P87-P112； 七上第五章P110-P148；七下第十章P87-P119 北师版： 七上第五章P129-P153；八上第五章P103-P122； 七上第五章P135-P161；八上第五章P110-P127 2022新课标 重要变化 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程（改动）；理解方程解的意义（新增）.
2.掌握代入（删除）消元法和加减消元法（删除），能解二元一次方程组.
1.（2025贵州）已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为
（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
2.（2025梅州二模）某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利5%，设该服装的标价为x元，根据题意可列方程（　　）
A.0.7x-100=5%×100 B.0.7x-100=5%
C.0.7x-100=5%x D.0.7×100-x=5%x
C
A
3.（2025东莞三模）已知是关于x，y的二元一次方程mx+3y=5的一个解，则m=　 　　　.
2
4.解方程组：（1）（2025安徽三模）　
（1）解：①-②得（x+y）-=7-6，
整理得y=1，解得y=2，
将y=2代入①，得x+2=7，
解得x=5，∴原方程组的解为.
（2）（2025广州三模）
（2）解：①+②得，（3x-2y）+（x+2y）=4+4，
整理得4x=8，解得x=2，
把x=2代入①，得3×2-2y=4，解得y=1，
∴原方程组的解为.
5.（2025宁夏）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
C
考点通关
一、等式的性质
1.性质1：同加减：等式两边加（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等.符号语言：如果a=b，那么a+c=b+c（或a-c=b-c），应用在解方程的移项中；
2.性质2：同乘除：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.符号语言：若a=b，则am=bm，应用在去分母；若a=b，则=（d≠0），应用在系数化为1.
基础对练
1.下列判断正确的是（　　）
A.若a=b，则a-2=b+2
B.若=，则2a=3b
C.若a=b，则=
D.若ac=bc，则a=b
C
二、一元一次方程及其解法
1.方程的定义：含有未知数的等式叫作方程.使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.求解方程的过程叫作解方程.
2.一元一次方程：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1的方程，其一般形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）.
3.解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；
④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.
2.（新教材人教7上P115）判断方程的解：x=2　　　方程2x-3=5的解；x=4　　　方程2x-3=5的解.（填“是”或“不是”）
3.解方程：-2=.
不是
是
解：x=6
三、二元一次方程组及其解法
1.定义：方程组含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，这样的方程组叫作二元一次方程组.形如：
2.二元一次方程组的解法：
基本思想：消元思想，二元 一元.
（1）用代入法解二元一次方程组：当方程组中某个方程中的未知数的系数为1或-1时，选用代人法解方程组更简单；
（2）用加减法解二元一次方程组：当方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减法解方程组更简单.
4.（新教材北师8上P119）解下列方程组：（1）
（2）
解：
3.*三元一次组方程及其解法：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的思路相同.
（3）
解：
四、一次方程（组）的应用
1.解题步骤：审清题意→找等量关系→设未知数→列方程（组）→解方程（组）→检验→作答.
2.应用题的常见类型：
（1）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；
（2）销售问题：总售价=单价×数量，销售价=标价×折扣，利润=售价-进价；利润率=×100%；
（3）行程问题：路程=速度×时间；其中，相遇问题：s甲+s乙=s总；
追及问题：（同地异时）前者走的路程=追者走的路程；
（异地同时）前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程；
（4）航行问题：v顺=v静+v水；v逆=v静-v水；
（5）数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字（以此类推）.
5.（新教材人教7下P104）某运输公司有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5 t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35 t.3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？
解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
依题意得，解得，
∴3x+5y=3×4+5×2.5=24.5.
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨.
一元一次方程及其应用
1.（2025湖南模拟）已知xm-1-6=0是关于x的一元一次方程，则m的值是　　　　.
2.（2025烟台）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为（　　）
A.350元 B.320元 C.270元 D.220元
2
A
3.（2025西安模拟）某文具店计划用1 000元购进甲、乙两种笔记本共300本，已知甲、乙两种笔记本的进价分别为3元/本、5元/本，求购进甲、乙两种笔记本各多少本？
解：设购进甲种笔记本x本，则购进乙种笔记本（300-x）本，
根据题意得3x+5（300-x）=1 000，解得x=250，
∴300-x=300-250=50（本）.
答：购进甲种笔记本250本，乙种笔记本50本.
4.（传统文化）（2025陕西三模）中国刺绣，被誉为针尖上的千年国粹.某刺绣工作室接到一个刺绣订单，王师傅单独完成这幅刺绣需要8天，李师傅单独完成这幅刺绣需要6天，现由王师傅先做1天，再由两人合作完成，问：还需几天可以完成这幅刺绣？（列方程解答）
解：设还需x天可以完成这幅刺绣，
由题意可得+=1，解得x=3，
即还需3天可以完成这幅刺绣.
答：还需3天可以完成这幅刺绣.
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（北师7上P146例题） 某商场将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%.已知这种商品的进价为1 800元，那么这种商品的原价是多少？ 解：________________________________ 　 解：设这种商品的原价是x元， 1分 根据题意，得=10%， 4分 解得x=2 475. 6分 答：这种商品的原价是2 475元. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
二元一次方程组及其应用
5.（2025东莞二模）方程组的解为　　　　 　.
【解答】，
由①×3+②，得16x=16，解得x=1③，
把③代入②，得1-3y=10，解得y=-3，
故原方程组的解是.
6.（2025西安模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y=1，则k的值为（　　）
A.0 B.1 C.2 D.-1
B
7.（2025吉林）吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.
解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，
根据题意得，解得.
答：该游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒.
8.（2025深圳）若关于x的方程x+a=5的解为x=1，则a=　　　　.
9.（2024广州）某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（　　）
A.1.2x+1 100=35 060 B.1.2x-1 100=35 060
C.1.2（x+1 100）=35 060 D.x-1 100=35 060×1.2
4
A
10.（2024深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
A
11.（2025贵州模拟）已知关于x的方程=x+与方程=3x-2的解相等，则m2-2m+5的值为　　　　.
12.（2025湖北一模）解方程组时，小强正确解得而小刚只看错了c，解得那么当x=-1时，ax2+bx+c的值为
　　　　.
5
2
13.（新教材人教7上P58数学活动改编）（运算能力、推理能力）我国古代的《洛书》中记载一个幻方问题——九宫图.将数字1—9分别填入表格中，使得每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值是　　　　.
6
14.（人教7下P98拓广探索改编）（运算能力、几何直观、应用意识）小明在解答七年级下册教材中一道拓广探索题时遇到了困难，这道题是这样的：一个长方形的长减少5 cm，宽增加2 cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，这个长方形的长、宽各是多少？
（1）如图，设长方形的长是x cm，宽是y cm，小明列出了三个不同的方程组：①②③
以上方程组中，能正确反映题意的有　　　　　（填序号）；
①②③
（2）小明在（1）中列出的方程组，根据目前知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了.请你写出小明列出的二元一次方程组，并解决问题.
（2）解：由题意得，解得.
答：长方形的长是 cm，宽是 cm.

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