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(共22张PPT)
第二部分　图形与几何
第六章　圆
微专题8　三大求阴影部分面积方法（运算能力）
方法解读
方法一　公式法
　　所求面积的图形是一个规则图形，如三角形、特殊四边形、扇形等，可直接利用面积公式进行求解.
S阴影=S△ABE=S ABCD　　　　　S阴影=S扇形MEN
对点训练
1.（2025深圳模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为　　　　.
方法二　和差法
　　所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化成多个规则图形面积的和或差进行求解.
S阴影=S△AOB-S扇形COD
S阴影=S半圆AB-S△AOB
S阴影=S△ACB-S扇形CAD
S阴影=S扇形BAD-S半圆AB
S阴影=S扇形EAF-S△ADE
2.构造和差法
S阴影=S扇形AOC+S△BOC
S阴影=S△ODC-S扇形DOE
S阴影=S扇形AOB-S△AOB
S阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD
2.（2025中山一模）如图，在正方形ABCD中，AB=1，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连接DE.则图中阴影部分的面积为　　　　.
3.（2025遵义二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，则图中阴影部分的面积为　　　　　 　.
6π-
4.（2025沧州模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=45° ，AB=AC=4，以AB为直径作☉O，交边AC于点D，交边BC于点E，则图中阴影部分的面积是　　　　 .
+　
5.（2025肇庆二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是　　　　.
方法三　割补法
　　直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解.
1.全等法
S阴影=S△AOB
S阴影=S扇形BOC
S阴影=S矩形ACDF
S阴影=S正方形PCQE
2.等面积法
S阴影=S扇形COD
3.对称法
S阴影=S△ACD
S阴影=S扇形DCE
S阴影=S扇形BOE
S阴影=S扇形ACB-S△ADC
6.（2025安徽三模）如图，AB是☉O的直径，OC=6，∠BAC=40°，则图中阴影部分的面积为　　　　.
8π
7.（2025合肥三模）如图，半径为5的☉O，直径CD垂直于AB与EF，FH⊥OB，∠OEF=54°，则图中阴影部分的面积为　　　　.
π
8.（2025成都）如图，☉O的半径为1，A，B，C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为
　　　　.
9.（2025西安四模）如图，在半径为4的半圆O中，AB为直径，C是半圆上的一点，且CA=OA，D为的中点，则图中阴影部分的面积为
　　　　　　.
-4
10.（2025西宁）如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF，再以点A为圆心，AE长为半径画弧.若AB=3，则图中阴影部分的面积是　　　　. (共33张PPT)
第二部分　图形与几何
第六章　圆
第25讲　点、线与圆的位置关系
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
切线的性质 题17，7分 题22（2），2分
切线的判定 题17（2），4分 题24（2），3分
点、线与圆的位置关系 题23（3），6分
◇链接教材◇人教版：九上第二十四章P92-P104　北师版：九下第三章P89-P96 2022新课标 重要变化 1.探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.（删除） 2.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.（新增） 1.（2025亳州一模）已知☉O的半径为5，若OP=5.5，则点P在（　　）
A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法判断
2.（2025长沙三模）已知☉O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与☉O位置关系是　　　　（选填“相离”“相切”或“相交”）.
C
相交
3.（2025河南模拟）如图，P是☉O外一点，PA与☉O相切于点A，PO=26 cm，PA=24 cm，则☉O的周长为　　　　cm.
20π
4.（2025安徽）如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P=50°，则∠PAB的大小为　　　　°.
20
5.（2025连云港二模）如图，在☉O中，AB是☉O的直径，点E在☉O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D.求证：CD是☉O的切线.
证明：连接OC，∵点C为的中点，
∴=，∴∠CAD=∠BAC，
∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，
∴∠CAD=∠ACO，∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，
∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线.
考点通关
一、点、直线与圆的位置关系
若☉O的半径为r，点到圆心O的距离为d1，直线到圆心O的距离为d2.
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 （1）点在圆外 d1>r； （2）点在圆上 d1=r； （3）点在圆内 d1相离 相切 相交
没有公共点 　　个公共点 　　个公共点
d2>r d2=r d21
2
基础对练
1.☉O的半径r=10 cm，点P到圆心O的距离为d.
（1）当d=8 cm时，点P在☉O　　　　；
（2）当d=12 cm时，点P在☉O　　　　.
2.☉O的半径是6.5 cm，如果圆心与直线l的距离为d：
（1）当d=6.5 cm时，直线l和☉O　　　　，有　　　　个公共点；
（2）当d=8 cm时，直线l和☉O　　　　，有　　　　个公共点.
内
外
相切
1
相离
0
二、切线的性质与判定
1.定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.如直线l.
2.性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
3.判定定理：经过半径的外端并且　　　　于这条半径的直线是圆的切线.
4.判定方法：（1）已知公共点，连半径，证垂直；
（2）未知公共点，作垂直，证半径.
垂直
3.（1）如图，AB是☉O的直径，AT是☉O的切线，则∠BAT的度数为
　　　　；
（2）（人教9上P98）如图，AB是☉O的直径，∠ABT=45°，AT=AB，则AT是☉O的　　　 　.
90°
切线
三、*切线长定理
1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长.
2.定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线　　 　　两条切线的夹角.
平分
4.已知☉O的半径为4 cm，点P和圆心O的距离为9 cm.过点P画☉O的两条切线，则这两条切线的切线长为　　　 　.
cm
四、三角形的内切圆
1.定义：与三角形各边都相切的圆.
2.圆心O：三角形的内心，即三角形三条　　　 　　　的交点.
3.性质：三角形的内心到三角形　　　　　的距离相等.
4.角度关系：如图，∠BOC=90°+∠BAC.
角平分线
三条边
5.（人教9上P103）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.求∠ABC的内切圆半径r.
解：设内切圆的半径为r.
∵S△ABC=ab=（a+b+c）·r，
∴r=.
点、直线与圆的位置关系
1.（2025云南）已知☉O的半径为5 cm.若点P在☉O上，则点P到圆心O的距离为　　　　cm.
2.（2025厦门二模）已知直线l与☉O相交，圆心O到直线l的距离为5 cm，则☉O的半径可能为　　　 　cm.（只写一个）
5
6（答案不唯一，大于5的数均可）
3. （2025深圳模拟）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（　　）
A.A，B，C都不在
B.只有B
C.只有A，C
D.A，B，C
D
切线的性质与判定
4. （2025株洲模拟）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为　　　 　.
56°
5.（2025湖南）如图，△ABC的顶点A，C在☉O上，圆心O在边AB上，∠ACB=120°，BC与☉O相切于点C，连接OC.
（1）求∠ACO的度数；
（1）解：∵BC与☉O相切于点C，
∴OC⊥CB，∴∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠ACB-∠OCB=120°-90°=30°.
（2）求证：AC=BC.
（2）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-120°-30°=30°，
∴∠A=∠B，∴AC=BC.
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教9上P98例1）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与☉O相切于点D，求证：AC是☉O的切线. 证明： 证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA. 1分 ∵☉O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB， 3分 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， 4分 ∴OE=OD， 5分 即OE是☉O的半径， 6分 ∴AC是☉O的切线. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
6.（2025山东）如图，在△OAB中，点A在☉O上，边OB交☉O于点C，AD⊥OB于点D，AC是∠BAD的平分线.
（1）求证：AB为☉O的切线；
（1）证明：∵AD⊥OB于点D，∴∠ADB=90°，
∵AC是∠BAD的平分线，∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC，∠OCA=∠B+∠BAC，
∴∠OAD+∠BAC=∠B+∠BAC，∴∠OAD=∠B，
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，
∵OA是☉O的半径，且OA⊥AB， ∴AB为☉O的切线.
（2）若☉O的半径为2，∠AOB=45°，求CB的长.
（2）解：∵∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴∠B=∠AOB=45°，∴AB=OA，
∵☉O的半径为2，∴AB=OA=OC=2，
∴OB==OA=2，
∴CB=OB-OC=2-2.
7.（2025广东）如图，点O是Rt△ABC的斜边AC边上的一点，以OA为半径的☉O与边BC相切于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：连接OD，
∵☉O与边BC相切于点D，∴OD⊥BC，
∵∠ABC=90°，∴OD∥AB，∴∠ODA=∠BAD，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，
∴∠BAD=∠OAD，∴AD平分∠BAC.
8.（2023深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图：①过点A作切线AC，且AC=4（点C在A的上方）；②连接OC，交☉O于点D；③连接BD，与AC交于点E.
（1）求证：DB为☉O的切线；
解：如图.
（1）连接OB，∵AC是☉O的切线，
∴∠OAC=90°，∴OC==5，
由题意得OD=OA=3，OB=OC=5，∠AOC=∠DOB，
∴△AOC≌△DOB（SAS），∴∠ODB=∠OAC=90°，
∵OD是☉O的半径，∴DB为☉O的切线.
（2）求AE的长度.
（2）∵∠CDE=∠CAO=90°，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAO，∴=，
即=，解得CE=2.5，
∴AE=AC-CE=4-2.5=1.5.
9.（跨学科融合）（2025北京）如图，☉O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角）的大小为　　　　°.
43
10.（2025天津）已知AB与☉O相切于点C，OA=OB，∠AOB=80°，OB与☉O相交于点D，E为☉O上一点.
（1）如图1，求∠CED的大小；
解：（1）连接OC，
∵AB与☉O相切于点C，∴OC⊥AB，
∵OA=OB，∠AOB=80°，
∴∠COB=∠COA=∠AOB=40°，
∴∠CED=∠COB=20°.
（2）如图2，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与☉O相交于点G，若☉O的半径为3，求ED和EG的长.

（2）连接OC，
∵DG是☉O的直径，☉O的半径为3，
∴∠DEG=90°，DG=6，
∵EC∥OA，∴∠EFG=∠AOB=80°，
由（1）得∠CED=20°，
∴∠EDG=∠EFG-∠CED=60°，
∴∠G=90°-∠EDG=30°，∴ED=DG=3，
∴EG===3.
11.（北师9下P106数学理解改编）（几何直观、空间观念、模型观念）如图，等边三角形OAB的边长为8，点P沿O→A→B→O的方向运动，☉P的半径是，☉P运动一圈与△OAB的边相切　　　　次，其中与边AB相切时，点P的坐标为　　　　　　　　 .
6
（6，0），（3，3）
12.（人教9上P125拓广探索改编）（几何直观、模型观念、运算能力）如图，☉O的直径AB=12 cm，AM和BN是它的两条切线，DC与☉O相切于点E，并与AM，BN分别交于D，C两点.设AD=m，BC=n，若m，n是方程2x2-30x+a=0的两个根，求a的值.
解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AD，BC分别是☉O的切线，
∴∠OAD=∠OBF=90°.
又∵DF⊥BC，∴四边形ABFD为矩形.
∴DF=AB=12 cm，BF=AD.
∵AD，BC，DC分别为☉O的切线，
∴DE=AD=m，CE=BC=n，CF=n-m，
∴DC=m+n.由勾股定理得DC2=DF2+CF2，
即（m+n）2=122+（n-m）2，整理得mn=36.
∵m，n是方程2x2-30x+a=0的两个根，
∴mn==36，∴a=72.(共45张PPT)
第二部分　图形与几何
第六章　圆
第24讲　圆的基本性质
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
弦、弧、圆心角的关系
垂径定理与推论
圆心角、圆周角的 定理与推论 题9，3分 题22（1）（2）， 8分 题7，3分
◇链接教材◇人教版：九上第二十四章P79-P91　北师版：九下第三章P65-P88 2022新课标 重要变化 1.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.（删除*，改为必学） 2.知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等.（新增） 1.（2025江西模拟）已知AB是☉O的弦，若☉O的半径为6 cm，则弦AB的长不可能为（　　）
A.13 cm B.12 cm C.10 cm D.6 cm
A
2.（2025宜宾）如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8，OC=5，则OD的长是（　　）
A.3 B.2
C.6 D.
A
3.（2025新疆）如图，CD是☉O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，则∠BOC=（　　）
A.30° B.45° C.60° D.75°
C
4.（2025重庆）如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB=100°，∠C的度数是（　　）
A.40° B.50° C.80° D.100°
B
5.（2025青海）如图，AB是☉O的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数是（　　）
A.80° B.50° C.40° D.25°
B
6.（2025东莞三模）如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠B=82°，则∠D=　　　　°.
98
考点通关
一、圆的定义及有关概念
1.定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆，圆既是轴对称图形也是中心对称图形，如图的☉O，其中定点O为圆心，定长OA为半径.
2.圆的有关概念：（1）等圆：能够重合的圆；
（2）弦：圆上任意两点间的线段，如图中的AC，AB，BC；
直径：　　　　 　的弦（直径是圆中最长的弦），如图中的AB；
（3）弧：圆上两点间的部分，如图的，；
半圆：直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都是半圆；
优弧：　　　　半圆的弧，如图的，；
劣弧：　　　　半圆的弧，如图的，；
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧；
经过圆心
大于
小于
（4）圆心角：顶点在　　　　上的角，如图中的∠AOC，∠COB；
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如图中的∠BAC.
圆心
基础对练
1.（1）（人教9上P88练习）判断下列图形是不是圆周角，是的打，不是的打 .
（　　）　　（　　）　　（　　）
×
×
（2）下列语句中正确的是（　　）
A.直径是经过圆心的直线
B.经过圆心的线段是半径
C.半圆是弧
D.弦是直径
C
二、垂径定理及其推论
1.定理：垂直于弦的　　　　平分弦，并且　　　　弦所对的两条弧.
几何语言：
∵直径CD⊥AB，∴AE=BE，=，=.
直径
平分
2.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且　　　　弦所对的两条弧.
几何语言：
∵AE=BE，CD是☉O的直径，交AB于点E，
∴AB⊥CD，=，=.
平分
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且　　　　弦所对的两条弧.
几何语言：
∵AE=BE，CD⊥AB于点E，
∴CD是☉O的直径，=，=.
3.推论2：圆的两条平行弦所夹的　　　　相等.
4.注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的作辅助线的方法.
平分
弧
2.（1）如图，在☉O中，弦AB的长为4 cm，圆心O到AB的距离为OE=1.5 cm，则☉O的半径为　　　 　；
2.5 cm
（2）（人教9上P83练习）如图，在☉O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，则四边形ADOE是
　　　　形.
正方
三、弧，弦，圆心角定理及其推论
1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的　　　　相等，所对的
　　　　也相等.
几何语言：∵∠AOB=∠A'OB'，
∴=，AB=A'B’.
2.推论：在同圆或等圆中，两个　　　　　、两条弧、两条　　　　中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
弧
弦
圆心角
弦
3.（人教9上P85练习）如图，AB，CD是☉O的两条弦.
（1）如果AB=CD，那么　　 　　，∠AOB=∠COD；
（2）如果∠AOB=∠COD，那么　　 　　，　　 　　；
（3）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为点E，F，那么OE
　　　　OF.
=
=
AB=CD
=
四、圆周角定理及其推论
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　　　　. 几何语言： ∵=，∴∠ACB=∠AOB.
推论1 同弧或等弧所对的　　　 　相等. 几何语言： ∵=，∴∠ACB=∠ADB=∠AEB.
一半
圆周角
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是　　　，90°的圆周角所对的弦是圆的　　　　. 几何语言： ∵BC是☉O的直径，∴∠A=90°. ∵圆周角∠A=90°，∴BC是☉O的直径.
推论3 圆内接四边形的对角　　　　. 几何语言： ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
90°
直径
互补
4.（1）如图，在☉O中，∠BOD=68°，则∠A=　　　　，∠C=
　　　　；
34°
146°
（2）如图，☉O的直径AB=15 cm，C为☉O上的一点，∠A=60°，则AC的长为　　　　cm.
7.5
垂径定理
1.（2025长沙）如图，AB为☉O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB=OA，AC=3，则OA的长为　　　　.
6
2. （2025江西模拟）图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分AB=20 m，C为的中点，O为圆心.
（1）求证：OC⊥AB；
（1）证明：如图，连接OC，设OC与AB交于点D，
∵C为的中点，∴=，∴AD=BD，∴OC⊥AB.
（2）经测量，C到AB的距离为2 m，求该☉O的半径.
（2）解：如图，连接OB，由题意知CD=2 m，
∵OC⊥AB，∴BD=AB=10 m，
设☉O的半径为r m，则OB=OC=r，OD=OC-CD=r-2，
又OD2+BD2=OB2，即（r-2）2+102=r2，
解得r=26（负值舍去），∴☉O的半径为26 m.
圆心角和圆周角
3.（2025清远二模）如图，将一个三角尺30° 角的顶点A放在☉O上，三角尺的两边与☉O交于B，C两点，AB经过圆心O，连接OC，则∠BOC=（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
C
4.（2025甘肃）如图，四边形ABCD内接于☉O，=，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（　　）
A.20° B.35° C.55° D.70°
C
5.（2025扬州）如图，点A，B，C在☉O上，∠BAC=50°，则∠OBC=
　　　　° .
40
6.（2025珠海一模）如图，已知AB是☉O的直径，AB=2，C，D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为　　　　.
1
7.（2025广州一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作☉O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE.
（1）求证：BD=CD；
（1）证明：∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，∴BD=CD.
（2）若AB=10，AD=6，求DE的长.
（2）解：在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，
∴BD===8，
∵BD=CD，∴BD=CD=8，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵∠B=∠E，∴∠C=∠E，∴DE=CD=8.
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教9上P87例题） 如图，☉O的直径AB为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交☉O于点D，求BC，AD，BD的长. 解： 解：连接OD.∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90° ，　 1分 在Rt△ABC中，BC===8.　3分 ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD，　 4分 ∴∠AOD=∠BOD，　 5分 ∴AD=BD，　 6分 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， 7分 ∴AD=BD=AB=×10=5. 9分 满分：9分 实得：　　　　分
8.（2025连云港一模）如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AC，OC，BC.
（1）求证：∠1=∠2；
（1）证明：∵AB是☉O的直径，CD⊥AB，
∴=，∴∠A=∠2，
又∵OA=OC，∴∠1=∠A，
∴∠1=∠2.
（2）若BE=2，CD=6，求☉O的半径长.
（2）解：∵CD⊥AB，CD=6，
∴∠CEO=90°，CE=DE=3，
设☉O的半径是r，∵BE=2，∴OE=r-2，
在Rt△OEC中，r2=（r-2）2+32，
解得r=，∴☉O的半径长为.
9.（2023广东）如图，AB是☉O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（　　）
A.20° B.40° C.50° D.80°
B
10.（2023深圳）如图，在☉O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与☉O交于点D，若∠ADC=20°，则∠BAD=　　　　°.
35
11.（跨学科融合）（2025中山一模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热.如图2，它的截面图可以近似看作是由☉O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN，若☉O的半径为25 mm，AB=36 mm，BC=14 mm，MN=30 mm，则该平底烧瓶的高度为　　　　　　.
80 mm
12.（2025西安一模）如图，△ABE的顶点A，B在☉O上，AE，BE与☉O分别交于点F，D，AC为☉O的直径，D为的中点，连接CD，DF.
（1）求∠DFE的度数；
解：（1）如图，连接AD，
∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=90°，
∵D为的中点，∴=，∴∠C=∠CAD=45°，
∵=，∴∠B=∠C=45°，
∵四边形ABDF是☉O的内接四边形，
∴∠B+∠AFD=180°∵∠AFD+∠DFE=180°，∴∠DFE=∠B=45°.
（2）若AB=4，cos E=，则AE的长为　　　　.
【提示】如图，过点A作AH⊥BE于点H，可推出△ABH为等腰直角三角形，可求得AH，然后在Rt△AEH中根据cos E=，设AE=5x，则EH=3x，利用勾股定理解得x，从而得到AE.
13.（北师9下P76知识技能改编）（运算能力、几何直观、模型观念）如图，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为　　　 　（结果保留π）.
400π
14.（人教9上P91拓广探索改编）（几何直观、推理能力、创新意识）探究活动：已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°.“追梦”小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B，C除外），小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图）.
（1）小华同学提出了问题：该弧所在圆的半径长为　　　　；
2
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图所示的弓形内部，我们记为A'，请你利用题图证明∠BA'C>30°.
（2）证明：如图，延长BA'，交圆于点H，连接CH，
∵=，∴∠BHC=∠BAC=30°，
∵∠BA'C=∠BHC+∠A'CH，
∴∠BA'C>∠BHC，即∠BA'C>30°.(共37张PPT)
第二部分　图形与几何
第六章　圆
第26讲　与圆有关的计算
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
扇形的弧长及相关计算
扇形的面积及相关计算 题9，3分 题15，3分 题13，4分
圆柱、圆锥的有关计算 题21，4分
◇链接教材◇人教版：九上第二十四章P105-P116 北师版：九下第三章P97-P102 1.（2025柳州三模）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=135°，OA=3，则的长为　　　　.
π
2.（2025长春）扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的大小是　　　　°.
3.（2025深圳二模）已知一个扇形的半径长是4 cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是　　　　cm2.
240
2π
4.（2025东莞一模）如图，点A，B，C，D都在直径为4的☉O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则阴影部分扇形的面积是　　　　.
5.（2025宿迁）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为
　　　　.
6.（2025达州）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是　　　　.
15π
4π
7.（2025成都）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为　　　　.
2
考点通关
一、圆、弧长、扇形有关的计算
1.圆：
（1）圆的周长公式：C=πd=　　　　；
（2）圆的面积公式：S=　　　　.
2πr
πr2
2.弧长与扇形：
（1）弧长公式：l=　　　　　　　　.
（2）扇形面积公式：S扇=　　 　　或S扇=　　　 　.
·2πr=
lr
基础对练
1.（1）半径为6的圆的周长　　　　；
（2）面积为25π的圆心直径为　　　　.
2.（1）半径为6，圆心角为90°的扇形弧长为　　　　；
（2）一个扇形的半径是12 cm，面积是24π cm2，则扇形的圆心角的度数为　　　　.
12π
10
3π
60°
二、与圆柱、圆锥的有关计算
1.圆柱：
（1）侧面积：侧面展开图的形状是　　　　，圆柱侧面积S=　　　；
（2）全面积：S全=S侧+2S底=　　　　　　　；
（3）圆柱的体积：V=　　　　 　　　.
矩形
2πrh
2πrh+2πr2
S底h=πr2h
2.圆锥：（1）圆锥的侧面积：侧面展开图的形状是　　　　，圆锥侧面积S=　　　　；
（2）圆锥的全面积：S全=S侧+S底=　　　 　　；
（3）圆锥的体积：V=　　 　　　　　.
扇形
πrl
πrl+πr2
S底h=πr2h
3.（1）若圆柱底面半径为，高为12，则圆柱的侧面积是　　 　　；
（2）圆锥的底面直径是40 cm，母线长为50 cm，则它的侧面积是
　　　　 ，全面积是 　 ；
（3）如图（单位：m），“粮仓”的容积为　　　 　m3.
48
1 000 cm2
1 400 cm2
π
三、正多边形与圆
1.定义：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形.
2.有关概念：（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径；
（2）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
3.相关计算：正n边形的内角和=　　　 　　　；
正n边形的每个内角的度数=　　　　　 　；
正多边形的周长=边长×边数；
正多边形的面积=×周长×边心距.
（n-2）·180°
4.如图是一个半径为5的正六边形，它的周长是　　　 　，面积是
　　 　　.
30
扇形的弧长和面积计算
1.（2025湖南）如图，北京市的某处A位于北纬40°（即∠AOC=40°），东经116°，三沙市海域的某处B位于北纬15°（即∠BOC=15°），东经116°.设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　）
A.πR千米　 B.πR千米　
C.πR千米　 D.πR千米
C
2.（2025绥化）在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是（　　）
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
A
3.（2025青海）如图，线段AB经过圆心O，交☉O于点A，C，AD为☉O的弦，连接BD，∠A=∠B=30°.
（1）求证：直线BD是☉O的切线；
（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA.
∵∠A=∠B=30°，∴∠BOD=2∠A=60°，
∴∠ODB=180°-∠B-∠BOD=90°，∴BD⊥OD，
∵OD是☉O的半径，
∴直线BD是☉O的切线.
（2）已知BC=2，求的长（结果保留π）.
（2）解：∵∠ODB=90°，∠B=30°，OD=OC，
∴OB=2OD=2OC，
∵BC=OB-OC=2OC-OC=OC，且BC=2，
∴OC=2，
∵∠COD=60°，
∴==，∴的长是.
4.（2025东莞二模）已知扇形的半径为9 cm，弧长为6π cm，则此扇形的面积是　　　 　　.
5.（2025山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.2π-4 B.4π-4
C.8π-8 D.4π-8
27π cm2
D
6.（2025广西模拟）如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD=30°，OD=4.
（1）求证：△BCE≌△ODE；
（2）求图中阴影部分的面积.
（1）证明：由条件可知CE=DE，∠OED=90°.
∵∠BCD=30°，∴∠DOE=2∠BCD=60°，
∴∠ODE=90°-60°=30°，∴∠BCE=∠ODE，
∵∠BEC=∠OED=90°，∴△BCE≌△ODE（ASA）.
（2）解：S阴影=S扇形ODB-S△ODE+S△BCE=S扇形ODB==.
圆柱体和圆锥体的侧面积
7.（2025广安）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（　　）
A. B.
C. D.5
A
8.（2025潍坊）如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为　　　　.
8π
9. （2025宜宾模拟改编）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8 cm，圆柱体部分的高BC=6 cm，圆锥体部分的高CD=3 cm，求这个陀螺的表面积.
解：∵圆锥体部分的底面圆的直径为8 cm，高为3 cm，
∴母线长为5 cm，
∴陀螺的表面积=π×4×5+π×42+8π×6=84π（cm2）.
正多边形和圆
10.（2025宿迁）如图，正五边形ABCDE内接于☉O，连接AC，则∠ACD的度数为　　　　°.
72
11.（2025潮州二模）如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为6，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为　　　 　（结果保留π）.
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教9上P116综合运用、北师9下P107问题解决） 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120° ，AB的长为30 cm，扇面BD的长为20 cm.求扇面的面积. 解： 解：∵AB=30 cm，BD=20 cm， ∴AD=AB-BD=30-20=10（cm），2分 ∴扇面的面积为 S扇面=-　 3分 =-　 5分 = =（cm2）. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
12.（2024深圳）如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF，BC=AB，O为BC中点，OE=AB=4，则扇形EOF的面积为　　　　.
4π
13.（2024广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（　　）
A.π B.π
C.2π D.π
D
14.（2023广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，0），B（0，2），所在圆的圆心为O.将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）.
（1）点D的坐标是　　　 　，所在圆的圆心坐标是　　　　；
（5，2）
（5，0）
（2）在图中画出，并连接AC，BD；
（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长.（结果保留π）
解：（2）如图，AC，BD，即为所求.
（3）和长度相等，
均为×2πr=π×2=π，而BD=AC=5，
则封闭图形的周长=++2BD=2π+10.
答案图
15.（2025苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为　　 　m.（结果保留π）
40π
16.（2025韶关二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以点C为圆心，AC为半径画弧，交BC于点E，以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是
　　　　.
8-2π
17.（北师9下P68知识技能改编）（抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、应用意识）如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（小羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是　　　　　　.
π m2
18.（人教9上P109综合运用改编）（运算能力、推理能力、创新思维）用48 m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有正三角形、正方形，正六边形、圆几种设计方案，　　 　　场地的面积最大.
圆形

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