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(共14张PPT)
第二部分　图形与几何
第七章　尺规作图及图形变换
微专题9　旋转构造全等、相似（思维能力）
类型一：旋转构造全等
1.在△ABC中，∠ACB=30°.
（1）如图1，AB=AC=2，求BC的长；
（2）如图2，AB=AC，点P是△ABC内一点，且PA=2，PB=，PC=3，求∠APC的度数.
解题思路：（1）作垂线，运用等腰三角形的性质及勾股定理即解决问题；（2）运用“手拉手”模型的思路，将△ABP绕点A逆时针旋转120°，再运用勾股定理逆定理解决问题.
解：（1）如图1，取BC的中点D，连接AD，
∵AB=AC=2，∴AD⊥BC，DB=DC=BC，
又∵∠C=30°，∴在Rt△ADC中，AD=AC=1，
∴DC==，∴BC=2DC=2.
（2）∵AB=AC，∠ACB=30°，∴∠ABC=30°，∴∠BAC=120°，
如图2，把△ABP绕点A逆时针旋转120°，使点B落在点C处，点P落在点Q处，连接PQ.
∴PA=QA=2，PB=QC=，
又∵∠PAQ=120°，∴由（1）可得PQ=2，
∵PQ2+PC2=（2）2+32=21，QC2=（）2=21，
即PQ2+PC2=QC2，
∴△PQC是直角三角形，∠QPC=90°，
又∵∠APQ=30°，∴∠APC=∠APQ+∠QPC=120°.
2.在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点P为平面内一点.
（1）如图1，当点P在边BC上时，且满足∠APC=120°，求的值；
（2）如图2，当点P在△ABC的外部，且满足∠APC+∠BPC=90°，求证：BP=AP.
解题思路：（1）通过角度计算，将线段转化到直角三角形中；（2）思路同第1题，旋转构造全等，将线段AP绕点A顺时针旋转120°得到线段AQ，得出AP与PQ的关系，再推理证明得出PQ与BP的关系，即可解决问题.
（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.
又∵∠APC=120°，∴∠PAC=30°，∠BAP=90°.
设AP=PC=a，则BP=2AP=2a，∴=2.
（2）证明：将AP绕点A顺时针旋转120°至AQ，连接PQ，BQ，
∴△APQ是顶角为120°的等腰三角形，易得PQ=AP，∠APQ=30°.
在△ABQ和△ACP中，∵AB=AC，∠BAQ=∠CAP，AQ=AP，
∴△ABQ≌△ACP（SAS），∴∠AQB=∠APC，
∴设∠APC=∠AQB=α，∴∠BPA=90°-α-α=90°-2α，
∴∠BPQ=∠BPA+∠APQ=90°-2α+30°=120°-2α，
又∵∠PQB=30°+α，
∴∠PBQ=180°-（120°-2α）-（30°+α）=30°+α，
∴∠PQB=∠PBQ，∴PB=PQ=AP.
类型二：旋转构造相似
3.如图1，在钝角△ABC中，∠ABC=30° ，AC=4，点D为边AB的中点，点E为边BC的中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α°（0≤α≤180）.
（1）如图2，当0<α<180时，连接AD，CE.求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图3，直线CE，AD交于点G.在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数.
解题思路：（1）利用两边成比例且夹角相等证明相似；（2）由△BDA∽△BEC得出角的关系，再由三角形内角和定理推理即可.
（1）证明：∵点D，E分别为边AB，BC的中点，∴DE∥AC，
∴=，∴=，
∵∠DBE=∠ABC，∠ABE为公共角，
∴∠DBA=∠EBC，∴△BDA∽△BEC.
（2）解：∠AGC的大小不发生变化，∠AGC=30°.
设AB交CG于点O.
∵△BDA∽△BEC，∴∠DAB=∠ECB，
∵∠DAB+∠AOG+∠AGC=180°，
∠ECB+∠COB+∠ABC=180°，∠AOG=∠COB，
∴∠AGC=∠ABC=30°.
4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°.
（1）如图1，点D为AB上一点，AD=，DB=4，∠DCE=90°，∠CDE=60°，点M为DE的中点，求BM的长；
（2）如图2，点D为△ABC内一点，AD=，CD=2，∠ADC=120°，求DB的长.
解题思路：（1）连接BE，构造相似，再用直角三角形斜边中线的性质即可求解；（2）在CD右侧构造∠DCE=90° ，再运用（1）中的思路证明△DBE是直角三角形.
解：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，
∴△ACB∽△DCE，∴=，∴=，
又∵∠ACD+∠DCB=90°，∠BCE+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=60°，==，
∴BE=AD=3， ∵∠CBA=90°-∠CAB=30°，
∴∠EBD=∠CBA+∠CBE=90°，∴DE==5.
∵点M为DE的中点，∠EBD=90°，∴BM=DE=.
（2）如图2，在CD右侧作∠DCE=90°，延长AD交CE于点E，连接BE.
∵∠ADC=120°，∴∠CDE=60°，
∴∠CED=30°，∴DE=2CD=4，∴CE=2.
由（1）得易证△ACD∽△BCE，
∴∠CEB=∠CDA=120°，==，
∴BE=AD=3，
∵∠DEB=∠CEB-∠CED=120°-30°=90°，
∴△DBE是直角三角形，∴DB==5.(共40张PPT)
第二部分　图形与几何
第七章　尺规作图及图形变换
第29讲　图形的轴对称、平移和旋转
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
轴对称图形、 中心对称图形 题2，3分 题2，3分 题22，1分
图形的折叠 题23，5分
图形的平移 题6，3分
图形的旋转 题22，5分 题23，2分
最短路线问题 题17，4分
◇链接教材◇人教版： 七下第五章P28-P30，第七章P75-P82；八上第十三章P58-P74，P85-P93；九上第二十三章P58-P77； 七下第六章P26-P30，第九章P74-P78；八上第十五章P62-P77 北师版： 七下第五章P114-P134；八上第三章P68-P70；八下第三章P64-P90； 七下第一章P121-P135，八上第三章P68-P73 1.（跨学科融合）（2025新疆）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　）
C
2.（2025北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（　　）
D
3.（2025南通）如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF.若BC=6，EC=4，则平移的距离为（　　）
A.2
B.4
C.6
D.8
A
4.（2025山东三模）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　）
C
5.（2025大庆）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠CBA=120°.将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为（　　）
A.2
B.4
C.3
D.6
B
考点通关
一、轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴 把一个图形绕着某一个点旋 °，如果旋转后的的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心
图形
180
基础对练
1.如图，该轴对称图形有　　　　条对称轴.
2.①平行四边形、②矩形、③等边三角形、④线段、⑤菱形.上述图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　　　　（填序号）.
4
②④⑤
二、轴对称与中心对称
（成）轴对称 （成）中心对称
图形
性质 对应线段　　　　，对应角相等，两个图形全等 ①对称轴是对应点所连线段的　　　　　 ；②两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵标不变，横坐标互为相反数 ①对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心所　　　　；
②关于坐标原点中心对称的两个点的横、纵坐标均与原坐标互为相反数
折叠 折叠的实质是轴对称变换.折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积都分别相等，折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分. 相等
垂直平分线
平分
3.如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=2，AB=3，∠BAC=90°，则AE的长是　　　　.
5
4.如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若∠EFB=60°，则∠AED=　　　　.
75°
三、图形的平移
1.定义：在平面内，将某个图形沿某个　　　　移动一定的　　　　，这样的图形运动称为平移.
2.特征：（1）平移前后图形　　　　；（2）对应线段相等且平行（或在同一直线上），各组对应点的连线　　　　且　　　；（3）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等.
3.用坐标表示平移：点（x，y）向右（或向左）平移a个单位长度，可得到对应点　　　　 　 ；将点（x，y）向上（或向下）平移b个单位，可得对应点　　　　 　.
方向
距离
全等
平行
相等
（x±a，y） 　
（x，y±b）
5.（2022广东）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（　　）
A.（3，1）
B.（-1，1）
C.（1，3）
D.（1，-1）
A
四、图形的旋转
1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一定角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.
2.性质：（1）旋转前后图形　　　　；
（2）对应点到旋转中心的距离　　　　；
（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于　　　　.
全等
相等
旋转角
6.如图，在Rt△ABC中，∠A=50°，点D在斜边AB上.若△ABC经过旋转后与△EBD重合，则这一旋转的旋转中心为点　　　　，旋转角度数是　　　　.
B
40°
图形的轴对称
1.（传统文化）（2025甘肃一模）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（-4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（　　）
A.（-4，-2） B.（4，-2）
C.（4，2） D.（-2，-4）
C
2. （2025福建模拟）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于BD所在的直线对称（四边形ABCD中，AB>AD），AC与BD相交于点O，BD⊥AC，且AO=OC，则下列推断不正确的是（　　）
A.AD=CD
B.△ABD≌△CBD
C.∠ABD=∠CBD
D.△ABC是等边三角形
D
3. （2025哈尔滨一模）图1，图2，图3均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C，D均在格点上.
（1）在图1中，四边形ABCD面积为2；
（2）在图2中，四边形ABCD面积为3；
（3）在图3中，四边形ABCD面积为4.
解：（1）如图1，四边形ABCD即为所求.
（2）如图2，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.
（3）如图3，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.
4.（2025大连模拟）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF.求证：EB=FG.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD，
由折叠可得，∠A=∠ECG，
∴∠BCD=∠ECG，∴∠ECB=∠FCG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，AD=BC，
由折叠可得，∠D=∠G，AD=GC，
∴∠B=∠G，BC=GC，
又∵∠ECB=∠FCG，
∴△EBC≌△FGC（ASA），∴EB=FG.
图形的平移
5.（2025辽宁模拟）点M（1，-2），N（-3，4）按照一个方向平移后，点M的对应点的坐标是（3，2），则点N的对应点是　　　 　.
（-1，8）
6. （2025西安一模）如图，已知△ABC的面积为6，BC=4.现将△ABC沿直线BC向右平移a个单位长度到△DEF的位置.当△ABC扫过的面积为18时，a的值为　　　　.
4
图形的旋转
7.（2025陕西一模）如图，在△AED中，AE=8，将△AED绕点A逆时针旋转60°得到△ABC，则△ABE的面积为（　　）
A.8
B.16
C.24
D.16
D
8.（2025山西）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为　　　　 　.
（3，3）
9.（2025广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90° ，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为点E，F.点E落在BA上，连接AF.
（1）若∠BAC=40°，求∠BAF的度数；
解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，
∴∠ABC=50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠FBE=∠ABC=50°，AB=FB，
∴∠BAF=∠BFA=×（180°-50°）=65°.
（2）若AC=8，BC=6，求AF的长.
（2）解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE=BC=6，EF=AC=8，
∴AE=AB-BE=10-6=4，
∴AF===4.
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教9上P63拓广探索） 以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90° ，得到点B，求点B的坐标（作图并说明）. 解： 解：如图，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，　 1分 ∵A（4，5）， ∴OC=4，AC=5， 2分 ∵点A（4，5）绕原点逆时针旋转90° 得到点B， ∴OA=OB，且∠AOB=90° ，　 4分 ∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90° ， ∴∠BOD=∠CAO，　 5分 在△AOC和△OBD中， ∴△AOC≌△OBD（AAS），　 7分 ∴OD=AC=5，BD=OC=4，　 8分 ∴B（-5，4）.　 9分 满分：9分 实得：　　　　分
10.（2024广东）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
C
11.（2023广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为
（　　）
A
12.（2025深圳）如图，将无人机沿着x轴向右平移3个单位，若无人机上一点P的坐标为（1，2），则平移后对应点P'的坐标为　　　　.
（4，2）
13.（2025南宁二模改编）【背景】在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3 cm，AC=DF=4 cm.将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD
（如图2），当点F与点C重合时停止平移.
【思考】（1）图2中的四边形ABDE的形状是　　　　 　　；
平行四边形
【发现】（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3），求AF的长；
【探究】（3）当纸片DEF平移时，△AED能否是等腰三角形？若能，直接写出AF的长；若不能，请说明理由.
解：（2）连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，∴OA=OD=OB=OE，
设AF=x，则OA=OE=（x+4），
∴OF=OA-AF=2-x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2=OE2，
∴+32=（x+4）2，解得x=，∴AF= cm.
（3）△AED能是等腰三角形，AF的长为1 cm或4 cm.
14.（2025黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是
1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为
A（2，-1），B（1，-3），C（3，-4）.
（1）将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90° 后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作.
由图可得，点C1的坐标为（4，1）.
（2）如图，△A2B2C2即为所求作.
由图可得，点C2的坐标为（-1，4）.
（3）在（2）的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长（结果保留π）.
（3）由勾股定理得，OC1==，
∴点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长为=π.
15.（新教材北师7下P136例题改编）（几何直观、模型观念、应用意识、创新意识）如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，若以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，5），则从A，B两点到奶站距离之和的最小值为　　　　.
10
16.（人教9上P77拓广探索改编）（几何直观、推理能力）如图，（1）中的梯形可以经过旋转和轴对称变换形成（2）中的图案，有下列结
论：①AD=BC；②AD=CD；③∠A=60°；④AB=2CD.其中正确的是
　　　　 　（填序号）.
①②③④(共41张PPT)
第二部分　图形与几何
第七章　尺规作图及图形变换
第28讲　视图与投影
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
三视图 题4，3分
侧面展开图 题6，3分
◇链接教材◇人教版： 七上第四章P114-P124；九下第二十九章P86-P111； 七上第六章P156-P161 北师版： 七上第一章P1-P21；九上第五章P124-P147； 七上第一章P1-P21 1.（2025安徽模拟）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图是（　　）
C
2.（2025武汉）如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）
D
3.（2025福建）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1.云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌.如图2为其示意图，它的主视图是（　　）
A
4.（2025云南）下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.正方体 B.长方体
C.圆锥 D.圆柱
D
5.（2025安徽）“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（　　）
A
6.（2025河北三模）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①号位置
B.②号位置
C.③号位置
D.④号位置
B
7.（2025通辽二模）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC.若这棵树高AB=3 m，树影BC=4 m，树与路灯的水平距离BP=5 m，则路灯的高度OP为（　　）
A. m B. m
C. m D.6 m
B
8.（2025山东二模）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件的体积为（　　）cm3.
A.17π
B.20π
C.36π
D.68π
A
考点通关
一、三视图
1.定义
（1）主视图：从正面看到的图形，称为主视图；
（2）左视图：从左面看到的图形，称为左视图；
（3）俯视图：从上面看到的图形，称为俯视图.
2.三视图的关系
主视图反映物体的长和高；左视图反映物体的宽和高；俯视图反映物体的长和宽，因此三视图有如下对应关系：
（1）长对正：主视图与俯视图的长度相等，且相互对正；
（2）高平齐：主视图与左视图的高度相等，且相互平齐；
（3）宽相等：俯视图与左视图的宽度相等.
“长对正，高平齐，宽相等”，这“九字令”是绘制三视图必须遵循的对应关系.
3.常见几何体的三视图
正方体的三视图都是　　　 　；
圆柱的三视图中有两个是　　　　，另一个是　　　　；
圆锥的三视图中有两个是　　　 　　　，另一个是　　　　；
球的三视图都是　　　　.
正方形
矩形
圆
等腰三角形
圆
圆
基础对练
1.如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是
　　　　，左视图是　　　　，俯视图是　　　　（填序号）.
（1）
（2）
（3）
2.画出如图所示的几何体的主视图和左视图.
解：如图：
3.下面的四个几何体中，它们各自的主视图、左视图与俯视图都一样的是（　　）
D
二、投影
1.中心投影
（1）由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影；
（2）中心投影的投影线交于一点；
（3）投影面确定时，物体离点光源越近，影子越大；物体离点光源越远，影子越小.
2.平行投影
（1）太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做平行投影；
（2）平行投影的投影线相互平行；
（3）不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小和方向都不同；
（4）垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
4.下列投影中，不是中心投影的是（　　）
A.路灯下行人的影子
B.舞台上演员的影子
C.台灯下书本的影子
D.太阳光下旗杆的影子
5.一张正方形纸片在太阳光下的影子不可能是（　　）
A.平行四边形　　 B.矩形
C.梯形 D.线段
D
C
三、正方体展开图
将一个正方体的表面展开，可得到11种不同的展开图，如下图：
正方体的展开图找对面的方法：隔一相对，其中“一”可以是一个、一行或一列.
6.（2025四川开学）如图，为某一个正方体的表面展开图，则与“拼”字相对的一面是（　　）
A.有　　　　
B.为
C.青
D.春
B
三视图
1.（2025成都）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　）
C
2. （2025河南三模）如图，宋代白釉春夏秋冬梅瓶现为河南省博物馆馆藏文物，其腹部刻有“春夏秋冬”四字，是宋代民窑瓷器的佳品，关于这个几何体的三视图，下列说法正确的（　　）
A.主视图与左视图相同
B.左视图与俯视图相同
C.主视图与俯视图相同
D.三个视图均相同
A
3.（2025黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（　　）
A.7 B.8
C.6 D.5
A
4.（2025安徽模拟）如图是一个几何体的三视图，根据图示，请计算出该几何体的体积（结果保留π）.
解：由三视图可知该几何体是一个底面直径为8，高为13的圆柱体，
∴V=πr2h=π××13 =208π.
5. （2025广州三模）如图是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为　　　　°.
120
投影
6.（传统文化）（2025山西模拟）如图是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术.皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（　　）
A.平行投影
B.中心投影
C.既是平行投影又是中心投影
D.无法确定
B
7.（2025广西四模）下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（　　）
A
8. 如图，在地面上竖直安装着AB，CD，EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB，CD形成的影子分别为BG与DH.
（1）通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影；
解：（1）如图，光线GA，HC相交于点O，
∴此光源下形成的投影是中心投影.
（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子.
（2）如图，线段FI为立柱EF在此光源下所形成的影子.
侧面展开图
9.（2025湖南三模）如图，正方体的表面展开图上写有“新时代好少年”六个字，还原成正方体后“代”的对面的字是（　　）
A.新 B.好
C.少 D.年
D
10. （2025秦皇岛模拟）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分.若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO1为，则其侧面展开图的面积为
　　　.
3π
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教9下P99例题） 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图（如图）.请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积（图中尺寸单位：mm）. 解： 解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱. 1分 密封罐的高为50 mm， 底面正六边形的直径为100 mm，边长为50 mm. 2分 S=6S长方形+2　 3分 =6× 50× 50+2× 6× × 50× 50× sin 60° 5分 =（15 000+7 500 ）（mm2）. 6分 故制作每个密封罐所需钢板的面积为（15 000+7 500）mm2.　 7分 满分：7分 实得：　　　　分
11.（2025广东）如图是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）
C
12.（2025青海二模）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为　　　 　cm2.
16π
13.（2025苏州三模）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC，若tan B=，∠C=45°，求左视图的面积.
解：如图，作AD⊥BC于点D，
设AD=x，∵∠C=45°，∴CD=AD=x，
∵tan B=，∴=，∴BD=3x，
∴BC=BD+DC=4x=4，∴x=1，∴AD=1，
∴左视图的面积是2×1=2.
14.如图，小琳同学在晚上由路灯A走向路灯B.当她行到P处时，发现她在路灯B下的影长为2 m，且影子末端恰好位于路灯A的正下方，接着她又走了6.5 m到Q处，此时她在路灯A下的影子末端恰好位于路灯B的正下方.已知小琳身高1.8 m，路灯B高9 m，则路灯A的高度为　　　　m.
12
15.（北师9上P145知识技能改编）（几何直观、空间观念）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的俯视图是（　　）
C
16.（人教9下P109复习巩固、P111拓广探索改编）（运算能力、几何直观、空间观念）（1）如图是一个组合几何体的两种视图，这个组合几何体是由　　　　和　　　 　两种几何体组成的；
（2）根据两种视图中的尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的体积（结果保留π）.
圆柱
长方体
解：（2）体积=8×5×2+π××6=（80+24π）（cm3）.(共44张PPT)
第二部分　图形与几何
第七章　尺规作图及图形变换
第27讲　尺规作图
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作一个角的平分线 题17（1），3分
作线段的垂直平分线（中点）
作已知直线的垂线 题19（1），4分
作已知线段的黄金分割点 题23（2），4分
广东省卷近年中考数学考情分析 ◇链接教材◇人教版： 七上第四章P126-P128；八上第十二章P36-P42，P48-P52，第十三章P62-P63；九上第二十四章P107； 七上第六章P164-P166；八上第十四章P39-P41、P48-P49，第十五章P67-P68　北师版： 七上第四章P111-P113；七下第二章P55-P57，第四章P105-P107，第五章P124-P127，八下第一章P25；九下第三章P98-P99； 七上第四章P114-P115；七下第二章P44-P46、第四章P98-P109、第五章P128-P135 2022新课标 重要变化 1.能用尺规作图：作一条线段等于已知线段.（移至小学阶段学习）
2.能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.（新增）
3.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.（新增、选学）
1.（2025深圳模拟）下列选项的尺规作图，能推出AD=BD的是（　　）
D
2.（2024自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB.若∠A=40°，则∠MBN=（　　）
A.40° B.50°
C.60° D.140°
A
3.（2025陕西）如图，已知∠AOB=50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP=25°，且CP∥OB（保留作图痕迹，不写作法）.
解：如图，点P即为所求作.（先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P）
4.（2025山西模拟）如图，已知△ABC，AD是边BC上的中线，DE⊥AB，垂足为点E.
（1）求作：射线DF，使DF⊥AC，垂足为点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（1）解：如图，射线DF即为所求作.
（2）在（1）得到的图形中，若BE=CF，求证：△ABC是等腰三角形.
（2）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.
∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD.
∵BE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C，∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
5.（2025江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）.
（1）在图1中作出BC的中点；
（2）在图2中作出△ABC的重心.
解：（1）如图1，点D即为所求.
（2）如图2，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O，则点O即为所求.
考点通关
一、五种基本尺规作图
1.作一条线段等于已知线段
作法：①作射线AB；②在射线AB上截取AC=a，则线段AC就是所求作的线段.作一条线段等于已知线段是作有关线段的基础，利用它可以作出已知线段的和、差、倍等线段.
2.作一个角等于已知角
作法：①作射线O'A'；②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；③以O'为圆心，以OC的长为半径画弧，交O'A'于点C'；④以C'为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D'；⑤过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角.
3.作一个角的平分线
作法：①在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.
4.作线段的垂直平分线（过一点作已知线段的中线（或中点））
作法：①分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
5.过一点作已知直线的垂线
不论点在已知直线上，还是在已知直线外，都可以利用线段垂直平分线的作法作出.
基础对练
1.尺规作图：作线段AC=a.
解：线段AC即为所求作.
2.尺规作图：作∠A'O'B'=∠AOB.
解：如图，∠A'O'B'即为所求作.
3.尺规作图：作∠AOB的平分线OC.
解：如图，OC即为所求作.
4.尺规作图：作线段AB的垂直平分线CD.
解：如图，直线CD即为所求作.
5.如图，已知直线AB和AB外一点C，求作AB的垂线，使它经过点C.
解：如图，CF即为所求作.
二、其他作图
1.【课标新增】（1）平行线：过直线外一点作这条直线的平行线；
（2）切线：过圆外一点作圆的切线.
2.三角形：
（1）已知三边、两边及其夹角、两边及其夹边作三角形；
（2）已知底边及底边上的高线作等腰三角形；
（3）已知一直角边和斜边作直角三角形.
6.如图，D为△ABC中BC边上一点.过D点作AC的平行线，交AB于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）.
解：如图，DE即为所求作.
基本作图
1.（2025河南模拟）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AP是∠BAC的平分线的是（　　）
A.①② B.①③ C.①④ D.①②③
B
2.（2025揭阳一模）如图，∠O=35°，观察尺规作图的痕迹，∠ABC的度数为　　　 　.
70°
3.（2025浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，∠α=67°，依据尺规作图的痕迹，∠ACB的度数为 .
68°
4. （2025东莞二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，垂足为点D，交AC于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（1）解：如图，DE为所求作.
（2）应用与证明：在（1）的条件下，求证：DE=EC.
（2）证明：如图，连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，ED⊥AB，
∴∠EBD=∠A=30°，
∵∠ABC=90°-∠A=60°，
∴∠ABC=2∠EBD，
∴BE平分∠ABC，
∵EC⊥BC，ED⊥BA，
∴ED=EC.
利用基本作图过直线外一点作这条直线的平行线（课标新增）
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8上P50练习改编） 如图，已知∠AOB，点C是OB上一点. （1）过点C作直线MN∥OA； （2）在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹） 解： 解：（1）如图，直线MN为所作. 4分 （2）如图，点P为所作. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
5.（2025周口三模）如图，在△ABC中，点M是AB的中点.按图中所示尺规作图，则下列结论不一定成立的是（　　）
A.∠AMN=∠B　
B.∠MNC+∠C=180°
C.AN=CN　
D.AB=2MN
D
6. （2025吉林二模）如图，在△ABC中，AB=AC，射线AM∥BC.
（1）请利用圆规和无刻度直尺作∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE∥AB交AM于点E；
（1）解：如图，AD，DE即为所求作.
（2）连接CE，求证：四边形ADCE是矩形.
（2）证明：如图，连接CE，
∵DE∥AB，AM∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=DC，AD⊥BC，∴AE=DC，∠ADC=90°，
又AM∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，
又∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形.
利用基本作图作三角形
7.（2025青岛）已知：如图，D是∠AOB内部一点.
求作：等腰△COE，使点C，E分别在射线OA，OB上，且底边CE经过点D.
解：如图，△COE即为所求作.
利用基本作图作圆
8. （2025深圳三模）如图1，点D为☉O上一点，点C在直径BA的延长线上.
（1）请你添加一个条件：　　　 　　　　，使得直线CD与☉O相切；
∠CDA=∠ABD（答案不唯一）
（2）如图2，PA，PB是圆的切线，点A，B为切点，求作：这个圆的圆心O（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）.
（2）如图，圆心O即为所求作.
在网格中作图
9.（2025长春）图1、图2、图3均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上.
（1）在图1中，△ABC是面积最大的等腰三角形；
（2）在图2中，△ABC是面积最大的直角三角形；
（3）在图3中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形.
解：（1）如图1，△ABC即为所求作.
（2）如图2，△ABC即为所求作.
（3）如图3，△ABC即为所求作.
10.（2025深圳节选）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由.
解：由题意，作图如下，DF即为所示.
11.（2024广东）如图，在△ABC中，∠C=90°.
（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（1）解：如图，AD即为所求作.
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作☉D.求证：AB与☉D相切.
（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=CD，∴DE为☉D的半径，
∴AB与☉D相切.
12.（2023广东）如图，在 ABCD中，∠DAB=30°.
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；
解：（1）如图，DE即为所求作.
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD=4，AB=6，求BE的长.
（2）∵cos∠DAB=，
∴AE=AD·cos 30°=4×=2，
∴BE=AB-AE=6-2.
13.（2025河北模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=13 cm，AC=5 cm.
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点M（保留作图痕迹，不写作法）；
解：（1）如图，BM即为所求作.
（2）求AM的长.
（2）由勾股定理可得，BC===12（cm），
如图，过点M作MN⊥AB于点N，则MC=MN，
∵S△ABC=AC·BC=CM·BC+AB·MN，
即×5×12=CM·12+×13·MN，
整理得6CM+CM=30，解得CM= cm，
∴AM=AC-CM=5-=（cm）.
14.（新教材北师7下P106知识技能改编）（几何直观、应用意识、创新意识）如图，直线y=（x+1）分别与x轴、y轴相交于A，B两点，等边△ABC的顶点C在第二象限.
（1）在所给图中，按尺规作图要求，求作等边△ABC（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若一次函数y=kx+b的图象经过A，C两点，则k+b的值为　　　　.
-2
（1）解：如图，等边△ABC即为所求作.
15.（新教材人教8上P59拓广探索改编）（几何直观、模型观念、应用意识）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）.
解：如图，点P即为发射塔的位置.

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