资源简介

(共44张PPT)
第一部分 数与代数
第三章　函　数
第11讲　反比例函数
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
反比例函数的图象和性质 题9，3分 题21
求反比例函数的解析式
反比例函数与一次函数 题21（1），4分
反比例函数与几何图形 题23，6分 题23，14分
反比例函数的实际应用 题13，3分
◇链接教材◇人教版：九下第二十六章P1-P22　　北师版：九上第六章P148-P162 1.（2025云南）若点（1，2）在反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象上，则k=（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.（2025兰州）若点A（2，y1）与B（-2，y2）在反比例函数y=的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A.y1y2 D.y1≥y2
B
C
3.（2025武汉）在平面直角坐标系中，某反比例函数y=的图象分别位于第一、三象限.写出一个满足条件的k的值是　　 　　.
4.（跨学科融合）（2025辽宁）在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系.当R=4时，I=5，则电流I与电阻R之间的函数表达式为I=　　 　　.
1（答案不唯一）
5.（2025深圳）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y=ax与反比例函数y=相交于点A和点B.若A的横坐标为1，则B的坐标为
　　　　　 　.
（-1，-1）
6.（2025乐山）如图，一次函数y=x-1的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A（m，1），B（-1，n）.
（1）求m，n的值和反比例函数的解析式；
解：（1）∵点A（m，1），B（-1，n）在一次函数y=x-1的图象上，
∴1=m-1，n=-1-1=-2，解得m=2，n=-2，
∴A（2，1），B（-1，-2），k=2，
∴反比例函数的解析式为y=.
（2）若在x轴上存在点P（a，0），使得△ABP的面积为6，求a的值.
（2）如图，由一次函数y=x-1可得C（1，0），则PC=|1-a|，
∴S△ABP=S△ACP+S△BCP=×|1-a|×1+×|1-a|×2=6，解得a=-3或5.
考点通关
一、反比例函数的定义
如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=（k为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.
基础对练
1.下列式子表示y是x的反比例函数的是　　 　　（填序号）.
①xy=1；②y=6x+1；③y=；④y=x2-1，⑤y=-；⑥3=.
①③⑤
二、反比例函数的图象和性质
表达式 y=（k≠0，k为常数） k的符号 k>0 k<0
图象（草图）
所在象限 第　　　 　象限（x，y同号） 第　　　　象限（x，y异号）
增减性 在每个象限内，y随x的增大 而　　　 在每个象限内，y随x的增大
而　　　
对称性 关于原点成中心对称；关于直线y=x，y=-x成轴对称 一、三
二、四
减小
增大
2.关于反比例函数y=，下列结论正确的是（　　）
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D.图象经过点（a，a+2），则a=1
C
三、反比例函数中k的几何意义
1.几何意义：过反比例函数y=（k≠0）图象上任一点P（x，y）作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，则所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=　　　　.
|k|
2.k的几何意义的变形
（1）S阴影=　　　；　（2）S阴影=　　　；　（3）S阴影=　　　.
|k|
2|k|
3.如图，A是反比例函数y=（k≠0，x<0）的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，连接AO，已知△ABO的面积为5，那么k=　　　　.
-10
4.如图，已知反比例函数y=的图象经过面积为8的矩形ABOC的顶点A，则k的值为　　　　.
-6
四、反比例函数的解析式的确定
1.待定系数法：设所求反比例函数解析式为y=（k≠0）；找出图象上的一点P（a，b）；将点P的坐标代入y=中，得k=ab，即可确定反比例函数的解析式.
2.根据反比例函数中k的几何意义确定k值，确定反比例函数的解析式.
5.若点（2，4）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则该函数的解析式为　　　 　.
6.已知点A（2，m），B（m-1，1）均在某一反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 　 .
y=
y=-
反比例函数的图象和性质
1.（1）（2025福建）若函数y=图象过点（-2，1），则常数k=　　 .
（2）（2025广州）若|k|=-k（k≠0），则反比例函数y=的图象在
（　　）
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
-2
C　
（3）（2025甘肃）已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，如果y1>y2，那么k=　　　 　（请写出一个符合条件的k值）.
（4）（2025天津）若点A（-3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=-的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A.y16（答案不唯一）
D
（5） （2025陕西）如图，过原点的直线与反比例函数y=（k>0）的图象交于A（m，n），B（m-6，n-6）两点，则k的值为　　　　.
9
【解答】（5）∵过原点的直线与反比例函数y=（k>0）的图象交于A（m，n），B（m-6，n-6）两点，∴A（m，n），B（m-6，n-6）两点关于原点O对称，∴-m=m-6，-n=n-6，∴m=3，n=3，∴A（3，3），把A（3，3）代入y=，得3=，解得k=9.
2.（2025广州二模）关于x的函数y=kx-k和y=（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A
确定反比例函数的解析式
3.（2025合肥二模）如图，已知点A在反比例函数y=图象上，AB⊥x轴，垂足为点B，若S△AOB=1，则k的值为（　　）
A.-2 B.-4
C.-6 D.2
C
4.（2025江西三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数y=（x>0）的图象上，已知点A（2，0），C（0，4）.
（1）求k的值；
解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（2，0），C（0，4），∴OA=2，OC=4，∴B（2，4），
∵B（2，4）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×4=8.
（2）连接AC，BO交于点D，将矩形OABC向右平移m个单位长度得到矩形O'A'B'C'，平移后点D的对应点D'在反比例函数y=（x>0）的图象上，求m的值.
（2）∵A（2，0），C（0，4），D是AC的中点，∴D（1，2），
∵点D向右平移m个单位长度得到的点D'在反比例函数y=的图象上，
∴D'（1+m，2），∴2（1+m）=8，解得m=3.
5. （2025西安一模）如图，点A，D在反比例函数y=第一象限内的图象上，点B在y轴上，AC∥y轴，BC∥x轴，D为BC的中点.若△ABC的面积为8，则该反比例函数的表达式为　　　　　.
y=
【解答】设点D（a，b）（a>0，b>0），
由条件可知点A的横坐标为2a，B（0，b），C（2a，b），
∵点A，D在反比例函数y=，∴A，ab=k，
∵AC=b-，BC=2a，△ABC的面积为8，
∴S△ABC=AC·BC=·2a=ab-k=k-k=k=8，
∴k=16，∴该反比例函数的表达式为y=.
故答案为y=.
反比例函数的应用
6.（跨学科融合）（2025江苏二模）一定质量的二氧化碳，它的体积V（m3）与它的密度ρ（kg/m3）之间成反比例函数关系，其图象如图所示.
（1）试确定V与ρ之间的函数表达式；
解：（1）设V与ρ之间的函数表达式为V=，
把（1.5，4）代入，得k=6，
故V与ρ之间的函数表达式为V=.
（2）要使密度ρ不高于1.2 kg/m3，求V的取值范围.
（2）当ρ=1.2 kg/m3时，V==5（m3），
∵密度ρ不高于1.2 kg/m3，∴V的取值范围为V≥5.
反比例函数与一次函数、几何图形的综合运用
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（北师9上P160联系拓广） 已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是（1，3）. （1）写出这两个函数的表达式，并确定这两个函数图象的另一个交点的坐标； （2）直接写出使反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围. 解： 解：（1）把（1，3）代入正比例函数的表达式得 k1=3，　 1分 ∴y=3x.　 2分 把（1，3）代入反比例函数的表达式得k2=3，　 3分 ∴y=.　 4分 解 5分 ∴这两个函数图象的另一个交点的坐标是（-1，-3）.　 6分 （2）使反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围是x<-1或0< x< 1. 9分 满分：9分 实得：　　　　分
7.（2025广安）如图，一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=（m为常数，m≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标是（-8，1），点B的坐标是（n，-4）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
解：（1）把点A（-8，1）代入y=，
得1=，解得m=-8，∴反比例函数的解析式为y=-，
把点B（n，-4）代入y=-，得-4=-，解得n=2，
∴B（2，-4），
把A（-8，1），B（2，-4）代入y=kx+b得，
解得，∴一次函数的解析式为y=-x-3.
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式kx+b>的解集.
（2）关于x的不等式kx+b>的解集为x<-8或08.（2025兰州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x>0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C.
（1）求一次函数y=-x+b与反比例函数y=的表达式；
解：（1）将点B（8，0）的坐标代入得-×8+b=0，
解得b=4，∴一次函数的表达式为y=-x+4，
将点A（m，3）的坐标代入得3=-m+4，解得m=2，
∴A（2，3），∴k=2×3=6，∴反比例函数的表达式为y=.
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP，若△ACP的面积为6，求点P的坐标.
（2）由一次函数的表达式可知C（0，4），
由（1）知A（2，3），设点P（0，x）（x<0），
∴PC=4-x，∴S△PAC=×（4-x）×2=6，解得x=-2，
∴P（0，-2）.
9.（2023广州）已知正比例函数y1=ax的图象经过点（1，-1），反比例函数y2=的图象位于第一、第三象限，则一次函数y=ax+b的图象一定不经过（　　）
A.一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
10.（2023广东）某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为I=.当R=12 Ω时，I的值为　　　　A.
4
11.（2024深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，sin∠AOC=，且点A落在反比例函数y=（x>0）上，点B落在反比例函数y=（x>0）上，则k=　　　　.
8
12.（2025泸州）如图，一次函数y=2x+b的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（2，6）.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
解：（1）∵一次函数y=2x+b的图象经过A（2，6），
∴6=2×2+b，∴b=2，
∴一次函数的解析式为 y=2x+2；
∵反比例函数y=的图象经过A（2，6），
∴6=，∴m=12，
∴反比例函数的解析式为y=.
（2）将一次函数y=2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位长度，与反比例函数y=的图象相交于点B，C，求S△ABC的值.

（2）将一次函数y=2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位长度，与反比例函数y=的图象相交于点B，C，
∴直线BC的解析式为y=2x+2-12=2x-10，
联立，解得或，
∴点B（-1，-12），C（6，2），
如图，过点A作AT∥y轴交直线BC于点T，
∵A（2，6），∴点T的横坐标为2，
在y=2x-10中，当x=2时，y=2×2-10=-6，
∴T（2，-6），∴AT=6-（-6）=12，
∴S△ABC=S△ABT+S△ACT
=×12×［2-（-1）］+×12×（6-2）
=18+24=42.
13.（人教9下P9综合运用改编）（模型观念、应用意识）正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点的纵坐标是2.
（1）当x=3时，反比例函数的值为　　　　；
（2）当-3（3）关于x的不等式x<<0的解集为　　　　　　.
-4x<-2
14.（北师9上P162联系拓广改编）（运算能力、空间观念、应用意识）已知在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（其中k≠0）与反比例函数y=（其中t≠0）的图象没有交点，试判断关于x的方程x2-ax+kt=0的根的情况并说明理由.
解：∵y=kx（其中k≠0）与y=（其中t≠0）的图象没有交点，∴k，t异号，∴kt<0，
∵关于x的方程x2-ax+kt=0的根的判别式Δ=a2-4kt，
又a2≥0，-4kt>0，∴Δ>0，
∴关于x的方程x2-ax+kt=0有两个不相等的实数根.(共24张PPT)
第一部分 数与代数
第三章　函　数
第13讲　二次函数的综合运用
01
考情分析
03
考点精练
02
课前自学
04
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
二次函数的综合运用 题18，7分 题20，9分 题10，3分 题23（3），5分 题23，12分 题25，10分
1.（2025甘肃一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（　　）
A.4米 B.3米
C.2米 D.1米
A
2.（2025盐城模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　）
A.y=60（300+20x） B.y=（60-x）（300+20x）
C.y=300（60-20x） D.y=（60-x）（300-20x）
B
3.（2025信阳三模）假设飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）满足函数关系式y=60t-t2，则着陆后经过_________　　　　
秒后，飞机停止滑行（距离最大）.
30
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准
示范题：（人教9上P36例题） 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？ 解： 解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点， ∴可设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3（0≤x≤3）.　 2分 由这段抛物线过点（3，0）， 可得0=a（3-1）2+3， 3分 解得a=-，　 4分 ∴y=-（x-1）2+3（0≤x≤3）.　 6分 当x= 0时， y=-（0-1）2+3=2.25， ∴水管应2.25 m长.　 7分
满分：7分 实得：　　　　分
几何背景综合题
1.（2025长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，-2）.动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
（1）求二次函数的解析式；
解：（1）由题意得，解得，
则二次函数的解析式为y=x2-x-2.
（2）求△BCD的面积的最大值.
（2）由点B，C的坐标得，直线BC的解析式为y=x-2，
如图，过点D作DT∥y轴交BC于点T，
设点T，则点D，
∴DT=x-2-x2+x+2=-x2+2x，
∴△BCD的面积=DT·OB=×4
=-（x-2）2+4≤4，
故△BCD的面积的最大值为4.
现实情境应用题
2. （2025陕西二模）如图1，某广场地面上有各种彩灯喷泉，喷泉从地面上的喷水口喷出，形成的水柱呈抛物线形状，其中一个喷水口O喷出水柱的最大高度为2 m，水落地时距喷水口O的水平距离为2 m，建立如图2所示的平面直角坐标系.
（1）求该喷泉形成的抛物线的函数表达式；
解：（1）∵水柱所在抛物线过原点，且水落地时距喷水口O的水平距离为2 m，
∴抛物线的对称轴为直线x==1，
∵水柱的最大高度为2 m，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）2+2，
把（0，0）代入抛物线得a+2=0，∴a=-2，
∴该喷泉形成的抛物线的函数表达式为y=-2（x-1）2+2.
（2）两位身高1.5 m的小朋友并排横向直立在该喷泉下，若他们的头顶恰好同时都碰到水柱，求此时两人之间的距离.
（2）把y=1.5代入（1）抛物线得1.5=-2（x-1）2+2，
解得x1=，x2=，
∵-=1（m），∴此时两人之间的距离为1 m.
3.（2025广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.
解：如图，建立平面直角坐标系，
则抛物线的顶点坐标为（0，0.001 5），A，
即A（0.85，0.18），
设该抛物线的表达式为y=ax2+0.001 5，
将A（0.85，0.18）代入y=ax2+0.001 5，
得0.18=0.852a+0.001 5，
变形得a=，解得a=，
∴该抛物线的表达式为y=x2+0.001 5.
4.（2023广东）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　）
A.-1 B.-2
C.-3 D.-4
B
5.（2024广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.（题中“元”为人民币）
解：设该果商定价每吨x万元时，每天的“利润”为w万元，每天的“销售收入”为y万元，
w=（x-2）［100+50（5-x）］=-50（x-4.5）2+312.5，
y=x［100+50（5-x）］=-50（x-3.5）2+612.5，
∵-50<0，∴w和y随x的增大而先增大后减小，
∴当x=4.5时，w有最大值，最大值为312.5；
当x=3.5时，y有最大值，最大值为612.5.
答：该果商定价为每吨4.5万元时，才能使每天的“利润”最大，其最大值为312.5万元；定价为每吨3.5万元时，才能使每天的“销售收入”最大，其最大值为612.5万元.
6.（2023深圳节选）如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3 m，BC=4 m，取BC的中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以点O为原点，BC所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）如图1，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
解：（1）∵AB=3 m，AD=BC=4 m，E（0，4），
∴A（-2，3），B（-2，0），C（2，0），D（2，3），
可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，
将A，D的坐标代入解析式，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4.
（2）如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75 m，求两个正方形装置的间距GM的长.
（2）设M（t，3）（其中t>0），则R，
代入解析式得3+=-+4，
解得t=（负值舍去），∴GM=2t=，
即两个正方形装置的间距GM的长为 m.
7.某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，但使用8年后生产线报废.该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y万元，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元.
（1）求a的值；
解：（1）由题意，得当x=1时，y=2，当x=2时，y=2+4=6，
分别代入y=ax2+bx，
得，解得，∴a=1.
（2）小敏同学依题意判断，这条生产线在第4年能收回投资款，并在报废前能赢利100万元.你认为这个判断正确吗？请说明理由.

（2）错误.理由如下：
设第1年到第x年的总赢利为g万元，则g=33x-100-x2-x=-x2+32x-100=-（x-16）2+156，
由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大，
故当x=3时，g=-（3-16）2+156=-13<0，
当x=4时，g=-（4-16）2+156=12>0，
即第4年可收回投资；
当x=8时，g=-（8-16）2+156=92<100，
即报废前不能赢利100万元. ∴小敏同学的判断错误.
8.（人教9上P57拓广探索、北师9下P50问题解决改编）（运算能力、模型观念、应用意识）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）：9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a=　　　　mm时，（a-9.9）2+（a-10.1）2+（a-10.0）2最小.对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）：x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x=　　　 　　mm时，（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-xn）2最小.
10.0(共50张PPT)
第一部分 数与代数
第三章　函　数
第10讲　一次函数
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
一次函数的 图象和性质 题10，3分
一次函数的解析式 （待定系数） 题23（2），1分 题16（2），5分 题20，9分 题21（2），4分
一次函数与几何 知识的结合 题23，5分 题23，2分
◇链接教材◇人教版：八下第十九章P86-P98 北师版： 八上第四章P79-P96，第五章P123-P128；八下第二章P50-P53； 八上第四章P79-P110 1.（2025上海）下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A.y=3x+1 B.y=3x2 C.y= D.y=
2.（2025广西）已知一次函数y=-x+b的图象经过点P（4，3），则b=
（　　）
A.3 B.4 C.6 D.7
D
D
3.（2025南通）已知直线y=kx+b经过第一、第二、第三象限，则k，b的取值范围是（　　）
A.k<0，b<0 B.k<0，b>0 C.k>0，b<0 D.k>0，b>0
4.（2025天津二模）将直线y=2x向上平移3个单位长度后经过点（1，m），则m的值为　　　　.
D
5
5.（2025广州二模）如图，直线l1：y1=x+1与l2：y2=kx+b相交于点A，则不等式x+1>kx+b的解集是（　　）
A.x<3 B.x<2
C.x>2 D.x>3
B
6.（2025泰州二模）如图，一次函数y=kx+（k≠0）的图象与正比例函数y=2x的图象交于点A（1，m），且与x轴交于点B.
（1）求k和m的值；
解：（1）∵一次函数y=kx+（k≠0）的图象与正比例函数y=2x的图象交于点A（1，m），∴m=k+，m=2×1=2，
∴2=k+，∴k=.
（2）若点C在x轴上，且△ABC的面积为6，求点C的坐标.
（2）令y=0，则y=x+=0，解得x=-2，∴B（-2，0），
∵S△ABC=6，A（1，2），∴BC·2=6，∴BC=6，
∴C（-8，0）或（4，0）.
考点通关
一、一次函数与正比例函数的定义与关系
1.定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.特别地，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数，k叫作比例系数.正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质.
2.位置关系：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且与直线y=kx平行的一条直线.它可以由直线y=kx平移得到.
基础对练
1.（新教材人教八下P115）下列函数中，　　　 　　是一次函数，
　　　　是正比例函数.（填序号）
①y=-8x；②y=-，③y=5x2+6；④y=2x-4；⑤C=2πr.
①④⑤
①⑤
二、一次函数的图象与性质
1.图象与性质
表达式 y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）（特别地，当b=0时，y=kx为正比例函数） 图象 （草图） k>0 k<0 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
经过的 象限 一、二、三 一、三 　 　　 　　 　 二、四 二、三、四
增减性 y随x的增大而　 　　 y随x的增大而　　 　 与坐 标轴 的交点 与x轴的交点坐标为　　　 　（即令y=0），与y轴的交点坐标为　　 　　（即令x=0） 位置 关系 已知直线l1：y1=k1x+b1，l2：y2=k2x+b2，l1∥l2 k1=k2，b1≠b2. 一、三、四
一、二、四
增大
减小
（0，b）
2.平移规律
平移前的解析式 平移方式（m>0） 平移后的解析式 规律
y=kx+b（k≠0） 向左（右）平移m个单位 y=k（x±m）+b x左加右减
向上（下）平移m个单位 y=kx+b±m 等号右边整体上加下减
2.（1）函数y=-5x的图象在第　　 　　象限内，经过点（0，　　　）与点（1，　　　　），y随x的增大而　　 　　；
（2）一次函数y=2x-2的图象经过第　　　 　　　象限，y随x的增大而
　　　　；
（3）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k　 　0，b 0.
二、四　
0
-5　
减小
一、三、四
增大
<
<　
3.已知直线y=2x+1.
（1）将其向下平移2个单位长度后，所得的直线的函数解析式为
　　　　 　　；
（2）将其向左平移2个单位长度后，所得的直线的函数解析式为
　　　　 　　.
y=2x-1
y=2（x+2）+1
三、确定一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤：
（1）由题意设出函数的关系式；
（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与函数的对应值列出关于待定系数的方程组；
（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值；
（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.
4.（1）已知正比例函数的图象经过点（1，2），则这个函数的解析式为　　　　 ；
（2）已知一次函数的图象经过点（3，0），（0，2），则这个函数的解析式为　　　 　.
y=2x　
y=-x+2
四、一次函数与方程（组）、不等式的关系
1.与一元一次方程的关系：如图1，方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点（点A）的横坐标.
2.与二元一次方程组的关系：如图2，方程组的解是一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2图象的交点（点A）的横、纵坐标的值.
3.与一元一次不等式的关系：
（1）从“数”上看：kx+b>0（kx+b<0）的解集是在函数y=kx+b中，当y>0（y<0）时x的取值范围；
（2）从“形”上看：kx+b>0（kx+b<0）的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴上方（下方）部分对应的点的横坐标的集合.
5.若一次函数y=kx+b的图象如图所示.
（1）关于x的方程kx+b=0的解为　　　 　；
（2）关于x的不等式kx+b>0的解集为　　　 　.
x=2
x>2
一次函数的图象和性质
1.（2025安徽改编）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0），请回答下列问题：
（1）若函数图象经过点M（0，3），且y随x的增大而增大，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：　　　　　 　　；
y=x+3（答案不唯一）
（2）若k=-2，且点A（-2，y1），B（0，y2）在直线y=kx+b上，则y1和y2的大小关系是（　　）
A.y1>y2　 B.y1C.y1=y2　 D.不能确定
（3）若点（k，b）在第二象限，则函数y=kx+b的图象大致是（　　）
A
D
（4） 若函数图象经过点P（0，2），且y随x的增大而增大.若点Q在该函数的图象上，则点Q的坐标可以是（　　）
A.（-2，2） B.（2，1）
C.（-1，3） D.（3，4）
D
2.（2025长沙模拟）下列有关一次函数y=2 025x-2 026的说法中，正确的是（　　）
A.y的值随着x值的增大而减小　
B.图象与y轴的交点坐标为（0，2 026）
C.当x<0时，y<-2 026　
D.图象经过第一、二、四象限
C
求一次函数的解析式
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8下P93例题） 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式. 解： 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.　 1分 因为y=kx+b的图象过点（3，5）与（-4，-9）， 所以　 3分 解方程组得　 6分 所以这个一次函数的解析式为y=2x-1. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
3.（2025玉林三模）已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（-1，3），且与y轴交点的纵坐标为2，则它的解析式为　　　　　　　.
4.（2025宁夏二模）在平面直角坐标系中，将直线y=-2x+2向左平移3个单位长度后，得到的新的直线的解析式是　　　　　　　.
y=-x+2
y=-2x-4
5. （2025广州二模）如图，直线y=x+3交y轴于点A，交x轴于点B，经过点（2，2）且平行于直线y=-2x的直线交x轴于点C，交y轴于点D，交AB于点E.
（1）直线CD的解析式为　　　　　　　；
y=-2x+6
（2）求△EBC的面积；
解：（2）由，解得，
∴E（1，4），
当y=0时，0=x+3，解得x=-3，∴B（-3，0），
当y=0时，0=-2x+6，解得x=3，∴C（3，0），∴BC=6，
∴S△EBC=×BC×yE=×6×4=12.
（3）P是直线AB上的一个动点，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点Q，若PQ=2AD，求点P的坐标.
解：（3）设P（x，x+3），则Q（x，-2x+6），
易得A（0，3），D（0，6），∴AD=3，
由PQ=2AD，得|x+3-（-2x+6）|=2×3，
解得x=3或x=-1，
∴点P的坐标为（3，6）或（-1，2）.
一次函数与方程（组）、不等式的关系
6.（2025广州二模）如图，直线y1=x与直线y2=kx+b相交于点A（m，2），则关于x的方程kx+b=2的解为　　　　.
x=4
7.（2025甘肃三模）如图，已知直线y=kx+b经过A（2，1），B（-1，-2）两点，则不等式-2-18. （2025北京一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+3（k≠0）的图象与正比例函数y=2x的图象交于点（1，m）.
（1）求一次函数的表达式；
解：（1）∵点（1，m）在正比例函数y=2x的图象上，∴m=2，
把（1，2）代入y=kx+3，得k=-1，
∴一次函数的表达式为y=-x+3.
（2）当x>1时，对于x的每一个值，一次函数y=ax+1（a≠0）的值既大于函数y=kx+3的值又大于函数y=2x的值，求出a的取值范围.
（2）解：∵对于x的每一个值，一次函数y=ax+1的值大于函数y=2x的值，
∴由a的意义和图象知a≥2，
∵当x>1时，函数y=-x+3<-1+3=2，
当a≥2，x>1时，y=ax+1≥2x+1>3>2，符合条件，
∴a的取值范围是a≥2.
一次函数的应用
9.（2025天津模拟）中国高铁运营速度处于全球领先水平.设京沪高铁列车的行驶时速为300 km/h，则其行驶路程y（单位：km）关于行驶时间x（0≤x≤4.4）（单位：h）的函数解析式为 .
y=300x
10.（跨学科融合）（2025陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表.
（1）求y与x的函数关系式；
气体温度x/℃ … 25 30 35 …
气体体积y/L … 596 606 616 …
解：（1）根据表格，气体温度升高1 ℃，气体体积增大2 L，
则y=596+2（x-25）=2x+546，
∴y与x的函数关系式为y=2x+546.
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热，求停止加热时的气体温度.
（2）解：当y=700时，得2x+546=700，解得x=77.
答：停止加热时的气体温度为77 ℃.
11. （2025河北四模）如图，某品牌滤水壶有净水区和蓄水区.给净水区加满水，净水区中的水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（不计加水时间）.已知净水区水面与蓄水区水面的距离h（cm）与水流时间t（min）的函数图象如图所示.
（1）直接写出线段AB与线段CD的位置关系；
解：（1）由图象可得，线段AB与线段CD的位置关系为互相平行.
（2）求线段AB所在直线的函数表达式；
（2）解：设线段AB所在直线的函数表达式为y=kx+b，
∵点（0，27）和点（3，9）在该函数图象上，
∴，解得，
∴线段AB所在直线的函数表达式为y=-6x+27.
（3）求净水区水面与蓄水区水面重合时t的值.
（3）解：设线段CD所在直线的函数表达式为y=-6x+d，
∵（3，21）在该函数图象上，
∴21=-6×3+d，解得d=39，
∴线段CD所在直线的函数表达式为y=-6x+39，
将y=0代入y=-6x+39得0=-6x+39，解得x=，
∴净水区水面与蓄水区水面重合时t的值为.
12.（2024广东）已知不等式kx+b<0的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是（　　）
B
13.（2025广州）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，1），点
B（-1，1），若将直线y=x向上平移d个单位长度后与线段AB有
交点，则d的取值范围是（　　）
A.-3≤d≤-1
B.1≤d≤3
C.-4≤d≤-2
D.2≤d≤4
D
14.（2023广东）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（0，1）与点（2，5），求该一次函数的表达式.
解：将（0，1）与（2，5）代入y=kx+b得
，解得，
∴该一次函数的表达式为y=2x+1.
15.（2023广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2=10x（x≥0）.
（1）求y1与x之间的函数解析式；
解：（1）当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1=kx，
把（5，75）代入得5k=75，解得k=15，∴y1=15x；
当x>5时，设y1与x之间的函数解析式为y1=mx+n，
把（5，75），（10，120）代入得
，解得，∴y1=9x+30.
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
（2）解：在甲商店购买：9x+30=600，解得x=63，
在乙商店购买：10x=600，解得x=60，
∵63>60，∴选甲商店能购买该水果更多一些.
16.（2025广州二模）已知直线y1=mx+3n-1与直线y2=（m-1）x-2n+2.
（1）如果m=-1，n=1，当x取何值时，y1>y2？
解：（1）∵m=-1，n=1，
∴y1=-x+3-1=-x+2，y2=-2x-2+2=-2x.
依题意有-x+2>-2x，解得x>-2，
故当x>-2时，y1>y2.
（2）如果两条直线相交于点A，点A的横坐标x满足-1（2）解：由y1=y2，得mx+3n-1=（m-1）x-2n+2，
解得x=-5n+3，
∵-1又∵n是整数，∴整数n的值为-1或0.
17.（北师8下P51问题解决改编）（几何直观、应用意识）甲、乙两辆摩托车同时从相距20 km的A，B两地出发，相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系.
（1）分别写出表示l1，l2所反映的函数关系式为l1：s=　　　　　，l2：s=　　　　 　；
（2）①图中l1和l2的交点P的坐标为　　　　 　；②当甲车离A地的距离大于乙车离A地的距离时，t的取值范围为　　　　 　　.
t
-40t+20
18.（人教8下P108综合运用改编）（几何直观、模型观念、应用意识、创新意识）已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）当S=12时，求点P的坐标.
解：（1）∵x+y=10，∴y=10-x，∴S=×8×（10-x）=40-4x.
∵40-4x>0，∴x<10，∴0（2）∵S=12，∴12=40-4x，解得x=7，∴y=10-7=3，
∴当S=12时，点P的坐标为（7，3）.(共41张PPT)
第一部分 数与代数
第三章　函　数
第12讲　二次函数
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
二次函数的 图象和性质 题8，3分 题10，题23（3） 题10，题12，
题22，题25
二次函数的平移 题12，4分
二次函数的解析式 （待定系数） 题15，3分 题23（3），2分 题23（1），4分
二次函数图象的 顶点坐标、对称轴 题10，1分 题23（2），2分
二次函数与一元 二次方程、不等式 （与x轴的交点坐标） 题25（1），5分
二次函数的最值 题23（2），6分 题10，3分
题22（2），4分
广东省卷近年中考数学考情分析 ◇链接教材◇人教版：九上第二十二章P27-P48 北师版：九下第二章P29-P45，P51-P55 2022新课标 重要变化 1.能用描点法（删除）画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.
2.知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.（新增）
3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.（新增）
4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系.（新增）
5.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.（删除）
1.（2025柳州模拟）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A.y=2x B.y=x2-2 C.y= D.y=-2x+1
2.（2025哈尔滨一模）二次函数y=5（x-1）2+2的顶点坐标是（　　）
A.（-1，2） B.（-1，-2） C.（1，-2） D.（1，2）
B
D
3.（2025江苏模拟）若A（-4，y1），B（-6，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A.y1C.y34.（2025上海）抛物线y=3x2向下平移2个单位长度所得的抛物线解析式为　　　　　　　.
5.（2025长春模拟）抛物线y=-2（x-1）2+m-1与x轴只有一个交点，则m=　　　　.
D
y=3x2-2　
1
6.（2025贵阳一模）如下表给出了二次函数y=x2-3x-5中x，y的部分对应值，估计一元二次方程x2-3x-5=0的一个解的范围是（　　）
A.-2B.-1C.0D.1x -2 -1 0 1 2
y 5 -1 -5 -7 -7
A
考点通关
一、二次函数的概念
概念：形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，则称y是x的二次函数，其中　　　　是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
x
基础对练
1.若关于x的函数y=（a-2）x2-x是二次函数，则a的取值范围是
　　　　.
a≠2
二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
1.二次函数的图象和性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 图象 a>0，开口向上 a<0，开口向下
对称轴及 顶点坐标 对称轴为直线x=　　　　，顶点坐标是 增减性 当x<-时，y随x的增大而减小；当x>-时，y随x的增大而　　　　，简记为左减右增 当x<-时，y随x的增大而增大；当x>-时，y随x的增大而　　　　，简记为左增右减
最值 当x=　　　 时，y有最 　　 值，y最小值= 当x=-时，y有最　　　　值，y最大值=　　　　
-
增大
减小
-
小
大
2.二次函数图象与系数a，b，c之间的关系：
（1）a，b的符号：①b=0，对称轴为y轴；②a，b同号，对称轴在y轴
　　　侧；③a，b异号，对称轴在y轴　　　侧；简记为“左同右异”.
（2）c的正负：①c=0，抛物线过原点；②c>0，抛物线与y轴交于_____　　　　
半轴；③c<0，抛物线与y轴交于　　　　半轴.
左
右
正
负
（3）b2-4ac的正负
Δ=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点
Δ=0 　　　　 　　　 　　 　　
Δ<0 　　　　 　　　 　　 　　
两个相等的实数根
一个交点
无实数根
无交点
3.二次函数图象的平移
（1）y=a（x-h）2+k是由y=ax2通过平移得来的，平移后的顶点坐标为
　　　　，二者的形状相同，位置不同.
（2）y=ax2的图象 y=a（x-h）2的图象
y=a（x-h）2+k的图象.
口诀：左加右减自变量；上加下减常数项.
（h，k）
右
左
上
下
2.（1）已知函数y=2（x+1）2+1.
①抛物线的开口向　　　　 ；
②抛物线的对称轴为 　 ；
③抛物线的顶点坐标为　　　 　；
④当x=　　　　时，抛物线有最　　　　值，最值为　　　　；
⑤当x　　　　时，y随x的增大而增大.
上
直线x=-1　
（-1，1）
-1
小
1
>-1
（2）已知函数y=-2x2+x-4.
①抛物线的开口向　　　　；
②抛物线的对称轴为 　 ；
③当x　　　　时，y随x的增大而减小.
3.（1）二次函数y=x2+x-2与x轴有　　　　个公共点；
（2）二次函数y=x2-6x+9与x轴有　　　　个公共点；
（3）二次函数y=x2-4x与x轴的交点坐标为　　　　 和　　 　　.
下
直线x=
>
两
一
（0，0）
（4，0）
4.已知二次函数y=2x2.
（1）把它的图象向左平移1个单位长度，就得到抛物线y=　　 　　；
（2）把它的图象向下平移1个单位长度，就得到抛物线y=　　　　；
（3）把它的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到抛物线y= 　 .
2（x+1）2　
2x2-1　
2（x-1）2+3
三、用待定系数法求二次函数的解析式
（1）已知抛物线上一点或两点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c待定，a≠0）；
（2）己知抛物线的顶点坐标（h，k）和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a（x-h）2+k（a待定，a≠0），对称轴为x=h；
（3）己知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，通常将函数的解析式设为交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a待定，a≠0），对称轴为x=.
5.（1）已知二次函数图象的顶点坐标是（-1，1），且经过点（1，-3），则这个二次函数的解析式为　　　　　　　　.
（2）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（1，4），则这个二次函数的解析式为　　　　　　　.
y=-（x+1）2+1
y=-x2+2x+3
四、二次函数与一元二次方程及不等式的关系
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
2.设抛物线y=ax2+bx+c（a>0）与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，其中x10的解集为　　　　　　　 ，不等式ax2+bx+c<0的解集为　　　　　　.
x>x2或xx16.已知二次函数y=x2-4x+3.
（1）方程x2-4x+3=0的解为　　　　 　　　；
（2）当x满足 　 时，函数值大于0；
（3）当x满足 　 时，函数值小于0.
x1=1，x2=3
x1<1或x2>3
1二次函数的图象和性质
1.（2025河南模拟）对于二次函数y=（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是（1，2） D.与x轴有两个交点
B
2.（2025威海）已知点（-2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y=-（x-2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1
C
3. （2025成都模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（-4，0）两点，下列说法正确的是（　　）
A.c<0
B.抛物线的对称轴是直线x=-2
C.4a-2b+c<0
D.点（-1，y1）和（-3，y2）在抛物线上，则y1>y2
D
二次函数的平移
4.（2025河源一模）把抛物线y=2x2先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A.y=2（x+3）2+4 B.y=2（x+3）2-4
C.y=2（x-3）2-4 D.y=2（x-3）2+4
A
二次函数的解析式
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（北师9下P42做一做） 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的解析式. 解： 解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 1分 ∵与y轴交点的纵坐标为1，∴c=1. 2分 把（2，5）和（-2，13）代入得 　 4分 解得　 6分 ∴二次函数的解析式为y=2x2-2x+1.　 7分 满分：7分 实得：　　　　分
5.（2025泰州模拟）二次函数y=ax2+bx-2经过点A（2，1），B（-4，-2），与y轴相交于点C.
（1）求这个二次函数的解析式；
解：（1）将点A（2，1），B（-4，-2）代入二次函数y=ax2+bx-2，得，解得，
∴这个二次函数的解析式为y=x2+x-2.
（2）求这个二次函数图象的对称轴和顶点M的坐标.
（2）∵y=x2+x-2=（x2+4x+4）-1-2=（x+2）2-3，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线x=-2，顶点M的坐标为（-2，-3）.
二次函数与一元二次方程、不等式的关系（抛物线与直线的交点）
6.（2025清远一模）如图，一次函数y1=kx+m（k>0）的图象与二次函数y2=ax2+bx+c（a>0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为-1，点B的横坐标为3.当x=1时，y1与y2的大小关系为（　　）
A.y1>y2 B.y1C.y1=y2 D.无法判断
A
7. （2025陕西一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数y=x2+2x+3m-8的图象只经过三个象限，那么m的取值范围是（　　）
A.m> B.C.≤m<3 D.m≤3
C
求二次函数的最值
8.（2025温州模拟）已知二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），（0，3）.
（1）求这个二次函数的解析式；
解：（1）把（-1，0），（0，3）分别代入y=ax2-2ax+c得，解得，
∴这个二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.
（2）当-1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m-n的值.
（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴当x=1时，y有最大值4，
当x=-1时，y=-x2+2x+3=0，
当x=2时，y=-x2+2x+3=3，
∴-1≤x≤2时，y有最小值0，
∴m=4，n=0，
∴m-n=4-0=4.
9.（2024广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y=x2的图象上，则（　　）
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
10.（2025广东）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　　　　 　　　　（写出一个即可）.
A
y=-x2+x+2（答案不唯一）
11.（2024广州）函数y1=ax2+bx+c与y2=的图象如图所示，当（　　）时，y1，y2均随着x的增大而减小.
A.x<-1 B.-1C.01
D
12.（2025广州）若抛物线y=x2-6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上，则m的值为　　　 　　　.
1或-
13.已知抛物线y=x2+bx-1的对称轴是直线x=.设m是抛物线y=x2+bx-1与x轴交点的横坐标，记M=.
（1）b的值为　　　　；
（2）比较M与的大小.
-3
解：（2）由（1）知b=-3，∴抛物线的解析式为y=x2-3x-1，
当y=0时，0=x2-3x-1，解得x=，
∵m是抛物线y=x2+bx-1与x轴交点的横坐标，
∴m=，m2=3m+1，
∴M=====m，
当m=时，M=，
∴-=>0，即M>；
当m=时，M=，
∴-=-<0，即M<.
综上，当m=时，M>；
当m=时，M<.
14.（北师9下P57联系拓广改编）（模型观念、应用意识）一元二次方程2x2-x-2=0的根可以看作是函数　　　　　的图象和函数___________
　　　　 　　的图象交点的横坐标.
y=2x2
y=x+2
（答案不唯一）
15.（人教9上P41综合运用改编）（几何直观、模型观念、应用意识）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12 mm，BC=24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动.若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，则△PBQ的面积S随出发时间t的变化而变化.
（1）写出S关于t的函数解析式及t的取值范围；
解：（1）由题意得AP=2t，BQ=4t，则BP=12-2t，
S=BP·BQ=（12-2t）×4t=24t-4t2，
故S关于t的函数解析式为S=24t-4t2（0（2）当t取何值时，△PBQ的面积S有最大值？

（2）∵S=24t-4t2=-4（t-3）2+36，
∴当t=3时，△PBQ的面积S有最大值36 mm2.(共16张PPT)
第一部分 数与代数
第三章　函　数
微专题3　三大函数对比训练
（数形结合、运算能力）
对比一：三种函数的图象问题
1.在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k与y=-（k≠0）的图象大致为（　　）
B
2.已知二次函数y=a（x+1）2+c的图象如图所示，则函数y=ax+c的图象可能是（　　）
D
3.函数y=与y=kx2-k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
（　　）
D
对比二：三种函数图象的增减性
4.有下列函数：①y=2x；②y=-3x+2；③y=（x<0）；④y=-x2+2x+3.其中y的值随x值的增大而减小的函数有　　　　个.
5.三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在一次函数y=-2x+3的图象上，若x12
y1>y2>
6.已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）都在反比例函数y=-的图象上，且x1<0A.y1C.y27.若点A（-1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y=-x2+2x-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A.y2C.y3C
B
对比三：三种函数图象的交点问题
8.在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k≠0）的图象与直线y=-x+b交于A，B两点，若点A的坐标为（1，3），则点B的坐标为　　　 　.
（3，1）
9.已知二次函数y=x2-2x+c.
（1）若此函数图象与x轴有且只有一个交点，则c=　　　　；
（2）若此函数图象与坐标轴有两个交点，则c=　　　 　；
（3）若此函数图象与坐标轴有三个交点，则c的取值范围是
　　　　　 　　.
1　
1或0
c<1且c≠0
【分析】（1）令Δ=0可得c的值；
（2）根据二次函数y=x2-2x+c的图象与坐标轴有两个交点，存在2种情况，分类讨论；
（3）二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点，得出c≠0，且二次函数与x轴有两个交点，利用b2-4ac>0，得出答案即可.
10.已知一次函数y=kx-1.
（1）若此函数图象与x轴交于正半轴，则k的取值范围是　　　　；
（2）若此函数与二次函数y=k2x2+2x的图象有且只有一个交点，则k的值为　　　　.
k>0
1
对比四：函数及坐标平移问题
11.将一次函数y=-2x+4的图象平移后得到图象的函数关系式为y=-2x，则移动方法为（　　）
A.向左平移4个单位长度 B.向右平移4个单位长度
C.向上平移4个单位长度 D.向下平移4个单位长度
12.将抛物线y=x2+2x+3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为　　　　　.
D
y=x2
对比五：三种函数与方程、不等式的关系
13.如下表给出了二次函数y=x2+2x-10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x-10=0的一个近似解为x=（　　）
A.2.2
B.2.3
C.2.4
D.2.5
x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
y … -1.39 -0.76 -0.11 0.56 1.25 …
B
14.已知二次函数y=（k-1）x2+2x-1与x轴有交点，则k的取值范围是
（　　）
A.k>0 B.k≤2
C.k≤2且k≠1 D.k≥0且k≠1
D
15.已知一次函数y=k1x+b的图象如图所示.
（1）不等式k1x+b≥0的解集为　　　 　；
（2）方程（k1-3）x+b=0的解为　　　 　；
（3）若反比例函数y=的图象与一次函数y=k1x+b的图象交于点A，B，则不等式k1x+b->0的解集为　　 　　　　.

x≥-3
x=
-20
16.如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是　　　 　　.
17.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是 　 .
x<-1或x>3
18.如图，已知二次函数y1=x2+c与一次函数y2=x+c的图象如图所示，则当y10第一部分 数与代数
第三章　函　数
第9讲　平面直角坐标系和函数的概念
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
点的坐标特征 题6，3分
函数概念 题10，3分
函数图象的实际应用 题8，3分
广东省卷近年中考数学考情分析 ◇链接教材◇人教版： 七下第七章P63-P86； 八下第十九章P71-P85； 七下第九章P63-P86 北师版： 七下第三章P61-P79； 八上第三章P54-P67，第四章P75-P78； 八上第三章P58-P67，第四章P75-P78 2022新课标 重要变化 1.结合实例，（删除）了解函数的概念和三种（删除）表示法，能举出函数的实例.
2.理解函数值的意义.（新增）
1.（2025乐山）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（　　）
A.（-3，-2）
B.（-3，2）
C.（3，2）
D.（3，-2）
C
2.（2025郑州三模）若点P在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A.m>-2 B.-2C.m>3 D.m<-2
D
3.（2025湛江二模）下列说法不正确的是（　　）
A.点A（a2+1，-|b|-1）一定在第四象限
B.点P（2，6）到x轴的距离为6
C.若P（x，y）中xy=0，则点P在x轴上
D.若x-y=0，则点P（x，y）一定在第一、第三象限的角平分线上
C
4.（2025内江）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A.x≥2 B.x≤2 C.x>2 D.x<2
A　
5.（跨学科融合）（2025广西）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是（　　）
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
B
考点通关
一、平面直角坐标系中的点的坐标特征
1.点的坐标特征：
（1）点在象限内：
（-，+）
（+，-）
（2）点在坐标轴上：x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为
　　　　；原点的坐标为　　　　，坐标轴上的点不属于任何象限；
（3）点在各象限角平分线上：第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标　　　 　，第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为
　 ；
（4）点在平行于坐标轴的直线上：平行于x轴的直线上的点的________　　　　相等；平行于y轴的直线上的点的　　　　相等.
0
（0，0）
相等
相反数
纵坐标
横坐标
2.点的对称：（1）点P（x，y）关于x轴的对称点为P1（x，-y）；
（2）点P（x，y）关于y轴的对称点为P2　　　 　；
（3）点P（x，y）关于原点的对称点为P3　　　 　.
3.点的平移：已知点P（x，y），向右平移a个单位长度得点P1（x+a，y）；向左平移a个单位长度得点P2　　　 　；向上平移b个单位长度得点P3（x，y+b）；向下平移b个单位长度得点P4　　　 　.
4.点到坐标轴的距离：点P（x，y）到x轴的距离为|y|；点P（x，y）到y轴的距离为　　　　.
（-x，y）
（-x，-y）
（x-a，y）　
（x，y-b）
|x|
5.平面内任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）间的距离：
（1）若PQ∥x轴 y1=y2，PQ=　　　 　；
（2）若PQ∥y轴 x1=x2，PQ=；
（3）P，Q两点间的距离：PQ=
基础对练
1.写出图中点A，B，C，D，E，F的坐标.
A（-2，-3），B（-4，5），
C（5，-3），D（0，-3），
E（3，4），F（-2，0）.
2.（1）点（-2，4）所在的象限是第　　　　象限；点（0，-2）是
　　　　上的点；
（2）点（2，3）关于x轴对称的点的坐标为　　　 　，关于y轴对称的点的坐标为　　　 　，关于原点对称的点的坐标为 　 ；
（3）将点（1，-5）向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的点的坐标为 　 ；
（4）在平面直角坐标系中，点A（-2，3）到x轴的距离为　　 　 ，到y轴的距离为 ；
二
y轴
（2，-3）
（-2，3）
（-2，-3）
（-1，-2）
3
2
（5）在平面直角坐标系中，已知点A（-3，4），线段AB与x轴平行，且AB=3，点B的坐标为 　　　 　.
（0，4）或（-6，4）
二、函数的有关概念
1.变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为　　　　 .
2.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.表示方法：解析式法、列表法、图象法.
常量
4.自变量的取值范围：考虑问题的实际意义和使解析式有意义.
（1）解析式是整式时，自变量的取值范围是　　　　 　；
（2）解析式是分式时，自变量的取值范围是　　　　　　　　　；
（3）解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的实数.
5.函数值：对于一个函数，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
全体实数　
使分母不为0的实数
6.函数的图象：
（1）概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
（2）画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
3.（1）（新教材人教8下P96）购买一些铅笔，单价为0.4元/支，总价y（单位：元）随铅笔支数x变化，则其中的变量是　　　 　，常量是
　　　，函数解析式是 　 ；
（2）函数y=2x+1中自变量x的取值范围是　　　 　；函数y=中自变量x的取值范围是　　　　；
（3）写出当x=5时对应的函数值：y=3x-5：　　 　；y=：　　 ；y=： 　 .
x，y
0.4
y=0.4x
全体实数
x≥1
10
2
（4）（新教材人教八下P107）下列各曲线中表示y是x的函数的是
　 　 .
①②③
平面直角坐标系内点的特征
1.（2025随州模拟）在平面直角坐标系中，点A（-m2-1，1）位于
（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
B
2.（2025甘孜州一模改编）在平面直角坐标系中，已知点P（3m+1，2-m）.
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标是　　　 　；
（2）若点P位于第四象限，则m的取值范围为　　 　　；
（3）若点P在第二象限的角平分线上，则点P的坐标为　　 　　；
（4）若点P关于原点的对称点为点C（-4，-1），则m的值为　　 　；
（5）已知点Q（-2，-1），且直线PQ∥y轴，则线段 PQ 的长为　　　.
（7，0）
m>2
1
4
坐标的对称点及点的变化规律
3.（2025遵义二模）如图，在平面直角坐标系中，若点E的坐标为（m，n），则（-m，n-1）对应的点可能是（　　）
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
C
4. （2025广州三模）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把P'（-y+1，x+1）叫做点P的幸运点，已知点A1的幸运点为A2，点A2的幸运点为A3，点A3的幸运点为A4，…，这样依次得到A1，A2，A3，A4，…，An.若点A1的坐标为（0，2），则点A2 025的坐标是（　　）
A.（0，2） B.（-1，1） C.（0，0） D.（1，1）
A
函数的相关概念与自变量的取值范围
5.（2025云南）函数y=的自变量x的取值范围为（　　）
A.x≠4 B.x≠3 C.x≠2 D.x≠1
6.（2025汕头三模）在函数y=中，自变量x的取值范围是
　　　　　　 　　　.
D
x≤2且x≠0
函数图象的分析与实际应用
7. （2025江西二模）升旗仪式上，国旗冉冉上升.下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系（　　）
A
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8下P73例题） 汽车油箱中现有汽油50 L.如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶路程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km. （1）写出表示y与x的函数关系的式子； （2）指出自变量x的取值范围； （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ 解： 解：（1）表示y与x的函数关系的式子为 y=50-0.1x. 3分 （2）∵x不能为负数， ∴x≥0. 4分 又0.1x≤50， 解得x≤500， 5分 ∴自变量x的取值范围为0≤x≤500. 6分 （3）当x=200时， 代入y=50-0.1x，得 y=50-0.1× 200　 7分 =30. 8分 答：汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油. 9分 满分：9分 实得：　　　　分
8.（跨学科融合）（2025江西模拟）如图，这是某物质熔化和凝固过程中温度T（单位：℃）随着时间t（单位：min）变化的图象，下列说法中，错误的是（　　）
A.该物质在熔化和凝固过程中，最高温度为60 ℃
B.该物质在熔化和凝固过程中，温度保持不变的时间为3 min
C.当9≤t≤12时，温度T随着时间t的增大而减小
D.加热前该物质的温度为25 ℃
B
9. （2025山东二模）如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AB-BC-CD匀速运动，运动到点D停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为
（　　）
A.4 B.2
C.6 D.4
A
10.（2025广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y（W·h）与骑行里程x（km）之间的关系如图.当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正确的是（　　）
A.电池能量最多可充400 W·h
B.摩托车每行驶10 km消耗能量300 W·h
C.一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km
D.摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警
C
11.（2023深圳）如图1，在Rt△ABC中，动点P从点A运动到点B再到点C后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（　　）
A. B.
C.17 D.5
C
12.（2025重庆模拟）如图1，在△ABC中，∠ABC=90° ，AB=BC=4 cm.点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿折线A→B→C运动，同时点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿线段BC运动.当点P到达点C时，P，Q停止运动.设点P运动的时间为x（s），△APQ的面积为y1（cm2）.
（1）请直接写出y1与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
解：（1）y=.
【解答】当0由题意得AP=2x，BQ=x，∴y1=AP·BQ=·2x·x=x2；
当2由题意得BP=2x-4，BQ=x，∴PQ=x-（2x-4）=4-x，
∴y1=PQ·AB=（4-x）×4=-2x+8.
（2）在图2中画出y1的函数图象，并写出它的一条性质： 　 ；
（2）y1的函数图象如图所示.
当0（3）若y1的函数图象与直线y2=-x+n有两个交点，则n的取值范围是
　　　　　　.
4≤n<6
【解答】若y1的函数图象与直线y2=-x+n有两个交点时，其图象应满足如图所示的l1和l2之间，
把点（2，4）代入y2，得n=6，把点N（4，0）代入y2，得n=4，
∴4≤n<6.
13.（新教材北师8上P72数学理解改编）（运算能力、几何直观、应用意识）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD=10，点B的坐标为（-6，6），则点C的坐标为　　　 　　.
（4，6）
14.（新教材人教7下P70拓广探索改编）（几何直观、模型观念、应用意识）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（1，2）.
（1）在平面直角坐标系中描出点B；
解：（1）描出表示（1，2）的点即可，图略.
（2）将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点B'，则点B'的坐标为　　　 　；
（3）点A在坐标轴上，且满足△OAB的面积等于2，求点A的坐标.
（-2，3）
（3）若点A在x轴上，则S△OAB=×OA×2=2，
解得OA=2，所以点A的坐标为（2，0）或（-2，0）；
若点A在y轴上，则S△OAB=×OA×1=2，
解得OA=4，所以点A的坐标为（0，4）或（0，-4）.
综上所述，点A的坐标为（2，0）或（-2，0）或（0，4）或（0，-4）.

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