资源简介

(共38张PPT)
第二部分　图形与几何
第五章　四边形
第21讲　多边形与平行四边形
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
多边形的内角与外角
平行四边形的性质 题19，2分 题19，1分 题8，3分 题16，4分
平行四边形的判定 题19，2分 题25（2），4分
广东省卷近年中考数学考情分析 ◇链接教材◇人教版：八上第十一章P19-P25；八下第十八章P41-P51 北师版： 七上第四章P122-P123；八下第六章P135-P149，P153-P157； 七上第四章P128-P129 2022新课标 重要变化 1.了解多边形（本标准中多边形指凸多边形）（新增）的概念（改动）及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线等概念（删除）.
2.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.（改动）
. . . . . . . . . . . .
. .
. .
. .
1.（2025无锡）正七边形的内角和为　　　　度.
2.（2025扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为　　　　.
900
9
3.（2025广州模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=AC，∠B=50°，则∠CAD的度数为　　　　.
50°
4.（2025清远一模）如图，在 ABCD中，AC⊥BC，BC=5，AC=3，则CD的长为　　　 　.
5.（2025佛山三模）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，BE=3，EO=4，则 ABCD的周长为（　　）
A.14 B.13
C.28 D.19
C
6.（2025沧州一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.AB=BC　
B.AD=BC　
C.∠A=∠C　
D.∠B+∠C=180°
C
考点通关
一、多边形（n≥3，n为整数）
1.概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形.
2.多边形的性质：
（1）内角和、外角和：n边形的内角和为　　 　　　，外角和为
　　　 　；
（2）对角线：过n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，把这个n边形分成（n-2）个三角形，n边形共有条对角线.
（n-2）180°
360°
3.正多边形的性质：各边相等，各个内角相等；正n边形的每个内角为
　　　　　 　，每个外角为　　　　.
基础对练
1.任意一个五边形的内角和等于　　　　，外角和等于　　　　.
2.一个正n边形的各内角都等于120°，则n=　　　　.
3.从五边形的一个顶点出发，可以画出　　　　条对角线，它们将五边形分成　　　　个三角形.
540°
360°
6
2
3
二、平行四边形的概念与性质
1.概念：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，
记作“ ABCD”.
2.性质：
（1）两组对边分别平行，两组对边分别　　　　 ；
（2）两组对角分别　　 　　；
（3）对角线互相　　　 　；
（4）对称性：是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
相等
相等
平分
4.如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，则BC=　　　　，CD=　　　　，AC=　　　　，OA=　　　　， ABCD的面积为
　　　　.
8
10
6
3
48
三、平行四边形的判定
1.边：（1）两组对边分别　　　　的四边形是平行四边形（定义）；
（2）两组对边分别　　　　的四边形是平行四边形；
（3）一组对边　　　 　　　的四边形是平行四边形；
2.角：两组对角分别　　　　的四边形是平行四边形；
3.对角线：对角线　　　　 　的四边形是平行四边形.
平行
相等
平行且相等
相等
互相平分
5.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB，∴∠OAD=∠OCB，∴AD∥BC.
同理AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形.
四、平行四边形的面积
1.面积计算公式：S=ah（a表示一条边长，h表示此边上的高）.
2.【拓展知识】平行四边形中的面积关系：
6.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，线段EF过点O，分别交AB，CD于点E，F.阴影部分的面积之和为10，则 ABCD的面积为
　　　　.
20
多边形的内角和与外角和
1.（2025江西）如图，创意图案的中间空白部分为正多边形，则该正多边形的内角和为　　　　度.
720
2.（2025遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（　　）
A.10 B.11 C.12 D.13
3.（2025长春）图1是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图2是其表面展开图，则∠α为　　　　度.
A
36
平行四边形的性质
4.（2025山西）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A.OE=AD
B.OE=BC
C.OE=AB
D.OE=AC
C
5.（2025湖北）如图， ABCD的对角线交点在原点.若A（-1，2），则点C的坐标是（　　）
A.（2，-1）
B.（-2，1）
C.（1，-2）
D.（-1，-2）
C
6.（2025新疆）如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD=2，则BE=　　　　.
2
7.（2025宜宾）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD=5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD=5，∴∠D=∠FCE，
∵E是CD的中点，∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD=5，
∴BF=BC+FC=5+5=10.
平行四边形的判定
8.（2025贵阳二模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A.OA=OB，OC=OD
B.OA=OC，OB=OD
C.OB=AB，OD=CD
D.OA=OB，AC=BD
B
9.（2025广州二模）如图，AB∥DE，∠BFA=∠ECD，AF=DC.求证：四边形ABDE是平行四边形.
证明：∵AB∥DE，∴∠BAF=∠EDC，
∵AF=DC，∠BFA=∠ECD，
∴△ABF≌△DEC（ASA），∴AB=DE，
∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形.
10.（2025常州二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　　　 　.请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填写在横线上（填写序号），再解答下面的问题：
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
①（或②）
（1）证明：（任选一种证明即可）
选择①，∵∠B=∠AED，∴BC∥DE，
∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②，∵AE=BE，AE=CD，∴BE=CD，
∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.
（2）若AD⊥AB，AE=10，sin∠ADE=，求线段BC的长.
（2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC，
∵AD⊥AB，∴∠A=90°，
∵sin∠ADE==，AE=10，
∴DE=26，∴BC=DE=26.
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8下P51综合运用） 如图，在四边形ABCD中，AD=12，OD=OB=5，AC=26，∠ADB=90°.求BC的长. 解：_____________________ 　 解：∵AD=12，OD=5，∠ADB=90° ， ∴AO===13， 2分 ∵AC=26， ∴OC=AC-AO=13=AO，　 4分 又∵OD=OB=5， ∴四边形ABCD为平行四边形. 6分 ∴BC=AD=12. 即BC的长为12.　 7分 满分：7分 实得：　　　　分
11.（2024广州）如图， ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE=　　　　.
5
12.（2022广东）如图，在 ABCD中，一定正确的是（　　）
A.AD=CD B.AC=BD C.AB=CD D.CD=BC
C
13.（2022广州）如图，在 ABCD中，AD=10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为　　　　.
21
14.（数学文化）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=6，D是BC的中点，则AD的长为　　　　.
15.（2025河南二模）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BD的中点，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE，CF分别交BD于点G，H.若=，则为（　　）
A. B.
C.　 D.
B
16.（新教材人教8上P22拓广探索改编）（几何直观、推理能力、模型观念、创新意识）如图，在四边形ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线交于点E.
（1）若∠A=60°，∠B=60°，则∠E=　　　　°；
（2）试证明：∠A+∠B=2∠E.

60
（2）证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ADC=2∠CDE，∠BCD=2∠ECD，
∵∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=360°，
∴∠A+∠B+2（∠EDC+∠ECD）=360°，
∴∠A+∠B+2（180°-∠E）=360°，
∴∠A+∠B=2∠E.
17.（北师9上P178联系拓广改编）（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）（2025广州二模）如图， OABC的顶点A，C都在反比例函数y=的图象上，已知点C的坐标为（2，3），点B的纵坐标为4.
（1）求点A的坐标；
解：（1）∵点C（2，3）在反比例函数y=上，∴k=2×3=6.
∴反比例函数为y=，∴可设A.
∵平行四边形的对角线互相平分，且点B的纵坐标为4，
∴=，∴a=6，∴A（6，1）.
（2）求平行四边形OABC的面积.
（2）如图，分别过点A，C作AE⊥x轴于点E，作CF⊥x轴于点F，设CF与OA交于点G，连接AC.
∵四边形OABC是平行四边形，∴S OABC=2S△AOC.
又由反比例函数的性质，S△AOC=S△AGC+S△OGC=S△AGC+S梯形AGFE=S梯形AEFC，
∵A（6，1），C（2，3），
∴S△AOC=（1+3）（6-2）=8，
∴S OABC=2S△AOC=2×8=16.(共38张PPT)
第二部分　图形与几何
第五章　四边形
第23讲　正方形
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
正方形的性质 题23（3），2分 题10+题15，3分 题20，2分 题23，3分 题23，3分
正方形的判定 题23（3），1分
◇链接教材◇人教版：八下第十八章P58-P60 北师版：九上第一章P20-P25 2022新课标 重要变化 1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（新增）的概念，以及它们之间的关系. 2.正方形既是矩形，又是菱形.（改动） 3.理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.（新增） . .
1.（2025无锡一模）下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A.对边平行且相等　 B.邻边相等
C.对角线相等　 D.面积等于对角线乘积的一半
C
2.（2025抚顺模拟）如图，面积为25的正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（　　）
A.（25，25）
B.（-5，5）
C.（5，5）
D.（，）
C
3.（2025东莞模拟）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC边上一点，若∠AEB=65°，则∠CBE的度数为（　　）
A.45° B.25°
C.15° D.20°
D
4.（2025牡丹江模拟）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，请添加一个条件：　　　　　 　，使得四边形ABCD是正方形（填一个即可）.
AB=BC（答案不唯一）
5.（2025咸阳模拟）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE=CE，求证：四边形AECF是正方形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∵CF⊥AD，AE⊥BC，∴AE⊥AD，
∴∠AFC=∠FAE=∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形.
∵AE=CE，∴矩形AECF是正方形.
考点通关
一、正方形的性质与判定
1.定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
2.正方形的性质
（1）正方形既是矩形，又是菱形，所以正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质；
（2）正方形的四个角都是　　　　，四条边都　　　　；
直角
相等
（3）正方形的对角线相等且互相 　 ，每一条对角线平分一组对角；
（4）对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有　　　　条对称轴，对称中心是两条　　　　　的交点.
垂直平分
4
对角线
3.正方形的判定方法
（1）边：①有一组邻边　　　 　的矩形是正方形；②有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
（2）角：有一个角是　　　　的菱形是正方形；
（3）对角线：①对角线互相　　　　 的矩形是正方形；②对角线
　　　　的菱形是正方形.
4.正方形面积公式：S=a2=l2（a表示边长，l表示对角线长）.
相等
直角
垂直
相等
基础对练
1.如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，点P是对角线BD上一点，AD=4.
（1）∠DBC的度数为　　　　；
（2）BD的长为　　　 　；
（3）若BP=BC，则∠BPC=　　　　，DP=　　　 　　.
45°
4
67.5°
4-4
2.下列说法中，正确的是（　　）
A.有一个角是直角的平行四边形是正方形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C
二、梯形
1.定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.平行的两边称为梯形的底边，不平行的两边称为梯形的腰.如图.
2.面积公式：S梯形=（上底+下底）×高÷2.
3.如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，AC平分∠DAB，∠DCA=30°，DC=3 cm，则∠BCA=　　　　，梯形ABCD的周长为
　　　　cm.
90°
15
三、梯形、平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　）
A.AC=BD
B.AC⊥BD
C.AD=AB
D.AC平分∠DAB
A
正方形的性质
1.（2025吉林模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为CD边的中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于
　　　　.
2
2.（2025东莞二模）将对角线分别为5 cm和8 cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为　　　 　cm.
2
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8下P68综合运用、北师9上P22数学理解） 如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF.要修建两条路BE和AF，求证：BE=AF，BE⊥AF. 证明： 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°， 2分 ∵DE=CF， ∴AD-DE=CD-CF， 即AE=DF，　 3分 在△BAE和△ADF中， ∴△BAE≌△ADF（SAS），　 5分 ∴BE=AF，∠ABE=∠DAF， 7分 ∵∠BAF+∠DAF=90° ，　 8分 ∴∠BAF+∠ABE=90° ， ∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90° ， ∴BE⊥AF.　 9分 满分：9分 实得：　　　　分
3.（2025泉州模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF=90°.求证：CE=DF.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OD，∠OCE=∠ODF=45°，∠COD=90°，
∴∠DOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
∴CE=DF.
4. （2025浙江）【问题背景】如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上.
【数学理解】（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）.
（2）若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，
∴∠DAE=∠DEA=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.
正方形的判定
5.（2025东莞三模）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是
（　　）
A.（1）处可填∠A=90°
B.（2）处可填AD=AB
C.（3）处可填DC=CB
D.（4）处可填∠B=∠D
D
6.（2025乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.则正确的组合是
　　　 　　（只需填一种组合即可）.
①②或①③
7.（2025长沙一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，AB⊥BC，E是边CD的延长线上的动点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F.
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（1）证明：∵ ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴ ABCD是菱形，
∵AB⊥BC，
∴菱形ABCD为正方形.
（2）当F是AE的中点，且CE=8时，求△CEF的面积.
（2）解：连接AC，∵F为AE的中点，CF⊥AE，
∴CF为线段AE的垂直平分线，
∴AC=CE=8，AF=EF，∴S△AFC=S△EFC=S△AEC.
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2，
∴AD2=AC2=×（8）2=64，
∴AD=8（负值舍去），
∴S△CEF=S△AEC=×CE·AD=16.
8.（2024广东）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　）
A.2 B.5 C.10 D.20
B
9.（2024深圳）如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是　　　 　.（写出一个答案即可）
2（答案不唯一）
10.（2025深圳）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
D
11.（2024广州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2.求证：△ABE∽△ECF.
证明：∵BE=3，EC=6，CF=2，
∴BC=BE+EC=3+6=9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=9，∠B=∠C=90°，
∵===，
∴△ABE∽△ECF.
正方形有关的证明与计算
12.在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，正方形的边长为2.
（1）如图，连接AE，若BA=BE，则BE的长为　　　　，BD的长为
　　　　，∠AEB的度数为　　　　；
2
2
67.5°
（2）如图，连接AE，CE，求证：∠AEB=∠CEB；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠AEB=∠CEB.
（3）如图，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F，若∠AEC=140°，求∠AFD的度数；
（3）解：由（2）可得∠AEB=∠CEB.
∵∠AEC=140°，∴∠AEB=70°.
在正方形ABCD中，∠ADE=45°，∠ADC=90°，
∴∠DAF=∠AEB-∠ADE=70°-45°=25°，
∴∠AFD=90°-∠DAF=90°-25°=65°.
（4）如图，点F也是对角线BD上的一点，且BF=DE，求证：四边形AECF是菱形；
（4）证明：连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD.
∵BF=DE，∴BO-BF=DO-DE，即FO=EO.
∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.
（5）如图，过点E分别作EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，则四边形EFCG的周长为　　　　；
4
（6）如图，点F是边CD上的一点，将△BCF沿BF折叠，点C刚好与点E重合，求线段DE的长；
（6）解：在正方形ABCD中，∠C=90°，BC=CD=2，
∴BD=2.
∵△BCF沿BF折叠得到△BEF，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF，∴BE=BC=2，
∴DE=BD-BE=2-2.
（7）如图，点O是对角线BD的中点，点E为线段OD上的一个动点（不包括两个端点），点F为边AB上的一点，若∠AFE=∠BCE，求证：EF=EC.
（7）证明：如图，过点E作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD，
∵EG⊥AB，EH⊥BC，∴EG=EH，∠EGF=∠EHC=90°，
∵∠AFE=∠BCE，∴△EGF≌△EHC（AAS），∴EF=EC.(共40张PPT)
第二部分　图形与几何
第五章　四边形
第22讲　菱形、矩形
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
菱形的性质 题19，1分 题15，3分 题13，3分
菱形的判定 题19，1分
矩形的性质 题10，3分 题23，2分 题18，2分 题23，3分 题22，3分
矩形的判定
◇链接教材◇人教版： 八下第十八章P52-P58； 八下第二十二章P68-P74 北师版：九上第一章P2-P19 1.（2025东莞模拟）如图，已知菱形ABCD的边长为4，连接BD，E，F分别是AD，BD的中点，连接EF，则EF的长为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
B
2.（2025常州）如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的长是（　　）
A.4
B.5
C.6
D.10
B
3.（2025湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为（　　）
A.6
B.9
C.12
D.18
C
4.（2025泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角相等
A
5.（2025湖南模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB=60°，则=（　　）
A. B.
C. D.
D
6.（2025德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（　　）
A.AB∥CD
B.AB=BC
C.∠B=∠D
D.AC=BD
D
考点通关
一、菱形的性质与判定
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：
（1）边：对边平行，四条边　　　　；（2）角：对角　　　　；
（3）对角线：对角线互相　　　 　　，并且每一条对角线_________　　　　一组对角；
相等
相等
垂直且平分
平分
（4）对称性：既是轴对称图形又是　　　 　　图形，有　　　 　条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点.
3.菱形的判定：（1）边：①有一组　　　 　　的平行四边形是菱形（定义）；②　　　 　　相等的四边形是菱形；
（2）对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4.菱形的面积公式：S=ah=（a表示一条边长，h表示此边上的高，m，n表示对角线的长）.
中心对称
2
邻边相等
四条边
基础对练
1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，点E为BC的中点，连接OE，已知OE=2.
（1）∠ABD=_________°，∠BAD=______°；
（2）菱形ABCD的周长为　　　　；
（3）△BOE的形状为 　 ；
（4）AC=　　　　，BD=　　　　；
（5）菱形ABCD的面积为　　　　.
30
120
16
等腰三角形
4
4
8
二、矩形的性质与判定
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质：（1）边：对边平行且相等；
（2）角：四个角都是直角；
（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等；
（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有　　　　条对称轴，对称中心为两条　　　　　的交点.
3.矩形的判定：（1）角：①有一个角是　　　 　的平行四边形是矩形；②有三个角是　　　　的四边形是矩形；
（2）对角线：对角线　　　　的平行四边形是矩形.
4.矩形的面积：面积计算公式：S=ab（a，b分别表示长或宽）.
2
对角线
直角
直角
相等
2.（1）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形对角线的长为　　　　；
8
（2）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，则∠OAB的度数为　　　　.
40°
菱形的性质和判定
1.（2025汕头一模）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD=118°，则∠CEB=（　　）
A.59° B.62°
C.69° D.72°
A
2.（2025泸州）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=CF.求证：AF=CE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
∵AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF，
在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE（SAS），∴AF=CE.
3.（2025黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　　　　　 　　，使平行四边形ABCD为菱形.
AC⊥BD（答案不唯一）
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8下P57练习、北师9上P4知识技能） 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8.求菱形ABCD的周长和面积. 解： 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8， ∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD=4， 2分 ∴AB===5， 4分 ∴菱形ABCD的周长=4AB=20， 5分 菱形ABCD的面积=AC·BD=× 6× 8=24. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
矩形的性质和判定
4.（2025吉林三模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为OC，BC的中点，若EF=2，则AC的长为（　　）
A.3 B.8
C.9 D.12
B
5.（2025绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个夹角为60°，则这个矩形的面积是（　　）
A.25 B.25
C.25 D.50
B
6.（2025广州二模）如图，在 ABCD中，BE⊥AD交DA的延长线于点E，AE=AD.
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（1）证明：由题意得AD∥BC，AD=BC，
∵AE=AD，∴AE∥BC，AE=BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
又∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，
∴四边形AEBC是矩形.
（2）F为CD的中点，连接AF，BF.已知AB=6，BF⊥AF，求BF的长.
（2）解：由（1）得四边形AEBC是矩形，AD=BC，
∴∠CAD=∠CAE=90°，
∵在Rt△ACD中，F为CD的中点，
∴AF=CD=AB=3，
∵BF⊥AF，∴∠AFB=90°，
∴BF===3.
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8下P55练习、北师9上P15例2） 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4，求 ABCD的面积. 解： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， 1分 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8， ∴ ABCD是矩形，∴∠ABC=90° . 3分 在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC===4， 5分 ∴ ABCD的面积是AB·BC=4×4=16. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
7.（2025广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（　　）
A. B.5
C.4 D.8
B
8.（2023深圳）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
B
9.（2024广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　　　　.
10
10.（2025广东）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG.若AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（　　）
A. B.
C. D.
B
菱形有关的证明与计算
11.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（1）证明：∵AB∥DC，∴∠CAB=∠DCA.
∵AC为∠BAD的平分线，∴∠CAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD.
∵AB=AD，∴CD=AD=AB.
∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD=AB，∴平行四边形ABCD是菱形.
（2）如图，过点C作CE∥DB，交AB的延长线于点E，求证：BC=BE；
（2）证明：由（1）知四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵CE∥DB，∴∠ACE=∠AOB=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠CAE+∠E=90°.
∵在菱形ABCD中，AB=BC，
∴∠ACB=∠CAE，∴∠BCE=∠E，∴BC=BE.
（3）如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE，若AB=5，BD=2，BE=3.
①求OE的长；
①解：由（1）可知四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC.
∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC.
∵BD=2，∴OB=BD=.
在Rt△AOB中，AB=5，OB=，
∴OA===2，
∴OE=OA=2.
②求tan∠OEC的值；
②解：由①得在Rt△AOB中，∠OEC=∠OCE，
∴tan∠OEC=tan∠OCE=.
在Rt△BCE中，CE===4，
∴tan∠OEC====2.
（4）如题（3）图，若CE=，∠ADC=120° ，求四边形ABCD的面积.
（4）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠DAB=60°，
∴∠CAB=∠DAB=30°，
∴AC=2CE=2，AB=2BO，∴AO=CO=CE=.
∵AB2-BO2=AO2，∴4BO2-BO2=3，
∴BO=1（负值舍去），∴BD=2，
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×2×2=2.
矩形有关的证明与计算
12.如图，在 ABCD中，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E.
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∵AF⊥CD，∴∠F=90°，∴∠FAE=180°-∠F=90°，
∵CE⊥AB，∴∠E=90°，
∴四边形AECF是矩形.
（2）如图，连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，连接OG.若AC=3，OG=2，求矩形AECF的面积；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO.
∵点G是线段AE的中点，∴AG=EG，
∴OG是△ACE的中位线，∴CE=2OG=4.
∵AC=3，
∴在Rt△AEC中，AE===，
∴矩形AECF的面积为×4=4.
（3）如图，连接AC，BD交于点O，若AB=AD，∠FAD=30°，FD=1，请判断DC与AC的数量关系；
（3）解：在Rt△ADF中，∠FAD=30°，FD=1，
∴AD=2，AF=.
∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，
∴DC=AD=2，∠DAC=∠CAE=∠DAE.
∵∠FAD=30°，∠FAE=90°，
∴∠DAE=90°-30°=60°，∴∠CAE=30°，∴AC=2CE.
∵在矩形AECF中，CE=AF=，
∴AC=2CE=2AF=2，∴AC=DC.
（4）如图，四边形ABCD是菱形，M是AD的中点，点N，G在AB上，MN⊥AB于点N，OG∥MN，连接OM.
①求证：四边形OMNG是矩形；
①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，
∵M是AD的中点，
∴OM是△ABD的中位线，∴OM∥AB，即OM∥NG，
∵OG∥MN，∴四边形OMNG是平行四边形，
∵MN⊥AB，∴∠MNG=90°，
∴平行四边形OMNG是矩形.
②若AD=10，MN=4，则OM的长为　　　　，BG的长为　　　　.
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