资源简介

(共32张PPT)
第二部分　图形与几何
第四章　三角形
第16讲　全等三角形
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
全等三角形的判定 题23，1分 题22，1分 题23，2分 题18，8分 题23，2分
全等三角形的性质 题23，1分 题22，1分 题23，2分 题23，1分
◇链接教材◇人教版： 八上第十二章P31-P47； 八上第十四章P28-P47 北师版： 七下第四章P92-P104，P108-P109；八下第一章P18-P20； 七下第四章P95-P111 1.（2025长沙一模）如图，AC=AD，BC=BD，这样可以证明△ABC≌△ABD，其依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.SSA D.ASA
A
2.（2025福建模拟）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则∠1+∠2的度数是（　　）
A.100° B.90° C.80° D.60°
B
3.（2025云南）如图，AB与CD相交于点O，AC=BD，∠C=∠D.求证：△AOC≌△BOD.
解：在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
4.（2025山东一模）如图，△ACE≌△DBF，∠A=67°，∠F=48°，则∠ACE的度数为（　　）
A.76° B.67°
C.65° D.56°
C
5.（2025厦门模拟）如图，△ABC≌△ADE，∠D=25°，∠C=105°，∠CAE=70°，则∠BAE的度数是（　　）
A.20° B.25°
C.30° D.35°
A
考点通关
一、全等三角形的定义与性质
1.定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.性质：（1）全等三角形的对应边、对应角相等；
（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等；
（3）全等三角形的周长相等、面积相等.
3.平移、翻折、旋转前后的三角形全等.
基础对练
1.（新教材北师7下P97）如图，已知△ABC≌△FDE.
（1）若AD=1 cm，BD=2 cm，则DF=　　　　cm；
（2）∠A=40°，∠E=62°，则∠C=　　　　，∠F=　　　　；
（3）若△ABC的周长为15 cm，则△FDE的周长为　　　　.
3
62°
40°
15 cm
二、全等三角形的判定定理
判定方法 文字语言 图示
边边边 （SSS） 有　　　　对应相等的两个三角形全等（基本事实）
边角边 （　　　　） 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（基本事实）
三边
SAS
判定方法 文字语言 图示
角边角 （ASA） 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（基本事实）
角角边 （　　　　） 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
斜边、直角边 （HL） 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
AAS
2.如图，已知AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，可以添加的一个条件是（　　）
A.AD=CD　　
B.AD=CF
C.∠A=∠F
D.DC=CF
B
3.（新教材人教8上P44）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC=AD.
解：∵∠3=∠4，∴∠DBA=∠CBA.
∵∠1=∠2，又∵AB是公共边，
∴△ABC≌△ABD（ASA），
∴AD=AC.
全等三角形的判定
1.（2025佛山二模）如图，AB平分∠CAD.请添加一个条件：_______
　　　　　　　　　，使得△ABC≌△ABD.（要求：不添加辅助线，只需填一个答案即可）
AC=AD
（答案不唯一）
2.（2025淮南二模）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是
（　　）
A.AB=3，BC=4，AC=6
B.AB=4，∠B=45°，∠A=60°
C.AB=4，BC=3，∠A=30°
D.∠C=90°，AB=8，AC=4
C
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8上P39练习、北师7下P111知识技能） 如图，点B，C在AD上，AB=CD，AE=DF，∠A=∠D.求证：△AEC≌△DFB. 证明： 证明：∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC， 1分 ∴AC=BD. 2分 在△AEC和△DFB中， ， 5分 ∴△AEC≌△DFB（SAS）. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
全等三角形的判定与性质综合
3.（2025陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB，DE∥AB，DE=BC.
求证：BE=AC.
证明：∵DE∥AB，∴∠D=∠ABC，
在△BDE和△ABC中，，
∴△BDE≌△ABC（SAS），∴BE=AC.
4.（2025福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE=∠CDF，∠ACB=∠ACD.
求证：AB=AD.
证明：∵∠CBE=∠CDF，∴∠ABC=∠ADC，
在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（AAS），∴AB=AD.
5.（2025长沙一模）如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM=DN.
（1）求证：△BDN≌△CDM；
（1）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
在△BDN和△CDM中，，
∴△BDN≌△CDM（SAS）.
（2）若∠AMC=80°，求∠N的度数.
（2）解：∵∠AMC=80°，∠AMC+∠DMC=180°，
∴∠DMC=100°，
∵△BDN≌△CDM，∴∠N=∠DMC=100°.
6.（2025吉林一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90° ，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数.
（2）解：∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=15°，
由Rt△ABE≌Rt△CBF得∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=45°+15°=60°.
7.（2023广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC=DE.求证：∠C=∠E.
证明：∵B是AD的中点，∴AB=BD，
∵BC∥DE，∴∠ABC=∠D，
在△ABC和△BDE中，，
∴△ABC≌△BDE（SAS），∴∠C=∠E.
8.（2025广州）如图，BA=BE，∠1=∠2，BC=BD.求证：△ABC≌△EBD.
证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EBC=∠2+∠EBC，
∴∠ABC=∠EBD，
在△ABC和△EBD中，，
∴△ABC≌△EBD（SAS）.
9.（2024广州）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（　　）
A.18 B.9
C.9 D.6
C
10.（2025汕头一模）在等边△ABC三边上分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF，连接三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC=1，则S△DEF=1-3S△ADF.
如图1，当=时，S△DEF=1-3×=；
如图2，当=时，S△DEF=1-3×=；
如图3，当=时，S△DEF=1-3×=；….
直接写出：当=时，S△DEF=　 　　　.
11.（2025四川模拟）如图，∠ABD=∠CBE，AB=BD，BC=BE.
（1）求证：△ABC≌△DBE；
（1）证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，，
∴△ABC≌△DBE（SAS）.
（2）若AD=2，DC=3，BC=4，求△DFC和△BFE的周长和.

（2）解：由（1）知，△ABC≌△DBE，
∴AC=DE=AD+CD=5，BE=BC=4，
∴△DFC和△BFE的周长和=DF+CF+CD+BF+FE+BE
=DF+FE+BF+CF+CD+BE
=DE+BC+CD+BE
=5+4+3+4
=16.
12.（新教材人教8上P46拓广探索改编）（几何直观、推理能力、模型观念）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至点F，使EF=DE，连接FC.若FC∥AB，AB=5，CF=3，则BD的长等于　　　　.
2
13.(新教材北师8 下P41联系拓广改编)(几何直观、推理能力、应用意识)在如图所示的三角形纸片ABC中，∠C=90°，沿AD折叠三角形纸片，使点C落在AB边上的点E处,若此时点D恰好为 BC边靠近点C的三等分
点，有下列结论:①∠B=30°；②△ACD≌ΔBED；③DE垂直平分AB；④S△ABC =AC2.其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
A(共43张PPT)
第二部分　图形与几何
第四章　三角形
第14讲　线、角、相交线与平行线
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
余角、补角 题4，3分
角平分线 题17，2分
线段垂直平分线 题20，3分
平行线的性质 题19，1分 题4，3分 题4，3分 题24，2分
平行线的判定 题17，1分
广东省卷近年中考数学考情分析 ◇链接教材◇人教版： 七上第四章P125-P141；七下第五章P1-P27；八上第十二章P48-P52，第十三章P60-P61； 七上第六章P162-P181；七下第七章P1-P29；八上第十三章P5-P10 北师版： 七上第四章P106-P121；七下第二章P38-P54；八上第七章P162-P177；八下第一章P22-P32； 七上第四章P111-P127；七下第二章P34-P59 2022新课标 重要变化 1.理解两点间距离的意义，能度量和表达（新增）两点间的距离.
2.理解角平分线的概念.（新增）
3.掌握基本事实：同一平面内（新增），过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
. . .
. . . . .
1.（2025南通）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为
（　　）
A.30° B.60° C.90° D.120°
2.（2025广州）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1=36°，则∠2的度数为　　　　° .
C
144
3.（2025湖南）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB=145°，则∠ABD=　　　　.
145°
4.（2025苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70° .若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　　）
A.100°
B.105°
C.110°
D.115°
C
5.（2025西安模拟）计算：15.4°=（　　）
A.15°4' B.15°24' C.15°36' D.15°40'
B
6.（2025东莞模拟）如图，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上.若∠1=26°，求∠2的度数.
解：∵∠AOC=90°，∠1=26°，
∴∠BOC=90°-∠1=90°-26°=64°，
∵点B，O，D在同一直线上，
∴∠2=180°-∠BOC=180°-64°=116°.
考点通关
一、直线、线段与射线
1.两个基本事实：
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线；
（2）线段公理：两点之间，线段最短.
2.两点间的距离：连接两点间的线段的长度.
3.线段的中点：如图1，AM=BM=AB 点M是线段AB的中点.
4.线段的和差：如图2，在线段AC上取一点B，则有AB+BC=AC；AB=AC-BC；BC=　　　　-AB.
5.射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点.射线向一方无限延伸，射线只有一个端点.
AC
基础对练
1.工程队在修建高速公路时，需要把弯曲的道路改直以缩短路程，这样做用到的原理是 　　　 　　.
2.如图，C是线段BD中点，AD=3，AC=7，则AB的长等于 　 .
两点之间，线段最短
11
二、与角有关的概念与性质
1.概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫角.
2.角度运算：1° =60'，1'=60″，1周角=2平角=4直角=360° .
3.余角：定义：如果两个角的和等于　　　　，那么这两个角互余；
性质：同角或等角的余角　　　　.
4.补角：定义：如果两个角的和等于　　　　，那么这两个角互补；
性质：同角或等角的余角相等.
90°
相等
180°　
5.角平分线：（1）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；
（2）性质：角平分线上的点到角两边的距离　　　　；
（3）判定：到角两边距离相等的点在　　　　 　　.
相等
角平分线上
3.（1）若∠α=66°12'，则∠α的余角为 　 ，∠α的补角
　　　　　　；
（2）已知∠A与∠B互余，且∠A=25°，则∠B的补角为 　 .
4.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于点M，CM=4，则点C到射线OA的距离为　　　　.
23°48'
113°48'
115°
4
三、相交线
1.对顶角相等，如∠1=∠3，∠5=∠7；
邻补角互补，如∠1+∠2=180°，∠5+∠8=180°.
2.三线八角：（1）同位角，如∠1与　　　　，∠4与∠8；
（2）内错角，如∠2与　　　　，∠3与∠5；
（3）同旁内角，如∠2与∠5，　　　　与∠8.
3.垂直：
（1）基本事实：在同一平面内，过一点　　　 　　　直线与已知直线垂直；
（2）点到直线的距离：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
　　　　　最短.
∠5
∠8
∠3
有且只有一条
垂线段
4.垂直平分线：
（1）定义：垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线；
（2）线段的垂直平分线上的点到　　　　　　　　　的距离相等，到线段两端距离相等的点在　　　　　 　　　　　　.
这条线段两个端点
这条线段的垂直平分线上
5.如图，直线a，b相交于一点，如果∠1+∠2=280°，则∠3的度数是
　　　　.
40°
6.（新教材北师7下P38）如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足，点A，B，C在直线l上，则PO，PA，PB，PC中最短的线段是
　　　　.
PO
7.（新教材人教8上P65）如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点，则PA=　　　　.
PB
四、平行线
1.公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线
　　　　.
3.性质与判定：两直线平行 同位角　　　　；
两直线平行 内错角　　　　；
两直线平行 同旁内角　　　　；
4.平行线间的距离：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，垂线段的长度叫做两条平行线间的距离；两条平行线间的距离处处相等.
平行
相等
互补
相等
8.（新教材人教7下P17）如图，直线a∥b，∠1=54° ，则∠2=　　 °，∠3=　　　　°，∠4=　　　　°.
54
126
54
9.已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是4 cm，直线b与c之间的距离是2 cm，那么直线a与c的距离是　　　　 　.
6 cm或2 cm
五、命题
1.命题：判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论两部分组成；
2.真假命题：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题；
3.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设是另一个命题的结论，且这个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；
4.反例：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，是它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例
10.（2025攀枝花）请你取一个a的值，说明命题“|a-1|=a-1”是假命题，那么a=　　　 　.
11.（2025无锡）请写出命题“若a>b，则a+1>b+1”的逆命题：若a+1>b+1，则　　 　　.
-1（答案不唯一）
a>b
互余、互补、对顶角、求角的度数
1.（2025吉林一模）计算：35°20'+25°50'=　　　 　.
2.（2025广安）若∠A=25°，则∠A的余角为（　　）
A.25° B.65° C.75° D.155°
61°10'
B
3.（2025甘肃一模）如图，直线a，b相交，∠2+∠3=100°，则∠1的度数为（　　）
A.50° B.100° C.120° D.130°
D
垂线、角平分线、线段的垂直平分线
4.（2025佛山模拟）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB=10，AC=4，则△ACE的周长为　　　　.
14
5.（2025北京模拟）如图，已知O为直线AB上一点，CO⊥DO，OE平分∠BOD.若∠COE=22°，则∠AOD的大小为（　　）
A.46° B.44° C.68° D.22°
B
平行线的性质与判定
6.（2025云南）如图，已知直线c与直线a，b都相交.若a∥b，∠1=50°，则∠2=（　　）
A.53° B.52° C.51° D.50°
D
7. （2025湖北）数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示.若∠1=56°，则∠2的度数是（　　）
A.34° B.44° C.46° D.56°
D
8.（2025宁夏）如图，直线l1，l2被直线l3所截，直接根据“同位角相等，两直线平行”判定l1∥l2，需要的条件是（　　）
A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.∠1=∠4 D.∠2=∠3
C
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教7下P24综合运用） 如图，AB∥CD，CB∥DE.求证：∠B+∠D=180° . 证明： 　 证明：∵AB∥CD， ∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）. 3分 ∵CB∥DE， ∴∠C+∠D=180° （两直线平行，同旁内角互补）. 6分 ∴∠B+∠D=180° . 7分 满分：7分 实得：　　　　分
9.（2025江西）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1=∠2.求证：AE∥DF.
证明：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠1，
∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴AE∥DF.
10.（2024广东）如图，一把直尺、两个含30° 的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为（　　）
A.120° B.90° C.60° D.30°
C
11.（2023广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，则点E到直线AD的距离为
　　　　.
12.（2024广州）如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1=71°，则∠2的度数为　　　　 .
109°
13.（跨学科融合）（2025深圳）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON=90°，则入射角∠AON的度数为（　　）
A.22° B.32° C.35° D.122°
B
14.（跨学科融合）（2024深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜的夹角∠1=50°，则反射光线与平面镜的夹角∠4的度数为（　　）
A.40° B.50° C.60° D.70°
B
15.（2025西安模拟）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE=70°，若OG平分∠BOF，求∠DOG的度数.
解：由题意得∠BOF=∠AOE=70°，
∵OG平分∠BOF，∴∠GOF=∠BOF=35°，
∵CD⊥EF，∴∠DOF=90°，
∴∠DOG=∠DOF-∠GOF=90°-35°=55°.
16.（新教材北师8上P195知识技能改编）（跨学科融合）（几何直观、模型观念、应用意识）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO=62°，∠DCO=46°，那么∠BOC的度数是　　　　°.
108
17.（新教材人教8上P60拓广探索改编）（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别是9，12，15，其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，求S△ABO∶S△BCO∶S△CAO.
解：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD=OE=OF，
在△ABC中，AB=9，BC=12，AC=15，
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=∶∶=AB∶BC∶AC=9∶12∶15=3∶4∶5.(共37张PPT)
第二部分　图形与几何
第四章　三角形
第15讲　三角形的基本概念和性质
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
三角形的三边关系
三角形的稳定性 题3，3分
三角形的内角和
三角形的外角
三角形的角平分线、 中线、高 题19，1分 题17，2分 题22（2），1分 题18，2分 题7，3分
广东省卷近年中考数学考情分析 三角形的中位线 题5，3分 题22（1）（2），2分 题5，3分
三角形的内心
◇链接教材◇人教版： 八上第十一章P2-P17；八下第十八章P47-P49； 八上第十三章P1-P17 北师版： 七下第四章P81-P91；八上第七章P178-P183；八下第六章P150-P152； 七下第四章P85-P94 1.（2025连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（　　）
A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，10
2.（2025邯郸模拟）如图，α+β=（　　）
A.180° B.140°
C.100° D.70°
B
B
3.（2025资阳）三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是（　　）
A.12 cm B.24 cm C.28 cm D.30 cm
4.（2025南充）如图，把含有60° 的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　）
A.120° B.130°
C.140° D.150°
B
D
5.（2025珠海模拟）如图，∠A=70°，∠B=40°，CD平分∠ACE，则∠ACD=（　　）
A.55° B.70°
C.40° D.110°
A
考点通关
一、三角形的分类
1.按边分类
2.按角分类：锐角三角形、　　　　三角形、钝角三角形.
等腰
直角
基础对练
1.在△ABC中，若∠A=89°，则△ABC是（　　）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上三种情况都有可能
D
二、三角形的基本性质
1.三边关系：三角形任意两边之和　　　　第三边；任意两边之差小于第三边.
注：在求等腰三角形周长的题目中，不确定底与腰时，常需分类讨论，判断三边的长是否满足三角形三边关系.
2.角的关系：（1）内角和定理：三角形的内角和等于　　　　；
（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（3）三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
大于
180°
3.边与角的关系：在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边；大边对大角，小边对小角.
4.稳定性：三角形具有　　　　　　.
稳定性
2.（1）下列长度的三条线段能组成三角形的有　　　　（填序号）；
①1，2，3； ②3，4，5； ③5，6，10.
（2）已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于11，则它的周长为
　　　　；
（3）如图，图中∠1=　　　　，∠2=　　　　.
②③
27
40°
140°
三、三角形的主要线段
线段 图形 性质 拓展
中线 D为BC的中点，AD是中线 BD=CD=BC （1）S△ABD=S△ACD= 　S△ABC；
（2）三角形三条中线的交点为三角形的重心
高线 AD是高线，D为垂足 AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90° （3）三角形的三条高线所在的直线的交点为三角形的垂心
线段 图形 性质 拓展
角平 分线 AD是角平分线 ∠BAD=∠CAD=∠BAC （4）三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心；
（5）内心到三角形三边距离相等，它是三角形　　　　的圆心
中位 线 若D，E分别是AB，AC的中点，则DE是中位线 DE∥BC，DE=　　BC （6）△ADE与△ABC相似，其相似比为1∶2，面积比为1∶4；
（7）在三角形的问题中遇到中点时，常构造三角形中位线
内切圆
注：外心为三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等.
3.（1）（新教材人教8上P9）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.填空：
①BE=　　　　=　　　　；
②∠BAD=　　 　 = ；
③∠AFB=　　　　=90°；
④若BC=8，AF=5，则S△ABC=　　　　，S△ABE=　　　　.
CE
BC
∠CAD
∠BAC
∠AFC
20
10
（2）如图，在△ABC中，已知D，E分别为边AB，AC的中点，若∠C=70°，BC=4，则∠AED=　　　　，DE=　　　　.
70°
2
4.如图，I是△ABC的内心.
（1）若∠A=50°，则∠BIC=　　　　；
（2）若点I到边BC的距离为3，则点I到边AB的距离为　　　　.
115°
3
三角形的三边关系
1. （2025成都二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（　　）
A.甲
B.乙
C.甲或乙
D.甲和乙均不可以
B
2.（2025福州模拟）在下列长度的四条线段中，能与长4 cm和5 cm的两条线段围成一个三角形的是（　　）
A.1 cm B.2 cm C.13 cm D.14 cm
B
三角形角的计算
3.（2025乐山）如图，∠1的度数为　　 　　.
100°
4.（2025盐城三模）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B=70°，∠C=30°，则∠BAE的度数是（　　）
A.10° B.20° C.30° D.40°
D
5.（2025扬州一模）如图，在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，且∠B=28°，∠ACE=62°，则∠BAC的度数为（　　）
A.90° B.96° C.106° D.124°
B
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8上P12探究、北师8上P178课堂导入） 已知：如图，△ABC是任意一个三角形. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明： 证明：如图，过点A作直线EF∥BC，1分 ∵EF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C. 4分 ∵∠BAC+∠1+∠2=180°， 5分 ∴∠BAC+∠B+∠C=180°. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
三角形的角平分线、中线、高、中位线、内心、外心和重心
6.（2025广州一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD=3，AB=10，则△ABD的面积是　　　.
15
7.（2025江门模拟）如图，点O是△ABC的内心，连接OA，OC，若△OCA的高OD=3，则点O到边AB的距离为　　　　.
3
8.（2025甘肃二模）如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB=6，CD=3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（　　）
A.2
B.3
C.4
D.6
A
9.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABD的角平分线，∠C=60°，∠CAE=50°，求∠B的度数.
解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠C=60°，∴∠CAD=90°-∠C=30°，
∵∠CAE=50°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=20°，
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠BAD=2∠DAE=40°，
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴∠B=90°-∠BAD=50°.
10.（2025广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=（　　）
A.20° B.40° C.70° D.110°
C
11.（2023深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（　　）
A.70° B.65° C.60° D.50°
A
12.（2023广州节选）如图，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM=2.4时，DE的长是　　　　.
1.2
13.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这样的三角形为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”.若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B=60°，则△ABC中最小内角的度数为　　　　 　.
20° 或 30°
14.（2025青岛模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠C=80°，∠B=24°.
（1）求∠BAC的度数；
解：（1）由三角形的内角和定理得
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-24°-80°=76°.
（2）求∠P的度数.

（2）∠BCE=∠B
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=×76°=38°，
∴∠BDP=∠B+∠BAD=24°+38°=62°，
∵PE⊥BC于E，∴∠PED=90°，
∴∠P=90°-∠BDP=90°-62°=28°.
15.（新教材北师7下P93知识技能改编）（运算能力、推理能力）有四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，甲、乙分别给出了下列结论，判断正确的是（　　）
甲：x的取值可能有4个；乙：组成的三角形中，周长最大为16.
A.甲、乙都正确　　 B.甲、乙都不正确　　
C.甲正确，乙不正确　　 D.甲不正确，乙正确
D
16.（新教材人教8上P17拓广探索改编）如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
（1）求证：∠BAC=∠B+2∠E；
（1）证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE，
∵∠DCE=∠B+∠E，∴∠ACE=∠B+∠E，
∵∠BAC=∠ACE+∠E，
∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.
（2）如图2，若AF平分∠BAC，∠ECD=60°，∠E=24°，求∠AFC的度数.
（2）解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠ECD=2×60°=120°，∴∠ACB=60°，
∵∠ECD=60°，∠E=24°，∠B=60°-24°=36°，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ACB-∠B=84°，
∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠BAC=42°，
∴∠AFC=∠B+∠BAF=36°+42°=78°.(共37张PPT)
第二部分　图形与几何
第四章　三角形
第18讲　等腰三角形、等边三角形、直角三角形
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
等腰三角形的 判定和性质 题23，2分 题22（1），2分 题18，3分 题20，1分 题22（1），4分 题13，4分
等边三角形的 判定和性质 题21，2分
广东省卷近年中考数学考情分析 直角三角形的判定和 性质、勾股定理 题19，3分 题22，5分 题23，4分 题17，2分 题19，5分 题20，7分 题22（2），2分 题23（2），1分 题16，1分
题23，3分
题24（1）（3），2分
◇链接教材◇人教版： 八上第十三章P75-P81；八下第十七章P21-P39； 八上第十五章P78-P85 北师版： 八上第一章P1-P19；八下第一章P2-P21； 八上第一章P2-P15 2022新课标 重要变化 1.理解（改动）等腰三角形的概念. 2.理解（改动）直角三角形的概念. .
.
.
.
1.（2025宿迁）若等腰三角形的两边长为2 cm和4 cm，则该等腰三角形的周长为　　　　cm.
2.（2025长沙一模）如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点 B，C 分别在 l，m上.若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）
A.70° B.40°
C.30° D.20°
10
B
3.（2025贵州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，△AOB是等边三角形，若AB=2，则点B的坐标是（　　）
A.（-1，2） B.（-1，）
C.（1，） D.（-，-1）
B
4.（2025资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是　 　　　　 　　 .
∠BCE=∠B（答案不唯一）
5.（2025广安）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为　　　　.
2
考点通关
一、等腰三角形
1.定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.性质：（1）等腰三角形的两腰相等；
（2）等腰三角形的两　　　　相等，即“等边对等角”；
（3）等腰三角形的　　　　　　，　　　　 　　，　　　　　　互相重合，即“三线合一”.
底角
顶角平分线
底边上的中线
底边上的高
3.判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.
4.对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边上的中线.
基础对练
1.（1）等腰三角形的一个角是70°，则它的另外两个角分别是
　　　　 　　　　；
（2）如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，则△CEB是______　　　　三角形.
70°，40°或55°，55°
等腰
二、等边三角形
1.定义：三边相等的三角形是等边三角形.
2.性质：（1）等边三角形的三边相等，三角相等，且都等于60°；
（2）三线合一.
3.判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是　　　 　的等腰三角形是等边三角形.
4.对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
60°
2.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，则△ADE是　　　　三角形.
等边
3.已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（　　）
A.9　 B.9　 C.18　 D.18
B
三、直角三角形
1.定义：有一个角是　　　　的三角形是直角三角形.
2.性质：（1）直角三角形的两锐角互余；
（2）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的　　　　；
（4）直角三角形中，斜边上的　　　　长等于斜边长的一半.
直角
一半
中线
3.判定：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.（定义）
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.勾股定理及其逆定理：
（1）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.
4.（1）如图，在Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=30°，EF=10，则DF=
　　　　；
（2）已知直角三角形斜边长是14，则斜边上的中线长是 　 .
5
7
5.如图，已知AB=AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为
　　　　.
1-
四、等腰直角三角形
1.性质：（1）两直角边相等；（2）两锐角相等且都等于　　　　；
（3）“三线合一”；（4）等腰直角三角形是轴对称图形，有一条对称轴.
2.判定：（1）有一个角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形；
（2）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形；
（3）有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形；
（4）两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形.
45°
3.S=a2=bh，其中a为腰长，b为底边长，h为底边上的高，a=h，b=a.
6.如图，在等腰直角三角形ABC中，若AC=2，则S△ABC=　　　　.
1
等腰、等边三角形的判定和性质
1.（2025温州模拟）已知等腰三角形的顶角是40°，则它的一个底角的度数是（　　）
A.40° B.50°
C.70° D.100°
C
2.（2025辽宁模拟）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　）
A.240° B.120°
C.170° D.360°
A
3.（2025贵州二模）如图，在等边三角形ABC中，AB=4，BD⊥AB，CD∥AB，则CD的长度为（　　）
A. B.2
C.2 D.4
C
4.（2025中山二模）如图，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD.若AB=AC，∠BAD=∠CAD.求证：∠DBC=∠DCB.
证明：如图，延长AD交BC于点G，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AG⊥BC，BG=CG，
∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB.
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8上P83综合运用） 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC. 求证：△AMN的周长等于AB+AC. 证明： 证明：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO=∠CBO. 1分 ∵MN∥BC， ∴∠CBO=∠BOM. 2分 ∴∠ABO=∠BOM. ∴BM=OM. 4分 同理可得CN=ON， 5分 ∴△AMN的周长=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
直角三角形的判定及其性质、勾股定理
5.（2025深圳二模）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　）
A.60° B.50°
C.40° D.30°
C
6.（2025韶关一模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，则DE的长等于（　　）
A.8 B.6
C.4 D.5
D
7.（2025南京模拟）如图，在△ABC中，∠A=60°，AC=AB.求证：△ABC是直角三角形.
证明：如图，在AB上截取AD=AC，连接CD，
∵∠A=60°，∴△ACD是等边三角形，
∴CD=AD=AC，∠ADC=∠ACD=60°，
∵AC=AB，∴BD=AD=CD，
∴∠B=∠BCD，
∵∠ADC=∠B+∠BCD=60°，
∴∠BCD=30°，∴∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°，
∴△ABC是直角三角形.
8.（2025清远模拟）如图，△BED是等腰直角三角形，AC经过点E，过点B作BA⊥AC，过点D作DC∥BA，若CD=8，AC=10，求△BDE的面积.
解：∵△BED是等腰直角三角形，
∴BE=DE，∠BED=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∵BA⊥AC，∴∠A=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CED，
∵DC∥BA，∴∠C=∠A=90°，
∴△AEB≌△CDE（AAS），
∴CD=AE，
∵AC=10，CD=8，
∴CE=AC-AE=2，
在Rt△DCE 中，由勾股定理得DE2=EC2+CD2=68，
∴S△BDE=DE2=×68=34.
9.（2024广州）如图，在 ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE=　　　　.
5
10.（2023广东）综合与实践.
主题：制作无盖正方体形纸盒.　素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
解：（1）∠ABC=∠A1B1C1.
（2）证明（1）中你发现的结论.
（2）∵A1B1为正方形对角线，∴∠A1B1C1=45°，
连接AC，设每个方格的边长为1，
则AB==，AC=BC==，
∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，∴∠ABC=∠A1B1C1.
11.（2025浙江二模）如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在边AB，AC上，且CB=CE=CF，连接BF，CE.
（1）当∠A=40°时，求∠BFC的度数；
解：（1）由条件可知∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=70°，
∵CB=CF，∴∠BFC=∠CBF=（180°-∠ACB）=55°.
（2）若∠BFC+∠BEC=126°，求∠A的度数.


（2）由条件可知∠CBE=∠CEB=∠BCF，
∵∠BFC+∠BEC=126°，
∴∠BFC+∠BCF=126°，
∴∠CBF=180°-（∠BFC+∠BCF）=54°，
∴∠BFC=∠CBF=54°，
∴∠BCF=180°-∠BFC-∠CBF=72°，
∴∠CBE=∠BCF=72°，
∴∠A=180°-∠CBE-∠BCF=36°.
12.如图，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F，BD=6，AE⊥BC于点E，求CE的长.
解：连接AD，
∵DF垂直且平分AB，∴BD=AD=6，
∵∠B=22.5°，∴∠DAB=∠B=22.5°，
∴∠ADE=∠B+∠DAB=45°，
∵AE⊥BC，∴∠DAE=45°，∴△AED为等腰直角三角形，
∴DE=AE=AD，∴AE=6.
∵∠C=60°，∴∠CAE=90°-60°=30°，∴AC=2CE，
在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，∴4CE2=62+CE2，∴CE=2.
13.（新教材北师8下P41数学理解改编）（几何直观、推理能力、模型观念）某同学做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，则下列结论不一定正确的是（　　）
A.EH=FH　
B.∠DEH=∠DFH
C.EF垂直平分DH
D.DH垂直平分EF

C
14.（新教材人教8下P44拓广探索改编）（几何直观、空间观念、模型观念、创新意识）如图，长方体的底面是边长为1 cm的正方形，高为
3 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线的长度最短为　　　　.
5 cm(共46张PPT)
第二部分　图形与几何
第四章　三角形
第17讲　相似三角形
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
黄金分割 题23，6分 题6，3分
平行线分线段 成比例定理 题15，3分
相似三角形的判定 题23，2分 题21（1），2分 题22（2）（3），2分 题23（2）（3），3分 题22（2），1分 题23（2），2分 题23（2），2分 题23，2分
广东省卷近年中考数学考情分析 相似三角形的性质 题12，3分 题23，1分 题22（2）（3），2分 题23（2）（3），3分 题22（2），2分 题23（2），2分 题23（2），1分 题23，1分
◇链接教材◇人教版：九下第二十七章P23-P59 北师版：九上第四章P75-P123 1.（2025汕头一模）已知=，则下列式子不成立的是（　　）
A.5x=3y B.= C.3x=5y D.=
C
2.（2025乐山）如图，l1∥l2∥l3，AB=2，DE=3，BC=4，则EF的长为
（　　）
A.4
B.6
C.8
D.10
B
3.（2025济宁二模）如图，在△ABC中，P是AB上一点，连接CP.请你补充一个条件： 　 ，使△ABC∽△ACP.
∠B=∠ACP（答案不唯一）
4.（2025丹东二模）已知两个相似三角形的对应边的比为4∶1，则它们对应高线的比为（　　）
A.4∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.16∶1
A
5.（2025兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O.已知BC∶B'C'=1∶2，则B（2，0）的对应点B'的坐标是（　　）
A.（3，0） B.（4，0）
C.（6，0） D.（8，0）
B
6.（2025深圳模拟）如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB.已知AB为2米，则线段BE的长为　　　　　米.
（-1）
考点通关
一、比例线段
1.线段的比：两条线段的长度之比叫做两条线段的比.
2.比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.
3.比例的性质：（1）= ad=bc；（2）合比性质：= =；
（3）等比性质：==…=（b+d+…+n≠0） =.
4.黄金分割：如图，点C为线段AB上一点，AC>BC，若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点.（注：掌握黄金分割点的尺规作图）
5.平行线分线段成比例定理：
（1）基本事实：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即有=，=等.
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
基础对练
1.（1）a，b，c，d是成比例线段，其中a=4 cm，b=2 cm，c=10 cm，则线段d的长为　　　　；
（2）已知==（b+d≠0），则的值为　　　　；
（3）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=3，GD=1，DF=8，则=　　　　.
5 cm
2.已知点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP），如果AB=1，那么BP的长是　　　　 .
二、相似三角形的性质与判定
1.定义：对应角相等、　　　　成比例的两个三角形叫做相似三角形.
2.相似三角形的性质定理：
（1）相似三角形的对应角　　 　　；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）　　　　；
（3）相似三角形的周长比等于　　　　，面积比等于　　　　　　　.
相等
成比例
相似比
相似比的平方
对应边
3.相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似 （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 （3）三边对应成比例的两个三角形相似 （4）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
（5）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.补充： 若CD为Rt△ABC斜边上的高，则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△ CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB. 3.已知△ABC∽△DEF，相似比是5∶3，则其对应中线之比为　　　，对应高之比为　　　　，周长之比为　　　　，面积之比为　　　　.
5∶3
5∶3
5∶3
25∶9
4.如图，P是△ABC的边AB上的一点.
（1）如果∠ACP=∠B，△APC与△ACB是否相似？　 　　
（2）如果=，△APC与△ACB是否相似？　　 　
（3）如果=，△APC与△ACB是否相似？　　 　
相似
相似
不相似
三、相似多边形
1.定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比.
2.性质：（1）相似多边形的对应角相等、对应边成比例；
（2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
5.如图，四边形ABCD和EFGH相似，则角α=　　　，β=　　　，EH的长度x=　　　　.
83°
81°
28
四、图形的位似
1.定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时相似比又称位似比.
2.性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
　　　，位似图形周长的比等于　　　，面积比等于相似比的平方；
（2）在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于k或-k；
（3）位似图形对应顶点的连线或延长线相交于一点.
相似比
相似比
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形.点B（-6，3）的对应点为B'（2，-1），若AA'=12，则点A的坐标为　　 　　.
（-9，0）
比例线段
1.（2025成都）若=3，则的值为　　　　.
2.（2025深圳模拟）已知a，b，c，d成比例线段.若a=5 cm，b=10 cm，d=8 cm，则c的长为（　　）
A.2.5 cm B.4 cm C.10 cm D.16 cm
4
B
3.（2025青海）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2，则的值是　　　　.
4. （2025扬州三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度约为（　　）
A.6.18 cm B.3.82 cm
C.6.28 cm D.4.82 cm
B
相似三角形的判定
5.（2025昆明模拟）如图，∠1=∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件： 　 .
∠B=∠D（答案不唯一）
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教9下P36练习、北师9上P90数学理解） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ，CD⊥AB于点D，求证：△ACD∽△CBD. 证明： _______________________ 证明：∵CD⊥AB， 1分 ∴∠ADC=∠CDB=90° . 2分 ∵∠ACB=90° ， ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90° . 4分 ∴∠A=∠BCD. 6分 ∴△ACD∽△CBD. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
6.（2025广州模拟）如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q为CD的中点.
求证：△PCQ∽△QDA.
证明：∵BP=3PC，Q为CD的中点，且四边形ABCD为正方形，
∴==，
又∵∠QCP=∠ADQ=90°，
∴△PCQ∽△QDA.
7.（2025烟台模拟）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB=6，AE=3，CD=18.
（1）求AC的长；
（1）解：∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，∴=，
∴CE===9，
∴AC=AE+CE=12.
（2）求证：△ABE∽△ACB.
（2）证明：∵==，==，
∴=，
∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB.
相似三角形的性质
8.（2025云南）如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC.若=，则=（　　）
A. B.
C. D.
A
9.（2025河南一模）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB=6，则CD的长为　　　　.
12
10.（2025杭州一模）如图，已知四边形ABCD对角线AC，BD交于点E，点F是BD上一点，连接AF，△ABF∽△ACD.
（1）求证：△ABC∽△AFD；
（1）证明：∵△ABF∽△ACD，
∴=，∠BAF=∠CAD，
∴=，∠BAC=∠FAD，
∴△ABC∽△AFD.
（2）若BC=4，AD=9，DF=6，求AC的长.
（2）解：由（1）知△ABC∽△AFD，
∴=，
∵BC=4，AD=9，DF=6，
∴=，∴AC=6.
位似图形
11.（2025眉山）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（　　）
A.2∶1 B.1∶2
C.4∶1 D.1∶4
B
12.（2025内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似.若△OA'B'与△OAB的相似比为 2∶1，则点A的对应点A'的坐标为（　　）
A.（-2，-1） B.（-4，-2）
C.（-1，-2） D.（-2，-4）
B
13.（2023广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了（　　）
A.黄金分割数 B.平均数 C.众数 D.中位数
A
14.（2025广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是　　　　.
1∶3
15.（2025广州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若=，则=　　　　.
16. 如图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面AB的长为　　 　　.
3.2 cm
17.（2025安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，连接CE，过B作CE的垂线，垂足为点G，交CD于点F.
（1）求证：△CDE∽△BGC；
（1）证明：在矩形ABCD中，∠D=90°.
∵BG⊥CE，∴∠CGB=90°.∴∠D=∠CGB，
∵∠ECD+∠BCG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ECD=∠CBG，
∴△CDE∽△BGC.
（2）若AB=4，BC=3，DE=2，求四边形ABGE的面积.

（2）解：在矩形ABCD中，CD=AB=4.
在Rt△DCE中，DE=2，根据勾股定理，得
CE===2，
∴S△CDE=CD·DE=×4×2=4，
∵△CDE∽△BGC，
∴=，即=，解得S△BGC=，
∴四边形ABGE的面积=S矩形ABCD-S△CDE-S△BGC=4×3-4-=.
18.（北师9上P122知识技能改编）（几何直观、推理能力、模型观念）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=，BC=1.连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.有下列结论：①△BFG∽△FEG；②BQ=FQ；③AP=2PC.你认为正确的是　　　　　　（填序号）.
①②③
19.（人教9下P44拓广探索改编）（几何直观、空间观念、创新意识）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.
（1）求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
解：（1）由题可知BD=2x，则AD=8-2x，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴=，∴=，∴y=-x+6（0≤x≤4）.
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？
（2）解：∵∠A=90°，∴AE是△BDE中BD边上的高，
∴S=BD·AE=×2x×=-x2+6x=-（x-2）2+6，
∴当x=2时，S有最大值，最大值为6.(共34张PPT)
第二部分　图形与几何
第四章　三角形
第20讲　解直角三角形
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
解直角三角形 题22（3），2分 题23（3），2分 题22（2），4分 题16，4分
题20（2），3分
解直角三角形的应用 题21，5分 题18，7分 题18，7分
◇链接教材◇人教版：九下第二十八章P74-P85 北师版：九下第一章P19-P23 1.（2025南通）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC.若AC=4.8 m，∠C=30°，则EF的长为　　　　m.
1.2
2.（2025西安模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90° ，AD为BC边上的中线.若AC=3，CD=2，则sin B的值为（　　）
A. B.
C. D.
C
3.（2025河北一模）如图，一艘快艇从A地出发，向正北方向航行5海里后到达B地，然后右转60° 继续航行到达C地，若C地在A地北偏东30° 方向上，则AC=（　　）
A.5海里 B. 海里
C.5 海里 D. 海里
C
4.（2025北京期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=2，解这个直角三角形.
解：在Rt△ABC中，∵tan A===，
∴∠A=30°.∴AB=2BC=4.
∵∠A+∠B=90°，∴∠B=60°.
考点通关
一、解直角三角形
1.概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° ，∠A，∠B，∠C所对应的边分别是a，b，c.
常用关系：（1）三边关系：　　　　 　　（勾股定理）；
（2）两锐角关系：　　 　　　　　；
（3）边角关系：sin A=cos B=；cos A=sin B=；
tan A=；tan B=；
（4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.
a2+b2=c2
∠A+∠B=90°
基础对练
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）c=8，∠A=30°；
（1）a=4，b=4，∠B=60°.
（2）b=7，∠A=45°；
（3）a=1，b=.
（2）a=7，c=7，∠B=45°.
（3）c=2，∠A=30°，∠B=60°.
二、三角函数的实际应用
仰角、俯角 坡度、坡角 方向角
从下向上看，叫做仰角；从上往下看，叫做俯角 坡角为α， 坡度（或坡比），记作i==tan α
点A位于点O的　　 　20°；点B位于点O的北偏东　　　；点C位于点O的南偏东45°
南偏西
75°
2.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤高BC=10 m，则坡面AB的长度为　　　　.
20 m
解直角三角形
1.（2025肇庆模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tan A=，BC=a，则AB的长为（　　）
A.a B.2a C.a D.a
C
2.（2025深圳模拟）在平面直角坐标系的第一象限内有一点P，射线OP与x轴正半轴的夹角为α，如果OP=10，sin α=，那么点P坐标为
　　　 　.
（8，6）
解直角三角形的应用
3. （2025内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处，从点C测得点A的俯角为60°，测得点B的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为
　　　　 m（结果保留根号）.
120
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教9下P76例题） 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin 34°≈0.56，≈1.73） 解： 解：如图，在Rt△APC中， ∠APC=90°-60°=30°，PA=80海里， cos∠APC=，　 1分 ∴PC=PA·cos 30°=80×≈80× =69.2（海里）. 3分 在Rt△BPC中，∠B=34°，sin B=， 4分 ∴PB=≈≈124（海里）. 6分 答：B处距离灯塔P约有124海里. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
4. （2025湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30 m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18 m，求乙楼的高.（参考数据：tan 35°≈0.7）
解：过A作AC⊥BC于C，则∠ACB=90°，
∵∠BAC=35°，AC=30 m，
∴BC=AC·tan 35°≈30×0.7=21（m），
∴乙楼的高=21+18=39（m）.
5. （2025湖南模拟）如图1是某小区投放安装的儿童游乐设施，如图2是滑梯部分的示意图，AB⊥DC，经过测量可知，攀登梯AD的坡比为1∶1，且AD=2.1米，∠C=37°，求滑道AC的长度.（参考数据：≈1.414，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，结果精确到0.1米）
解：∵攀登梯AD的坡比为1∶1，∴=1，
∴在Rt△ABD中，AB=BD=AD.
∵AD=2.1米，
∴AB=AD=×2.1≈×1.414×2.1≈1.48（米）.
在Rt△ABC中，∠C=37°，
∴AC=≈≈2.5（米）.
答：滑道AC的长度约为2.5米.
6. （2025宿州模拟）数学兴趣小组利用周末时间测量学校对面山上的瞭望塔的高度，如图，小组成员小彬站在45°的斜坡AB上的点A处测量对面依山而建的瞭望塔CD的高度，点A到地面BD的距离AH=8 m，由测量知：视线与斜坡的夹角∠CAB=75°，BD=8 m.求瞭望塔CD的高度.（结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.4，≈1.7）
解：如图，过点A作AG⊥CD于点G，则∠AGC=∠AGD=90°，
由题意知∠H=∠GDH=90°，
∴AG=DH，GD=AH=8 m，AG∥DH，
∴∠GAB=∠ABH=45°，∴∠CAG=∠CAB-∠GAB=30°.
∵∠ABH=45°，AH=8 m，
∴BH===8（m），∴AG=DH=DB+BH=16 m.
∵∠CAG=30°，AG=16 m，
∴CG=AG·tan∠CAG=16·tan 30°=≈9.07（m），
∴CD=CG+GD=9.07+8≈17.1（m）.
答：瞭望塔CD的高度约为17.1 m.
7.（2023广东）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC=BC=10 m，两臂夹角∠ACB=100°时，求A，B两点间的距离.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50° ≈1.192）
解：如图，连接AB，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
∵AC=BC=10 m，∠ACB=100°，
∴∠ACD=∠ACB=50°，
在Rt△ADC中，sin∠ACD=，
∴AD=AC·sin∠ACD=10×sin 50°≈7.66（m），
∴AB=2AD=2×7.66=15.32≈15.3（m）.
答：A，B两点间的距离约为15.3 m.
8.（2024广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米.
（1）求CD的长；
解：（1）由题意得AC⊥CD，BE∥CD，
∴∠EBD=∠BDC=36.87°，
在Rt△BCD中，BD=10米，
∴CD=BD·cos 36.87°≈10×0.80=8（米），
∴CD的长约为8米.
（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间.
（参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，tan 36.87°≈0.75）
（2）解：在Rt△BCD中，BD=10米，∠BDC=36.87°，
∴BC=BD·sin 36.87°≈10×0.60=6（米），
在Rt△ACD中，AD=17米，CD=8米，
∴AC===15（米），
∴AB=AC-BC=15-6=9（米），
∴模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2=4.5（秒）.
9.（2025海南）现有一台红外线理疗灯（如图1），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A，B，C三点在同一直线上，如图2是该设备的平面示意图.AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l 的夹角为∠1，DE与 l 的夹角为∠2.经测量：AB为 12 cm，BC为
26 cm，DE为30 cm，∠BCD=154°，∠CDE=63°.
（1）填空：∠1=　　　　°，∠2=　　　　°；
64
53
【解答】如图，延长AC交l于点G，延长ME交l于点H，
∴∠CGD=90°，∠EHD=90°，
∵∠BCD=154°，∴∠1=154°-90°=64°，
∵∠CDE=63°，∴∠2=180°-64°-63°=53°.
（2）已知点E到AF的距离EM为50 cm时，该设备使用效果最佳，求此时伸缩杆CD的长度.（参考数据：sin 26°=0.44，cos 26°=0.90，sin 37°=0.60，cos 37°=0.80）
（2）解：∵∠2=53°，∠EHD=90°，∴∠HED=37°，
∵在Rt△EDH中，DE=30 cm，cos∠HED=，
∴EH=DE·cos∠HED=30×cos 37°≈24（cm），
∵EM=50 cm，∴MH=EM+EH=74（cm），∴AG=MH=74 cm，
∵AC=AB+BC=12+26=38（cm），
∴CG=AG-AC=36（cm），
∵在Rt△CGD中，∠GCD=90°-∠1=26°，cos∠GCD=，
∴CD==≈40（cm），
故此时伸缩杆CD的长度约为40 cm.
10.（北师9下P21问题解决改编）（运算能力、几何直观、模型观念）如图，在燕尾槽的横断面四边形ABCD中，AB∥CD，燕尾角∠A=45°，∠B=30°，外口宽CD=12 m，燕尾槽的深度DE=4 m，则它的里口宽AB的长为　　　　　　　　（结果保留根号）.
（16+4）m
11.（人教9下P79拓广探索改编）（运算能力、几何直观、应用意识）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶.测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向.A，B之间的距离为80 n mile，求C岛到航线AB的最短距离.（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数）
解：如图，过点C作CF⊥AB于F，设CF=x n mile.
由题意得∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠CBE=40°，AD∥BE，
则∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，
∵AD∥BE，∴∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°，
∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.
在Rt△ACF中，∵∠CAF=30°，∴AF=CF=x.
在Rt△CFB中，∵∠FBC=60°，∴BF=CF=x.
∵AF+BF=AB，∴x+x=80，解得x=20≈34，
故C岛到航线AB的最短距离约为34 n mile.(共25张PPT)
第二部分　图形与几何
第四章　三角形
第19讲　锐角三角函数
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
特殊角的三角函数值 题14，3分 题11，3分
锐角三角函数的定义 题10，3分 题16，4分
三角函数与网格、坐标系结合
◇链接教材◇人教版：九下第二十八章P60-P73　　 北师版：九下第一章P2-P18 1.（2025宜昌一模）已知sin A=，则锐角∠A=　　　　.
2.（2025梅州一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=2，则
cos B=　　　　.
3.（2025南通）在△ABC中，∠C=90°，tan A=，AC=2，则BC的长为（　　）
A.1 B.2
C. D.5
30°
C
4.（2025天津模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，BC=5，求sin B，cos B，tan B的值.
解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，BC=5，
∴AC===4，
∴sin B==，cos B==，tan B==.
考点通关
一、锐角三角函数
1.定义：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对应的边分别是a，b，c，则：∠A的正弦sin A==　　　　，
∠A的余弦cos A==　　　　，
∠A的正切tan A==　　　　.
基础对练
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° ，AB=10，BC=6，则sin A= 　，
cos A=　　　　，tan A= 　.
二、特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
sin α 　　　　　　　 　　　　　　　
cos α 　　　　　　　 　　　　　　　
tan α 　　　　　　　 　　　　　　　
1
2.求下列各式的值：
（1）tan 45°-sin 30° = 　；
（2）2sin 30°cos 30° = 　 .
3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=，则∠A的度数为　　　　.
60°
特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义
1.（2025连云港模拟）若sin α=，则锐角α的度数是　　　　.
2.（2025广西）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，则sin B=（　　）
A. B. C. D.
45°
B
3.（2025安徽模拟）计算：cos 60° +|-2|=　　　　.
4.（2025中山一模）求值：（1）sin260° +cos260°；
（2）sin230°+cos 30°.
解：（1）原式=+=+=1.
（2）原式=+=+=.
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教9下P64练习变式） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，求sin A·cos A的值. 解： 解：在Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=3，AB=5， 由勾股定理，得 BC===4， 2分 ∴sin A==， 4分 cos A==. 6分 ∴sin A·cos A=× =. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
三角函数与图形相结合
5.（2025常州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则sin B的值是（　　）
A. B.
C. D.
C
6.（2025苏州二模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan A的值是（　　）
A. B.
C. D.2
C　
7.（2025烟台一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则cos∠ABC的值为（　　）
A. B.
C. D.
B
8.（2025佛山模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=37°，AC=5，求点A到BC的距离.
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ACD中，∠ACB=37°，AC=5，
∴AD=AC·sin 37°≈5×=3，
∴点A到BC的距离约为3.
答案图
9.（2025广东）计算20-2sin 30°的结果是　　　 　.
10.（2023深圳）计算：（1+π）0+2-|-3|+2sin 45°.
0
解：原式=1+2-3+2×=0+=.
11.（2025深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sin A的值为（　　）
A. B.3
C. D.
D
12.（2025广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD=，AB=26，则点B到AD的距离为　　　　.
10
13.已知sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β，用特殊角三角函数值求
sin 75°的值.
解：sin 75°=sin（30°+45°）
=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°
=×+×=.
14.（2025淮南一模）在如图的直角三角形中，我们知道sin A=，cos A=，tan A=，∴sin2A+cos2A=+===1.即一个角的正弦和余弦的平方和为1.
（1）请根据上面的探索过程，探究sin A，cos A与tan A之间的关系；
解：（1）∵sin A=，cos A=，tan A=，
∴==，∴tan A=.
（2）利用上面探究的结论解答：已知α为锐角，且tan α=，求的值.
（2）∵tan α=，∴=，
∴2sin α=cos α，
∴==-.
15.（人教9下P69综合运用改编）（几何直观、推理能力、模型观念）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC，若BD=2，sin C=，则线段AB的长为（　　）
A.3 B.4
C.4 D.2
D
16.（北师9下P27联系拓广改编）（运算能力、几何直观、模型观念、创新意识）综合与实践：图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，△OA0A1是直角边为1的等腰直角三角形，以△OA0A1的斜边OA1为直角边，1为另一直角边，画第二个直角三角形，以此类推.
（1）观察：第三个三角形的面积S3=　　　　；
（2）猜想：第n个三角形的面积Sn=　　　 　；
（3）迁移：求+++…+的值；
（4）拓展：tan∠OAn（n≥1）的值为　　　　.
　
（3）原式=+++…+
=×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=.

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