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(共29张PPT)
第一部分 数与代数
第一章 数与式
第4讲　二次根式
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
算术平方根 题7，3分
平方根
立方根 题16（1），1分
二次根式的非负数性质 题5，3分
二次根式的化简与计算 题3，3分 题12，3分 题9，3分
广东省卷近年中考数学考情分析 ◇链接教材◇人教版： 七下第六章P40-P52；八下第十六章P1-P20； 七下第八章P39-P51 北师版： 八上第二章P26-P35，P41-P52； 八上第二章P31-P52 2022新课标 重要变化 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单的四则运算.（改动）
1.（2025福建）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是
（　　）
A.-2 B.-1 C.0 D.2
2.（2020广东）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A.x≠2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠-2
D
B
3.（2025重庆三模）估算3×（-）的值在（　　）
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
4.（2025青岛模拟）下列计算正确的是（　　）
A.-= B.×=2
C.÷= D.×=
5.（2025新疆模拟）已知2C
B
1
6.（2025成都模拟）计算：3×-+2.
解：原式=3-2+8
=9-2+8
=15.
考点通关
一、算术平方根、平方根和立方根
平方根 算术平方根 立方根
正数a 　　　　 　　　　
0 　　　　 0 　　　　
负数a 无 　　　　 　　　　
±
0
0
无
基础对练
1.（新教材人教7下P61）（1）0.36的算术平方根是　　　　，平方根是　　　　；
（2）-0.729的立方根是 　 .
0.6
±0.6
-0.9
二、二次根式的有关概念
1.定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式.
二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0（a≥0）.
2.最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）分母不含二次根式；
（3）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式.
2.（1）当x　　　　时，式子在实数范围内有意义；
（2）化为最简二次根式：
=　　　　 ； = 　 ；
=　　　 　； = 　 .
≥2
4
2
三、二次根式的性质
1.双重非负性：≥0且a≥0.
2.（）2=a（　　　　）；=|a|=
3.=　　　　（a≥0，b≥0）.
4.=　　　　（a≥0，b>0）.
a≥0
a
-a
·
3.计算：
（1）（）2=　　　　；
（2）=　　　　；
（3）=　　　　；
（4）=　　　　.
2.5
3
15
四、二次根式的运算
1.二次根式的加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
2.二次根式的乘法：逆用公式=·（a≥0，b≥0），即得二次根式的乘法法则：　　　　　　　　　（a≥0，b≥0）.
3.二次根式的除法：逆用公式=（a≥0，b>0），即得二次根式的除法法则：　　　　　　　　（a≥0，b>0）.
·=
=
4.计算：
（1）+=　　　　；
（2）×=　　　　；
（3）=　　　　.
4
3
2
五、二次根式的估值
1.确定无理数的值在哪两个相邻整数之间
（1）先对无理数平方，如（）2=2；（2）找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如1和4；（3）对以上两个整数开方，如=1，=2；（4）确定这个无理数的值在这两个数开方后所得的两个整数之间，即1<<2.
2.确定无理数的整数部分和小数部分
要确定a±的整数部分和小数部分，先对a±进行估值，如1+的整数部分是3，则它的小数部分是1+-3，即-2.
5.（2021广东）设6-的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+）b的值是（　　）
A.6　
B.2
C.12
D.9
A
二次根式有意义的条件
1.（2025北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　　　　.
2. （2025长沙三模）若代数式有意义，则x的取值范围是
（　　）
A.x>-3 B.x≥-3 C.x>-3且x≠5 D.x≥-3且x≠5
x≥1
D
平方根、算术平方根、立方根
3.（2025山东一模）9的平方根是（　　）
A.3 B.±3 C.± D.±81
4.（2025淄博一模）-27的立方根是（　　）
A.3 B.-3 C.±3 D.
B
B
二次根式非负数性质的运用
5.（2025成都模拟）已知实数x，y满足+|y-3|=0，则x+y=
　　　　.
6.（2021广东）若|a-|+=0，则ab=（　　）
A.　 B.　 C.4 　 D.9
-2
B
二次根式的化简及运算
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8下P14例题） 计算：（+3）（-5）. 解：__________________________ 解：原式=（）2+3-5-15 3分 =2-2-15 5分 =-13-2. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
7.（2025青岛模拟）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简
+结果为（　　）
A.7
B.-7
C.2a-15
D.无法确定
A
8.（2025天津）计算（+1）（-1）的结果为　　　　.
9.（2025上海二模）计算：+4cos 45°+|-2|-（3.14-π）0.
60
解：原式=+4×+2--1
=-1+2+2--1
=3-.
10.（2025广州）要使代数式有意义，则x的取值范围是　　　　.
11.（2024广东）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　）
A.2 B.5 C.10 D.20
12.（2025广东）计算×的结果是（　　）
A.3 B.6 C. D.2
x≥-1且x≠3
B
B
13.（2025深圳模拟）在解决问题“已知a=-，求3a2-6a+1的值”时，聪聪是这样分析与解答的：
解：∵a=-=-=1-，∴a-1=-，
∴（a-1）2=2，a2-2a+1=2，∴a2-2a=1，∴3a2-6a+1=3（a2-2a）+1=4.
请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：=　　　　　；
（2）若a=，求4a2-8a-2的值.
+1
解：（2）∵a===+1，
∴a-1=+1-1=，
∴（a-1）2=2，即a2-2a+1=2，
∴a2-2a=1，
∴原式=4（a2-2a）-2=4-2=2.
14.（新教材北师8上P50知识技能改编）（运算能力、几何直观、推理能力）在长方形ABCD中，点E在AD上，∠ABE=∠DCE=45°，DE=1，则△BCE的面积为　　　　，周长为　　 　　　.
1
2+2
15.（新教材人教8下P21拓广探索改编）（运算能力、推理能力、应用意识）观察下列各式：
① =2；② =3；③ =4；….
（1）类比：依据上述式子，写出下一个等式是　　　　　　　　　；
（2）发现：依此规律，若=n，则m+n=　　　　；
=5
109
（3）探究：你能用字母表示其中的规律吗？并给出证明（用仅含a的式子证明）.
（3）规律：=a（a>1，且a为整数）.
证明如下：=
===a.(共27张PPT)
第一部分 数与代数
第一章 数与式
第3讲　分　式
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
分式的化简与求值 题14，3分 题5，3分 题17，8分
◇链接教材◇人教版： 八上第十五章P127-P148； 八上第十八章P137-P173 北师版：八下第五章P108-P124
1.（2025重庆模拟）下列各式是分式的是（　　）
A. B. C. D.
2.（2025常州）若使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A.x≠-1 B.x=-1 C.x≥-1 D.x>-1
C
A
3.（2025广东模拟）对于分式，当a，b都扩大到原来的2倍时，则分式的值（　　）
A.不变 B.扩大到原来的2倍
C.扩大到原来的4倍 D.不能确定
4.（2025贵州）若分式的值为0，则实数x的值为（　　）
A.2 B.0 C.-2 D.-3
B
A
5.（2025无锡）先化简，再求值：+，其中m=3.
解：原式===m-1，
当m=3时，原式=3-1=2.
考点通关
一、分式的基本概念
1.如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式，A叫作分子，B叫作分母.对于任意一个分式，分母都不能为零.
2.分式中，（1）若分式有意义 B≠0；
（2）若分式无意义 　　　　；（3）若分式=0 　　 　　.
3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式.
B=0
A=0且B≠0
基础对练
1.（1）（新教材人教8上P140）在式子，，，，中，是分式的有　　　　个；
（2）如果分式有意义，那么x的值应满足　　 　　；
（3）当x=　　　　时，分式的值为0.
3
x≠-1
2
二、分式的基本性质
1.分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值
　　　　；即=，=（M≠0）.
2.分式的变号法则：
=-=-=.
不变
M
M
-a
-b
-a
2.（1）填空：=，=；
（2）约分：=　　　　；
（3）（新教材人教8上P145）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”：
=　　　 　，= 　，
=　　 　，-= 　.
x2
b
-
-
三、分式的运算
1.加减运算：（1）同分母分式相加减法则：±=　　　　；
（2）异分母分式相加减法则：±=±=.
2.乘除运算：（1）乘法法则：·=　　　　；（2）除法法则：÷=
　　　　=　　　　；（3）乘方运算：=　　　　.
3.分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；若有括号，先算括号里面的.
bd
bd
·
3.计算：（1）-=　　　　 ；
（2）-=　　　 　；
（3）·=　　　 　；
（4）÷=　　 　　；
（5）=　　　 　.
1
　
-　
分式有意义及分式的值为零的条件
1.（2025山东）写出使分式有意义的x的一个值是　　 　　.
2.（2025浙江模拟）已知分式，若当x=1时分式的值为0，则实数a的值为　　　　.
2（答案不唯一）
-1
分式的基本性质
3.（2025上海模拟）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A.保持不变
B.扩大为原来的2倍
C.缩小为原来一半
D.无法确定
A
4. （2025南充）已知===2，则的值是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
D
分式的化简及基本运算
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准
示范题：（人教8上P159拓广探索） 先化简，再求值：÷·，其中x=. 解： 解：原式 =·· 3分 =， 5分 当x=时，原式==. 7分
满分：7分 实得：　　　　分
5.（2025深圳）计算：-=　　　　.
6. （2025泉州模拟）若-=3，则=　　　　.
7.（2025福建）先化简，再求值：÷，其中a=-1.
a-1
-6
解：原式=÷=·=，
当a=-1时，原式===.
8.（2023广东）计算+的结果为（　　）
A. B. C. D.
9.（2024广东）计算：-=　　　　.
C
1
10.（2025广州）求代数式·的值，其中m=-1.
解：原式=·
=2（m+2）（m-2），
当m=-1时，
原式=2（-1+2）（-1-2）
=2（+1）（-3）
=2（3-3+-3）
=-4.
11.（2024深圳）先化简，再代入求值：÷，其中
a=+1.
解：÷
=·
=·
=，
当a=+1时，原式===.
12.（代数推理）（2025江苏三模）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m，n，它们的乘积q（q=mn）与较大数的和一定为较大数的平方.
①举例验证：当m=4，n=5，则q+n=4×5+5=25=52.
②推理证明：小明同学做了如下的证明：设m∴n=m+1，∵q=mn，∴q+n=mn+n=n（m+1）=n2，∴q+n一定是正数n的平方.
【类比猜想】（1）小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.
请你举例验证并推理证明；
解：（1）举例验证：当m=4，n=5，则 q-m=4×5-4=16=42.
推理证明：设m∵q=mn，∴q-m=mn-m=m（n-1）=m2.
∴q-m一定是正数m的平方.
【深入思考】（2）若p=+（m，n为两个连续奇数，0（2）∵m，n为两个连续奇数，0∴n=m+2，∴q=mn=m2+2m，
∴p=+=+=m+2+m=2（m+1），∴p一定是偶数.
13.（新教材北师8下P138联系拓广改编）（运算能力、推理能力、应用意识）已知b>a>0.
（1）探究：分式的分子、分母都加1，所得的分式的值增大了还是减小了？为什么？
解：（1）所得的分式的值增大了，理由如下：
-=-
==，
∵b>a>0，∴a-b<0，b（b+1）>0，
∴<0，∴<，
∴所得的分式的值增大了.
（2）类比：将分式的分子、分母都加2，结果又怎样呢？
同（1），可知所得的分式的值增大了.
（3）猜想：将分式的分子、分母都加c（c>0），你还能得到什么结论？直接写出结论.
结论：<.(共44张PPT)
第一部分 数与代数
第一章 数与式
第1讲 实　数
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
理解负数的意义 题1，3分 题1，3分
相反数
绝对值 题1，3分
倒数
科学记数法 题2，3分 题3，3分 题3，3分 题2，3分
实数的大小比较 题1，3分
实数的运算 题14，3分 题1，3分 题16，7分 题16（1），5分 题2，3分 题8，3分
广东省卷近年中考数学考情分析
◇链接教材◇人教版： 七上第一章P1-P52；七下第六章P39-P62； 七上第一、二章P1-P62；七下第八章P39-P62 北师版： 七上第二章P22-P76；八上第二章P21-P32，P38-P39； 七上第二章P23-P75；八上第二章P25-P40
2022新课标 重要变化 1.理解负数的意义.（新增）
2.知道|a|的含义（这里a表示有理数）.（删除）
3.知道实数由有理数和无理数组成.（新增）
4.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.（新增）
5.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义.（新增）
6.会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根.（改动）
7.会按问题的要求进行简单的近似计算.（改动）
. . . . .
. . . . .
. . .
. . . . . . . . .
1.（2025贵州）如果向前运动3 m记作+3 m，那么向后运动2 m，记作
（　　）
A.+5 m B.+1 m C.-2 m D.-5 m
2.（2025烟台）|-3|的倒数是（　　）
A.3 B. C.-3 D.-
C
B
3.（2025连云港）-5的绝对值是（　　）
A.5 B.-5 C. D.
4.（2025南通）《2025中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5 758亿元.将“5 758亿”用科学记数法表示为（　　）
A.5.758×1010　 B.5.758×1011
C.0.575 8×1012　 D.57.58×1010
A
B
5.（2025扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　）
A. B. C. D.
6.（2025湖南）下列四个数中，最大的数是（　　）
A.3.5 B. C.0 D.-1
C
A
7.（2025深圳）计算：+|-3|+（π-3.14）0+（-1）2 025.
解：原式=4+3+1-1=8-1=7.
考点通关
一、实数及其相关概念
1.实数的分类
按定义分
按性质分：正实数、0、负实数.
要点：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数可表示为的形式，其中m，n均为整数，m不为零.
常见无理数：π，，1.010 010 00….
基础对练
1.（新教材北师8上P28）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.458 3，3.，-π，-，18.
有理数：｛ 　 …｝；
无理数：｛ 　 …｝.
0.458 3，3.，-，18
-π
2.数轴：（1）规定了　　　 、 　、　 　　　的一条直线叫做数轴；
（2）实数和数轴上的点是一一对应的.
原点
正方向
单位长度
2.（新教材人教7上P11）如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数.
点A，B，C，D，E分别表示0，-2，1，2.5，-3.
3.相反数：（1）定义：只有符号不同的两个数，互为相反数；
（2）若实数a，b互为相反数 a+b=　　　　.

3.（1）a的相反数是　　　　，0的相反数是　　　　；
（2）7的相反数是　　　　，-是　　　　的相反数.
0
-a
0
-7
4.绝对值：
（1）定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a绝对值；
（2）用式子表示a的绝对值：|a|=
注：无论实数a取何值，它的绝对值总是非负数，即|a|≥0.
a
0
-a
4.（1）|0|=　　 ，|-3.9|= 　 ；
（2）（新教材人教7上P14）如果|a|=|-2|，那么a=　　　　；如果m是负数，且|m|=10，那么m=　　　　.
0
3.9
±2
-10
5.倒数：乘积为　　　　的两个数互为倒数.注意0没有倒数.若a，b互为倒数，则ab=　　　　（a≠0，b≠0）.
5.-1的倒数是　　 　　；的倒数是　　 　；-的倒数是 　.
1
1
-1
4
-5
二、实数的大小比较
1.数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的　　　　.
2.直接比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个正数，绝对值大的较　　　　；两个负数，绝对值大的较　　　　.
3.作差法：设a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=
b；若a-b<0，则a4.平方比较法：> a>b（其中a>0，b>0）.
大
大
小
6.比较下列各对数的大小：
（1）-10　　　　5；
（2）　　　 .
7.（2021广东）下列实数中，最大的数是（　　）
A.π　 B.　 C.|-2|　 D.3
<
<
A
三、实数的运算
1.运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）若有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
8.（2025连云港）计算：（-2）×（-5）--.
解：原式=10-3-1=7-1=6.
2.乘方：
（1）乘方：an=，其中a叫作底数，n叫作指数；
（2）零次幂：a0=1（a≠0）；
（3）负整数指数幂：a-p=（口诀：倒底数，反指数）；
（4）-1的奇偶次幂：（-1）n=
9.计算：
（1）（-3）2=　 　 ，-32= 　 ；
（2）（-1）2 026=　　　　；
（3）2 0260=　　　　；
（4）=　　　　.
9
-9
1
1
4
3.科学记数法：（1）定义：一般地，把一个整数或有限小数记成
　　 　的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数法叫做科学记数法.
（2）技巧：①当原数的绝对值大于10时，n等于原数的整数位数减1，如：4 200=4.2×103；
②当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数左边第一个非0的数字前的所有0的个数（包括小数点前的0），也是小数点向右移动的位数，如：0.000 42=4.2×10-4.
a×10n
10.用科学记数法表示下列各数：
（1）385 000=　　　 　　　；
（2）0.008 61=　　　 　　　；
（3）2.6万=　　　　　 　.
3.85×105
8.61×10-3
2.6×104
4.近似数：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位.
11.用四舍五入法取近似数：
（1）π≈ 　 ；（精确到0.001）
（2）202.84≈　　　　 .（精确到个位）
3.142
203
实数的有关概念（相反数、绝对值、倒数、无理数）
1.（2025长春）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家.如果水位下降2 m记作-2 m，那么水位上升3 m记作（　　）
A.-3 m B.+3 m C.-5 m D.+5 m
B
2.（2025广元）的相反数是（　　）
A.-4 B.-2 C.2 D.
3.（2025江西）下列各数中，是无理数的是（　　）
A.0 B.3.14 C. D.
B
C
4. （2025南充）如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A对应的数是（　　）
A.2-2π
B.π-2
C.5-2π
D.2-π
D
科学记数法
5.（跨学科融合）（2025河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示为（　　）
A.0.74×10-4 B.7.4×10-4 C.7.4×10-5 D.74×10-6
6.（2025齐齐哈尔）中国年水资源总量约为27 500亿立方米，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位.将27 500用科学记数法表示为　　　　　　.
C
2.75×104
实数的大小比较、数轴、估计无理数的大小
7.（2025惠州二模）实数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，-1的大小关系正确的是（　　）
A.-1B.-a<-1C.-1<-aD.a<-1<-a
B
8.（跨学科融合）（2025辽阳一模）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量.已知某微观粒子的能量E可以用公式E=表示.当a=5，b=6时，该微观粒子的能量E的值在（　　）
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
B
实数的运算
9. （2025达州一模）对于正整数a，b定义新运算“！”，规定a！b=·，则15！3的运算结果为（　　）
A.3 B.6 C.3 D.
A
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准
示范题：（人教7上P47复习巩固） 计算：4+（-2）3×5-（-0.28）÷4. 解： 　 解：原式=4+（-8）× 5-（-0.07） 3分 =4-40+0.07 5分 =-35.93. 7分
满分：7分 实得：　　　分
10.（2025湖北模拟）计算：2sin 30°++|-|-（2 025-π）0.
解：原式=2×++--1
=1++--1
=.
11. （2025上海）计算：-+|2-|+.
解：原式=-2+-2+8
=-1-2+-2+8
=5.
12.（2023广东）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中.如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（　　）
A.-5元 B.0元 C.+5元 D.+10元
13.（2025广东）某品牌乒乓球产品质量参数是2.74 g±0.02 g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02 g记作+0.02 g，那么低于标准质量0.02 g记作（　　）
A.-0.02 g B.+0.02 g C.-0.04 g D.+0.04 g
A
A
14.（2025广东）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024—2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3 000亿元.数据3 000亿用科学记数法表示为（　　）
A.3×109 B.3×1010 C.30×1010 D.3×1011
15.（2024广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384 000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384 000用科学记数法表示为（　　）
A.3.84×104 B.3.84×105 C.3.84×106 D.38.4×105
D
B
16.（1）（2023广东）计算：+|-5|+（-1）2 023；
（2）（2024广东）计算：20×+-3-1.
解：原式=2+5-1=6.
解：原式=1×+2-=+2-=2.
17.（2025河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在0-100 ℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量y（m）与温度的增加量x（℃）之间的关系均为y=alx，其中a为常数，称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数aCu=1.7×10-5（单位：/℃）；原长为2.5 m的铁棒从20 ℃加热到80 ℃伸长了1.8×10-3 m.
（1）原长为0.6 m的铜棒受热后升高50 ℃，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）；
（2）求铁的线膨胀系数aFe；若原长为1 m的铁棒受热后伸长4.8×10-4 m，求该铁棒温度的增加量.
解：（1）1.7×10-5×0.6×50=5.1×10-4（m），
即该铜棒的伸长量为5.1×10-4 m.
（2）aFe==1.2×10-5，
4.8×10-4÷（1.2×10-5×1）=40（℃），
即该铁棒温度的增加量为40 ℃.
18.（新教材人教7上P63综合与实践改编）（推理能力、创新意识）计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”,如（1101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数（10111）2转换成十进制是　　　　，将十进制数21转换成二进制是　　　 　　.
23
（10101
19.（北师7上P63联系拓广改编）（几何直观、推理能力）综合与实践：如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推.
（1）观察：阴影部分的面积是　　　　；
（2）启发：计算+++…+的值是　　　　；
（3）猜想：计算+++…+的值是　　　　；
1-
（4）迁移：根据以上规律简算++…+.
解：原式=+++…+-
=1--=-=-=.(共37张PPT)
第一部分 数与代数
第一章 数与式
第2讲　代数式、整式与因式分解
01
考情分析
04
考点精练
03
考点自学
02
课前自学
05
三年广东中考
广东省卷近年中考数学考情分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
代数式求值 题17，2分
幂的运算 题5，3分 题4，3分
整式的运算 题17，2分 题15，4分
因式分解 题11，3分 题11，3分 题17，2分
单项式与多项式的概念 题12，3分
广东省卷近年中考数学考情分析 ◇链接教材◇人教版： 七上第二章P53-P76；八上第十四章P94-P125； 七上第三、四章P68-P109；八上第十六、十七章P97-P136 北师版： 七上第三章P77-P104；七下第一章P1-P36；八下第四章P91-P106； 七上第三章P77-P110；七下第一章P1-P32；八下第四章 2022新课标 重要变化 1.会把具体数代入代数式进行计算.（改动）
2.理解（改动）乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理（新增）.
3.了解代数推理.（新增）
. . . . . .
. .
. . .
1.（2025上海）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　）
A.x2-y2 B.（x-y）2 C.x2-y D.x-y2
2.（2025广州模拟）若3xmy3与-x2y3是同类项，则m的值为（　　）
A.- B.1 C.2 D.5
B
C
3.（2025天津）计算3x-x-5x的结果为　　　　.
4.（2025青岛）下列计算正确的是（　　）
A.x2+x3=x5 B.x2·x3=x6 C.（2xy）2=2x2y2 D.x8÷x4=x4
5.（2025河南一模）若k为任意整数，则（k+3）2-（k-2）2的值总能
（　　）
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
-3x
D
C
6.（2025苏州）若y=x+1，则代数式2y-2x+3的值为　　　　.
7.（2025河南）观察2x，4x2，6x3，8x4，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为　　　 　.
5
2nxn
考点通关
一、代数式的概念及求值
1.定义：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
2.列代数式：把问题中的数量关系及公式，用含有数字、字母和运算符号的式子表示.
3.代数式求值：（1）直接代人法；（2）整体代人法（整体思想）：①观察已知条件和所求代数式的关系；②将所求代数式变形使其与已知代数式成倍数关系，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式.
基础对练
1.（新教材人教7上P81）若a，b分别表示平行四边形的底和高.
（1）列代数式：面积S= 　；
（2）当a=2 cm，b=3 cm时，S=　　　　 cm2.
2.（2020广东）已知x=5-y，xy=2，计算3x+3y-4xy的值为　　　　.
ab　
6
7
二、整式的相关概念
整式分为单项式和多项式.
1.单项式：
（1）概念：由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数；单项式的次数：一个单项式中，所有字母的　　 　　叫做这个单项式的次数.
指数和
2.多项式：
（1）概念：几个单项式的　　　　叫作多项式；
（2）次数：一个多项式中， 　 的次数，叫做这个多项式的次数.
3.同类项：所含字母相同，并且相同字母的　　　　也相同的项.所有常数项都是同类项.
和
次数最高的项
指数
3.（新教材人教7上P93）（1）单项式-4a2b3c的系数是　　　　，次数是　　　　；
（2）多项式a4-2a2b+b2+1一共有　　　　项，次数是　　　　.
4.代数式a2是　　　　项式， a2-b2是　　　　项式.
-4
6
4
4
单
多
5.（1）（新教材北师7上P105）化简：（7y-3z）-（8y-5z）= 　；
（2）（2020广东）如果单项式3xmy与-5x3yn是同类项，那么m+n= .
-y+2z
4
三、整式的运算
1.整式的加减：实质是先去括号，再合并同类项（只把系数　　　　，所含字母及字母的　　　　不变）；
2.幂的运算
（1）同底数幂相乘：am·an=　　　　（m，n为正整数）；
（2）同底数幂相除：am÷an=　　　（m，n为正整数且m>n，a≠0）；
（3）幂的乘方：（am）n=　　　　（m，n为正整数）；
（4）积的乘方：（ab）n=　　　　（n为整数，ab≠0）.
相加减
指数
am+n
am-n
amn
anbn
3.整式的乘除
（1）单项式乘单项式：ac·bc2=abc3；
（2）单项式乘多项式：p（a+b+c）=pa+pb+pc；
（3）多项式乘多项式：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq；
（4）单项式除以单项式：abc3÷ac2=bc；
（5）多项式除以单项式：（am+bm）÷m=a+b.
4.乘法公式
（1）平方差公式：（a+b）（a-b）=　　　　；
（2）完全平方公式：（a±b）2=　　　　　 　.
a2-b2
a2±2ab+b2
6.在下列计算中，正确的是（　　）
A.2x+3y=5xy
B.6x2-（-x2）=5x2
C.-7ab2+4ab2=-3ab2
D.a3-a2=a
C
7.计算：
x3·x4=　　　 ； （n2）4= 　 ；
（-2m）3=　　　 ； x7÷x2=　　　　 .
x7
n8
-8m3
x5
8.计算：
（1）2x3·4x2=　　　　 ；
（2）2a（3a-4b）=　　　 　；
（3）（3m+1）（m+2）= 　 ；
（4）10xy3÷（-2xy）=　　　　 ；
（5）（7mn+3m）÷m=　　　　 .
9.计算：
（1）（3x+2）（3x-2）= 　 ；
（2）（4m+n）2=　　　　　　　.
8x5
6a2-8ab
3m2+7m+2
-5y2
7n+3
9x2-4
16m2+8mn+n2
四、因式分解
1.概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式.
2.方法：（1）提公因式法：ma+mb+mc=　　　 　　　；
（2）公式法：
平方差公式：a2-b2=　　 　　　　；
完全平方公式：a2±2ab+b2=　　　　　　.
（3）*十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=　　　 　　　　.
m（a+b+c）
（a+b）（a-b）
（a±b）2
（x+p）（x+q）
10.分解因式：
（1）am-an=　　　　　　；
（2）4x2-16= 　 ；
（3）x2+2x+1=　　　 　　；
（4）x2-xy-6y2= 　 .
a（m-n）
4（x+2）（x-2）
（x+1）2
（x-3y）（x+2y）
代数式与代数式求值
1. （2025长沙）智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果.若该机器人搭载m个机械手（m>1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（　　）
A.6m B.m+10
C.60m D.10m
2.（2025扬州）若a2-2b+1=0，则代数式2a2-4b+3的值是　　　　.
D
1
整式的概念（单项式、多项式、合并同类项）、幂的运算
3.（2025南通三模）单项式-2a2b的系数和次数分别是（　　）
A.-2和2 B.-2和3
C.2和2 D.2和3
B
4. （2025重庆模拟）已知整式A=a0-a1x+a2x2-a3x3，其中a0，a1，a2，a3为整数，++≠0，且a0+a1+a2+a3=4.下列说法：①满足条件的整式A中有4个单项式；②若（a0-a1+a2）2+=0，则方程A=0一定有解；③若|a0|=|a1|=|a2|=|a3|，则满足条件的整式A共有4个.其中正确的个数是（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
B
5.（2025广元）下列运算正确的是（　　）
A.x2÷x-3=x5 B.2x2+3x3=5x5
C.（xy3）2=x2y5 D.（x-y）2=x2-y2
A
整式的运算
答 题 规 范
作答区域 答题模板与评分标准 示范题：（人教8上P112综合运用） 先化简，再求值：（2x+3y）2-（2x+y）（2x-y），其中x=，y=-. 解： 解：原式=4x2+12xy+9y2-4x2+y2 2分 =12xy+10y2， 3分 　　当x=，y=-时， 　　原式=12× × +10× =-2+10× 5分 =-2+=. 7分 满分：7分 实得：　　　　分
6.（2025湖南）先化简，再求值：（x+2）（x-2）+x（1-x），其中x=6.
解：原式=x2-4+x-x2=x-4，
当x=6时，原式=6-4=2.
7.（2020广东）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x-y）-2x2，其中x=，y=.
解：原式=x2+2xy+y2+x2-y2-2x2=2xy，
当x=，y=时，原式=2××=2.
因式分解、乘法公式
8.（2025北京）分解因式：7m2-28=　　　　 　　　.
9.（2025兰州）因式分解：2x2+4x+2=　　　　 　　.
10. （2025河北）若a=-3，则=（　　）
A.-3 B.-1 C.3 D.6
7（m+2）（m-2）
2（x+1）2
B
规律探究
11.（2025昆明模拟）按一定规律排列的多项式：a+b，a2+3b，a3+5b，a4+7b，…，第n个多项式是（　　）
A.an+（2n+1）b B.an+（2n-1）b
C.a2n+（n-1）b D.a2n+（n+1）b
B
12.（2025重庆模拟）如图，蜂窝结构在工程学中有广泛应用，图①由4个房孔组成，图②由7个房孔组成，图③由10个房孔组成…，按照这样的规律，第⑨个图形中房孔的个数是（　　）
A.27 B.31
C.36 D.28
D
13.（2024广州）若a2-2a-5=0，则2a2-4a+1=　　　　.
11
【解答】∵a2-2a-5=0，∴a2-2a=5，
∴原式=2（a2-2a）+1=2×5+1=11.
14.（2024广东）下列计算正确的是（　　）
A.a2·a5=a10 B.a8÷a2=a4
C.-2a+5a=7a D.（a2）5=a10
15.（2025广东）因式分解：a2b+ab2=　　　　 .
16.（2023广东）分解因式：x2-1=　　　　　 　　　.
D
ab（a+b）
（x+1）（x-1）
17.（2021广东）若x+=，且0-
【解答】∵0∵x+=，
∴=，即x2+2+=，
∴x2-2+=-4，
∴=，∴x-=-，
∴x2-==×=-.
18.（代数推理）（2025泉州模拟）已知a，b，c为有理数，且多项式x3+ax2+bx+c能够写成（x2+3x-4）的形式.
（1）求4a+c的值.
解：（1）∵（x2+3x-4）=（x+4）（x-1），
且x2+3x-4是x3+ax2+bx+c的一个因式，
∴令x2+3x-4=0，则得x=-4，x=1是方程x3+ax2+bx+c=0的解，
∴，
①×4+②，得20a+5c=60，则4a+c=12.
（2）若a，b，c为整数，且c≥a>1，试求a，b，c的值.
（2）∵4a+c=12，∴a=3-，
∵c≥a>1，∴1<3-≤c，解得≤c<8，
∵a，c为大于1的正整数，∴c可能为3，4，5，6，7，
∵a=3-，a也是正整数，∴c=4，a=2，
∴2+b+4=-1，解得b=-7.
19.（新教材人教8上P136拓广探索改编）（运算能力、几何直观、创新意识）如图，正方形ABCD是由两个小正方形和两个小长方形组成的.
（1）请用两种不同的方法表示正方形ABCD的面积，并写成一个等式；
（2）运用（1）中的等式，解决问题：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值.
解：（1）∵正方形ABCD的面积为
（a+b）2或a2+b2+2ab，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab.
（2）∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴a2+b2=（a+b）2-2ab.
∵a+b=5，ab=3，∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19.

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