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九年级数学下册·人教版
第17章 因式分解总复习
概念
公式法
多项式各项都含有的相同因式(或公共因式)
叫做这个多项式各项的公因式
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子
变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式
分解因式
因式分解
分组分解
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
十字相乘
思维导图
1.因式分解
合 作 探 究
知 识
1
因式分解
知识精讲
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
（1）是一种恒等变形
（2）左边是多项式，
（3）右边是
①乘积 ②每个因式都是整式
例1：下列各式从左到右的变形中，
属于因式分解的是（　B　）
A. 6x2y＝6xy·x
B. 4x＋8＝4（x＋2）
C. （x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋3
D. x2－2x－3＝（x－1）2－4
B
2.因式分解的特征
知识精讲
知 识
1
因式分解
（1）互逆运算：因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
（2）二者是一个式子的不同表现形式．
（3）因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，
（4）整式乘法的右边是多项式的形式．
和 差
积
因式分解
整式乘法
合 作 探 究
3.因式分解与整式乘法的区别
例2.已知多项式分解因式的结果为，
求b，c的值。
解：∵
，
∴，
∴，
解得.
变式训练1.已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值
解：设另一个因式是，则
，
则，解得，，
另一个因式是．
知 识
1
因式分解
变式2.多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，求a的取值
解：∵多项式分解因式为，
∴，
则，
∵a，m，n为整数，
∴当时，则，即；
∴当时，则，即；
∴当时，则，即；
∴当时，则，即；
综合所述： 或或或
知 识
1
因式分解
1.公因式：
合 作 探 究
知 识
2
提公因式法
知识精讲
一个多项式的各项都含有的公共的因式.
2.确定公因式：
①定______，
②定______，
③定______.
系数
字母
指数
例1.(1)把多项式因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A． B．
C． D．
(2)下列各组代数式中，没有公因式的是（　　）
A．与b B．与
C．与 D．与
B
D
3.提公因式法：
合 作 探 究
知 识
2
提公因式法
知识精讲
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.
例2.因式分解
(1)
(2)
(3)
解：(1) 原式
(2)原式
(3)原式
．
4.提公因式法技巧：
合 作 探 究
知 识
2
提公因式法
知识精讲
（1）当底数互为相反数时，
先把底数化为相同，
再提公因式；
（2）最后检验是否分解彻底，能否再提公因式.
例3.因式分解
(1)
(2)
(3) (4)
解(1)原式
(2)原式
(3) 原式
．
(4)原式
知 识
2
提公因式法
知识精讲
1. 利用因式分解计算：
（1）2100－299；
解：原式＝299（2－1）＝299.
（4）21×3.14＋62×3.14＋17×3.14.
解：原式＝3.14×（21＋62＋17）＝314.
(2)
(3)．
解：原式
解:原式．
知 识
2
提公因式法
知识精讲
2.先分解因式，再求值：
(1)，其中，，．
(2)，其中．
解(1)：原式．
当，，时，原式．
(2)：原式
．
当时，原式．
知 识
2
提公因式法
知识精讲
3.(1)若，，求的值
(2)若，求的值
(3)若 x2 + x = 1， 求 3x4 + 3x3 + 3x + 1 的值.
解(1) ：∵，，
∴．
解(2)：，
∵，
∴，
∴．
解： 3x4 + 3x3 + 3x + 1
= 3x2(x2 + x) + 3x + 1
= 3x2 + 3x + 1
= 3(x2 + x) + 1
= 3 + 1 = 4
知 识
2
提公因式法
知识精讲
4.已知，，求的值
解：，
①两边平方，得，即，
②两边平方，得，即，
得，，
∴，
∴.
合 作 探 究
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
（1）含有两部分
1.用平方差公式法因式分解
2.公式
2
2
b
a
-
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
3.公式的特点
（2）两部分的符号相反
（3）每一部分的绝对值都可以写成某个数的平方
知 识
3
平方差公式法
例1. 下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？
（1） x2 + y2
（2） x2 – y2
（3） –x2 + y2
（4） –x2 – y2
解：(1)(4) 不能；(2)(3) 能.
例2：分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2；
(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
合 作 探 究
4.用平方差分解因式的步骤
（1）观：观察多项式的特点，确定a,b
（2）变：把多项式的两项写成两数或式子的平方
（3）写：因式分解成两数或式子的和与两数差的积的形式
（4）化：结果能化简的要进行化简
知 识
3
平方差公式法
知 识
3
平方差公式法
1.因式分解
(1) (2)
(3) (4)
解(1)原式
(2)原式=
(3)原式
(4)原式
知 识
3
平方差公式法
2.利用平方差公式计算：
(1) (2)
(3) ．
解(1)原式;
(2)原式
;
(3)原式
．
知 识
3
平方差公式法
3.已知，求的值
解∵
又∵
∴
4.若，求的值
解：∵，则
∴
.
知 识
3
平方差公式法
5.已知是的三边，求证：是负数.
解：∵
∵ 是的三边
∴，
∴
∴
∴是负数.
知 识
3
平方差公式法
6.当为正整数时，求证：两个连续奇数和的平方差是8的倍数
解：
，
一定是的倍数．
知 识
3
平方差公式法
7.可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数．
解：
∴这两个数为65，63．
合 作 探 究
知 识
4
完全平方公式法
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
（1）.必须是三项式（或可以看成三项的）
（2）.有两个同号的数或式的平方；
（3）.中间有两底数之积的±2倍.
1.完全平方式
2.完全平方式公式
3.完全平方式的特点
例1：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.
(1)a2–4a+4;
(2)1+4a ;
(3)4b2+4b–1;
(4)a2+ab+b2;
(5)x2+x+0.25.
是，（a-2）2
只有两项；
不是
4b 与–1的符号不统一；
不是
不是
是
ab不是a与b的积的2倍.
变式：
若能用完全平方公式因式分解，则n的值为 ．
或
首尾的平方和是否有，
两数积的二倍是否有，
中央的符号无所谓。
合 作 探 究
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
4.完全平方式判别方法
5.配完全平方式
若有平方和，就配积二倍，
加减无所谓，就看题要求，
就成平方式。
若一平方和式子，还差一平方，
就用式子除此数，得数一半再平方，
就成平方式。
例2 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
B
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
±8
知 识
4
完全平方公式法
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
合 作 探 究
6.完全平方式因式分解的法则
知 识
4
完全平方公式法
例3 分解因式：
(1)16x2+24x+9； (2)–x2+4xy–4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3 ，24x=2·4x·3，
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
(2)–x2+ 4xy–4y2
=–(x2–4xy+4y2)
=–(x–2y)2.
1.因式分解
(1)； (2) ．
(3) (4)
解：原式．
原式
原式
原式
知 识
4
完全平方公式法
2.简便计算
(1)
(2)
解(1)原式
=
(2)原式=
=
知 识
4
完全平方公式法
3.已知，2，求的值．
解：∵
又∵，2
∴ 即
4.已知，求的值．
解：∵
∴
∴即
知 识
4
完全平方公式法
5.求代数式：的最小值
解：原式
∵，
∴当时，的值最小，最小值为0，
∴，
∴当时，的值最小，最小值为1984，
∴代数式：的最小值是1984．
知 识
4
完全平方公式法
6.已知，求的值
解：，
，
，
，
，解得：，
．
知 识
4
完全平方公式法
7.已知，，，求的值
解：
，
∵,,，
∴，，，
∴原式．
知 识
4
完全平方公式法
8.分解因式：．
解：
．
知 识
4
完全平方公式法
合 作 探 究
知 识
5
分组分解法
分组不唯一，目的是为了更方便地继续分解因式。
1.分组分解：
分组后每组能因式分解且组与组之间能因式分解。
例1：因式分解
变式：
解:原式=(ma+mb)+(na+nb)
=m(a+b)+n(a+b)
=(a+b)(m+n)
ma+mb+na+nb
2.“两两分组”--提取公因式
两项与两项分组时，一般可以在分组后找到公因式，再利用提取公因式法进行因式分解；
把下列多项式分解因式
（1）ab-a-b+1
（2）3ax+4by+4ay+3bx
（3） x2-y2+ax+ay
合 作 探 究
解：原式
3.“两两分组”---平方差
两项与两项分组后，可先用提取公因式法与平方差公式各自分解，再整体提取公因式，分解到不能分解为止。
例2：因式分解
知 识
5
分组分解法
解：原式
合 作 探 究
4.“三一分组”---平方差
三项分一组用完全平方公式分解，再与后面一项利用平方差公式继续因式分解，分解到不能分解为止。
（1）a2+2ab+b2-1
解:原式=(a2+2ab+b2)-1
=(a+b)2-12
=(a+b+1)(a+b-1)
例3：因式分解
知 识
5
分组分解法
解：原式
合 作 探 究
5“三一分组”---提取公因式
三项分一组用完全平方公式分解，再整体提取公因式，分解到不能分解为止。。
例4：因式分解
知 识
5
分组分解法
合 作 探 究
1.十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
x2 ＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x
x
p
q
px＋qx=(p＋q)x
x
2
pq
2.公式：
例1 分解因式 x2 －6x＋8
解：x2－6x＋8
x
x
－2
－4
－4x－2x=－6x
=(x－2)(x－4)
练习：分解因式
(x－y) ＋(x－y) －6
知 识
6
十字相乘法
（1）所给因式是二次项系数为1的二次三项式；
（2）常数项可分解成两个整数的乘积的形式，并且这两个整数的和恰好等于一次项的系数
首尾分解，交叉相乘，
求和凑中，横写因式。
合 作 探 究
2.特点：
3.简记口诀：
例2 分解因式：
知 识
6
十字相乘法
（1）竖分二次常数项
（2）交叉相乘和加减
（3）检验确定横写式
（1）常数项是正数时：分解成两个同号因数，它们的和与一次项系数符号相同。
（2）常数项是负数时：它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同
合 作 探 究
4.解题步骤：
5.常数项因数分解的一般规律：
例3 因式分解：
-3
1
知 识
6
十字相乘法
39
合 作 探 究
6.首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解
例4 分解因式 3x2 －10x＋3
解：3x2 －10x＋3
x
3x
－3
－1
－9x－x=－10x
=(x－3)(3x－1)
例5 分解因式 5x2 －17x－12
解：5x2－17x－12
5x
x
＋3
－4
－20x＋3x=－17x
=(5x＋3)(x－4)
知 识
6
十字相乘法
1
2
－5
－1
－1－10=－11
例6 将 2(6x2＋x)2 －11(6x2＋x)2＋5 分解因式
解：2(6x2＋x)2－11(6x2＋x) ＋5
= [(6x2＋x) －5][2(6x2＋x)－1]
= (6x2＋x－5) (12x2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x2＋2x－1 )
6
1
－5
1
－5＋6=1
知 识
6
十字相乘法
例7 将 2x2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分解因式
解： 2x2－3xy－2y2＋3x＋4y－2
=(2x －3xy－2y )＋3x＋4y－2
2
2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
1
－2
－4＋1=－3
(2x＋y)
(x－2y)
－1
2
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
知 识
6
十字相乘法
42
巩固练习1：分解下列因式
知 识
6
十字相乘法
43
巩固练习2：分解下列因式
知 识
6
十字相乘法
1. 【新考法·阅读理解】[阅读材料]
利用整式的乘法运算法则推导得出（ax＋b）·（cx＋d）＝acx2＋（ad＋bc）x＋bd.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2＋（ad＋bc）x＋bd＝（ax＋b）·（cx＋d）.通过观察可把acx2＋（ad＋bc）x＋bd看作以x为未知数，a，b，c，d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”（如图1），这种分解因式的方法称为十字相乘法.例如，将二次三项式2x2＋11x＋12的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解（如图2），则2x2＋11x＋12＝（x＋4）（2x＋3）.
根据材料解决下列问题：
[应用新知]
（1）用十字相乘法分解因式：
①x2＋3x－10； 5x2－13x－6；
③2x2＋7x＋3； ④3a2＋5a－8.
1
2
知 识
7
阅读理解
[应用新知]
（1）用十字相乘法分解因式：
①x2＋3x－10； 5x2－13x－6；
③2x2＋7x＋3； ④3a2＋5a－8.解：（1）①原式＝（x＋
5）（x－2）.
②原式＝（x－3）（5x＋2）.
③原式＝（2x＋1）（x＋3）.
④原式＝（3a＋8）（a－1）.
解：（1）①原式＝（x＋5）（x－2）.
1
2
知 识
7
阅读理解
（2）若x2＋mx＋3＝（x＋n）（x－3），
则m＝ ，n＝ .
－4　
－1　
[拓展提升]
（3）如果x2＋mx＋6＝（x＋p）（x＋q），其中m，p，q
均为整数，求m的值.
解：（3）∵x2＋mx＋6＝（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq，
∴m＝p＋q，pq＝6.
∵m，p，q均为整数，
∴当p＝2，q＝3或p＝3，q＝2时，m＝5；
当p＝－2，q＝－3或p＝－3，q＝－2时，m＝－5；
当p＝1，q＝6或p＝6，q＝1时，m＝7；
当p＝－1，q＝－6或p＝－6，q＝－1时，m＝－7.
综上，m的值为5或－5或7或－7.
知 识
7
阅读理解
（4）结合本题知识，分解因式：6（x＋y）2－7（x＋y）－20.
解：（4）6（x＋y）2－7（x＋y）－20
＝[2（x＋y）－5][3（x＋y）＋4]
＝（2x＋2y－5）（3x＋3y＋4）.
知 识
7
阅读理解
2. 【新考法·过程性学习】阅读：关于x，y的二次六项式 x2＋5xy－24y2－x＋25y－6如果可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示，先对x2＋5xy－24y2进行十字相乘分解，得（x＋8y）（x－3y），则原式一定可以分解成（x＋8y＋a）（x－3y＋b）的形式，然后分别对x2－x－6与－24y2＋25y－6进行十字相乘分解，从而确定a＝－3，b＝2，所以x2＋5xy－24y2－x＋25y－6＝（x＋8y－3）（x－3y＋2）.
知 识
7
阅读理解
根据材料，解决下列问题：
（1）因式分解：x2＋xy－2y2＋x＋14y－20；
解：（1）依题意，先对x2＋xy－2y2进行十字相乘分解，得（x－y）（x＋2y），
则原式一定可以分解为（x－y＋a）（x＋2y＋b）的形式，
然后分别对x2＋x－20和－2y2＋14y－20进行十字相乘分解，如图所示，
所以a＝5，b＝－4，
所以x2＋xy－2y2＋x＋14y－20＝（x－y＋5）（x＋2y－4）.
知 识
7
阅读理解
（2）若关于x，y的多项式x2＋2xy＋ky2－2x＋10y－3可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，求k的值.
解：（2）因为x2－2x－3＝（x＋1）（x－3），
所以可设x2＋2xy＋ky2－2x＋10y－3＝（x＋my＋1）·（x＋ny－3），即x2＋2xy＋ky2－2x＋10y－3＝x2＋（m＋n）xy＋mny2－2x＋（－3m＋n）y－3，
所以m＋n＝2，mn＝k，－3m＋n＝10，
所以m＝－2，n＝4，
所以k＝mn＝－8.
1
2
知 识
7
阅读理解
【推理能力】[发现问题]
15×15＝1×2×100＋25＝225，25×25＝2×3×100＋25＝625，
35×35＝3×4×100＋25＝…，……
小明在学习第十七章的数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律.
[提出问题]上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？
知 识
8
个位数字是5的两位数平方的规律
如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？
[分析问题]请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空：
（1）①35×35＝3×4×100＋25＝ ；
②105×105＝ × ×100＋25＝ .
（2）53×57＝ × ×100＋ ＝ .
[解决问题]
（3）两个两位数相乘，它们十位上的数字都为a，个位上的数字的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明.
1 225　
10　
11　
11 025　
5　
6　
21　
3 021　
解：（10a＋b）（10a＋10－b）＝100a（a＋1）＋b（10－b）.
证明如下：
左边＝（10a＋b）（10a＋10－b）
＝100a2＋100a＋10b－b2，
右边＝100a（a＋1）＋b（10－b）
＝100a2＋100a＋10b－b2，
∴左边＝右边，
即（10a＋b）（10a＋10－b）
＝100a（a＋1）＋b（10－b）.
1
2
知 识
8
个位数字是5的两位数平方的规律
【新情境·现代科技】[问题背景]在如今信息快速发展的时代，密码与我们的生活紧密相连，密不可分，而诸如生日、连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了.
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.其原理是将一个多项式分解因式，如多项式x3－x因式分解的结果为x（x－1）（x＋1），当x＝10时，x－1＝9，x＋1＝11，此时把所得的数字按照从小到大的顺序排列可以得到一个六位数字密码091011.
[实际应用]
（1）根据上述方法，小明同学设置了一个六位数字的登录密码：多项式x3－xy2分解因式后利用x，y的数值设置密码，当x＝9，y＝3时，请破解小明的密码是多少；
（2）学校管理员设置了一个六位数字的密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底边长分别为不同的整数x，y，请你破解出由多项式x3－4xy2分解因式后得到的密码；
知 识
9
利用因式分解生成密码
[拓展应用]
（3）若利用前面的方法将多项式x3＋（m－2n）x2＋5nx分解
因式，当x＝24时，得到的六位数字的密码为242932，求m，
n的值.
知 识
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利用因式分解生成密码
解：（1）x3－xy2＝x（x2－y2）
＝x（x－y）（x＋y），
当x＝9，y＝3时，
x－y＝9－3＝6，x＋y
＝9＋3＝12，
∴小明的密码是060912.
解：（2）∵一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底边长分别为不同的整数x，y，
∴2x＋y＝12，2x＞y.
∵x，y都为整数，
∴ 或 （不符合题意，舍去）.
∵x3－4xy2＝x（x2－4y2）＝x（x＋2y）（x－2y），
∴当x＝5，y＝2时，x＋2y＝5＋2×2＝9，
x－2y＝5－2×2＝1，
∴多项式x3－4xy2分解因式后得到的密码为010509.
解：（3）x3＋（m－2n）x2＋5nx
＝x[x2＋（m－2n）x＋5n].
设x[x2＋（m－2n）x＋5n]
＝x（x＋a）（x＋b）＝x[x2＋（a＋b）x＋ab].
∵当x＝24时，得到的六位数字的密码为242932，
∴x＋a＝29，x＋b＝32，∴a＝5，b＝8，
∴a＋b＝13，ab＝40，∴ 解得m＝29，n＝8.
知 识
9
利用因式分解生成密码
课堂小结
通过本节课的复习，你有哪些收获？
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