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第二十七章 相似
人教版 九年级下册
27.1 图形的相似
下面的“神烦狗”有什么相同和不同的地方？
探究新知
相同点：形状相同
不同点：大小不相同
形状相同的图形叫做相似图形.
相似图形的大小不一定相同.
归纳：
探究新知
1. 图形的放大：
相似图形的关系：
探究新知
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
2. 图形的缩小：
归纳：
探究新知
你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？
思考：
探究新知
放大镜下的图形和原来的图形相似吗？
练一练
放大镜下的角与原图
形中角是什么关系
探究新知
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到银幕上的.
观察与思考
探究新知
问题1 这两个多边形相似吗？
问题2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？
问题3 在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成
比例？
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
探究新知
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的对应边的比叫作相似比.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的特征：
相似多边形的定义：
归纳：
探究新知
任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？
a1
a2
a3
an
…
分析：已知等边三角形的每个角都为60°, 三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.
议一议
探究新知
同理，任意两个正方形都相似.
归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.
…
a1
a2
a3
an
探究新知
思考：
任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？
探究新知
例1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
例 题
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，∴ 它们的对
应角相等．由此可得
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
∵ 四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应边成比
例，由此可得
解得 x ＝ 28 .
，即 .
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
例2 如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度．
5
3
2
c
d
7.5
b
a
6
9
解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得
解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.
所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.
， ， ， ，
例 题
相似图形
形状相同的图形叫做相似图形
相似图形的大小不一定相同
相似多边形对应边的比叫做相似比
对应角相等，对应边成比例
图形的相似
相似多边形
课堂小结
1. 下列各选项中的两个图形是相似图形的是（　D　）
D
随堂练习
2. 下列图形不是相似图形的是（　C　）
A. 同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B. 用放大镜看到的放大图案和原有图案
C. 某人的侧身照片和正面照片
D. 课本里的中国地图和教室里悬挂的中国地图
C
3. 下列各组线段中，是成比例线段的是（　D　）
A. 5 cm，6 cm，7 cm，8 cm
B. 3 cm，6 cm，2 cm，5 cm
C. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm
D. 12 cm，8 cm，15 cm，10 cm
[变式] 若2 cm，4 cm，x，10 cm是成比例线段，则x等于
（　C　）
A. cm B. 20 cm C. 5 cm D. 8 cm
D
C
4. （教材P27练习T1变式）已知A，B两地的实际距离是8 km，
则A，B两地在比例尺是1∶200 000的地图上的距离是 .
4 cm
5. 有三个矩形如图所示，其中是相似图形的是（　B　）
B
A. 甲和乙 B. 甲和丙
C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙
6. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，若另一个多边形
和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（　A　）
A. 18 B. 12 C. 24 D. 30
A
7. （教材P26例变式）如图，四边形ABCD与四边形
A'B'C'D'相似.
（1）α＝ ，它们的相似比是 ；
83°　
　
（2）求x，y的值.
解：（2）∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
∴ ＝ ＝ ，解得x＝12，y＝ .
8. （教材P28习题T5变式）如图，DE∥BC，BD，CE相
交于点A，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，BD＝6，AE＝
1.8，EC＝7.2.
（1）求 ， ， 的值；
解：（1）∵AD＝1.5，BD＝6，
AE＝1.8，EC＝7.2，
∴AB＝BD－AD＝4.5，AC＝EC－AE＝5.4，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ .
（2）求证：△ADE与△ABC相似.
解：（2）证明：∵DE∥BC，
∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.
∵∠DAE＝∠BAC， ＝ ＝ ，
∴△ADE与△ABC相似.
8. （教材P28习题T5变式）如图，DE∥BC，BD，CE相
交于点A，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，BD＝6，AE＝
1.8，EC＝7.2.
9. 下列各组图形中，一定相似的是（　B　）
A. 两个菱形 B. 两个正方形
C. 两个等腰三角形 D. 两个矩形
B
10. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分的图形分
别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（　D　）
A. 甲和乙 B. 乙和丁
C. 甲和丙 D. 甲和丁
D
11. 已知三个数2， ，4，如果再添加一个数，使这四个数成
比例，那么添加的数是（　D　）
A. 2 B. 2 或
C. 2 ，4 或8 D. 2 ， 或4
D
12. 如图，在线段AB上找到一个点C，且满足AC＜BC，
AC∶CB＝CB∶AB. 若AB＝1 m，则线段AC＝ m.
　
13. （教材P28习题T8变式）如图，将一张矩形纸片对折两次
得到四个小矩形，每个小矩形的长与宽都和原矩形的长与宽对
应成比例.求原矩形纸片的长与宽的比.
解：设原矩形的长为x，宽为y，则小矩
形的长为y，宽为 .
∵小矩形的长与宽和原矩形的长与宽对应成比例，
∴ ＝ ，∴ ＝2，即原矩形纸片的长与宽的比为2.
14. （教材P28习题T6变式）如图，在长30 m、宽20 m的矩形
花坛ABCD四周修筑小路.
（1）如图1，如果花坛四周小路的宽均相等，都是x m，那么
小路所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗？请说明理由.
解：（1）不相似.理由如下：
由题意，得A'D'＝（30＋2x）m，A'B'＝（20＋2x）m，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ .
∵ ≠ ，
∴小路所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.
（2）如图2，如果互相平行的两条小路的宽均相等，且宽度分别为x m，y m，试问：当x与y的比值为多少时，能使小路所围成的矩形A'B'C'D'
（A'D'为长）和矩形ABCD相似？
解：（2）由题意，得当 ＝ ，即 ＝ 时，小路所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似，
∴当小路的宽x与y的比值为 时，能使小路所围成的矩形
A'B'C'D'和矩形ABCD相似.

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