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第二十七章 相似
人教版 九年级下册
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 三边成比例的两个三角形相似
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获
得证明三角形相似的启发吗？
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪
些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有
其缺点和局限性？
A
B
C
D
E
复习引入
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通
过三边来判定两个三角形相似呢？
复习引入
合作探究
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两
个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
探究新知
A
B
C
C′
B′
A′
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽
△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
探究新知
∴
C′
B′
A′
证明:
在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′ ∽△ABC.
B
C
A
D
E
又 ，AD=A′B′，
∴ ， .
探究新知
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
归纳：
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
探究新知
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
例 题
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
∵ ， ， ，
∴ .
方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，
且 求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴ △ A′B′C′∽△ABC. (三边对应
成比例的两个三角形相似)
∴ BC=2B′C′，
例 题
∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC
= ∠DAE －∠DAC，
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
∴ △ABC ∽△ADE (三边成
比例的两个三角形相似).
例3 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，
∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
解：∵
例 题
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
课堂小结
1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，， ，
乙三角形木框的三边长分别为5，， ，则甲、乙两个三角形( )
A
A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断
随堂练习
2.如图，小正方形的边长均为1，则四个选项中的三角形（阴影部分）与
相似的是( )
A
A. B. C. D.
3.在和中，，， ，
，， ，则下列说法错误的是
( )
D
A.与相似 B.与 是对应边
C.两个三角形的相似比是 D.与 是对应边
4. 已知的三边长分别为，， ，
的一边长为，当 的另外两边长分别为______________
________________时，与 相似.（写出一组数据即可）
，（答案不唯一）
5.如图，棋盘上有，，三个黑子与， 两个白子，要使
，则第三个白子 应放的位置可以是____.
丁
6.如图，在中，，，在中， ，
，且，，求证： ．
证明：由题意，可得 ,
, .
. ．
7.如图，在中， ，点
，在上，且 ．求
证： ．
证明：设 .
，
，， ，
.
， ，
.
.
．

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