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章综合复习
第4章 图形与坐标
数学浙教版八年级上册
图形与坐标
用方向和距离确定物体的位置
用方位角和距离确定位置
根据方位描述物体的位置
坐标平面内图形的轴对称和平移
轴对称
平移
平面直角坐标系
平面直角坐标系的认识
图形的位置与坐标
建立适当的平面直角坐标系
坐标平面内的点与有序实数对一一对应
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫作x轴(又叫横轴)，通常画成水平，另一条叫作y轴(又叫纵轴)，画成与x轴垂直.这样，我们就在平面内建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系.
概念
平面直角坐标系
坐标平面：坐标系所在的平面就叫作坐标平面，两坐标轴的公共原点O叫作平面直角坐标系的原点.
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
注意
坐标：对于平面内任意一点M，作MM1 x轴，MM2 y轴，设垂足M1，M2在各自数轴上表示的数分别为x，y，则x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，有序实数对(x，y)叫作点M的坐标.
概念
点的坐标
(1)表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标
写在后，中间用“,”隔开；
(2)点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3)坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
注意
象限：x轴和y轴把坐标平面分成四个象限，如图.
象限以数轴为界，x轴与y轴上的点不属于任何象限.
四个象限中点的坐标的符号特征，如表.
概念
象限
(1)对于坐标平面内任意一个点，不在这四
个象限内，就在坐标轴上.
(2)坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；
y轴上的点的横坐标为0.
(3)根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置;反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况.
注意
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
方法
用坐标表示地理位置
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置.
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度.
注意
①选择一个固定点作为参照点.
②测量目标点相对于参照点的方向.
③测量目标点到参照点的实际距离.
④用“方向+距离”的形式表示位置.
用方向和距离确定物体位置的一般步骤
用方向和距离确定物体的位置
(1)方向角以“北、南” 为基准，表述为“北偏东/西n°”或“南偏东/西n°”. (2)明确比例尺的含义，计算实际距离时注意单位换算.
(3)确定物体位置时，需明确观测点，同一物体相对于不同观测点的方位和距离会不同.
注意
(1)P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；
(2)P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；
(3)P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)
坐标轴对称的点的坐标特征
坐标轴对称点的坐标特征
(1)第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
(2)第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a).
象限的角平分线上点坐标的特征
向右平移a个单位：(x，y)→(x+a，y)
向左平移a个单位：(x，y)→(x-a，y)
向上平移b个单位：(x，y)→(x，y+b)
向下平移b个单位：(x，y)→(x，y-b)
规律
用坐标表示平移
右加左减，上加下减
(1)平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
(2)平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
平行于坐标轴的直线上的点
平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的
平移问题来解决.
注意
2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（﹣1，2），
则点M的坐标为 　 　 ．
点P 的坐标为（2，0），点Q 的坐标为(﹣1，2)，
所以点M 的坐标为（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
（﹣3，﹣2）
因为点P（﹣2，a）在第二象限，
第二象限点的坐标特征是（﹣，+），
所以a的值可能为3，
故选：B．
B
在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于x轴对称，则﹣a+b的值为 　　 ．
因为点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于x轴对称，
所以b＝﹣2，a＝﹣3，
所以﹣a+b＝﹣（﹣3）+（﹣2）＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
1
如图，以点O为观测点，点A的位置是南偏东30方向30km处，
(1)点B的位置是 ；
(2)点C的位置是 ；
(3)A，D两点间的距离为 km .
(1)点B的位置是北偏东45°方向40km处;
北偏东45°方向40km处
(2)点C的位置是北偏西30°方向35km处;
北偏西30°方向35km处
50
已知A(﹣3，2)，B(2，4)，将线段AB平移至CD，A与C对应，B与D对应，若点D恰好在y轴上，点C恰好在x轴上，则点C坐标是(　　)
A．(﹣6，0) B．(6，0) C．(﹣5，0) D．(5，0)
如图，因为将线段AB平移至CD，A与C对应，B与D对应，点D恰好在y轴上，点C恰好在x轴上，
所以线段AB向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到线段CD，
所以点C坐标是(﹣5，0)．
故选：C．
C
直角坐标系中，直线l是经过（0，1）且平行于x轴的直线，那么点（2，﹣3）关于直线l的对称点的坐标是 　 　 ．
（2，5）
因为直线l与x轴平行，
所以对称点的横坐标是2，纵坐标为1+[1﹣(﹣3)]＝5，
所以点（2，﹣3）关于直线l的对称点的坐标是（2，5），
故答案为：（2，5）．
方法总结
要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
①x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零.
②平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
③关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点的横、纵坐标分别互为相反数.
已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　）
A．a可取任意实数，b＝5
B．a＝﹣1，b可取任意实数
C．a≠﹣1，b＝5
D．a＝﹣1，b≠5
因为AB∥x轴，
所以b＝5，a≠﹣1，
故选：C．
C
在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣2，a）．
（1）若点P在y轴上，求点P的坐标；
（2）若点P在第三象限，且点P到x轴的距离是9，求点P的坐标．
解：（1）由点P（a﹣2，a）在y轴上可知a﹣2＝0，
解得：a＝2，
所以P（0，2）；
（2）由已知条件可知a＝﹣9，
则a﹣2＝﹣11，
所以点P的坐标为（﹣11，﹣9）．
(2)因为线段MN∥y轴，所以M，N的横坐标相同，
设N（2，t），所以|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，
所以N点坐标为（2，3）或（2，﹣5）．
方法总结
理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
①坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|
②x轴上两点A(x1，0)，B(x2,0)的距离为 AB=|x1- x2|；
y轴上两点C(0，y1)，D(0，y2)的距离为 CD=|y1- y2|.
③平行于x轴的直线上两点A(x1，y)，B(x2，y)的距离为 AB=|x1- x2|;
平行于y轴的直线上两点C(x，y1)，D(x，y2)的距离为 CD=|y1- y2|
在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．
(1)分别写出点A，A'的坐标：A 　 　 ，A'　 　 ．
(2)请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
(3)若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值．
(1)由图知A（1，0），A'（﹣4，4），
故答案为：（1，0），（﹣4，4）；
(1，0)
(-4，4)
(2)请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
(3)若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值．
(2)A（1，0）对应点的对应点A′（﹣4，4）得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到A′，
三角形A'B'C'是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．
(3)△ABC内M（m，4﹣n）平移后对应点M'的坐标为（m﹣5，4﹣n+4），
因为M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），
所以m﹣5＝2m﹣8，4﹣n+4＝n﹣4，
所以m＝3，n＝6．
如图，在平面直角坐标系中，A1(1，2)，A2(2，0)，A3(3，﹣2)，
A4(4，0)，…，根据这个规律，探究可得点A2024的坐标是(　　)
A.(2024，0) B.(2024，2) C.(2024，﹣2) D.(2024，1)
A
由图和已知点的坐标得到An的横坐标为n，纵坐标以2，0，﹣2，0四个为一组进行循环，
所以A2024的横坐标为2024，
因为2024÷4＝506，
所以A2024的纵坐标为0，
所以A2024（2024，0）．
故选：A．
如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C．已知AC＝16，BC＝6．点B到原点的最大距离为（　　）
A．22 B．18 C．14 D．10
D
当O，D，B三点在一条直线上时，
OB＝OD+BD＝8+10＝18，
所以当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的最大距离为18.
故选：B．
B
如图，在第一象限内有两点P（m﹣2，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 　____________________________________ ．
设平移后点P，Q的对应点分别是P′，Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
因为0﹣（n﹣3）＝﹣n+3，
所以n﹣n+3＝3，
所以点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；
如图，在第一象限内有两点P（m﹣2，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 　____________________________________ ．
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
因为0﹣m＝﹣m，
所以m﹣2﹣m＝﹣2，
所以点P平移后的对应点的坐标是（﹣2，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣2，0）．
故答案为：（0，3）或（﹣2，0）．
（0，3）或（﹣2，0）

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