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第一章　数与式
第一节　实　数
一
①理解负数的意义．(新增)
②知道|a|的含义(这里a表示有理数)．(删除)
③知道实数由有理数和无理数组成．(新增)
④能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小．(新增)
⑤能借助数轴理解相反数和绝对值的意义．(新增)
⑥会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根．(改动)
⑦会按问题的要求进行简单的近似计算．(改动)
考点一：实数的分类
1．按定义分
【提示】无理数的常见形式：(1)π及化简后含π的数；(2)化简后含根号且被开方数是开方开不尽的数；(3)化简后含根式的三角函数值；(4)有规律的无限不循环小数(如0.101 001 000 1…)．
2．按大小分：正实数、0、负实数
【提示】关于“0”的意义：
(1)0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数唯一的分界点；
(2)非正整数是指负整数和0，非负整数是指正整数和0；
(3)0不仅仅表示“没有”，还具有特殊的含义，如：0 ℃.
3．正负数可以用来表示具有相反意义的量：若规定向东为正，则向西为负；若规定收入10元为＋10元，则支出10元为－10元.
考点二：实数的相关概念
数轴
1．三要素：② 、③ 和单位长度；
2．数轴上的点与实数④ 对应；
3．数轴上两点间的距离：AB＝b－a(右减左)
原点
正方向
一一
相反数 a的相反数是⑤____； 0的相反数是⑥____； 实数 a，b互为相反数 a＋b＝⑦___ 相反数与绝对值的关系：
(1)互为相反数的两个数的绝对值相同，到原点距离相等；绝对值可以看作一个数到原点的距离；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
绝对值 性质：|a|＝ 绝对值具有⑨_______ 倒数 a(a≠0)的倒数是⑩ ；若a，b互为倒数，则 ab＝ ；0没有倒数，倒数等于本身的数是±1 －a
0
0
非负性
1
考点三：科学记数法与近似数
科学记数法 定义 把一个数写成 的形式(其中1≤|a|＜10，n为整数)
a的确定 将原数变为整数位数只有1位的数，如原数为72 000时，a为 ____
n的确定 当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数 ____或原数变为a时小数点向左移动的位数
当0＜原数的绝对值＜1时，n为负整数，其绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前的零)或原数变为a时小数点向 移动的位数
a×10n
7.2
减1
右
常见 单位 换算 计数 单位 1万＝ ______，1亿＝ ______
计量 单位 1 mm＝ ________m，1 μm＝ ________m，
1 nm＝ ________m
近似数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．如2.019精确到0.1是2.0，精确到0.01是 ____
1×104
1×108
1×10－3
1×10－6
1×10－9
2.02
考点四：实数运算常见的运算类型及法则
运算 法则
乘方 an＝a·a·…·a
n个a
a的偶数次幂是非负数，a的奇数次幂的符号与a的符号相同
0次幂 a0＝ (a≠0)
负整数 指数幂
a－p＝ (a≠0，p为正整数)，特别地，a－1＝(a≠0)
去绝对 值符号 |a－b|＝
1
－1的奇 偶次幂 (－1)n＝
【提示】先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．如果运算式子中有括号，先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．同级运算应按从左到右的顺序进行 考点五：特殊角的锐角三角函数值
α 三角函数 30° 45° 60°
sin α ____
cos α ____
tan α ____
1
图示记忆


考点六：实数的大小比较
数轴比较法 将要比较的两个数分别表示在数轴上，再利用右边的数总比左边的数 来比较
性质比较法 正数>0>负数；
两个负数比较大小，绝对值大的数反而 ____
作差比较法 设a，b是任意两个实数，则a－b>0 a b；a－b＝0 a ____b；a－b＜0 a＜b
平方比较法 a2＞b a＞(a＞0，b＞0)(主要用于二次根式估值及含有根式的数的大小比较)
特殊值法 若0＜a＜1，比较a，，a2，的大小 可取a＝，则 ___________
大
小
＞
＝
a2＜a＜
考点七：数轴上表示无理数的作法【2022年版课标新增内容】
思考：你能借助圆规和直尺用数轴上的点表示无理数吗？
如图，用数轴上的点表示无理数的核心方法是勾股定理(体会“数形结合”思想)，则下列点表示的数分别为B：，D： ____，F： ____.
1．(人教七上P14习题T1变式)把下列各数的序号按要求填到相应的横线上．
①0.5；②－1；③；④0.232 332 333 2…(相邻的两个2之间依次多一个3)；⑤cos45°；⑥5；⑦0；⑧.
(1)无理数有 ；
(2)负数有 ；
(3)既不是正数，也不是负数的数是 ；
(4)正实数有 ；
(5)非正整数有 ；
(6)整数有 ；
(7)正分数有 .
③④⑤
②
⑦
①③④⑤⑥⑧
②⑦
②⑥⑦
①⑧
2.(人教七上P9练习T1变式)如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点．
(1)点E表示的数的相反数是____，绝对值是____，倒数是____；
(2)这五个点中，最小的正数对应的点是__，绝对值最小的数对应的点是__；
(3)若无理数m对应的点在数轴上A，D两点之间，则m可以是_____________
(写一个即可)；
(4)数轴上D，E两点之间的距离为__；
(5)数轴上与点B相距2个单位长度的点为点__；
(6)数轴上互为相反数的两个数对应的点是______.
2
2
－
A
B
(答案不唯一)
5
A
C，D
3．(人教七上P45练习T1变式)用科学记数法表示下列各数：
(1)87 790 000 000＝____________；
(2)0.000 000 007＝________；
(3)135万＝__________；
(4)1.4亿＝__________；
(5)0.4 nm＝__________m；
(6)2.2×10－8可还原为________________.
8．779×1010
7×10－9
1.35×106
1.4×108
4×10－10
0．000 000 022
4．(人教七上P47练习T6变式)用四舍五入法对245.635取近似数：
精确到个位：____；
精确到0.1：_______；
精确到百分位：________.
246
245.6
245.64
5.(人教八上P145练习T1变式)计算：
(1)－22＝ ；
(2)(－2)2＝ ；
(3)－1＝ ；
(4)(－1)2 026＝ ；
(5)|1－|＝ ；
(6)(π－3)0＝ .
－4
4
－3
1
－1
1
6．(人教七下P57习题T5变式)计算：
(1)－(－1)3＋；

(2)＋＋|1－|.
解：原式＝－2－(－1)＋(－3)2
＝8.
解：原式＝2＋6＋－1
＝3＋5.
7．已知α为锐角，且cosα＝，那么α的度数为 .
8. (人教九下P69习题T3变式)计算：
2cos245°＋tan45°－2sin60°.
30°
解：原式＝2×2＋1－2×
＝2×＋1－
＝1＋1－
＝2－.
(1) 1；
(2)2；
(3)π 3.14；
(4)－ －6；
(5)2 6；
(6) －；
(7)2 3；
(8).
9.(人数七下P57习题T6变式)比较大小：(均选填“＞”“＜”或“＝”)
＞
＜
＞
＞
＜
＞
＞
＜
10．利用勾股定理在如图所示的数轴上找出点.
解：如图，弧与数轴交点即为表示的点．
1．式子5＋(－12)＋(－7)写成省略括号和加号的形式是 .
2．(1)化简：
－(－5)＝ ，－|－5|＝ ；
(2)若(a－2)2＋|b＋3|＝0，则ba的值为 .
5－12－7
5
－5
9
3．用科学记数法表示下列各数：
40 000＝ ；
11．75亿＝ ；
0．003 4＝ ；
－0.000 000 305＝ .
4．近似数0.072 0精确到 位；近似数3.0×106精确到 位；
近似数“14.117 8亿”精确到 位．
5．比较大小：－ －，2 .(均选填“>”“<”或“＝”)
4×104
1.175×109
3.4×10－3
－3.05×10－7
万分
十万
万
>
<
6．计算：
(1)|－8|－(－3)2＝ ；
(2)－(－2)3＝ ；
(3)-2－(－)0＝ ；
(4)－2cos 60°＝ ；
(5)－14＋2cos 30°·tan 45°＝ .
－1
7
3
3
－1

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