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(共39张PPT)
2026年中考数学一轮复习专题★★
相似三角形(含位似)
考点一：比例线段
比例的 性质 性质1 (基本性质) 若＝，则ad＝①___(abcd≠0)
性质2 (合比性质) 若＝，则＝②______(bd≠0)
性质3 (等比性质) 若＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，则＝③_
黄金 分割 比例 如图，若＝④___，则线段AB被点C黄金分割， 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比， 且＝≈0.618　　　　　　　 bc
考点二：平行线分线段成比例
1.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段⑤______．
已知：如图甲、乙，l3∥l4∥l5，则＝，＝，＝

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段⑥______
成比例
成比例
考点三：相似三角形的性质与判定
概念 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比
性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
2．相似三角形对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于⑦
______；
3．相似三角形的周长比等于⑧______，面积比等于⑨____________
相似比
相似比
相似比的平方
判定 三边对应⑩______的两个三角形相似 两边对应 ______且夹角 ____的两个三角形相似 两角分别 ____的两个三角形相似 平行于三角形一边的直线截原三角形所得的三角形与原三角形 ____
【提示】“HL”可判定直角三角形相似，“SSA”不能判定三角形相似 成比例
成比例
相等
相等
相似
考点四：相似多边形
概念 对应角相等，对应边成比例且边数相同的两个多边形叫做相似多边形，其对应边的比叫做相似比
性质 1.相似多边形的对应角 _____，对应边成比例；
2．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于 _____________
相等
相似比的平方
考点五：位似
性质 1.位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；
2．对应点的连线经过同一点；
3．位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
______；
4．位似图形中的对应边平行(或在同一条直线上)
相似比
位似变 换规律 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(－kx，－ky)或(kx，ky)
【提示】写坐标一般应有两种情况
与相似 的区别 位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形
作图 步骤 确定位似中心；确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；描出新图形
【常见模型】
1．射影定理模型
已知 图示 结论(性质)
∠ABC ＝∠ADB ＝90° 　 ①△ABC∽△ADB∽△BDC；
②AB2＝AC·AD，BD2＝AD·CD，BC2＝AC·CD；
③AB·BC＝BD·AC(面积法)
2.“A”字模型
模型 图示 正“A”字模型 ①条件：DE∥BC； ②结论：△ADE∽△ABC 反“A”字模型(共角型)

①条件：DE与BC不平行，
∠ADE＝∠ACB(或∠AED＝∠B)；
②结论：△ADE∽△ACB
共边反“A”字模型(共角共边型) ①条件：∠ACD＝∠B； ②结论：△ADC∽△ACB， AC2＝AD·AB(共角共边型特殊结论) 剪刀反“A”字模型

①条件：∠ACB＝∠AED；
②结论：△ACB∽△AED
模型 特点 有一个公共角
解题 策略 从已知条件、图中隐含条件或通过证明得另一对角相等，若题中未明确相似三角形的对应顶点，则需要分类讨论
3.“8”字模型
模型图示 正“8”字模型 ①条件：AB∥CD； ②结论：△ABE∽△DCE 反“8”字模型

①条件：AB与CD不平行，
∠A＝∠C(或∠B＝∠D)；
②结论：△ABE∽△CDE
模型特点 有一组隐含的等角(对顶角) 解题策略 从已知条件、图中隐含条件或通过证明得令一对角相等或等角的两边对应成比例，若题中未明确相似三角形的对应顶点，则需要分类讨论 4．“一线三等角”相似模型[见本书P97微专题(七)]
5．“手拉手”相似模型[见本书P99微专题(八)]
6．“对角互补”相似模型[见本书P101微专题(九)]
1．(1)如果3a＝5b(a，b均不为0)，那么a∶b＝ (填比值)；
(2)若＝，则＝ ；
(3)若＝＝＝，则＝ .
2．(人教九上P18阅读与思考图2变式)如图五角星中，C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，AB＝2，则五边形CDEFG的周长为 .
10－20
3．(人教九下P31练习T1变式)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，AD＝3，AF＝8，则的值为 .
4．(人教九下P39练习T1变式)
(1)若两个相似三角形的对应角平分线的比为3∶2，则它们的面积比为 ；
(2)△ABC∽△A1B1C1，AD，A1D1分别是∠BAC，∠B1A1C1的平分线，若＝k，则的值是 .
9∶4
k
5.(人教九下P35例2变式)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是( )
A．∠ADE＝∠C
B.＝＝
C．AD·BC＝AC·DE
D．AD·AB＝AC·AE
C
6．(人教九下P26例题变式)若四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为( )
A．70°　　　　
B．80°
C．110°
D．120°
D
7．(人教九下P48练习T1 变式)如图，△ABC和△ADE是以点A 为位似中心的位似图形，且CE＝2AE，则下列结论中正确的是( )
A.＝
B.＝
C．DE∥BC
D.S△ADE,S△ABC＝
C
8．(人教九下P50练习T2变式)已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(0，2)，B(3，3)，C(2，1)．以点B为位似中心，画出△A1B1C1与△ABC相似，两三角形位于点B同侧且相似比是3，则点C的对应顶点C1的坐标是 ．
9.如图，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为 .
(0，－3)
6
10．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且∠AED＝∠ABC，若DE＝3，BC＝6，AB＝8，则AE的长为 .
4
11．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为 .
4
12．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E.设小正方形的边长为1，则BE的
长为 .
如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，BE和CD相交于点O，连接DE.
(1)若DE∥BC，＝，BC＝6，则＝ ，＝ ，DE＝ ；
(2)若∠AED＝∠ABC，AE＝2，BC＝6，AB＝3ED，则ED＝ ；
(3)若D，E分别为AB，AC的中点，CD＝3，则OD＝ ；
(4)若BE，CD都是△ABC的高，AD＝3，AE＝2，CD＝4，则S△ABE＝ ；
(5)若DE∥BC，＝，则,＝ ，,＝ ；
(6)若AD＝3，DB＝4，AE＝2，当△ADE与△ABC相似时，CE＝ .
2
1
【解析】分△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB两种情况讨论．
(旋转放缩型)如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE.若S△ADB∶S△AEC＝16∶9，△ADB的周长为2，求△AEC的周长．
【思路分析】已知一个三角形的周长，求另一个三角形的周长可考虑通过证明这两个三角形相似，通过相似三角形的周长比等于相似比求解．
解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝，∴△ABD∽△ACE，
∴,＝，,＝2，∵S△ADB∶S△AEC＝16∶9，∴＝，
∴,＝，
∵△ADB的周长为2，∴△AEC的周长为.
【考情分析】云南近6年主要在选填题中考查相似三角形的性质与判定，偶尔也结合特殊四边形考查以下几种类型：①证明两个三角形相似；②通过证明两个三角形相似得到线段或面积成比例，角相等；③利用相似的性质进行相关计算．难度较小，分值一般3－4分．
命题点：相似三角形的性质与判定(近 6年考查4次)
1．(2025·云南第8题2分)如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC.若 ＝，则的值为( )
A.　　　　　　　　　　　　　　　
B.
C.　　　　　　　　　　　　　　　
D.
A
2.(2022·省卷第5题4分)如图，在△ABC中，D，E分别为BC，BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则的值为( )
A.　　　
B.　　　
C.　　　
D.
B
3．(2024·云南第18题2分)如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若＝，则＝ .
4．(2021·云南第12题3分)如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F.若BF＝6，则BE的长是 .
9
5．(2025·贵州)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2　∶1，若DF＝2，则AC的长为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
C
6．(2025·眉山)如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（ ）
A．2∶1
B．1∶2
C．4∶1
D．1∶4
B
7．(2025·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O.已知BC∶B′C′＝1∶2，则B(2，0)的对应点B′的坐标是（ ）
A．(3，0)
B.(4，0)
C.(6，0)
D．(8，0)
B
8．(2025·长春)将直角三角形纸片ABC(∠C＝90°)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是( )
A．MN∥DE∥PQ
B．BC＝2DE＝4MN
C．AN＝BQ＝NQ
D.＝＝
D
9．(2025·宜宾)如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
10．(2025·兰州)如图，黄金矩形ABCD中以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 .(结果用π表示)
(－1)π

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