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7.4 平移
第七章 相交线与平行线
知1－讲
感悟新知
知识点
平移的概念
1
定义 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移
把三角形ABC 沿直线PQ 平移， 得到三角形A′B′C′.
两要素 平移的方向 原图形上某一点到它对应点的方向 平移的距离 任意一组对应点所连线段的长度 感悟新知
知1－讲
对应 元素 对应点 如图，点A 与点A′，点B 与点B′， 点C 与点C′
把三角形ABC 沿直线PQ 平移， 得到三角形A′B′C′.
对应线段 如图，AB 与A′B′，AC 与A′C′， BC 与B′C′ 对应角 如图，∠ BAC 与∠ B′A′C′，∠ ABC 与∠ A′B′C′，∠ ACB 与∠ A′C′B′ 感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 平移只改变图形的位置, 不改变图形的形状和大小.
2. 平移的方向不限于水平或竖直, 图形可以沿平面内任何方向平移.
知1－练
感悟新知
下面各组图形中(如图7.4-1)，能由其中一个图形经过平移得到另一个图形的是( )
例1
解题秘方：紧扣平移的定义进行判断，关键是看图形的大小和方向是否改变.
知1－练
感悟新知
解：
答案：A
选项 能否由平移得到 理由
A 能 两个三角形的形状、大小完全相同，且可以由一个图形按某一方向移动一定的距离得到另一个图形
B 否 两个正方形大小不同
C，D 否 这两组图形虽然形状和大小完全相同，但都不能由一个图形按某一方向移动一定的距离得到另一个图形
知1－练
感悟新知
1-1. 甲骨文是我国古代的一
种文字，是汉字的早期
形式，下列甲骨文中，
能用平移来分析其形成
过程的是( )
D
知1－练
感悟新知
如图7.4-2，三角形ABC由三角形FDE平移得到，则三角形FDE 的平移方式是( )
A. 沿射线EC的方向移动DB的长
B. 沿射线EC的方向移动CD的长
C. 沿射线CE的方向移动DB的长
D. 沿射线BD的方向移动BD的长
例2
知1－练
感悟新知
答案：A
解题秘方：确定一个图形平移的方向和距离，只需确定此图形上一个点平移的方向和距离.
解：先确定平移的方向是由右向左，即射线EC或射线DB的方向；再确定平移的距离是EC或DB的长.
知1－练
感悟新知
2-1.[期末·南京建邺区] 如图，若将图形M平移至下方的空白N 处，则正确的平移方法是_____________________
___________________.
先向右平移4格，再向下
平移5格(说法不唯一)
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知2－讲
知识点
平移的性质
2
性质 符号语言 图示
平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同
连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上) 且相等 如右图①，AA ′∥ BB ′，AA ′∥ CC ′， AA′=BB′=CC′，BB′ 与CC′在同一条直线上； 如右图②，AA′∥ BB′∥ CC′，AA′=BB′=CC′ 感悟新知
知2－讲
性质 符号语言 图示
平移前后两个图形中的对应线段平行(或在同一条直线上) 且相等,对应角相等 如右图①，AB ∥ A′B′， AC∥A′C′，BC与B′C′ 在同一条直线上， AB=A′B′， AC=A′C′，BC=B′C′， ∠ BAC= ∠ B ′A ′C′， ∠ ABC= ∠ A ′B ′C′， ∠ ACB= ∠ A′C′B′ 如右图②，AB ∥ A′B′， AC ∥ A ′C ′，BC ∥ B ′C ′，AB=A ′B ′， AC=A′C′，BC=B′C′， ∠ BAC= ∠ B ′A ′C′， ∠ ABC= ∠ A ′B ′C′， ∠ ACB= ∠ A′C′B′
知2－讲
感悟新知
特别警示
“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上对应的点连接而成的，体现了平移的距离 和 方 向，而“对 应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分.
感悟新知
知2－练
如图 7.4-3，将面积为 3 的三角形 ABC 沿 BC 方向平
移到三角形 DEF 的位置， CE=5， EF=2，∠ B=48°，则(1)BC= ____，∠ DEF= _____，三角形 DEF 的面积是 _____.
(2)AD与BE的关系是___________；
(3)平移的距离是_____，
2
48°
3
例3
平行且相等
7
知2－练
感悟新知
解题秘方：由平移的性质得相等关系时，一定要注意元素的对应，只有对应准确，才能“相同”或“相等”.
知2－练
感悟新知
解：(1)根据平移后的新图形与原图形的形状、大小完全相同，得BC=EF=2，∠DEF= ∠B=48°，
S三角形DEF=S三角形ABC=3.
(2)因为点A 和点D是对应点，点B 和点E 是对应点，所以AD=BE，AD∥BE.
(3)平移的距离是CF=CE+EF=5+2=7.
知2－练
感悟新知
3-1.如图，将三角形ABC 沿射线 AB 的方向平移到三角形 DEF 的位置，连接CF .
(1) 找出图中所有平行的直线；
解：AC∥DF，AE∥CF，BC∥EF.
知2－练
感悟新知
(2)找出图中与 AD的长度相等的线段；
(3) 若∠ ABC=65°，求∠ BCF 的度数 .
题图中与AD的长度相等的线段是BE和CF.
由(1)知AE∥CF，∴∠BCF＝∠ABC＝65°(两直线平行，内错角相等)．
知3－讲
感悟新知
知识点
平移作图
3
平移作图的步骤
(1)定：确定平移方向和平移距离；
(2)找：找到构成原图形的关键点；
(3)移：将找到的关键点，按照已确定的平移方向和平移距离进行平移，确定对应点；
(4)连：仿照原图形，连接对应点，得到平移后的图形；
(5)写：写出结论 .
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知3－讲
特别解读
1.平移的性质是平移作图的依据.
2.确定一个图形平移后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平移的方向；
(3)平移的距离.
这三个条件缺一不可.
知3－练
感悟新知
[母题 教材 P29 习题 T3 ]如图 7.4-4，四边形 ABCD 的顶点 A 平移到了点 A′处，作出四边形 ABCD 平移后的四边形 A′ B′ C′ D′ .
例4
知3－练
感悟新知
解题秘方：由已知的一组对应点确定平移的方向和距离，然后作出其他对应点的位置，最后作出平移后的图形 .
知3－练
感悟新知
解：如图7.4-4 所示. 作法如下：
(1)连接 AA′ ；
(2)分别过点B， C，
D作l1∥ AA′ ， l2∥ AA′， l3∥ AA′；
(3)在 l 1 上沿 AA ′ 的方向截取BB′ =AA′ ，在 l 2， l 3 上按同样的方法分别截取 CC′ =AA′ ， DD′ =AA′ ；
(4)顺次连接 A ′ B ′ ， B ′ C ′ ， C ′ D ′ ，D ′ A ′ ，即得到平移后的四边形A′ B′ C′ D′ .
知3－练
感悟新知
4-1. 如图, 平移四边形ABCD, 使点A 移动到点A′处, 画出平移后的四边形A′B′C′D′, 并指出平移的方向和距离.
解：如图所示．
知3－练
感悟新知
(1)连接AA′；(2)分别过点B，C，D作AA′的平行线b，c，d；(3)在b，c，d上沿AA′的方向分别截取BB′＝ AA′，CC′＝AA′，DD′＝AA′，则点B′，C′，D′分别是点B，C，D的对应点；(4)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，则四边形A′B′C′D′就是所求作的图形．平移的方向：射线AA′的方向；平移的距离：线段AA′的
长度．
知3－练
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如图7.4-5，在正方形网格中，平移三角形ABC后得到的图形是三角形A′B′C′，其中C与C′是对应点，请画出平移后的三角形A′B′C′.
例5
知3－练
感悟新知
解题秘方：在网格中，解决平移问题时，先找到一组对应点，根据这组对应点分析平移的方向和距离，由此确定图形平移的方向和距离.
知3－练
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解:由点C与点C′是对应点，可以得出整个图形向右平移了5 格，向上平移了2 格. 根据平移的方向和距离，就可确定点A′，B′的位置，
依次连接即可，如图7.4-5
所示.
知3－练
感悟新知
5-1. 在正方形网格中，三角形 ABC 的三个顶点的位置如图，现将三角形 ABC 平移，使点 A 移动到点 A′，点 B， C 的对应点分别是点 B′， C′ .
(1)画出平移后的三角形 A′ B′ C′；
解：如图，三角形A′B′C′
即为所求．
知3－练
感悟新知
(2)若连接 AA ′，CC′，则这两条线段的关系是__________ .
平行且相等
平移
依据
作图
平移
性质
概念
题型
利用平移的性质求长度
1
如图7.4-6，将周长为20的三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到三角形DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为_________.
例6
24
思路导引：
解：∵ 三角形ABC沿BC方向平移2 个单位长度得到三角形DEF，∴DF=AC，AD=CF=2.
∵三角形ABC的周长为20，∴AB+BC+AC=20.
∴ 四边形ABFD 的周长为AB+BF+DF+ AD=AB+BC+CF+AC+AD=
三角形ABC 的周长+2AD=20+4=24.
方法点拨
求图形周长的题目通用方法是将周长转化为线段和，然后结合已知条件进行线段转化后求解 .
题型
利用平移的性质求面积
2
[期中·金华东阳市]如图 7.4-7(单位： m)，一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路(每条石子路的宽度均匀)，那么草坪(阴影部分)的面积是 ______m2.
例6
类型 1 平移补形
48
解题秘方： 将两边阴影部分向内平移，转化为长方形即可 .
方法点拨
利用平移将不规则图形转化成规则图形后再进行计算 .
解：如图7.4-7，将图中阴影部分①向右平移2 m，阴影部分② 向左平移 2m，可以拼成长为12-2-2=8(m)，宽为6 m 的长方形，所以阴影部分的面积为 8× 6=48(m2) .
如图7.4-8，将直角三角形ABC沿 CB方向平移BE的长度后得到直角三角形 DEF， DF 与 AB 相交于点 G. 已知∠ABC=90°，AG=2，BE=4，DE=6，求阴影部分的面积 .
例8
类型 2 等积转化法
思路导引：
解： ∵ 三角形 DEF 是三角形 ABC 经过平移后得到的，∴ AB=DE=6，，S三角形DEF=S三角形ABC.
∴ BG=AB-AG=6-2=4 ∴ S阴影=S三角形ABC-S三角形GBF =
S三角形DEF-S三角形GBF=S梯形BEDG (BG+DE)· BE=
×(4+6) × 4=20.
另解
如图7.4-9，连接GE.阴影部分的面积 = 四边形 BEDG 的面积=三角形BEG的面积 + 三角形DEG的面积 =
BG·BE+ DE·BE= ×4×4+ ×6×4=20.
题型
利用平移的性质解决生活中的问题
3
某宾馆在重新装修后，考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼梯宽3 m，其侧面如图7.4-10 所示，铺设此楼梯，需要购买地毯的长为多少米？购买地毯多少平方米？
例9
思路导引：
图解
平移如图7.4-11 所示, 则台阶横长的和等于BC 的长，台阶竖长的和等于AB 的长.
解：由题意得AB+BC=1.2+2.4=3.6(m)，
故需要购买地毯的长为3.6 m.
因此地毯的面积为3.6×3=10.8(m2)，
即购买地毯10.8 m2.
题型
利用平移的性质规划路线
4
如图 7.4-12，两家单位位于一条封闭式街道的两旁(街道的两边平行)，分别用点 M， N 表示，现准备修建一座过街天桥，天桥建在何处时才能使点 M 到点 N 的路线最短？请说明理由(注意：天桥必须和街道垂直)
例10
解题秘方：通过平移将街道两侧的路线转化到一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”解决问题.
解：作法如下：(1)作 NE ⊥ AB 于点 E，交 CD 于点 F；
(2)在 NE 上截取 NN′=EF；
(3)连接 MN′交 AB 于点 P；
(4)作PQ ⊥ CD于点Q，如图7.4-12，
则PQ为天桥的位置. 理由：连接 QN.
∵ PQ ⊥ CD， AB ∥ CD， ∴ PQ ⊥ AB.
又∵ NE ⊥ AB， ∴ PQ ∥ NE， EF=PQ.
又∵ NN′=EF，∴ PQ=NN′(相当于将 PQ 平移到 NN′) .
∴ QN=PN′. ∴ 点 M 到 点 N 的最短路线长为MP+PQ+
QN=MP+PQ+PN′=MN′+PQ(通过两点之间线段最短可得) .∴ 天桥建在 PQ 处时，点 M 到点 N 的路线最短 .
技巧点拨
利用平移巧造桥：
1. 通过平移先将解决问题的难点固定桥长“消除”，然后转化为单纯的“两点间的距离”问题，体现了数学中的转化思想 .
2. 数学中解决最短距离问题常用的依据有“垂线段最短”和“两点之间线段最短” .
易错点
对于平移的性质掌握不牢导致无法求出周长
如图7.4-13，将三角形ABC 沿CB 向左平移3 cm 得到三角形DEF，AB，DF 相交于点G，如果三角形ABC 的周长是 12 cm，求三角形ADG
与三角形GBF周长的和.
例11
解：∵将三角形ABC向左平移3 cm得到三角形DEF，
∴ AD=EB，EF=BC，DF=AC.
∴ 三角形ADG 与三角形GBF 的周长之和=AD+DG+
AG+GF+BG+BF= EF+AB+DF=BC+AB+AC=12 cm.
诊误区：
利用平移的性质进行线段的转化，将两个三角形的周长之和转化为一个三角形的周长. 本题只知道平移的距离和三角形ABC 的周长，学生往往不会进行线段的转化而错解.
[中考·南充]如图7.4-14，将三角形ABC沿BC向右平移得到三角形DEF，若BC=5，BE=2，则CF的长是
(　　)
A.2
B.2.5
C.3
D.5
考法
利用平移的性质求线段长
1
例11
试题评析：本题考查平移的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质 .
答案：A
解：由平移的性质可知 CF=BE=2.
[中考· 台 州]如图 7.4-15，三角形ABC的边BC长为
4 cm. 将三角形 ABC 平移 2 cm 得到三角形
A′ B′ C′ ，且 BB ′⊥BC，则
阴影部分的面积为 _______cm2.
考法
利用平移的性质求面积
2
例13
试题评析：本题考查平移的性质，利用平移的性质将不规则图形转化为规则图形是解题关键 .
答案：8
解：根据题意可知BB′ =2 cm.由平移可知，S阴影部分=
S四边形BB ′C ′C，四边形BB ′C ′C 为长方形，所以
S阴影部分=BC·BB′=4×2=8(cm2).
1. [中考·郴州]下列图形中，能由图形a(如图)通过平移得到的是( )
B
2. 如图，将三角形 ABC 沿AB方向平移，得到三角形 BDE. 若∠ 1=55° ， ∠ 2=35° ，则∠ ADE 的度数为(　　)
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
C
3.如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，那么，下面的平移方法中，正确的是( )
A. 先向下平移 3 格，再向右平移 1 格
B. 先向下平移 2 格，再向右平移 1 格
C. 先向下平移 2 格，再向右平移 2 格
D. 先向下平移 3 格，再向右平移 2 格
D
4. [母题教材 P30习题 T4] 如 图，用平移的方法说明平行四边形的面积公式 S=ah时，若三角形ABE 平移到三角形DCF， a=4， h=3，则三角形 ABE
的平移距离为( )
A.3 B.4
C.5 D.12
B
5. [月考·北京朝阳区]某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度 l 甲、l 乙、 l 丙关系是__________ .
l甲＝l乙＝l丙
6.“科教兴国，强国有我”. 在科技实验活动中，陈臻设计制作了“水火箭”升空实验，观察发射过程，他把水火箭抽象成几何图形，如图，火箭主体BD约50 cm，若起飞过程中B′D的长约为85 cm，则BD′的长约为______cm.
15
7. [期中·孝感汉川市]如图，直线 l 上 摆 放着两个大小相同的直角三角板 ABC和 DEC，将三角板 DEC沿直线 l 向左平移到三角形 D′ E′ C′ 的位置，使点 E 的对应点 E′ 在 AB 上，点 P 为 AC与 E′ D′ 的交点 . 图中三块阴影部分的面积之和为 6，则一个直角三角
板的面积为 _________.
6
8. 如图，已知三角形 ABC 平移后点 A的对应点为点 D，请作出三角形 ABC平移后的图形 .
解：如图，三角形DEF即为三角形ABC平移后的图形．
9. [母题教材P30习题T6 ]如图，一块边长为8m的正方形土地，上面修了横竖各两条道路，宽都是1m，空白的部分种上花草，请利用平移的知识求出种花草的面积 .
解：通过平移道路可得到如图所示的图形，种花草的面积可看成是边长为8－1－1＝6(m)的空白正方形的面积．
所以种花草的面积为6×6＝36(m2)．
10.如图 ①，AB， BC被直线 AC所截，点D是线段AC上的点，过点D 作DE∥AB，连接 AE， ∠B= ∠E=69° .
(1)请说明 AE ∥ BC 的理由 .
解：∵DE∥AB，∴∠BAE＋∠E＝180°.
∵∠B＝∠E，∴∠BAE＋∠B＝180°，
∴AE∥BC.
(2)如图②，将线段 AE 沿着直线 AC 平移得到线段 PQ，连接 DQ.
①若∠ EDQ=80° ，则∠ Q=______ ；
②若∠ Q=20 ° ，则∠ EDQ=______.
11°
89°

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