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7.1 相交线
第七章 相交线与平行线
知1－讲
感悟新知
知识点
邻补角与对顶角
1
1. 邻补角、对顶角的概念和性质
名称 概念 性质 图形
邻 补 角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 如图，∠ 1 与∠ 2，∠ 2 与∠ 3， ∠ 3 与∠ 4， ∠ 4与∠ 1 都是邻补角 邻补角互补，用数学语言表示：如图， ∠ 1+ ∠2=180°， ∠ 2+ ∠3=180°，∠ 3+ ∠4=180°， ∠ 4+ ∠1=180°
感悟新知
知1－讲
名称 概念 性质 图形
邻 补 角 两个角有一个公共顶点， 并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 如图，∠ 1 与∠ 3，∠ 2 与∠ 4 是对顶角 对顶角相等，用数学语言表示：如图，∠ 1= ∠ 3， ∠ 2=∠ 4
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知1－讲
特别解读
1. 邻补角既指明了位置关系，又指明了数量关系，“邻”指位置上相邻，“补”指两个角的和为180° .
2. 一个角的邻补角有两个，且这两个角互为对顶角，而一个角的对顶角只有一个.
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2.对顶角与邻补角的区别与联系
知1－讲
邻补角 对顶角
区别 数量 关系 邻补角互补 对顶角相等
位置 关系 由两条直线相交形成，也可以由一条端点在直线上的射线与直线相交构成 对顶角必须由两条直线相交形成
相同点 ①都是两个角之间的关系, 要成对出现； ②对顶角与邻补角都有公共顶点
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知1－讲
特别提醒
互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角. 互为对顶角的两个角一定相等，但相等的两个角不一定是对顶角.
知1－练
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如图 7.1-1，∠ 1 和∠ 2 互为对顶角的图形有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
例1
解题秘方：根据对顶角的概念判断，重点把握“一个公共顶点”和“角的两边互为反向延长线”这两点.
知1－练
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解：图②和图⑤中，∠ 1 与∠ 2 具有公共顶点，且其中一个角的一边是另一个角的一边的反向延长线，但另一边不是互为反向延长线的关系，故图②⑤中的两个角不互为对顶角；图③中，∠ 1 与∠ 2 没有公共顶点，故这两个角不互为对顶角；图①④中，∠ 1 与∠ 2 符合对顶角的概念.
答案：B
知1－练
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1-1. [母题 教材P3 练习T1]下列各图中，∠ 1 与∠ 2是对顶角的是( )
C
知1－练
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如图7.1-2，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC=42°，则
∠AOM等于( )
A.159° B.161°
C.169° D.138°
思路导引：
例2
知1－练
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解：由对顶角相等，得∠BOD= ∠AOC=42°.
由OM平分∠BOD，得∠BOM= ∠DOM=21°.
由∠ AOM 和∠ BOM 互为邻补角，得∠ AOM=
180 ° -∠BOM=180°-21°=159°.
答案：A
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2-1. 如图, 直线AB 与CD 相交. 若∠ 1+ ∠ 2=70° , 则
∠ 3=( )
A.110°
B.135°
C.145°
D.155°
C
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知2－讲
知识点
垂线
2
1. 垂直：一般地，当两条直线a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a 与b 互相垂直，记作“a ⊥ b”.
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知2－讲
符号语言：
(1)如图7.1-3，因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD.∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD 中任一角均可
(2)如图7.1-3，因为AB⊥CD，所以∠AOD=90
由角的度数，得两直线的位置关系
∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD 中任一角均可
由两直线的位置关系，得角的度数
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知2－讲
2. 垂线：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图7.1-3，AB⊥CD，垂足为O.
知2－讲
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特别解读
1. 垂直是相交的特殊情况：夹角为90° .
2. 垂线是直线.
3. 两条线段或射线垂直，是指这两条线段或射线所在的直线垂直.
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例3
[母题 教材 P8 习题 T3] 如图 7.1-11，直线 AB， CD 相交于点O， OE ⊥ AB 于点 O，且∠ COE=40°，求
∠ BOD 的度数 .
知2－练
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解：因为 OE ⊥ AB，所以∠ AOE=90°.
又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE， ∠ COE=40°，
所以∠ AOC=90°－40°=50°.
所以∠ BOD= ∠ AOC=50°.
解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质，将要求的角向已知角转化 .
知2－练
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3-1.如图，已知 OA ⊥OB， ∠ BOC=40 °，OD 平 分 ∠ AOC， 则∠ BOD=_________.
25°
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知2－练
如图7.1-5，直线AB，CD相交于点O，FO⊥CD于点O，且∠FOE=∠DOB. 猜想EO与AB的位置关系，并说明理由.
例4
知2－练
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解：EO与AB互相垂直. 理由如下：
因为FO⊥CD， 所以∠FOD=90°.
所以∠FOE+ ∠EOD=90°.
又因为∠FOE= ∠DOB， 所以∠DOB+ ∠EOD=90°，
即∠EOB=90°. 所以EO与AB互相垂直
解题秘方：通过求两直线夹角的度数来说明两直线的位置关系.
知2－练
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4-1. 如图， 直线AB， CD 相交于点O， ∠ AOC=45°，∠ AOD= 3 ∠ DOE. 试猜想OE 与AB 的位置关系，并说明理由.
知2－练
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解：OE⊥AB.理由如下：因为∠AOC＝45°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°.
又因为∠AOD＝3∠DOE，
所以3∠DOE＝135°，所以∠DOE＝45°.
所以∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝135°－45°＝90°.
所以OE⊥AB.
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知3－讲
知识点
垂线的画法及基本事实
3
1. 在同一平面内，经过一点(在已知直线上或直线外)画已知直线的垂线，通常有两种画法.
(1)用三角尺画. 具体画法如下：
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知3－讲
步骤 内容 图示
一“落” 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P 作直线l 的垂线
二“移” 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三“画” 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 感悟新知
知3－讲
(2)用量角器画，如图7.1-6 与图7.1-7 所示.
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2. 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
不要忽略前提条件
存在且唯一
知3－讲
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特别提醒
1.“有”说明垂线的存在性，“只有”说明垂线的唯一性.
2. 基本事实中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上，也可以在直线外.
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知3－练
例5
[母题 教材 P5 例 2] 在图7.1-13 中，分别过点P作AB的垂线 .
解题秘方：过一点画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上.
知3－练
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解：如图 7.1-8所示 .
知3－练
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5-1. 如图，分别过点P 作线段MN 的垂线.
解：如图所示．
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知4－讲
知识点
垂线段及点到直线的距离
4
垂线段 如图，点P 为直线l 外一点，PO ⊥ l，垂足为O，称PO 为点P 到直线l 的垂线段
图示
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知4－讲
垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 如图，点P 与直线l 上各点的连线中， 线段PO 最短
图示
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知4－讲
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 如图，线段PO 的长度是点P 到直线l 的距离
图示
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知4－讲
注意：
(1)垂线与垂线段的区别:垂线是一条直线，长度不可度
量，而垂线段是一条线段,长度可度量.如上图，PO所在直线是垂线,线段PO是垂线段.
(2)垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是几何图形,而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度,是一个
数量.
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知4－讲
(3)点到直线的距离与两点的距离的区别:点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点的距离指连接两点间的线段的长度.如上图,线段A1A2的长度是点A1，A2的距离.
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知4－讲
特别提醒
点到直线的距离是数量，是该点到直线的垂线段的长度,所以不能说“垂线段是距离”,也不能说“作出点到直线的距离”,但可以说“作出点到直线的垂线段”.
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知4－练
作图并回答：
(1)如图7.1-9，点P在∠AOB的边OA上.
①过点P作OA的垂线交OB于点C；
②作点P到OB的垂线段PM.
例6
解：如图7.1-9，直线PC，
线段PM 即为所求.
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知4－练
(2)上述作图中，线段______的长度表示点P到OB的距离，线段_______的长度表示点C到OA的距离.
PM
CP
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知4－练
(3)请判断线段PM，PC与OC的大小关系(用“<”连接)，并说明理由.
解：PM因为PC是点C到OA的垂线段， 所以由“垂线段最短”可知PC知4－练
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解题秘方：作垂线及垂线段，根据“垂线段最短”比较线段大小.
知4－练
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6-1. 如图，一辆汽车在笔直的公路上由A 向B 行驶，M，N 是位于公路AB 两侧的两所学校，若汽车在公路上行驶时会对学校教学造成影响，试通过画图分别确定出汽车行驶时对两所学校影响
最大的位置.
知4－练
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解：如图，点C是汽车对M学校影响最大的位置，点D是汽车对N学校影响最大的位置．
知5－讲
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知识点
同位角、内错角、同旁内角
5
1. 如图，直线AB，CD与EF相交(也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称“三线八角”.
知5－讲
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定义 举例 图示
同位角 如右图，∠ 1 与∠ 5 这两个角分别在直线AB，CD的同一侧(上方)，并且都在直线EF 的同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同位角 右图中，∠ 1与∠ 5，∠ 2与∠ 6，∠ 3与∠ 7，∠ 4与∠ 8 是同位角
知5－讲
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定义 举例 图示
内错角 如右图，∠ 3 与∠ 5 这两 个角都在直线AB，CD 之 间，并且分别在直线EF 两侧(∠ 3 在直线EF 左侧，∠ 5 在直线EF 右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作内错角 右图中，∠ 3与∠ 5，∠ 4与∠ 6 是内错角
知5－讲
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定义 举例 图示
同旁内角 如右图，∠ 3 与∠ 6 这两 个角都在直线AB，CD 之 间，并且都在直线EF 的 同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫作 同旁内角 右图中，∠ 3 与∠ 6，∠ 4 与∠ 5 是同旁内角
知5－讲
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图形解读
同位角、内错角、同旁内角可以用手势表示出来(两个大拇指表示被截直线, 食指表示截线)，如图7.1-10 所示.
知5－讲
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2. 同位角、内错角、同旁内角的特征
角的名称 位置特征 基本 图形 图形的结构特征
同位角 在截线同侧，两条被截直线同一侧 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转)
内错角 在截线两侧，两条被截直线之间 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转)
知5－讲
感悟新知
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
同旁内角 在截线同侧，两条 被截直线之间 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转)
知5－讲
感悟新知
特别解读
同位角、内错角、同旁内角的共同点：
1. 同位角、内错角、同旁内角都是指两个角之间的位置关系,而不是大小关系，它们之间的大小关系都是不确定的.
2. 同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的, 它们都没有公共顶点, 但都有一条边共线.
知5－练
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例7
如图7.1-11，填空：
知5－练
感悟新知
(1)∠ 1 和∠B是直线_____， _____被直线_____所截形成的_____角；
(2)∠ 2 和∠A是直线_____ ， _____被直线_____所截形成的_____角；
(3)∠B和∠ECB是直线_____ ， _____被直线_____所截形成的_______角.
EC
AB
BD
(或BC或CD)
同位
EC
AB
AC
内错
AB
EC
BD
(或BC或CD)
同旁内
知5－练
感悟新知
思路导引：
知5－练
感悟新知
解：
角的 名称 共线的边所在直线(截线) 另两条边所在直线(被截直线) 特征 位置关系
∠ 1，∠ B BD(或BC 或CD) EC，AB 在BD 同侧；在EC，AB 同一侧 同位角
∠ 2，∠ A AC EC，AB 在AC 两侧；在EC，AB 之间 内错角
∠ B，∠ ECB BD(或BC 或CD) AB，EC 在BD 同侧；在EC，AB 之间 同旁内角
知5－练
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7-1. 如图所示.
(1)∠AED 和∠ ACB 是直线______ ， ______被______直线 所截形成的______角；
(2)∠DEB 和______是直线DE，BC 被直线______所截形成的内错角；
DE
CB
AC
同位
∠EBC
BE
知5－练
感悟新知
(3)______和______是直线DE，BC 被直线AC 所截形成的同旁内角；
(4)______和______是直线AB，AC 被直线BE 所截形成的内错角.
∠DEC
∠ECB
∠ABE
∠BEC
相交线
两条直线被第
三条直线所截
同位角
相交线
两条直线相交
内错角
同旁内角
一般
情况
邻补角
对顶角
垂直
特殊
情况
互补
相等
垂线的性质
题型
利用邻补角、对顶角的性质列方程求角的度数
1
如图7.1-12，直线AB，CD相交于点O， OA平分∠ EOC，若∠ EOA∶ ∠EOD=1∶3，求∠BOD的度数.
例8
思路导引：
解：因为∠EOA∶∠EOD=1∶3，
所以设∠EOA=x，则∠EOD=3x.
因为OA平分∠EOC，所以∠AOC= ∠EOA=x，
所以∠EOC=2x.
因为∠EOC和∠EOD互为邻补角，所以∠EOC+∠EOD=180°.
所以2x+3x=180°，解得x=36°. 所以∠COA=36°.
所以∠BOD= ∠COA=36°.
审题技巧
出现两条相交直线时，一定会存在邻补角和对顶角，解题时要充分挖掘这些条件，寻找已知角和未知角的关系.
解题通法
题目中出现比值或倍数关系时, 可以考虑先设未知数, 然后通过等量关系列出关于未知数的方程,从而解决问题.
如图7.1-13，长方形纸片ABCD中有一条线段OE，折叠长方形纸片ABCD，使OB，OC的端点B，C均落在OE上，再展开纸片.
例9
题型
利用折叠判断两线的位置关系
2
解题秘方：根据折叠的特点判断角的关系，然后通过推断两条直线的夹角来判断位置关系.
解：OM⊥ON. 理由如下： 由题意可知OM，ON 分别是∠ BOE， ∠COE的平分线， 所以∠MOE= ∠BOE，∠NOE= ∠COE. 因为∠BOE和∠COE互为邻补角，所以∠BOE+∠COE=180°.
所以∠MOE+ ∠NOE= (∠BOE+ ∠COE)=90°.
所以∠MON= ∠MOE+ ∠NOE=90°. 所以OM⊥ON.
(1)折痕OM和ON垂直吗？请说明理由.
解： 改变OE的位置，OM和ON依旧垂直.
发现：互为邻补角的两个角的平分线相互垂直.
(2)改变OE的位置，(1)中的结果还成立吗？你有什么发现？
要点解读
利用数量关系判断位置关系是几何题目中最常见的方法. 熟练掌握各种位置关系对应的数量关系是解题关键.
如图7.1-14，在用数字标出的八个角中，指出所有的同位角、内错角、同旁内角.
题型
在复杂图形中分离出“三线八角”
3
例10
解题秘方：在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角，应先找一对目标角的顶点，这两个顶点所在的直线即截线，然后分离图形、画出截线及一对目标角，最后依据三种角的结构特征进行判断.
解：同位角：∠ 3 和∠ 7，∠ 2 和∠ 8，∠ 4 和∠ 6.
内错角：∠ 1 和∠ 4，∠ 3 和∠ 5，∠ 2 和∠ 6，∠ 4 和∠ 8.
同旁内角：∠ 3 和∠ 6，∠ 2 和∠ 4，∠ 2 和∠ 5，∠ 4 和∠ 5.
图解
如图7.1-15 所示.
[新考法 归纳法]如图 7.1-6 ①，两条直线相交于一点所组成的角中，互为对顶角的角有 2 对，∠ AOD 和∠ BOC，∠ AOC和∠ BOD.
例11
题型
利用对顶角的定义进行几何计数
4
(1)如图 7.1-6 ②，三条直线相交于同一点所组成的角中，互为对顶角的角有______对；
(2)如图 7.1-6 ③，四条直线相交于同一点所组成的角中，互为对顶角的角有______对；
(3)n 条直线相交于同一点所组成的角中，互为对顶角的角有 _______对 .
6
12
n(n-1)
解题秘方： 从简单情况入手，总结复杂图形中含有基本图形的数量规律，利用从特殊到一般的思想解决问题 .
解：方法一 按从特殊到一般(从简单到复杂)的思路计数.
直线条数 对顶角对数 探索规律
2 2 2×1
3 6 3×2
4 12 4×3
… … …
n n(n-1) n(n-1)
方法二 按“基本图形”计数.
直线条数 分离出的两条相交直线的图形个数 对顶角的对数
2 1 1×2=2
3 3 3×2=6
4 6 6×2=12
… … …
n
解题通法：利用“基本图形法”求对顶角对数的方法
两条直线相交形成2 对对顶角，“基本图形”如图7.1-16 ①所示. 当求n 条直线相交于同一点所形成的对顶角的对数时，n 条直线两两配对共有个“基本图形”，然后由“基本图形”的个数乘每个“基本图形”中对顶角的对数即可.
图解
如图7.1-17，4 条直线相交于一点，以每条直线为始边, 有3 对对顶角, 故共有3×4=12(对) 对顶角，其他情况可以此类推.
如图 7.1-8 是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量出古塔底部∠ ABC 的大小的方案，并说明理由 .
题型
相交线中的实际问题
5
例12
解题秘方： 根据物体的结构特征，建立邻补角或对顶角的模型，将不能测量的角转化为能测量的邻补角或对顶角，利用其性质解决问题 .
解：方法一 如图 7.1-19 ①，延长 AB 到点 D，量出∠ CBD的度数，则∠ ABC=180° - ∠ CBD(邻补角的定义) .
方法二 如图 7.1-19 ②，延长 AB 到点 D，延长 CB 到点 E，量出∠ DBE 的度数，则∠ ABC= ∠ DBE(对顶角相等) .
技巧点拨
当测量一个角比较麻烦(无法直接测量)时，可利用相交线的性质将这个角转化为其邻补角或对顶角来测量.
[情境题 方案策略型]如图7.1-20，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案.
题型
相交线中的实际问题
4
例13
方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为
E，F，沿CE，DF 铺设管道.
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道.
这两种铺设管道的方案中，哪一种更节省材料？为什么？
解题秘方：分别用线段和表示出两种方案的管道长，利用垂线段的性质比较大小即可.
解：按方案一铺设管道更节省材料. 理由如下：
因为CE⊥AB，DF⊥AB，
所以根据“垂线段最短”，可得CE所以CE+DF所以按方案一铺设管道更节省材料.
方案一管道长
方案二管道长
特别警示
要准确理解题意，将实际问题转化为数学问题分析，此题容易盲目根据“两点之间，线段最短”，误认为方案二更节省材料.
已知直线AB 与直线CD 相交于点O，OE 平分∠ AOC，射线OF ⊥ CD 于点O，且∠ BOF=32°，求∠ COE 的度数.
例14
易错点 求角的度数时考虑不全面而漏解
错解：如图7.1-21 所示.
因为AB 是直线，所以∠ AOC+ ∠ COF+ ∠ BOF=180°.
因为OF ⊥ CD，所以∠ COF=90°.
因为∠ BOF=32°，所以∠ AOC=180°-90°-32°=58°.
又因为OE 平分∠ AOC，
所以∠ COE= ∠ AOC=29°.
正解：分两种情况讨论：
(1)当∠ AOC 是锐角时，如图7.1-21 所示. 同错解.
(2)当∠ AOC 是钝角时，如图7.1-22 所示.
因为OF ⊥ CD，所以∠ FOD=90°. 因为∠ BOF=32°，
所以∠ BOD= ∠ BOF+ ∠ FOD=32°+90°=122°.
因为∠ AOC= ∠ BOD，所以∠ AOC=122°.
又因为OE 平分∠ AOC，所以∠ COE= ∠ AOC=61° .
综上所述，∠ COE 的度数是29°或61°.
诊误区：
当题目未提供图形，需要自己画图时，要考虑可能出现的所有情况，即分类讨论，然后根据不同情况进行解答. 各种情况的解题思路一般相同.
[中考·北京]如图7.1-23，直线AB 和CD 相交于点O，OE ⊥ OC. 若∠ AOC= 58°，
则∠EOB的大小为( )
A.29° B.32°
C.45° D.58°
考法
利用对顶角的性质和垂直的定义求角的度数
1
例15
试题评析：本题考查对顶角的性质和垂直的定义，解题关键是利用角的和差计算.
解：因为OE⊥OC， 所以∠EOD=90°.
因为∠ BOD= ∠AOC=58°，
所以∠EOB= ∠EOD- ∠BOD=90 °- 58°=32°.
答案：B
[中考·常州新趋势跨学科综合]如图7.1-24，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜.若在点A 处分别施加推力F1，F2，则F1的力臂OA大于F2 的力臂OB.
考法
利用垂线段的性质解释生活中的现象
2
例16
这一判断过程体现的数学依据是( )
A. 垂线段最短
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两点确定一条直线
D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
试题评析：本题考查垂线段的性质，结合图形运用垂线段最短的知识即可解释.
解：因为OB⊥AB，所以OA>OB，
即F1 的力臂OA大于F2 的力臂OB.
因此其体现的数学依据是垂线段最短.
答案：A
1. [母题中考· 河南教材P20习题T9]如图，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为( )
100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
C
2. [母题中考· 广西教材P9 习题T6]在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是( )
A. 垂线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短
D. 两直线平行，内错角相等
A
3. [期中·南宁兴宁区]下列选项中，过点M作直线l 的垂
线，三角尺放置正确的是( )
B
4. 如图，直线AD，BE分别被直线BF和直线AC所截. ∠ 1 的同位角、∠ 2 的同旁内角和∠ 3 的内错角分别有
( )
A.2 个，2 个，2 个
B.2 个，2 个，1 个
C.3 个，2 个，2 个
D.3 个，2 个，1 个
C
5. 如图，直线AB 与直线CD 相交于点O，OE ⊥ OF， 且OA 平分∠ COE， 若∠DOE=50°，则∠BOF的度数为
( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
B
6. [新趋势 跨学科]综合光线从空气照射到水中会发生折射现象. 如图，AO为入射光线， OB为折射光线，直线DE为水面，点A，O， C在同一条直线上，其中∠AOD=
40 °， ∠BOC=20°，则∠BOE=________°.
60
7. 如图，3 条 直线两两相交最多有3 个 交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则 20条线两两相交最多有 ______个交点．
190
8. 如图，直线AB，CD，EF 相交于点O， ∠ 1=25°，∠COE=115°.
(1)求∠BOE的度数；
解：因为∠1＝25°，
所以∠BOE＝180°－∠1＝155°.
(2)判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
解：AB⊥CD.理由如下：
因为∠COE＝115°，∠1＝25°，
所以∠AOC＝∠COE－∠1＝90°.
所以AB⊥CD.
9. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE 平分∠AOD，∠BOC= ∠BOD - 30°，求∠COE的度数.
解：设∠BOD＝x，则∠BOC＝x－30°.
因为∠BOD＋∠BOC＝180°，
所以x＋(x－30°)＝180°，解得x＝105°.
所以∠BOD＝105°，∠BOC＝75°.
所以∠AOD＝∠BOC＝75°，∠AOC＝∠BOD＝105°.
10. [月考·武汉黄陂区]如图，已知直线AB，CD 相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC∶ ∠AOD=3∶7.
(1)求∠DOE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数.
解：因为OF⊥OE，所以∠FOE＝90°.
又因为∠DOE＝27°，
所以∠DOF＝∠FOE－∠DOE＝63°.
所以∠COF＝180°－∠DOF＝117°.
11. [新视角 类比探究题]如图，OD平分∠AOC， OE平分∠BOC，OA⊥OB.
(1)当∠BOC=30°时，∠DOE=_______.
45°
(2)试猜想∠DOE的度数是否随∠BOC 度数的变化而变化(∠BOC<90°)，并说明理由.
解：∠DOE的度数不变，为45°.理由如下：
易知∠AOB＝90°，设∠BOC＝β(β<90°)，
则∠AOC＝90°＋β.

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