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7.2 平行线
第七章 相交线与平行线
知1－讲
感悟新知
知识点
平行线的概念
1
名称 定义 表示法 图示
平行线 在同一平面内，当直线a，b 不相交时，我们说直线a 与b 互相平行 记作a ∥ b， 读作“a 平行于b”
前提条件
没有公共点
感悟新知
注意
(1)在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行.
(2)线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 不在同一平面内的直线, 在不相交时也可能不平行.
2. 平行是相互的，如a ∥ b 与b ∥ a 表示的意义相同.
知1－练
感悟新知
下列说法正确的是( )
A. 两条直线不平行则相交
B. 在同一平面内，没有公共点的两条射线必平行
C. 在同一平面内，若两条线段平行，则它们不相交
D. 在同一平面内，若两条线段没有公共点，则它们平行
例1
解题秘方：判断两条射线或线段是否平行，要延长或反向延长，看它们有没有交点.
知1－练
感悟新知
解：
选项 理由 对错
A 缺少前提条件“在同一平面内” ×
B 在同一平面内，没有公共点的 两条射线不一定平行，如图 ×
C 在同一平面内，若两条线段平行，则它们一定不相交 √
D 在同一平面内，没有公共点的 两条线段不一定平行，如图 ×
答案：C
知1－练
感悟新知
1-1. 下列说法正确的是( )
A. 不相交的两条线段是平行线
B. 不相交的两条直线是平行线
C. 不相交的两条射线是平行线
D. 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
D
感悟新知
知2－讲
知识点
平行线的画法
2
过直线外一点画已知直线的平行线
感悟新知
知2－讲
步骤 具体方法 图示
一“落” 把三角尺的一边落在已知直线上
二“靠” 用直尺紧靠三角尺的另一边
三“移” 保持直尺不动，沿直尺推动三角尺
四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.
2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.
3. 画图过程中要注意：
(1)直尺定好位置后，不能移动；
(2)三角尺要始终保持“紧靠”状态.
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知2－练
例2
如图7.2-1，在∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OA，交OB 于点C；过点P画PD∥OB，交OA于点D.
知2－练
感悟新知
解：如图7.2-2 所示.
解题秘方：按照过直线外一点画已知直线的平行线的步骤依次进行.
知2－练
感悟新知
2-1. 按要求画图： 如图，过点C 画CE∥AD 交BA 的延长线于点E.
解：如图所示．
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知3－讲
知识点
平行线的基本事实及其推论
3
1. 平行线的基本事实
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
特别提醒：平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线.
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知3－讲
2. 平行线基本事实的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行.
表达方式：如果a ∥ c，b ∥ c，那么a ∥ b.
知3－讲
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特别解读
1.“有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性.
2. 平行线的基本事实在推理过程中常用来说明直线的唯一性.
3. 平行线基本事实的推论体现了平行线的传递性.
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知3－练
例3
如图7.2-3，直线a ∥ b，b ∥ c，d 与a 相交于点M.
解题秘方：根据平行线的基本事实及其推论判定两条直线的位置关系.
感悟新知
知3－练
(1)试判断直线a，c的位置关系，并说明理由；
解：a ∥ c.
理由：因为a∥b，b∥c，所以a∥c . (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)
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知3－练
(2)判断c与d 的位置关系，并说明理由.
解：c 与d 相交.
理由：因为直线a，d都过点M，且a∥c，所以c与d相交. (过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)
知3－练
感悟新知
3-1. 下列说法正确的 是( )
A. 一条直线的平行线有且只有一条
B. 如果直线a ∥ c ， b ∥ c ，那么a ∥ b
C. 如果a ∥ b，a ∥ c，那么b ⊥ c
D. 过一点一定存在一条直线与已知直线平行
B
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知4－讲
知识点
平行线的判定
4
判定方法 文字语言 符号语言 基本图形
判定方 法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行 ∵∠ 1= ∠ 2，∴ l1∥l2
前面我们讲的平行线的画法，应用的就是判定方法1
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知4－讲
判定方法 文字语言 符号语言 基本图形
判定方 法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行 ∵∠ 2= ∠ 3，∴ l1∥l2
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知4－讲
判定方法 文字语言 符号语言 基本图形
判定方 法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 ∵∠ 2+ ∠ 4=180°， ∴ l1∥ l2
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知4－讲
除了上面三种判定方法外，还有以下三种利用位置
关系判定两直线平行的方法：
(1)平行线的定义；
(2)平行线基本事实的推论(平行线的传递性)；
(3)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简记成：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
感悟新知
知4－讲
特别解读
1. 符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”.
2. 这三种判定方法都是由角的数量关系来判定两条直线的位置关系.
感悟新知
知4－讲
特别提醒
要识别一对角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的角，要从组成角的两边入手：两个角共线的边所在的直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线. 确定了被截线，根据平行线的判定方法就可判断是哪两条直线平行.
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知4－练
如图7.2-4，根据下列条件，可判定哪两条直线平行？并说明根据.
例4
知4－练
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思路导引：
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知4－练
(1)∠ABD=∠CDB；
解：由∠ABD= ∠CDB可判定AB∥CD，根据是内错角相等， 两直线平行.
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知4－练
(2)∠CBA+∠BAD=180°；
解：由∠CBA+ ∠BAD=180°可判定BC∥AD，根据是同旁内角互补，两直线平行.
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知4－练
(3)∠ABC=∠DCE.
解：由∠ABC= ∠DCE可判定AB∥DC，根据是同位角相等，两直线平行.
知4－练
感悟新知
4-1. 如图所示.
(1)如果∠ 1= ∠ 2, 那么_____∥ _____,
依据是________________________.
(2)如果∠ 3= ∠ 4, 那么_____ ∥ _____ ,
依据是________________________ .
AD
BC
(或BE或CE)
内错角相等，两直线平行
AB
CD
内错角相等，两直线平行
知4－练
感悟新知
(3)如果∠ B= ∠ 5, 那么 _____ ∥ _____, 依据是_________________________ .
(4)如果∠D+ ∠BCD= 180 ° , 那么 _____ ∥ _____, 依据是________________________ .
AB
CD
同位角相等，两直线平行
AD
BC
(或BE或CE)
同旁内角互补，两直线平行
知5－讲
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知识点
平行线的性质
5
1. 平行线的性质
类别 文字语言 符号语言 图示
性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等 ∵ l1 ∥ l2， ∴∠ 1= ∠ 2
知5－讲
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类别 文字语言 符号语言 图示
性质2 两条平行直线被第三条直线所截， 内错角相等. 简单说成:两直线平行，内错角相等 ∵ l1 ∥ l2， ∴∠ 2= ∠ 3
性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 ∵ l1 ∥ l2， ∴∠ 2+ ∠ 4=180°
知5－讲
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2. 平行线的判定与性质的区别与联系
平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行). 图示如下：
知5－讲
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特别提醒
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行，不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补.
知5－练
感悟新知
例5
如图7.2-5，AB∥CD，BC∥AE，∠ 1=50°，求∠A，∠B， ∠C的度数.
解题秘方：准确区分平行线和截线，找到同位角、内错角、同旁内角，进而利用平行线的性质求解.
知5－练
感悟新知
解：∵AB∥CD，
∴∠A= ∠ 1=50°(两直线平行，同位角相等).
∵BC∥AE， ∴∠C= ∠ 1=50°(两直线平行，内错角相等)， ∠A+ ∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠B=180°- ∠A=130°.
另解: ∵ AB ∥ CD,
∴∠ B+ ∠ C=180° .
∴∠ B=180° - ∠ C=130°
知5－练
感悟新知
5-1. 如图，AB∥CD ， AB∥EG ， DF∥BG ， 且∠ 1=
65 °， 求∠ 2， ∠ 3，∠ 4 的度数.
知5－练
感悟新知
解：∵AB∥CD，AB∥EG，
∴CD∥EG(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠2＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．
∵DF∥BG，
∴∠3＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°.∵AB∥EG，
∴∠4＝∠3＝115°(两直线平行，同位角相等)．
平行线
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线
概念
画法
基本事实
及其推论
判定
性质
互逆
题型
利用平行线的性质求角的度数
1
将一个含30°角的三角尺和直尺如图7.2-6 所示摆
放，若∠ 1=50°，则∠ 2 的度数是( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
例6
解题秘方：根据平行线的性质得出∠ 2 和∠ 4 的相等关系，并求出∠ 3 的度数，再结合平角的定义求出∠ 4 的度数，问题得解.
解：如图7.2-6 所示.
∵ a ∥ b ，
∴∠ 3= ∠ 1=50°，∠ 2= ∠ 4.
(两直线平行，同位角相等)
∴∠ 4=180°-60°- ∠ 3=70°.
∴∠ 2= ∠ 4=70°.
答案：C
教你一招
三角尺的形状有两种，一种是等腰直角三角形，两个锐角都是45 °；另一种是含30 °角的直角三角形， 另一个锐角是60° .
如图7.2-7，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，C，D两点分别落在点C′，D′的位置，C′E交AF于点G，测得∠1=55°，求∠2 的度数.
例7
思路导引：
解：方法一 由折叠可得∠GEC=2 ∠ 1=110°.
由题意得AD∥BC，C′E∥D′F，
∴∠C′GF=∠GEC=110°(两直线平行，同位角相等)，
∠ 2+ ∠C′GF=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠ 2=180°- ∠C′GF=180°-110°=70°.
方法二 由题意得AD∥BC，
∴∠GFE= ∠ 1(两直线平行，内错角相等)，
∠DFE+ ∠ 1=180°(两直线平行，同旁内角互补).
又∠ 1=55°，∴∠GFE=55°，∠DFE=180°-55°=125°.
由折叠可得∠D′FE= ∠DFE=125°，
∴∠ 2= ∠D′FE- ∠GFE=125°-55°=70°.
方法三 由折叠可得∠GEF= ∠ 1=55°.
由题意得AD∥BC，C′E∥D′F，
∴∠GFE= ∠ 1=55°(两直线平行，内错角相等)，
∠GEF+ ∠D′FE=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠D′FE=180°- ∠GEF=180°-55°=125°.
∴∠ 2= ∠D′FE- ∠GFE=125°-55°=70°.
审题技巧
在长方形的折叠问题中，隐含着相等的角、长方形的对边平行等条件，要充分利用这些条件，实现角度之间的转化.
如图7.2-8，在三角形ABC 中，F，H是BC边上的
点， G，D是AC边上的点，且∠ FGA= ∠HDA. 在AB上取一点E，使∠BED+∠B=180°.
说明∠CFG=∠EDH.
题型
综合利用平行线的判定与性质解决问题
2
例8
解题秘方：已知条件中没有平行线，需要先利用判定寻找平行线，再利用平行线的性质得到角的数量关系，通过等量代换说明结论.
解：∵∠FGA= ∠HDA，
∴FG∥HD(同位角相等，两直线平行).
∴∠CFG= ∠CHD(两直线平行，同位角相等).
∵∠BED+ ∠B=180°，
∴ED∥BC(同旁内角互补，两直线平行).
∴∠EDH= ∠CHD(两直线平行，内错角相等).
∴∠CFG= ∠EDH.
方法点拨
综合分析法：
对于比较复杂的说明题, 可先从要说明的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件, 再从已知条件开始推理，看由这些条件能推导出哪些结论, 最后把两个方面综合起来，找到解题思路，写出推理过程，这种分析问题的方法称为综合分析法.
[新考法 逆向思维法]国家倡导绿色出行，数数的爸爸给他买了一辆单车. 图7.2-9 ①是该单车放在水平地面的实物图，图7.2-9 ② 是其示意图，其中AB，CD都与地面l 平行，∠BCD=60 °，∠BAC= 55°，当∠MAC为多少度
时，AM//CB ？
例9
思路导引：
解：∵AB，CD都与地面l 平行，
∴AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行).
∴∠BAC+ ∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
即∠BAC+ ∠ACB+ ∠BCD=180°.
∵∠BCD=60°，∠BAC=55°，∴∠ACB=180°-60°-55°=65°. 故当∠MAC=∠ACB=65°时，AM∥CB(内错角相等，两直线平行)
解题通法
解决实际问题的关键是读懂题意，从实际问题中抽象出数学问题，然后利用相关知识进行解答.
[新视角 类比探究题]如图7.2-10，AB∥CD，分别探究下面四个图中∠APC与∠A，∠C之间的关系.
题型
作平行线，利用平行线的性质探究角的关系
3
例10
解题秘方：分别过拐点作已知直线的平行线，利用平行线的性质求解.
解：图7.2-10 ①中，∠APC+ ∠A+ ∠C=360°.
理由：如图7.2-10 ①，过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD.
∴∠ 1+ ∠A=180°，∠ 2+ ∠C=180°.
∴∠ 1+ ∠A+ ∠ 2+ ∠C=360°.
又∵∠APC= ∠ 1+ ∠ 2，∴∠APC+ ∠A+ ∠C=360°.
图7.2-10 ②中，∠APC= ∠A+ ∠C.
理由：如图7.2-10 ②，过点P作PE∥AB.
∵ AB∥CD，∴ PE∥AB∥CD.
∴∠A=∠1，∠2=∠C.
∵∠APC= ∠ 1+ ∠ 2，∴∠APC= ∠A+ ∠C．
图7.2-10 ③中，∠APC+ ∠A= ∠C.
理由：如图7.2-10 ③，过点P作PE∥AB，
则∠ EPA+ ∠A=180°.
∵∠ EPA= ∠APC+ ∠ 1，∴∠APC+ ∠ 1+ ∠A=180°，
∴∠APC+ ∠A=180°- ∠ 1.
∵AB∥CD，PE∥AB， ∴PE∥CD. ∴∠ 1+ ∠C=180°， ∴∠C=180°- ∠ 1. ∴∠APC+ ∠A= ∠C..
另解
如图7.2-11，过点P 作PE ∥ AB.
∵ AB∥ CD， ∴ PE ∥ CD.
∴∠ EPC =∠ C.
∵∠EPC =∠1+∠APC，
∴∠ C=∠ 1+ ∠APC .
∵ PE ∥ AB， ∴∠ 1= ∠ A.
∴∠APC+ ∠A=∠ C.
图7.2-10 ④中，∠A= ∠APC+ ∠C.
理由：如图7.2-10 ④，过点P作PE∥AB，
则∠ 1+ ∠A=180°，即∠ 1=180°- ∠A.
∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD.
∴∠EPC+ ∠C=180°，即∠ 1+ ∠APC+ ∠C=180°.
∴ 180°-∠A+∠APC+∠C=180°. ∴∠A=∠APC+∠C.
技巧点拨
两条平行线间存在拐点时，通常过拐点作已知直线的平行线，构造出位置角，为应用平行线的性质创造条件.
易错提醒
只能作一条直线的平行线，与另一条直线的平行关系需根据平行线的传递性进行说明.
已知P 是任意一点，过点P 画一条直线与BC 平行，则这样的直线( )
A. 有且只有一条
B. 有两条
C. 不存在
D. 有一条或不存在
例11
易错点 忽视平行线的基本事实的前提致错
错解：A
正解：分点P 在BC 上和不在BC 上两种情况，根据平行线的基本事实解答即可. 若点P 在直线BC 上，则不能画出与BC 平行的直线；若点P 不在直线BC 上，则过点P 有且只有一条直线与BC 平行.
答案：D
诊误区：
在应用平行线的基本事实时，一定要看清是否有“过直线外一点”这个条件，若点不在直线外，则不存在过已知点且与已知直线平行的直线.
[中考· 长沙]如图7.2-12，AB ∥ CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F， 直线EG与直线CD交于点G．若∠1=70°， ∠ 2=50°，则
∠GEF的度数为( )
A. 50° B. 60°
C. 65° D. 70°
考法
利用平行线的性质求角的度数
1
例12
试题评析：本题考查平行线的性质及角的和差运算，根据平行线的性质求出∠AEG的度数，再由平角的定义求出∠GEF的度数.
解：∵AB∥CD，∴∠AEG=∠2=50°(两直线平行，同位角相等). ∵ ∠ 1=70 °，∴ ∠GEF=180 °- ∠ 1- ∠AEG=180°-70°-50°=60°．
答案：B
[中考·金华]如图7.2-13，已知∠1=∠2=∠3=50°，则∠ 4 的度数是( )
A.120°
B.125°
C.130°
D.135°
考法
利用平行线的判定与性质求角的度数
2
例13
试题评析：本题考查平行线的判定与性质，解题关键是根据角度关系先判定两直线平行，再利用平行线的性质求角度.
解：如图7.2-13，∵∠ 1= ∠ 3=50°，
∴ a ∥ b(同位角相等，两直线平行).
∴∠ 5+ ∠ 2=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵∠ 2=50°，∴∠ 5=130°.∴∠ 4= ∠ 5=130°.
答案：C
[中考·扬州]如图7.2-14，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE=130 °，∠CDF=150 °，则∠EGF的度数是( )
A. 60° B. 70°
C. 80° D. 90°
考法
平行线的性质在跨学科问题中的应用
3
例14
试题评析：本题考查平行线的性质和对顶角的性质，先根据平行线的性质求出∠BGP，∠DGP的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等即可求出∠EGF．
解：∵PQ∥AB，PQ∥CD，
∴ ∠ ABE+ ∠ BGP=180 °，∠ CDG+ ∠DGP=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠ABE=130°，∠CDF=
150°， ∴∠BGP=50°，∠DGP=30°.
∴ ∠ EGF= ∠ BGD= ∠ BGP+ ∠ DGP= 50°+30°=80°.
答案：C
1.平面内有三条直线a，b，c，下列说法：
①若a ∥ b，b ∥ c，则a ∥ c；
②若a ⊥ b，b ⊥ c，则a ⊥ c.
其中正确的是( )
A. ① B. ② C. ①② D. 都不正确
A
2. [新考向传统文化中考·河北]榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD=( )
A.70°
B.100°
C.110°
D.130°
C
3. [期末·石家庄裕华区]已知直线BC, 嘉嘉和琪琪想画出BC的平行线，他们的方法如图，
下列说法正确的是( )
A. 嘉嘉和琪琪的方法都正确
B. 嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确
C. 嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确
D. 嘉嘉和琪琪的方法都不正确
A
4. [中考·福建]在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠ 1 的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
A
5. [中考·深圳 新趋势跨学科综合]如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥
OA，∠CBO=122°，∠BON= 90°，则入射角∠AON的度数为( )
A.22° B.32°
C.35° D.122°
B
6. [母题中考· 湖南教材P19 习题T3]如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果第一次转弯时∠CAB=145°，那么∠ABD=_______．
145°
7. [新视角 条件开放题]如图，A，D，E三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，如果添加一个条件，使AB∥CD，则可以添加的条件为_____________________
(添加一个符合题意的条件即可)
∠A＝∠CDE(答案不唯一)
8. 如图，将木条a，b 与c 钉在一起，∠ 1=80°，∠ 2=50°，要使木条a 与b 平行，木条a 旋转的度数至少是______.
30°
9. [期中·西安长安区]某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建. 如图， 已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B 地，又从B 地沿北偏西20 ° 的方向到C地. 现要从C地出发修建一段新水渠CD，使CD∥AB，则∠BCD的度数为_______.
110°
10.[月考·广州白云区] 如图，按要求画图.
(1)经过点D画DE∥CB，交AB于点E.
(2)经过点D画DF⊥AB，垂足为F.
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
11. 如图，已知BE⊥AC于点E，FG⊥AC于点G，∠ 1= ∠ 2，请判断∠ADE与∠ABC 的大小关系，并说明理由.
解：∠ADE＝∠ABC.理由如下：
∵BE⊥AC，FG⊥AC，
∴BE∥FG(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)．∴∠2＝∠3.
又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.
∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)．
∴∠ADE＝∠ABC(两直线平行，同位角相等)．
12. [中考·武汉]如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，∠B=80°.
(1)求∠BAD的度数；
解：∵AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠B＝80°，∴∠BAD＝180°－80°＝100°.
(2)若AE 平分∠ BAD 交BC 于点E， ∠ BCD=50°，试说明：AE∥DC.
解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°.∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE＝50°(两直线平行，内错角相等)．
又∠BCD＝50°，∴∠BEA＝∠BCD.
∴AE∥DC(同位角相等，两直线平行)．
13. [新视角综合应用探究题]在学习完相交线与平行线后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能.
(1)【问题初探】如图①，已知AE∥DC，
∠C= ∠DAE，试说明AD与BC的位
置关系.
小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整. 解：因为AE∥DC，
所以∠C= ∠AEB，依据是 ______________________.
又因为∠C= ∠DAE，
所以∠AEB= ∠DAE.
由∠ AEB= ∠DAE得AD∥ BC，依据是______________________ .
两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
(2)【拓展探究】在(1)的条件下，∠DFE， ∠ ADF，∠ AEB 三个角的关系为∠DFE=∠ADF+∠AEB，请说明理由.
解：如图所示，过点F作FG∥AD，
∴∠DFG＝∠ADF.∵AD∥BC，
∴FG∥BC，∴∠GFE＝∠AEB，
∴∠DFE＝∠DFG＋∠EFG＝∠ADF＋∠AEB.
(3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图②，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠ 1=31 °，请求出∠ 2+ ∠ 3 的度数.
解：如图所示，∠1，∠2，∠3的顶点分别为C，B，F，依题意，得EF∥CD，过点B作BA∥CD，
∴EF∥AB，∠ABC＝∠1＝31°，
∴∠3＋∠FBA＝180°，
∴∠2＋∠3＝∠3＋∠FBA＋∠ABC＝
180°＋31°＝211°.

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