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7.3 定义、命题、定理
第七章 相交线与平行线
知1－讲
感悟新知
知识点
定义
1
1. 我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义 .
2. 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断 .
例如：根据方程的解的定义，可以判断x=是方程2x=3 的解
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知1－讲
特别解读
定义的作用：
1.促进理解，消除歧义；
2.准确分类，规范交流.
知1－练
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下列语句中，是定义的是( )
A. 点 A 到点 B 的距离是 3 cm
B. 两直线平行，同位角相等
C. 直角都相等
D. 可以写成分数形式的数称为有理数
例1
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解题秘方：根据定义的特征进行判断 .
答案：D
解：D 选项对有理数进行了清晰、明确的描述，符合定义的特征，A、B、C 选项不符合定义的特征，故选D.
知1－练
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1-1.下列描述不属于定义的是( )
A. 单项式和多项式统称整式
B. 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角
C. 两点之间线段最短
D. 含有未知数的等式叫作方程
C
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知2－讲
知识点
命题
2
内容 举例 注意
定义 可以判断为正确( 或真) 或错误( 或假) 的陈述语句，叫作命题 对顶角相等 命题通常是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子
组成 命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 “对顶角相等”中的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”
易错：一个词语、疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题
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内容 举例 注意
表达 形式 通常写成“如果……那么……”的形式“. 如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论 “对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 有些题设和结论不明显的命题，在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意
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分类 真 命 题 被判断为正确(或真)的命题叫作真命题 对顶角相等 说明一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确的结论
假 命 题 被判断为错误( 或假) 的命题叫作假命题 相等的角是对顶角 说明一个命题是假命题，只要举出一个例子( 反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了
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特别解读
1.命题必须具有“判断” 作用，要对事情作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 . 判断的结果可能是正确的，也可能是错误的 .
2. 定义可以是命题，但命题不一定是定义，命题的准确性往往依赖于相关概念的定义.
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知2－练
判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，写出它的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题(如果是假命题，请举出反例)；如果不是，请说明理由.
①内错角相等；②美丽的中国；
③延长线段AB到点C，使BC=AB；
④整数一定是有理数；⑤若a，b 满足a2=b2，则a=b.
例2
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解题秘方：由题设和结论组成的命题，如果题设成
立，结论一定成立，这样的命题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的. 判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
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解：①是命题，如果两个角是内错角,那么这两个角相等.
其中“两个角是内错角”是题设，“这两个角相等”是结论. 这个命题是假命题，如图7.3-1，
∠ 1 与∠ 2 是内错角，但∠ 1 ≠∠ 2.
②③不是命题，因为它们都不是
判断一件事情的语句.
知2－练
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④是命题，如果一个数是整数.那么这个数一定是有理数.
其中“一个数是整数”是题设，“这个数一定是有理数”是结论. 这个命题是真命题.
⑤是命题，如果a，b 满足a2=b2，那么a=b. 其中“a，b 满足a2=b2”是题设，“a=b”是结论. 这个命题是假命题，如a=2，b=-2，满足a2=b2，但不满足a=b.
知2－练
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2-1.判断下列语句是不是命题，如果不是，说明理
由; 如果是，改写成“如果…… 那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论， 同时判断其是真命题还是假命题.
(1)作∠A=∠B；
(2) 线段AB 上的点C 是线段AB的中点；
(3)等角的余角相等；
(4)两个锐角互余.
知2－练
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解：(1)不是命题．理由：没有对事情作出判断．(2)是命
题．如果点C在线段AB上，那么点C是线段AB的中点．题
设：点C在线段AB上，结论：点C是线段AB的中点．假命
题．(3)是命题．如果两个角相等，那么它们的余角相等．题设：两个角相等，结论：它们的余角相等．真命题(4)是命题．如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角．题
设：两个角是锐角．结论：这两个角互为余角．假命题．
知3－讲
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知识点
定理与证明
3
1. 定理：经过推理证实得到的真命题叫作定理，定理也可以作为继续推理的依据.
2. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
定理一定是真命题，但真命题不一定是定理
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3. 证明的一般步骤
(1)分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；
(2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
(3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程.
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知3－讲
特别解读
证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
知3－练
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如图7.3-2，已知AD∥BC，∠A=∠C. 求证：AB∥CD.
例3
知3－练
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证明：方法一 ∵AD∥BC(已知)，
∴∠A= ∠ABF(两直线平行，内错角相等).
∵∠A= ∠C(已知)，
∴∠ABF= ∠C(等式的基本事实).
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
知3－练
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方法二 ∵AD∥BC(已知)，
∴∠A+ ∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵∠A= ∠C(已知)，
∴∠C+ ∠ABC=180°(等式的基本事实).
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)
知3－练
感悟新知
3-1. 如图， 在四边形ABCD 中， 点O 在边CD 上, 连接AO 并延长, 交BC 的延长线于点E. 已知∠ 1= ∠ E, ∠ B= ∠ D, 求证：AB ∥ CD.
知3－练
感悟新知
证明：∵∠1＝∠E(已知)，
∴AD∥BE(内错角相等，两直线平行)．
∴∠D＝∠DCE(两直线平行，内错角相等)．
又∠B＝∠D(已知)，
∴∠B＝∠DCE(等量代换)．
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
定义、命题、定理
命题
组成
表达形式
证明
题设
结论
定义
分类
真命题
假命题
定理
举反假
说明
题型
稍复杂几何命题的证明
1
如图7.3-3，已知∠ BEF+ ∠ EFD=180 °，EM 平分∠ BEF，FN 平分∠ EFC. 求证：∠M= ∠ N.
例4
思路导引：
证明：∵∠BEF+ ∠EFD=180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
∴∠BEF= ∠EFC(两直线平行，内错角相等).
∵EM平分∠BEF，FN平分∠EFC，
∴∠MEF=∠BEF，∠EFN= ∠EFC (角平分线的定义).
∴∠MEF=∠EFN. ∴EM∥FN(内错角相等，两直线平行)，
∴∠M= ∠N(两直线平行，内错角相等)
另解
此步也可以这样证：
∵∠ BEF+ ∠ EFD=180 °，∠ EFC+ ∠ EFD=180°，
∴∠ BEF= ∠ EFC.
题型
文字命题的证明
2
求证： 两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行 .
例5
解题秘方： 分析命题的题设和结论，写出已知和求证，最后写出证明过程 .
解： 已知：如图 7.3-4， AB ∥ CD， EF 交 AB 于点 G，交 CD于点 H， GP 平分∠ EGB， HQ 平分∠ GHD.
求证： GP ∥ HQ.
证明： ∵ AB ∥ CD(已知) ， ∴∠ EGB= ∠ GHD(两直线平行，同位角相等).∵ GP 平分∠ EGB (已知) ， ∴∠ EGP= ∠ EGB (角平分线的定义).∵ HQ 平分∠ GHD (已知) ，∴∠ GHQ= ∠ GHD (角平分线的定义).∴∠ EGP= ∠ GHQ (等量代换). ∴ GP ∥ HQ (同位角相等，两直线平行).
方法点拨
证明一个命题的一般步骤：
1. 明确命题要素：准确理解题意，将文字命题的条件(题设)与结论分离；
2. 图形辅助分析：根据题设画出图形，并在图形上标注关键符号或字母；
3. 逻辑推导过程：结合图形分析因果关系，通过已知条件逐步推导出结论.
题型
命题与证明的综合应用
3
如图7.3-5，在三角形ABC中，GF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，∠ 1=∠2，求证：DE∥BC.
例6
解题秘方：紧密联系上下文，根据上一步的条件或结论填写下一步的结论或结论的依据.
(1)请补全证明过程，并在括号内填写推理的依据.
证明：∵GF⊥AB，CD⊥AB(已知)，
∴∠BFG=∠BDC=90°(垂直的定义).
∴FG∥____(_______________________).
∴∠ 2= ____ (_______________________).
∵∠ 1=∠ 2(已知)，
∴∠ 1= ____ (等式的基本事实).
∴DE∥BC(_______________________).
CD
同位角相等，两直线平行
∠ 3
两直线平行，同位角相等
∠ 3
内错角相等，两直线平行
(2)若把条件中的“∠ 1= ∠ 2”与结论“DE∥BC”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程； 如果是假命题，举出反例.
是真命题.证明：∵GF⊥AB，CD⊥AB(已知)，
∴∠BFG= ∠BDC=90°(垂直的定义).
∴FG∥CD(同位角相等，两直线平行).
∴∠ 2= ∠ 3(两直线平行，同位角相等).
∵DE∥BC(已知)，
∴∠ 1= ∠ 3(两直线平行，内错角相等).
∴∠ 1= ∠ 2(等式的基本事实).
解题通法
阅读推理过程填空的策略：
1. 分析已知条件和图形特点, 结合推理过程读懂题意, 明确推理思路;
2. 灵活运用角的平分线、垂线、对顶角、邻补角、平行线等知识;
3. 推理的依据可以是题目中的已知条件, 也可以是学过的定义、定理及基本事实等.
易错点
将命题改写成“如果……那么……”的形式时对题设、结论表述不清
将命题“同角的补角相等”改写成“如果 …… 那么……”的形式为___________________ .
例7
错解： 如果是同角，那么补角相等
正解： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
诊误区：
将命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式时，一是分清题设和结论，二是 改 写 成 通 顺 的语句.
[中考· 北京]能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命题的一组有理数a，b 的值为a=_____，b= _____．
考法
举反例说明假命题
1
例 8
试题评析：本题主要考查举反例，根据举反例的方法找到满足a2>4b2，但是不满足a>2b 的a，b 的值即可．
解： 当a=-3，b=1 时，a2=9，b2=1， 则a2>4b2，但是a<2b．
-3
1
(答案不唯一)
1.下列语句是命题的是( )
A. 画两条相等的线段
B. 等于同一个角的两个角相等吗
C. 延长线段 AO 到 C，使 OC=OA
D. 两条直线相交，有且只有一个交点
D
2.下列命题是真命题的是( )
A. 同位角相等
B. 两个锐角的和是直角
C. 互补的角是邻补角
D. 若y2=4，则y=±2
D
3. 将命题“钝角大于它的补角”写成“如果……那么……”的形式是___________________________________
_____.
4. [新视角 条件开放题]可以说明“负数a 与负数b 之差是负数”是假命题的一个反例是a=______，b=______.
如果一个角是钝角，那么这个角大于它的
补角
－1
－2
(答案不唯一)
5. 如图，∠AOB=∠COD=90°，那么∠AOC=______，依据是________________.
∠BOD
同角的余角相等
6.[月考·绍兴越城区]如图，现有以下3 个论断： ①AB∥
CD；②∠B= ∠C；③∠E= ∠F. 请以其中2 个论断为条件，另1 个论断为结论构造命题.
(1)你构造的有哪几个命题？
解：构造3个命题如下：
条件：①AB∥CD；②∠B＝∠C，结论：③∠E＝∠F.
条件：①AB∥CD；③∠E＝∠F，结论：②∠B＝∠C.
条件：②∠B＝∠C；③∠E＝∠F，结论：①AB∥CD.
(2)你构造的命题是真命题还是假命题？ 请选择其中一个真命题加以证明.
解：条件：①AB∥CD；②∠B＝∠C，
结论：③∠E＝∠F.此命题是真命题，证明：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠BAE(两直线平行，同位角相等)．
又∠B＝∠C，∴∠B＝∠BAE(等量代换)．
∴EC∥BF(内错角相等，两直线平行)．
∴∠E＝∠F(两直线平行，内错角相等)．
条件：①AB∥CD；③∠E＝∠F，
结论：②∠B＝∠C.此命题是真命题．
证明：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠BAE(两直线平行，同位角相等)．
∵∠E＝∠F，
∴CE∥BF(内错角相等，两直线平行)．
∴∠B＝∠BAE(两直线平行，内错角相等)．
∴∠B＝∠C(等量代换)．
条件：②∠B＝∠C；③∠E＝∠F，
结论：①AB∥CD.此命题是真命题．
证明：∵∠E＝∠F，
∴CE∥BF(内错角相等，两直线平行)．
∴∠B＝∠BAE(两直线平行，内错角相等)．
又∠B＝∠C，∴∠C＝∠BAE(等量代换)．
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
(任选一个真命题证明即可)
7. 如图，AB∥CD，点F在线段CD上，线段AF的延长线与线段BC的延长线相交于点E，∠ 1= ∠ 2，∠ 3= ∠ 4. 求证：AD∥BE.
证明：∵AB∥CD，
∴∠4＝∠BAE( 两直线平行，同位角相等)．
∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠BAE(等量代换)．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAF＝∠2＋∠CAF(等式的性质)，
即∠BAE＝∠CAD.∴∠3＝∠CAD(等量代换)．
∴AD∥BE(内错角相等，两直线平行)

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