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8.3 实数及其简单运算
第八章 实数
知1－讲
感悟新知
知识点
无理数
1
1. 无理数的概念
定义 特征 常见形式
无限不循环小数叫作无理数 ①小数 ②位数无限 ③形式为不循环 ①开方开不尽的数的方根，
如： ，3等；
②含有 π 的一类数，
如： π ， π ，1+π 等；
3.具有特定结构的数，如：0.121 121 112… (每相邻两个 2 之间依次多一个 1)等
感悟新知
知1－讲
特别警示
1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数， 只有无限不循环小数才是无理数.
2.某些数的平方根或立 方 根 是 无 理 数，但带根号的数不一定都是无理数，如，就不是无理数..
感悟新知
2. 无理数与有理数的区别
知1－讲
有理数 无理数
本质 可以化为分数形式 不能化为分数形式
表现形式 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数
知1－练
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[母题 教材 P57 习题 T1]下列各数：3.141 59，1.42，－3，0.131 131 113…(每相邻两个3 之间依次多一个1)，π－5，＋1，－ ，其中，无理数有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
例1

解题秘方：根据无理数的三种常见形式去辨析 .
知1－练
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解：因为 3.141 59 是有限小数，所以它是有理数；
因为1.42是无限循环小数，所以它是有理数；
因为－3=－2，所以它是有理数；
因为0.131 131 113…(每相邻两个3 之间依次多一个1)是无限不循环小数，所以它是无理数；
因为π 是无理数，所以它是无理数；
∵ 是无理数，所以它是无理数；
∵ －是分数，所以它是有理数.
答案：C

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知1－练
1-1. 下列各数：，0.32，，，， ，-，0，1.202 002 000 2…(每相邻两个2 之间依次多一个0).其中，无理数有( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
C

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知2－讲
知识点
实数的定义和分类
2
1. 定义： 有理数和无理数统称实数 .
知2－讲
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2. 分类：
(1)按定义分类：
知2－讲
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(2)按性质分类：
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数.
2.实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏.
3.引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们研究问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行.
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知2－练
把下列实数填在相应的大括号内：
-6，，- ，-|-3|，，-0.4， ，0， ，- .
解题秘方：根据有理数、无理数等概念进行分类时，应注意先把一些数化简再进行判断.
例2
非负整数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}.
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知2－练
0，
-6，-|-3|，0，
－，-0.4，-
，， ，
-6，- ，-|-3|，，-0.4，0， ，-
，
知2－练
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2-1. 将下列各数的序号填在相应的集合里.
① ； ② 3-π；③ 3.141 592 6；④ -0.456；⑤ 3.030 030…(每相邻两个3之间依次多1 个0)；⑥ 0；⑦；⑧ ；⑨.
知2－练
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有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
整数集合：{ …}.
①③④⑥⑦⑨
②⑤⑧
①③⑤⑦⑧⑨
①⑥⑨
知3－讲
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知识点
实数与数轴上的点的关系
3
1. 用数轴上的点表示无理数
数轴上表示正无理数a 的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a 个单位长度；表示负无理数-b(b>0)的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b 个单位长度.
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2. 实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的.
(1)“一一对应”包含着两层含义
①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
②数轴上的每一个点都表示一个实数.
(2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示. 即若点A，点B在数轴上表示的数为x1，x2，则AB=|x1-x2|.
知3－讲
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3. 实数的大小比较
(1)对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
(2)正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小.
知3－讲
类比有理数的大小比较
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知3－讲
特别提醒
1.在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其大致位置.
2.借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数.
知3－练
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[中考·贵州]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图8.3-1所示，则a 与b 的大小关系是a______b(填“>”“<”或“=”)
例3
<
解题秘方：根据在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的大即可得到答案．
解：由数轴得：-4知3－练
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3-1. 如图，实数m，n，p，q 在数轴上表示如下，则最小的实数是( ).
A.m B.n C.p D.q
A
知3－练
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如图8.3-2，面积为7 的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A 的右侧)且AB=AE，则点E所表示的数为 　　　　.
例4
1+
知3－练
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解题秘方：先计算出AE的长度，然后结合数轴判断.
解：因为正方形ABCD的面积为7，AB=AE，
所以AE=AB=.
因为点A表示的数为1，
所以点E所表示的数为1+ .
知3－练
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4-1.如图，半径为 1 个单位长度的圆沿数轴从实数 -1 对应的点向右滚动一周后，圆上的点A(开始时点 A 与 -1 对应的点重合)恰好与数轴上的点 B 重合，则点B 对应的实数是_________ .
2π－1
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知4－讲
知识点
实数的有关概念
4
1. 相反数：数a 的相反数是-a，这里a 表示任意一个实数.
2. 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 即设a 表示一个实数，则|a|= 或|a|= 或|a|=
一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离
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知4－讲
3. 倒数：数a(a ≠ 0)的倒数为.
特别提醒：实数的相反数、绝对值和倒数的意义及求法与有理数中的意义及求法是一致的.
知4－讲
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归纳总结 实数的相关概念及性质:
相关概念 性质
互为相反数 a与b互为相反数 a+b =0
互为倒数 a与b互为倒数 ab=1
绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即|a| ≥ 0
互为相反数的两个数的绝对值相等， 即|a|=|-a|
平方根、立方根 非负数都有平方根，任意实数都有一个立方根
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知4－练
求下列各数的相反数和绝对值：(1) ；
例5
解题秘方：求一个数的相反数和绝对值时，要先将其化为最简形式；
解：因为 =-3，所以的相反数是3；
| |=3.
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知4－练
(2)3-π；
解题秘方： 求一个用算式形式表示的数的相反数时，要将其视为一个整体，先添加括号，再在括号前面添加负号，最后去括号化简.
解： 3-π的相反数是-(3-π)=π-3；|3-π|=π-3.
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知4－练
(3)4- .
解： 4- 的相反数是-(4- )= 17 -4.
因为17>16，所以>4，即 -4>0.
所以|4- |= 17 -4.
知4－练
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5-1. 求下列各数的相反数和绝对值：
(1)- ;
知4－练
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(2)3- ；
知4－练
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(3) .
知5－讲
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知识点
实数的运算
5
1. 实数的运算法则：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
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2. 实数的运算顺序：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.
知5－讲
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3. 实数运算结果的要求：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.
知5－讲
计算过程中有时也使用“去尾法”
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知5－讲
知识链接
加法交换律：a+b=b+a;
加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c;
乘法交换律：ab=ba;
乘法结合律：a(bc)=(ab)c;
乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.(这里a，b，c 均为实数)
知5－练
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[母题 教材P56 例2、例3] 计算：
(1)3( + )+3( -2)；
(2)| - |+ ；
(3)(- )2+(3 -)3+ + ；
(4)3+(结果保留小数点后两位).
例6
知5－练
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解题秘方：在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算律同样适用 .
感悟新知
知5－练
解：(1)3( + )+3( -2 )=3 +3 +3 -6 =6 -3 .
(2)| - |+ = - + = .
(3)(- )2+(3 - 3 )3+ + 3 =3+(-3)+2+(-2)=0.
(4)方法一3+ ≈ 1.260+2.236=3.496 ≈ 3.50；
方法二(去尾法) 3+ ≈ 1.259+2.236=3.495 ≈ 3.50.
直接舍去万分位上的数字
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知5－练
6-1. 计算：
(1)- +；
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知5－练
(2)｜ －2｜＋2；
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知5－练
(3) (+)-( +3)；
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知5－练
(4) ＋3 －5.021(结果保留小数点后两位).
实数及其简单运算
实数
定义
有关
概念
运算
相反数
绝对值
倒数
混合运算
估算
实际应用
分类
与数轴上点的关系
有理数
无理数
按定义分类
按性质分类
在数轴上
表示实数
比较大小
题型
实数大小的比较
1
比较 + 与 + 的大小 .
例7
类型1 利用估算法比较大小
解题秘方： 先取无理数的近似值，再进行计算比较大小 .
解： + ≈ 1.414+2.646=4.06，
+ ≈ 1.732 +2.449 ≈ 4.18.
因为 4.06<4.18，所以 + < + .
方法点拨
实数大小比较的方法：
1. 估算法：利用取近似值来比较实数的大小 .
2. 作差法： 若 A-B>0，则A>B；若 A-B=0，则A=B； 若 A-B<0， 则A3. 特殊值法：用字母表示的实数的大小比较，利用取特殊值法往往比较简单 .
比较 与 的大小 .
类型2 利用作差法或分析法比较大小
例8
解题秘方： 先求出这两个数的差，再根据差的正负确定两数大小 .
解： - = = .
因为 -2<0， 所以 <0，即 - <0.
所以< .
已知实数 a 在数轴上的对应点的位置如图 8.3-3 所
示，则 a， -a， ， a2 的大小关系是( )
A.a<-a< C.-a< 例8
类型3利用特殊值法比较大小
解题秘方： 赋予 a 一个符合已知条件的特殊值，分别计算其他代数式的值后比较大小，得出结论 .
解： 不 妨 取 a=- ，则 -a=- (- )= ， =-2， a 2= ，
所以 答案： B
实数 a， b 在数轴上的对应点的位置如图 8.3-4 所示，下列式子正确的是( )
A.a－b<0 B.－a<－b
C.｜a｜<｜ b｜ D.－a类型4利用数轴比较大小
例10
解题秘方： 根据 a， b 在数轴上的对应点的位置判断出 －a和 －b 的对应点的位置，根据各数在数轴上的对应点的位置进行比较 .
解： 如图 8.3-4，在数轴上标出a 和b 的相反数－a 和 －b 的对应点的位置 .
由图可知： a ＜ －b ＜ 0 ＜ b ＜ －a， |a| ＞ |b|.
答案 : A
要点解读
数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大.
题型
实数在实际问题中的应用
2
一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 (t s)与开始落下时的高度 h(m)的关系式为 t=.
例11
解题通法
利用已有关系式解决问题时，一般是代入相关数据，结合平方根或立方根的概念解决问题 .
解题秘方：把 h=100 代入关系式计算即可求出 t 的值；
解：把 h=100 代 入 t= ，得 t= = ≈ 4.47，
即落到地面所用的时间约为 4.47 s.
(1)已知 h=100，求落到地面所用的时间；(结果精确到 0.01)
解题秘方：计算出物体离地面的高度，代入关系式计算得到t即可；
解：根据题意得 3.5× 4+1.5=15.5(m)，
则 t= = ≈ 1.76，即约需 1.76 s.
(2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？(无地下室，每层楼高约 3.5 m，手拿物体高为 1.5 m)(结果精确到 0.01)
解题秘方：把 t=3.6 代入关系式计算即可求出 h 的值 .
解：把 t=3.6 代入 t= ，得 3.6= ， ∴=(3.6) 2，
解得 h=64.8，即物体开始下落时的高度为 64.8 m.
(3)如果一物体落地的时间为3.6 s，求物体开始下落时的高度.
题型
利用两个实数相等求字母的值
3
已知a，b都是有理数，且( -1)a+2b=+3，求a+b 的平方根.
例12
思路导引：
解：因为( -1)a+2b= +3，
所以a-a+2b=+3.
因为a，b 都是有理数，
所以a= ，-a+2b=3.
所以a=1，b=2， 所以a+b=3.
所以a+b 的平方根是± .
方法点拨
两个实数相等，可分成两个部分对应相等：有理数部分和有理数部分对应相等，无理数部分和无理数部分对应相等.
题型
与实数相关的程序图问题
4
如图8.3-5，小明设计了一种程序图，根据程序图解决下列问题.
例13
解题秘方：读懂程序图是解题关键：先输入x，再求x 的立方根，然后判断立方根是否为无理数，如果是，则输出y(该立方根)；如果不是，则求该立方根的立方根，如此循环.
(1)当x=64 时，输出的y的值为__________；
(2)当输出的y的值为时，输入的x的值可以是__________(填写两个不同的x 的值)；
-2或-8
(答案不唯一)
详解
(1)当x=64 时，64 的立方根是4，4 是有理数，当x=4 时，4 的立方根是 ， 是无理数，所以当x=64 时，输出的y 的值 .(2)当y= 时，()3=-2，所以输入的x的值可以是-2；因为(-2)3=-8，所以输入的x的值可以是-8.综上所述，当输出的y 的值为时，输入的x 的值可以是-2 或-8.
(3)小明输入x的值后，发现得不到y的值，你能解释其中的原因吗？
能. 因为1 的立方根是1，-1 的立方根是-1，0 的立方根是0，所以小明输入x 的值是1 或-1 或0 时，就永远得不到y 的值.
易错点
实数运算时盲目去绝对值符号、去括号致错
计算：| - |-(3 -2 ).
例13
错解：| - |-(3 -2 )
= - -3 6 -2
=( -2 )-(+3 )
=- -4 .
正解：| - |-(3 -2 )
= - -3 +2
=( -3 6 )+(2 - )
=-2 + .
诊误区：
1. 去绝对值符号时，首先要判断绝对值符号里面的数是正数、0 还是负数. 负数的绝对值去绝对值符号后，要变成原数的相反数.
2. 去括号时，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
[中考·烟台]下列实数中的无理数是(　　)
A. B.3.14
C. D.
考法
识别无理数
1
例15
试题评析：本题主要考查无理数的识别，掌握无理数的几种基本形式是解题的关键 .
答案：C
解： 是分数，3.14 是有限小数， =4 是整数，它们不是无理数； 含有根号，且被开 方 数 开方开不尽，它是无理数 .
[中考·扬州]如图8.3-6，数轴上点A表示的数可能是
( )
A. B. C. D.
考法
数轴上的点表示实数
2
例16
试题评析：本题考查实数与数轴上的点的对应关系与无理数的估算. 设点A表示的数为a，根据点A在数轴上的位置，判断出a的范围，用夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
解：设点A表示的数为a，由图8.3-6 可知2< < ，即1< <2，故选项A不符合题意；
< < ，即1< <2，故选项B不符合题意；
< < ，即2< <3，故选项C符合题意；
< < ，即3< <4，故选项D不符合题意.
答案：C
[中考·湖南]下列四个数中，最大的数是( )
A.3.5
B.
C.0
D.-1
考法
比较实数的大小
3
例17
试题评析：本题主要考查实数比较大小，根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小.
答案：A
解：根据正数大于零，零大于负数，可以将本题转化成比较3.5 和 的大小.2 ≈1.414，显然3.5>1.414，即3.5> 2 ，所以这四个数中最大的是3.5.
[中考· 河北] 计算： |2- |-(-2)2×(-).
考法
实数的混合运算
4
例18
试题评析：本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序是解题关键.
解：|2- |-(-2)2×(-)=2- -4×=2-|-1|=1- .
1. [中考·江西]下列各数中，是无理数的是( )
A.0 B. C.3.14 D.
B
2.[中考·威海]下列各数中，最小的数是(　　)
A.－2 B.－(－2) C.－ D.－
A
3. [中考·北京]实数 a， b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(　　)
A.b ＞ -1 B.|b| ＞ 2
C.a+b ＞ 0 D.ab ＞ 0
C
4. [新视角 新定义型题]若实数a，b 满足a+b=6，我们就说a 与b是关于6 的“如意数”，则与3- 是关于6的“如意数”的是( )
A.3+ B.3-
C.9- D.9+
A
5. 1-的相反数是_______，绝对值是_______.
6. [中考·遂宁]实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+1______0(填“>”“=”或“<”).
<
7. [期中·上海松江区]在数轴上表示 － 的点与表示 3 的点之 间 的距离是 ________.
8. 有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为 256 时，输出的y是______ .
9.计算：(1)[中考·苏州]|-5|+32- ；
(2)|2- |-(-2)；
(3) (- +1);
(4)(- )×(-2)2+4× - 5 - .
10.学校原有一个面积为100 m2的圆形花坛，现将花坛的半径增加2 m，重建一个新花坛. 求新建花坛的周长(结果保留整数).
11.[期中·北京西城区]对于实数a，我们规定：用符号[] 表示不大于的最大整数，称[] 为a的根整数，例如：[]=3，[]=3；还可以对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如：对10 连续求根整数2次：[]=3，[]=1，得到结果为1.
(1)仿照以上方法计算：[]=______ .
(2) 对123连续求根整数，______次之后结果为1.
5
3
(3)只需进行3 次连续求根整数运算后结果为1 的所有正整数中，最大的正整数是多少？请通过计算说明.

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