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8.2 立方根
第八章 实数
知1－讲
感悟新知
知识点
立方根
1
1. 立方根的定义和表示方法
内容 示例
定义 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 叫作 a 的立方根或三次方根 因 为 23=8， 所 以 2是 8 的立方根；因为(-2) 3=-8，所以 -2是 -8 的立方根
表示 方法 一个数 a 的立方根记为“ ”读作“三次根号a，”其中 a 是被开方数，3 是根指数，要特别注意，根指数 3 不能省略 读作“三次根号 -27”，其中 -27是被开方数
感悟新知
2. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方与立方互为逆运算，开立方所得的结果是一个数的立方根.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 与算术平方根不同，立方根的根指数3 不能省略，若省略了就与算术平方根无法区分.
2. 立方根等于它本身的数只有0 和±1.
特别提醒
如果被开方数为带分数，一般先将带分数化为假分数，再求其立方根.
知1－练
感悟新知
[母题 教材 P49 例1] 求下列各数的立方根：
(1)－125；(2)2 ；(3)－0.027.
例1
解题秘方：求一个数的立方根，就是看哪个数的立方等于这个数.
解：(1)因为(－5)3=－125，
所以－125 的立方根是－5，即 =－5.
知1－练
感悟新知
(2)2 = ，因为()3= .
所以的立方根是，即3= .
(3)因为(－0.3)3=－0.027，
所以－0.027 的立方根是－0.3，即3 =－0.3.
知1－练
感悟新知
1-1. 求下列各数的立方根：
(1)－27；
(2)；
知1－练
感悟新知
(3)0.216；
(4)－5；
感悟新知
知2－讲
知识点
立方根的性质
2
1.性质：(1)正数的立方根是正数；(2)负数的立方根是负数； (3)0的立方根是 0；(4) =- ；(5)( ) 3=a.
感悟新知
知2－讲
2. 立方根与平方根的区别与联系
平方根 立方根
区 别 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a 的立方根
性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 正数有一个立方根，仍为正数
负数没有平方根 负数有一个立方根，仍为负数
知2－讲
感悟新知
平方根 立方根
区别 表示方法 ± ，根指数2可以省略 3根指数3不可以省略
被开方数的取值范围 被开方数为非负数，即： a ≥ 0 被开方数 a 是任意实数
联系 (1)开平方与开立方都与相应的乘方运算互为逆运算； (2)0 的平方根和立方根都是0
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 任意一个数都有且只有一个立方根，且立方根的符号与这个数的符号相同.
2.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 利用“=- ”可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.
3.()3= =a.
感悟新知
知2－练
[母题 教材 P50 例 2 ]求下列各式的值：
(1)－3 ；(2) 3 . (3) ； (4)( )3.
例3
解：(1) －3 =－7；
(2)3 = 3 = 3 =－ .
解题秘方：根据立方根的性质进行计算 .
感悟新知
知2－练
(3) =- =- .
(4)()3=-3.
知2－练
感悟新知
2-1.求下列各式的值：
(1) ；
(2) 3；
(3)- ；
(4) .
知3－讲
感悟新知
知识点
用计算器求一个数的立方根
3
一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值). 按键顺序为：先按 键，再输入被开方数，最后按 键.有些计算器需要调用备用功能 求一个数的立方根，具体操作参见计算器的使用说明.
感悟新知
知3－讲
特别警示
不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说明书操作.
知3－练
感悟新知
[母题 教材P50 练习T2]用计算器求下列各数的立方根(结果保留小数点后三位)：
例3
解题秘方：根据用计算器求立方根的步骤进行按键操作即可.
知3－练
感悟新知
解：(1)依次按键 ，
显示：4.641 588 834.所以3 ≈ 4.642.
(2)依次按键 ，
显示：2.367 501 744.所以3 ≈ 2.368.
知3－练
感悟新知
3-1. 用计算器求下列各数的立方根(结果保留小数点后两位)：
(1)17.35；
(2)-117.
立方根
立方根
性质
定义
概念
表示方法
开立方
题型
利用平方根、立方根的定义求字母的值
1
已知x-2 的平方根是±2，2x+y+7 的立方根是3，求x2+y2 的算术平方根.
例4
思路导引：
解题通法
利用平方根、立方根的定义列方程，求出字母的值，进而解决问题.
解：因为x-2 的平方根是±2，
所以x-2=(±2)2=4，解得x=6.
因为2x+y+7 的立方根是3，
所以2x+y+7=33=27.
把x=6 代入，得12+y+7=27，解得y=8.
所以x2+y2=62+82=100.
所以x2+y2 的算术平方根为=10.
题型
利用立方根的性质求字母的值
2
已知=- ，求的值.
例 5
方法点拨
如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数互为相反数，即若 =- ，则A=-B，所以A+B=0.
解：因为 =- ，
所以与互为相反数.
所以2a-3 与7-3a 互为相反数.
所以(2a-3)+(7-3a)=0，解得a=4，
所以= =3.
题型
利用立方根的定义解方程
3
求下列各式中的 x：
(1)8x3+125=0； (2)3(x－1) 3+81=0.
例6
思路导引：
(1)8x3+125=0；
(2)3(x － 1) 3+81=0.
解： 因为8x3+125=0 ，所以8x3= － 125，
所以x3= － ，所以x= = － .
因为3(x － 1)3+81=0 ，所以3(x－1) 3=－81，
即(x－1) 3=－27，所以x－1= = －3， x=－2.
方法点拨
利用立方根的定义解方程的一般步骤：
1.将原方程化为x3=a的形式；
2.利用立方根的定义，直接开立方求出x的值或先将方程化为一元一次方程，再解所得的一元一次方程，求出x的值.
题型
立方根的实际应用
4
已知一个正方体的体积是 1 000 cm3，现要在它的
8 个角上分别截去 1 个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积是 488 cm3.
(1)截去的每个小正方体的棱长是多少？
(2)截完余下部分的表面积是多少？
例7
解题秘方：根据截之前与截之后的体积关系列方程求解.
(1)截去的每个小正方体的棱长是多少？
解：设截去的每个小正方体的棱长是 x cm，
依题意得 1 000－8x 3=488， ∴ 8x 3=512，
即x3=64.所以x==4.
答：截去的每个小正方体的棱长是 4 cm.
解题秘方：剩余部分的表面积与原正方体的表面积相等 .
(2)截完余下部分的表面积是多少？
解：原正方体的棱长为 =10( cm)，易得截 之后的表面积与截之前的一样， 所以截完余下部 分的表面积是10×10× 6=600(cm 2) .
应用总结
1. 立方根在数学方面的实际应用主要体现在与正方体体积相关的计算方面，熟练掌握体积公式是解题的关键 .
2. 主要有两种题型：
(1)直接利用立方根的定义求棱长；
(2)根据体积关系列方程求棱长 .
题型
立方根的估算
5
类型1 利用估算确定立方根的整数部分和小数部分
例8
的整数部分是______，小数部分是______.
解题秘方：对一个数的立方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全立方数的立方根来估算该立方根的大小.
解：因为8<10<27，所以< < .
所以2< <3.
所以的整数部分是2，小数部分是 -2.
答案：2； -2
解题通法
通过列出自然数的立方的方式，先找到与被开方数最接近的两个能开得尽立方的整数，进而确定立方根的取值范围，再利用取值范围确定其整数部分和小数部分.
类型2 利用估算比较大小
例9
比较下列各组数的大小：
(1)与6； (2)与2.5； (3)与 .
解题秘方：利用开立方与立方的互逆关系，转化成比较被开方数的大小.
解：(1)因为=6，260>216，所以>6.
(2)因为2.53=15.625，10<15.625，所以<2.5.
(3)因为< ，27=3，所以<3.
因为3= < ，所以< 11 .
知识链接
估算的常用方法有两种，一种是用计算器，另一种是夹逼法.
题型
利用计算器探究立方根的规律
6
例10
(1)计算：=_______， =_______，
=_________.
解题秘方：观察被开方数与立方根的小数点位置的变化情况，得出规律，进而解决问题.
2
20
0.2
(2)观察(1)中的等式，你能发现什么规律？用一句话描述出来.
(3)利用(2)中发现的规律，解决以下问题：
已知≈ 0.716，≈ 1.542，≈ 3.323.
①若 ≈ 15.42，则x≈______.
解：在开立方运算时，被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位，立方根的小数点就相应地向左(或向右)移动一位.
3670
详解
因为≈ 15.42，15.42 是由1.542 的小数点向右移动一位所得，所以x 是由3.67 的小数点向右移动三位所得.
所以x ≈ 3 670.
②求下列各式的值：
， ，± ；
因为36 700是36.7的小数点向右移动三位所得，
所以的值需将3.323的小数点相应地向右移动一位.所以 =- ≈-33.23；
因为3 670 000是3.67的小数点向右移动六位所得，
所以的值需将1.542的小数点相应地向右移动两位.所以- ≈-154.2；
因为0.000 367是0.367的小数点向左移动三位所得，
所以 的值需将0.716的小数点相应地向左移动一位.所以± ≈±0.071 6.
易错点
对于立方根等于它本身的数把握不准造成错误
已知=1-a2，求a 的值.
例11
错解：立方根等于它本身的数是0 和1.
当1-a2=0 时，a=±1；
当1-a2=1 时，a=0.
故a 的值为0 或±1.
正解：立方根等于它本身的数有-1，0，1.
当1-a2=-1 时，a=± ；
当1-a2=0 时，a=±1；
当1-a2=1 时，a=0.
故a 的值为± 或±1 或0.
诊误区：
本题容易把立方根等于它本身的数与算术平方根等于它本身的数相混淆，根本原因在于对立方根的定义掌握不牢，应记住任何数都有唯一的立方根.
[中考·长春]8的立方根为_________.
考法
求一个数的立方根
1
例12
试题评析： 本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义解答即可 .
解：因为23=8， 所以 8 的立方根是 2.
2
[中考·浙江] |-5|+ =_________.
考法
开立方运算
2
例13
试题评析：本题考查开立方运算，正确进行绝对值与开立方运算是解题关键.
2
解：|-5|+ =5+(-3)=2.
1.下列结论正确的是( )
A.64 的立方根是±4 B.-没有立方根
C. 若 = ，则a=1 D. =-
2. 的立方根是( )
A. B.± C. 2 D.±
D
C
3. [期末·石家庄桥西区] 若表格中的四个数满足每列的两个数的和相等，则m的值为( )
A.-1
B.1
C.3
D.5
C
-(-6)
|-6| 3m
4. 要制作一个容积为120 cm3的正方体形状的小玻璃杯，设计内壁时，内壁边长大致长度的范围是( )
A.4.4cm~4.6cm B.4.6cm~4.8cm
C.4.8cm~5.0cm D.5.0cm~5.2cm
C
5. [模拟·孝感]若x－1是125的立方根，则 x－7的立方根是 _________.
6.已知≈ 4.098，且 ≈－40.98，则 x=________ .
7. [母题 教材 P54 练习 T3] 比 较 2， 5 ， 的 大小，并用“ <”连接起来：________________ .
－1
68 800
8. [母题 教材 P51 例 1 ]求下列各式的值：
(1) ；
(2) － ；
(3) ；
(4) .
9. 求下列各式中 x 的值：
(1)x 3+1=0； (2) (2x+3) 3=54.
10. 已 知 2a－1 的算术平方根是 ，a－5b+1 的立方根是 －2.
(1)求 a 与 b 的值；
(2)求 2a－b 的立方根 .
11. [新情境 生活应用]小明家楼房的顶层上有一个正方体储水箱坏了，工人师傅打算用铁皮焊制一个新的密封的正方体储水箱，使其最多容纳 1.728 m 3的水，至少需要多大面积的铁皮？

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