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章末核心要点分类整合
第八章 实数
1. 乘方与开方是互逆运算，这种互逆关系是求平方根和立方根的关键所在 .
2. 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根是它的算术平方根，0 的平方根与算术平方根都是 0；负数没有平方根 .
3. 任何数都有立方根，正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0.
4. 无限不循环小数是无理数，无理数和有理数统称实数 .
5. 当数的范围从有理数扩充到实数后，有理数的运算性质、运算律在实数范围内仍然适用 . 在实数范围内运算时，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且可以进行开立方运算，任何非负数都可以进行开平方运算 .
专题
平方根与立方根
1
链接中考 >>平方根与立方根的求法是本章的关键，本知识点也是中考中的常考内容，考查形式大多数是填空题、选择题，都属于送分题 .
例 1
[模拟·武汉江汉区]16 的算术平方根是_______，16 的平方根是_______，-8 的立方根是_______.
解题秘方：根据算术平方根、平方根和立方根的定义求解即可.
解： =4，± =±4， =-2.
4
±4
-2
专题
算术平方根的非负性
2
链接中考 >>本章学习了初中阶段的第三类非负数——算术平方根，前面已经学习了两类非负数，一类是绝对值，另一类是偶次幂 . 利用非负数的性质可以求含有多个字母的等式中各个字母的值 . 可以独立考查，也可以作为其他解答题的条件进行考查 .
[模 拟· 太 原杏花岭区]若 + ∣2a－b+1∣=0，
则(b－a) 2 026=( )
A. －1 B.1
C.52 026 D. －52 026
例 2
解题秘方：一个数的绝对值为非负数，一个非负数的算术平方根也是非负数，如果几个非负数的和等于 0，那么它们都等于 0.
解： 由题意得 a+2=0 且 2a－b+1=0，
解得 a=－2， b=－3. ∴ (b－a) 2 026 =1.
答案： B
专题
无理数的辨别
3
链接中考 >>开方开不尽的数是无理数中的主流，对无理数的识别是对无理数这一知识点最常见的考查方式，一般以选择题的形式出现 .
[中考· 眉山]下列四个数中，无理数是( )
A.－3.14 B.－2
C. D.
例 3
解题秘方：根据无理数的概念逐个进行判断 .
解：－3.14 是有限小数； －2是整数； 是分数； 是无理数 .
答案：D
专题
实数的性质及大小比较
4
链接中考 >>实数的大小比较方法与有理数相同，属于中考热门考点，以选择题和填空题形式考查，难度很小，属于送分题.
[中考·福建]下列实数中，最小的数是( )
A.-1 B.0 C. D.2
例 4
解题秘方：首先确定各数的正负性，再按“负数小于零，零小于正数”的法则比较大小．
解：将这四个数由小到大排序：-1<0<<2，最小的数是-1.
答案： A
专题
实数的运算
5
链接中考 >>实数的运算法则与顺序与有理数相同，需先判断运算顺序后按照运算法则依次进行，在本阶段中难度较小，随着学习深入，会与其他知识相结合，难度提升，多以解答题的形式呈现 .
[模拟·咸阳]计算：|2- |+(-4)×-.
例 5
解题秘方：先判断运算顺序，然后利用绝对值的意义、有理数的乘法法则和开立方化简运算即可.
解：|2- |+(-4)×-=2- +(-2)-(- )
=2- -2+ = - .
专题
数形结合思想
6
专题解读>>本章数形结合的载体是数轴，依靠数轴反映出数与点的对应关系，运用数形结合的思想方法解决实数的有关问题．
[中考·北京]实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图8-1所示，则正确的结论是( )
A.|a|>4 B.c-b>0 C.ac>0 D.a+c>0
例 6
解题秘方：观察实数a，b，c在数轴上对应点的位
置，确定
解：因为-4因为c>0，b<0，所以c-b>0，故选项B正确；
因为a<0，c>0，所以ac<0，故选项C错误；
因为a<-3，c<3，所以a+c<0，故选项D 错误.
答案： B
专题
估算的方法——夹逼法
7
专题解读>>实数的估算是本章的难点，除了用计算器计算外，我们通常用夹逼法进行无理数的估算，中考中一般考查无理数介于哪两个相邻整数之间，掌握方法后问题不难解决.
[中考·天津]估计1+的值在( )
A. 1 和2 之间
B. 2 和3 之间
C. 3 和4 之间
D. 4 和5 之间
例 7
解题秘方：利用夹逼法求出无理数介于哪两个整数之间，便可解决问题．
解：因为 < < ，所以2< <3.所以3<1+ <4，即1+ 的值在3 和4之间.
答案： C
1. [月考·太原小店区]已知刹车距离的计算公式为 v=
16 ，其中 v(km/h)表 示 车 速，d(m)表示刹车距离， f 表示摩擦系数，在一次交通事故中，测得 d=16m， f=2.25，而发生交通事故的路段限速为 100 km/h，通过计算说明肇事汽车是否超速行驶 .
类型
算术平方根与立方根的实际应用
1
2. 为了生产某城市雕塑，需要把截面为56 cm2、长为32 cm 的长方体钢块，铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的 3 倍 . 求这两个正方体的棱长 .
解：设小正方体的棱长为x cm，则大正方体的棱长为
3x cm，由题意得，x3＋(3x)3＝56×32，
即28x3＝56×32，
所以x3＝64，所以x＝＝ 4，所以3x＝12.
因此小正方体的棱长为4 cm，大正方体的棱长为12 cm.
3. [期中·扬州邗江区]下列各组数中，互为相反数的一组是
( )
A.-3 与 B.－3 与
C.3 与 － D.|－3| 与 3
类型
实数的性质与运算
2
A
4. 1.5－ 的绝对值是(　　)
A.1.5－ B.－1.5－
C. －1.5 D.1.5+
A
5. [中考· 安徽]我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为. 比 较大小： _______(填“＞”或“＜”) .
>
6. [新考法 新定义型题] 定义 [x]为不大于 x 的最大整 数，如 [2]=2， [ ]=1， [4.1]=4，若 满 足 [ ]=5，则 n 的最大整数为 ________.
7. [新考法 逆向思维法]小明编写了如下一个程序：输入 x →立方根→倒数→算术平方根→输出 ，则 x 为 _______.
35
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8. 计算：(1) － + ；
(2) | － 2|+ + －(2＋ ).
9.[期末·北京东城区]实数 a， b， c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A.a ＞ b B.|b|=|c|
C.c ＞ － a D.bc ＜ 0
D
类型
数轴与实数的应用
3
10.[中考·南充]如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A′，点A′对应的数是
2，则滚动前点A对应的数是( )
A. 2-2π B. π-2 C. 5-2π D. 2-π
D
11. 如图，数轴上 A， B 两点所对应的实数分别是 － 1， ，若线段 AB=BC，则点 C 所表示的实数是______ .
12. [新考法 数形结合法] 图①是由 10 个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿虚线 AB，BC 将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD.
(1)在图①中，拼成的大正方形 ABCD 的面积为 ______，边 AD 的长为______ ；
10
(2)现将图①水平放置在如图②所示的数轴上，使得大正方形的顶点 B 与数轴上表示 － 1 的点重合，若以点 B 为圆心， BC 边的长为半径画圆，与数轴交于点 E，求点 E表示的数 .
13. [新视角 材料阅读题]我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59 319，求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下：
类型
利用估算巧妙解题
4
第一步：确定立方根的数位.
因为 1 000<59 319<1 000 000，
所以< < .
所以10< <100，即59 319 的立方根是一个两位数.
第二步：确定立方根的个位上的数字.0~9 十个整数的立方如下表：
观察发现：0~9 十个整数的立方的个位数字是0，1，2，
3，4，5，6，7，8，9 中的某一个，且无重无漏.
数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
因为59 319 的个位数字是9，而93=729，所以能确定的个位数字是9.
第三步：确定立方根的十位上的数字.我们知道被开方数的小数点向左(或向右)移动3 位，它的立方根的小数点就相应地向左(或向右)移动1 位. 数59 319 太大，为了便于确定十位数字，可以先将求的问题转化为求的问题，再移动小数点得的值.
因为< < ，
所以 =3.9，
所以 =39，
经验证393=59 319.
根据以上材料，解答下列问题.
(1)3375的立方根是一个______位数，其立方根的个位数字是_______；
(2)已知238 328 是整数x 的立方，按照上述方法求x.
两
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