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章末核心要点分类整合
第七章 相交线与平行线
1.两条直线相交，形成两对对顶角和四对邻补角，其中对顶角相等，邻补角互补.
2. 两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3. 在同一平面内，两条不相交的直线互相平行. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 平行于同一条直线的两条直线平行.
4.平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
5.平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.
6. 可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作命题，命题由题设和结论两部分组成. 被判断为正确(或真)的命题叫作真命题；被判断为错误(或假)的命题叫作假命题.
7. 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移. 平移由平移的方向和平移的距离决定. 平移前后的两个图形，对应边平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等.
专题
相交线的性质
1
链接中考 >>在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有相交和平行两种，其中垂直是两直线相交的一种特殊情况，垂直经常与邻补角和对顶角、平行线等知识综合考查，题型以填空题和选择题为主 .
例 1
[中考· 日照]如图7-1，直线AB， CD相交于点O.若∠ 1=40 °，∠ 2=120 °，则∠COM的度数为( )
A. 70°
B. 80°
C. 90°
D. 100°
解题秘方： 由对顶角相等得到∠2= BOC=∠COM+ ∠ 1，即可解答．
解：∵∠ 2= ∠BOC= ∠COM+ ∠ 1，
∴∠COM= ∠ 2- ∠ 1=120°-40°=80°．
答案：B
例 2
[中考·兰州]如图7-2 是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高. 春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度
数是( )
A. 26° B. 30°
C. 36° D. 54°
解题秘方：由题意得α +β =90°，代入数据计算即可求解．
解：由题意得集热板与太阳光线垂直，
∴α +β =180°-90°=90°.
∵β =54°，∴α =90°-β =36°.
答案：C
专题
平行线的性质与判定
2
链接中考 >>平行线的判定是根据角相等或互补关系得出平行关系，而平行线的性质则是根据直线的平行关系得出角相等或互补关系. 综合运用平行线的性质与判定可以解决很多问题，所以是中考命题的热点. 选择题、填空题及解答题均有涉及.
[中考·自贡]如图7-3，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1=115°，则∠2的度数为( )
A. 75°
B. 90°
C. 100°
D. 115°
例 3
解题秘方：先利用平行线的性质求出∠ 2 的对顶角的度数，再结合对顶角的性质可得答案.
解：如图7-3 所示.
∵ a ∥ b，∴∠ 3= ∠ 1=115°.
∵ c ∥ d，∴∠ 4= ∠ 3=115°.
由对顶角相等，得∠ 2= ∠ 4=115°.
答案： D
例 4
[期末· 南京浦口区]如图 7-4，在三角形 ABC 中，点D， E 分别 在AB， BC上，且DE∥AC，∠1= ∠2.
(1)求证： AF ∥ BC.
(2)若 AC 平分∠ BAF，
∠ B=36°，求∠ 1 的度数 .
证明： ∵ DE ∥ AC， ∴∠ 1= ∠ C.
又∵∠ 1= ∠ 2， ∴∠ C= ∠ 2.
∴ AF ∥ BC.
(1)求证： AF ∥ BC.
解： ∵ AF ∥ BC， ∠ B=36° ，
∴∠ BAF=180° -36° =144° .
∵ AC 平分∠ BAF，
∴∠ 2=∠ BAC= 72° .
又∵∠ 1= ∠ 2， ∴∠ 1=72° .
(2)若 AC 平分∠ BAF，∠ B=36°，求∠ 1 的度数 .
专题
定义、命题、定理
3
链接中考 >>定义、命题和定理主要是语言表达的描述，多考查命题的真假，题型以选择题为主，在中考中较为少见 .
[期中·天津红桥区]下列命题中，真命题的个数是
( )
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等 .
A.4 B.3 C.2 D.1
例 5
解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线
行，故①是假命题；②是真命题；图形平移的方向有很多，不一定是水平的，故③是假命题；两直线平
行，内错角才相等，故④是假命题 .
答案：D
专题
平移
4
链接中考 >>平移是一种图形变换的方式，应熟练掌握平移的条件，理解平移的特征：平移前后图形的大小和形状不发生变化 . 平移也是近几年中考的热点，题型多以选择题、填空题或综合题中的一个小题的形式出现 . 主要考查是否能判断出平移的基本图形、平移后形成的图形，能够作出平移后的图形，利用平移的性质计算角度、面积或长度等 .
[期末· 宜宾翠屏区]如图7-5， 在三角形ABC中，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移到三角形DEF的位置. 若AB=9 cm， 点E 是BC的中点，
BF=12 cm，则四边形ABED的周长
为_______cm.
例6
26
解题秘方：由平移的性质可得DE=AB= 9 cm，AD=BE=CF，再由线段中点的定义得到BE=CE=CF，则可求出BE=CE=CF=4 cm，从而可求四边形ABED的周长.
解：由平移的性质可得DE=AB=9 cm， AD=BE=CF.
∵点E是BC的中点，∴BE=CE=CF.
∵BF=BE+CE+CF=12 cm，
∴BE=CE=CF=4 cm， ∴AD=4 cm，
∴ 四边形ABED 的周长为
AB+BE+DE+ AD=9+4+9+4=26(cm)
专题
分类讨论思想
5
专题解读>>当被研究对象包含多种可能情况，导致我们不能对它一概而论时，必须对出现的所有情况进行分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，我们称为分类讨论思想 .
如图 7-6，点 B， C 在直线 l 上，直线 l 外有 一点
A，连接 AB， AC，∠ BAC=45°，∠ ACB 是钝角，将三角形 ABC沿着直线 l 向右平移得到三角形
A1B1C1，连接AB1，在平移过程中，当∠ AB1A1=2
∠ CAB1时，∠ CAB1的度数是(　　)
A.15° B.30°
C.15°或 45° D.30°或 45°
例 7
解题秘方：在平移的过程中，点B 1可能在线段BC
上，也可能在线段BC的延长线上. 利用平行线的性
质，分两种情况求解 .
解：如图 7-7，当点 B 1 在线段 BC 上时，
∵ AB ∥ A 1B 1， ∴∠ AB 1A 1= ∠ BAB 1.
∵∠ AB 1A 1=2 ∠ CAB 1，
∴∠ BAB 1=2 ∠ CAB 1.
∴∠ CAB 1= ∠ BAC=15° .
如图 7-8，当点 B 1 在 BC 的延长线上时，
∵ AB ∥ A 1B 1， ∴∠ AB 1A 1= ∠ BAB 1.
∵∠ AB 1A 1=2 ∠ CAB 1，
∴∠ BAB 1=2 ∠ CAB 1.
∴∠ CAB 1= ∠ BAC=45° .
综上所述， ∠ CAB1 的度数为 15° 或 45° .
答案：C
专题
转化思想
6
专题解读 >>转化思想作为一种思想方法主要是把未知的转化为已知的，把陌生的转化为熟悉的，从而达到解题的目的 . 转化是一种重要的数学解题技巧 . 在运用平行线的性质和判定解题时，可以通过添加辅助线来构造平行线，这是转化思想在本章的一个重要应用 .
如图7-9，DF∥AB，∠BAC=120°， ∠ACE=100°，则∠CED=( )
A. 30°
B. 40°
C. 60°
D. 80°
例 8
解题秘方：过点C作CG∥AB，易得DF∥ AB∥CG，根据平行线的性质求解．
解：如图7-9，过点C作CG∥AB.
∵DF∥AB， ∴DF∥AB∥CG.
∴∠ 1+ ∠BAC=180°，∠ 2= ∠CED.
∵∠BAC=120°， ∴∠ 1=60°.
∴∠ 2= ∠ACE- ∠ 1=40°.
∴∠CED= ∠ 2=40°.
专题
方程思想
7
专题解读>>方程思想就是通过设未知数建立方程来求解问题的思想方法 . 比如求角的大小，对要求的角列式计算很复杂时，即可采用列方程来解决 . 本章中，对顶角相等、邻补角互补、平行线的性质都可以为列方程提供等量关系 .
如图 7-10，已知 FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶
∠ B=2∶3∶4，求 ∠ α，∠ D，∠ B 的大小 .
例 9
解题秘方：本题没有已知角的度数，故无法做到未知角向已知角转化，根据已知条件中角的关系设出未知数，结合平角为180°这一隐含条件列方程求解.
解： 设∠α =2x° ，则∠ D=3x° ， ∠ B=4x° .
∵ FC ∥ AB ∥ DE，
∴∠ 2+ ∠ B=180° ， ∠ 1+ ∠ D=180° .
∴ ∠ 2=180 ° - ∠ B=180 ° -4x ° ， ∠ 1=
180° - ∠ D=180° -3x° . 由题意知∠ 1+ ∠ 2+ ∠ α =180° ，
∴(180 °-3x °) +(180 °-4x °) +2x ° =180° ，解得 x=36. 所以∠ α =2x° =72° ， ∠ D=3x° =108° ，∠ B=4x° =144° .
题型 1 利用相交线的性质求角的度数
1. 如图，直线AB， CD相交于点O，作∠DOE=∠BOD， OF 平分∠ AOE.
(1) 判断OF 与OD 的位置关系，并说明理由；
类型
求角的度数
1
解：设∠AOC＝x°.∵∠AOC∶∠AOD＝1∶5，∴∠AOD＝5x°.∵∠AOC＋∠AOD＝180°，
∴x°＋5x°＝180°，解得x＝30.
∴∠DOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°.
又∵∠DOE＋∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝90°－∠DOE＝90°－30°＝60°.
(2)若∠AOC∶∠ AOD=1∶5，求∠EOF 的度数．
题型 2 利用平行线的性质求角的度数
2. [新趋势跨学科综合中考·达州]如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F. 若∠1+ ∠ 2=35°，则∠AFB的度数为
( )
A.35° B.55°
C.70° D.145°
A
3. [中考·潍坊]一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α =15°.顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β =45°，
则EF与FG所成锐角的度数为( )
A.60° B.55°
C.50° D.45°
A
题型1 利用平移的性质求周长
4.[月考·绵阳涪城区]如图，三角形ABC的周长为15 cm，将三角形ABC沿BA方向平移 3 cm至三角形A′B′C′处，则四边形A′BCC′ 的周长为______cm.
类型
解决平移问题
2
21
题型2 利用平移的性质求面积
5.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移3 个单位长度得到三角形DEF，EF=6，CH=2，则图中阴影部分的面积为_______.
15
6.如图，四边形ABCD是一块长方形场地，AB=18 m，AD=11 m. 从A，B两个入口开始至两条路汇合前的小路的宽都为1 m，两小路汇合处路宽为2 m，其余部分种植草坪，则草坪面积为_______.
160 m2
题型3 平移作图
7. 如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中， 将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，连接AA′，BB′.
(1)根据题意，补全图形；
解：如图所示．
(2)线段AA′与线段BB′之间的位置关系和数量关系是__________________；
(3)在BB ′上画出一点P，使得∠ PA ′B ′= ∠ABC.
AA′∥BB′，AA′＝BB′
如图，根据网格特点，过点A′作A′P∥B′C′，
交BB′于点P，则点P即为所求作．
点拨：∵A′P∥B′C′，∴∠PA′B′＝∠A′B′C′.
由平移的性质可知∠ABC＝∠A′B′C′，
∴∠PA′B′＝∠ABC.
类型三 补写证明过程
8.[期末·郑州中原区]补写解答过程.
已知：如图，∠ 1+∠2=180°，∠ 3=∠B.
求证：∠ACB=∠4.
证明：∵∠ 1+∠DFE=180°( 　 　)，
∠ 1+∠2=180°(已知)， ∴∠ 2=∠DFE( 　 )，
∴AB∥EF( 　 　).
∴∠ 3=∠ 　. ∵∠ 3=∠B(已知)， ∴∠B=∠ 　 　.
∴DE∥BC( 　 　 ).
∴∠ACB=∠4( 　 　 )
邻补角的定义
同角的补角相等
内错角相等，两直线平行
ADE
ADE
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
类型四 常见证明题
题型1 证明两条直线平行
9. [期中·江门台山市]如图，∠ 1+ ∠ 2=180°，∠ DEF= ∠ A，求证： AC ∥ DE.
证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
∠1＋∠DFE＝180°(邻补角的定义)，
∴∠2＝∠DFE(同角的补角相等)．
∴AB∥EF(内错角相等，两直线平行)
∴∠DEF＋∠ADE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠DEF＝∠A(已知)，
∴∠A＋∠ADE＝180°(等量代换)，
∴AC∥DE(同旁内角互补，两直线平行)．
题型 2 证明两条直线垂直
10. 如图，直线 AB， CD 相交于点 O， OA 平分∠ EOC.
(1)若 ∠ EOC=72 °，求∠ BOD 的度数；
(2)若∠DOE=2∠AOC，判断射线OE， OD的位置关系并说明理由 .
解：OE⊥OD.理由如下：∵OA平分∠EOC，
∴∠EOC＝2∠AOC.
又∠DOE＝2∠AOC，∴∠DOE＝∠EOC.
∵∠DOE＋∠EOC＝180°，
∴∠DOE＝∠EOC＝90°. ∴OE⊥OD.
题型 3 证明角的和差
11. 如图，已知直线 l1∥ l2，直线 l3和直线
l1， l2分别交于点 C 和 D， P 为直线 l3上的一动点，
A， B 分别是直线 l1， l2上的定点．
(1)当点P在线段CD(C， D两点除外)上运动时，问∠1，∠2，∠3之间的关系是什么？这种关系是否发生变化？(不需说明理由)
解：∠2＝∠1＋∠3.不发生变化．
(2)当点 P 在线段 CD 之外时，∠ 1，∠ 2，∠ 3 的关系又怎样？说明理由 .
解：当点P在线段DC的延长线上时，
∠2＝∠3－∠1.理由：如图，过P作PF∥l1，
则∠FPA＝∠1. ∵l1∥l2，∴PF∥l2，
∴∠FPB＝∠3. ∴∠2＝∠FPB－∠FPA＝∠3－∠1.
当点P在线段CD的延长线上时，∠2＝∠1－∠3.理由略．

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