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人教版八年级(上)
14.2 第5课时“斜边、直角边”
14.2 三角形全等的判定
第十四章 全等三角形
素养目标
1. 探索并掌握判定直角三角形全等的 “斜边、直角边”定理.(重点)
2. 能够作图：已知一直角边和斜边作直角三角形，强化作图能力.
3. “斜边、直角边” 定理的探索过程，选用适当的方法判定直角三角形全等. (难点)
4. 培养观察、归纳及动手能力，发展几何直观感知能力与推理能力.
复习导入
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边和它们的
夹角分别相等
两角和它们的
夹边分别相等
两角分别相等且其中
一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
情境导入
思考 对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
A
B
C
A'
B'
C'
情境导入
①一条直角边
和一锐角分别相等
②斜边和一锐角分别相等
ASA
或AAS
A
B
C
A'
B'
C'
AAS
A
B
C
A'
B'
C'
情境导入
③两直角边分别相等
SAS
A
B
C
A'
B'
C'
如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？
A
B
C
A'
B'
C'
新知探究
操作：任意画出一个 Rt△ABC，使∠C = 90°. 再画一个 Rt△A′B′C′ ，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的 Rt△A′B′C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们全等吗？
A
B
C
探究点： 用“HL”判定直角三角形全等
新知探究
作法：
(1) 画 ∠MC'N = 90°；
(2) 在射线 C'M 上截取 B'C' = BC；
(3) 以点 B' 为圆心，AB 长为半径画弧，
交射线 C'N 于点 A'.
(4) 连接 A'B'.
想一想：从中你能发现什么规律？
M
C′
N
B′
A′
A
B
C
探究点： 用“HL”判定直角三角形全等
新知探究
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
“斜边、直角边”判定方法
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB = A′B′，
BC = B′C′，
A
B
C
A′
B′
C′
探究点： 用“HL”判定直角三角形全等
新知探究
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，
AC = BD. 求证 BC = AD.
A
B
D
C
分析：
求证 BC = AD.
已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD
求证 Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
探究点： 用“HL”判定直角三角形全等
新知探究
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
AB = BA，
AC = BD .
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中
这是应用“HL”判定方法的书写格式
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路
探究点： 用“HL”判定直角三角形全等
新知探究
例2 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC =∠ADC = 90°，
BE⊥AC 于点 E，DF⊥AC 于点 F，CF = AE，DA = BC. 求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.
证明：在Rt△ADC 和Rt△CBA 中，
AC = CA，
DA = BC，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL）.
∴CD = AB.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB =∠CFD = 90°.
在Rt△ABE 和Rt△CDF 中，
AB = CD，
AE = CF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）.
探究点： 用“HL”判定直角三角形全等
新知探究
梳理你所学的判定两个三角形全等的基本方法，并绘制成思维导图.
已知两边
找第三边“SSS”
找两边的夹角“SAS”
看是否是直角三角形，若是“HL”
已知两角
找两角的夹边“ASA”
找任意一角的对边“AAS”
探究点： 用“HL”判定直角三角形全等
新知探究
已知一边
一角
找这条边的另外一个邻角“ASA”
找这个角的另外一边“SAS”
找这条边的对角“AAS”
一边和它的邻角
一边和它的对角
找另外任意一个角“AAS”
看这个角是否是直角，若是，找任意一条直角边“HL”
探究点： 用“HL”判定直角三角形全等
当堂反馈
1. 如图，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，则能够直
接证明△ABC≌△ADC的理由是(　D　)
A. ASA B. AAS
C. SAS D. HL
第1题图
D
当堂反馈
2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，要使
△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件 ；若添加条件∠B＝∠C，则可直接用“ ”判定.
第2题图
AB＝AC　
AAS　
当堂反馈
3. [作图通关]求证：有两边和其中一边上的高分别
对应相等的两个锐角三角形全等.(要求：根据题意
画出图形，写出已知、求证并证明)
补全下列解答过程：
已知：如图，锐角三角形ABC与锐角三角形A'B'C'，BC＝B'C'，AB＝A'B'，AD⊥BC，
A'D'⊥B'C'，且AD＝A'D'.求证：△ABC≌△A'B'C'.
当堂反馈
作图通关
Rt△A'D'B'　
当堂反馈
∴Rt△ADB≌Rt△A'D'B'( ).
∴∠B＝∠B'.
HL
SAS
当堂反馈
4. 如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，AD＝AF，AC＝AE. 求证：
(1)△ABD≌△ABF；
证明：(1)∵AD，AF分别是
△ABC和△ABE的高，
∴∠D＝∠F＝90°.
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
当堂反馈
如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，
AD＝AF，AC＝AE. 求证：
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD＝EF.
由(1)得△ABD≌△ABF，BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
课堂小结
“斜边、直角边”
内容
__________________分别相等的两个直角三角形全等
前提条件
在______三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等)
斜边和一条直角边
直角

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