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14.3.2 角的平分线的判定
几何语言：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质：
不必再证全等
O
D
P
A
C
B
E
逆命题
到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
猜想：到角的两边距离相等的点是在角的平分线上。
B
A
O
D
E
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边）
PD= PE
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
证明猜想
P
.
2.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的内角平分线
二
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
你能证明这个结论吗？
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证一证
D
E
F
A
B
C
P
N
M
问题1.若PD=4，则P到△ABC三边的距离和。
问题2.若△ABC的周长为32，求△ABC的面积。
问题3.△ABC的三条角平分线交于一点。
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
2.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
3.如图， PA=PB ，∠PAC+∠PBD=180 ° 求证： OP平分∠AOB
O
A
B
P
C
D
典例精析
例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
拓展思维
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在小区附近建造一个大型超市，使得它到三条路的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
A
O
B
M
N

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