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第二十七章 相似
人教版 九年级下册
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
情景引入
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
合作探究
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题：
这两个三角形是相似的
探究新知
证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，
截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
问题 试证明△A′B′C′∽△ABC.
探究新知
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
归纳：
探究新知
如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：
△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
探究新知
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，
∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△DEF中，∠E=80 °，
∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
　 ∴ △ABC ∽△DEF.
例1 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
例 题
例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD.
证明:连接AC，DB.
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，
∴ ∠A= _______，
同理 ∠C= _______，
∴ △PAC ∽ △PDB，
∴______ 即PA ·PB = PC · PD.
∠D
∠B
O
D
C
B
A
P
例 题
∴
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
D
A
B
C
E
∴
例题与练习
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
归纳：
对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
思考：
探究新知
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，
∠C′=90°， .
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
要证明两个三角形相似，即是需要
证明什么呢？
目标：
探究新知
证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由 ，得
∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿.
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
勾股定理
∴
C
A
A'
B
B'
C'
探究新知
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
归纳：
例 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
例 题
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝
AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；
∴
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝
AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
课堂小结
第1题图
1.如图，已知 ，欲证
，可补充的条件为( )
D
A. B.
C. D.
随堂练习
第2题图
2.如图，在中，.若 ，
，则 的长为( )
C
A. B. C. D.6
第3题图
3.如图， ，则图中一定相似的三角形共
有( )
D
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
4.如图，在中，是边上的一点，连接 ，请添加一个适当的
条件_____________________________，使
（只填一个即可）
（答案不唯一）
第4题图
5.如图，在中，过点作 ，垂
足为，连接，为 上一点，且
.
（1）求证： ．
证明：在中， ，
．
， ，
.
．
（2）若，，，求 的长．
解：， ，
．
．
．
由（1）,得 ．
．
．
．
6.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角
三角形边长分别是3，4及，那么 的值( )
B
A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个
第7题图
7.如图，在中，，边上的高，
相交于点，图中与 一定相似的三角形共有
( )
B
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第8题图
8.如图,在和 中,
,,,则当
的长为________时,与 相似.
3或
9.如图，在菱形中，点，在对角线
上，，，若 ，
，则 ___．
6
10.在和中， ，， ，
，则当____时， .
10
11.如图，为的直径，为上一点，弦 平分
，交于点，，，则 的长为
( )
B
A.2.5 B.2.8 C.3 D.3.2
13.如图，在中， ．
12.如图，在正方形中，是边上的一个动点，点
在上，且.若，设，当 为
________时，与 相似．
2或
第12题图
（1）请你利用尺规作图，过点作边上的高 （不写作法，保留
作图痕迹）
解：如解图所示， 即为所求作.
（2）作图后，图中存在___对相似三角形，请写出来
___________________________________________________．
3
，，.
（3）爱思考的小明利用探究出来的相似三角形，写出下列三个结论：
；； ．
请你按照小明的思路，选择①，②，③中的一个进行证明.
解：选择①.
证明：由尺规作图，可知 ，
.
又 ，
.
，
.
（答案不唯一）
14.如图，在矩形中， ，
，为边上一动点，连接交 于
点 ．
（1）求证： .
证明： 四边形 是矩形，
．
, .
.
（2）点从点出发沿 边以每秒1个单位长度的速
度匀速向点运动，运动时间为秒， 为何值时，
？
解： 四边形是矩形， ，
， .
.
．
又 ,
.
，即 .
.
即当时， .

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