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(共22张PPT)
第二部分　专题提升
专题四　几何综合
第40讲　解直角三角形
1．熟练掌握直角三角形相关性质，灵活运用基本方法解直角三角形．
2．在复杂图形中分析直角三角形的边角关系，综合运用直角三角形的边角关系相关知识解决实际问题．
1．在△ABC中，若AB＝10，AC＝15，∠BAC＝150°，则△ABC的面积为(　 　)
A．37.5 B．75
C．100 D．150
A
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，延长BC到点D，使CD＝AC，则 tan 22.5°＝(　 　)
D
3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于(　 　)
B
4．(2025·六盘水模拟)如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A，B，C分别在格点上，则sin A的值是(　 　)
A
解：如图，延长BA交MN于点C，设CN＝x m.
由题意得BC⊥MN，BC＝691 m.
∵MN＝154 m，∴CM＝MN－CN＝(154－x) m.
在Rt△ACN中，∠MNA＝45°，
∴AC＝CN·tan 45°＝x m.
典型考题
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.
(1)证明：∵DF垂直平分BC，
∴DB＝DC．
∵C△ABD＝AB＋AD＋BD，CE＝AB，
∴C△ABD＝AD＋DC＋CE＝AE，
即△ABD的周长等于线段AE的长．
变式训练
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE.
(1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB.
∴∠EAB＝∠B＝25°.
∴∠CAE＝180°－∠C－∠EAB－∠B＝40°.
解直角三角形是数学中很重要的一节内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用，比如在测量、建筑、航海等方面．用解直角三角形的有关知识解决实际问题的关键是借助图形，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来，把数和形结合起来，最终将实际问题转化为解直角三角形的问题．
(2025·贵州)某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知BD＝28 m，CD＝21 m，该地冬至正午太阳高度角α为35°.如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离(活动中心高度不变)，求该活动中心移动了多少米？
(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)
解：任务一：如图，过点A作AE⊥CD于点E.
由题意，可得四边形AEDB为矩形，BD＝28 m，CD＝21 m，∠AEC＝90°，
∴AE＝BD＝28 m，AB＝DE.
∵∠CAE＝α＝35°，
∴在Rt△ACE中，CE＝AE·tan α≈28×0.7＝19.6(m)．
∴AB＝DE＝CD－CE＝21－19.6＝1.4(m)．
任务二：如图，过点B作AC的平行线，过点C作BD的平行线，两线交于点Q，BQ，AE交于点T，过点Q作QK⊥BD于点K.
∴∠QBK＝∠ATB＝∠CAE＝35°，四边形CDKQ为矩形．
∴QK＝CD＝21 m.
∴DK＝30－28＝2(m)．
∴该活动中心移动了2 m.
(共20张PPT)
第二部分　专题提升
专题一　数与式的综合运算
第31讲　数与式的综合运算
1．熟练掌握实数的各种运算并注意混合运算中的符号与运算顺序.
2．在整式与分式的化简与求值中灵活运用乘法公式、 运算律及因式分解等知识， 同时还应注意整体思想和各种解题技巧的灵活应用．
1．(2025·徐州)下列运算正确的是(　 　)
A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5
C．(3a)2＝6a2 D．a2·a4＝a6
D
B
C
A
D
1
8．(2024·泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是______.
9．已知m2＋n2＋10＝6m－2n，则m－n＝___.
14
4
典型考题
类型一　实数运算
1．计算：
解：原式＝4x－x2－16＋4x－(x2＋8x＋16)
＝4x－x2－16＋4x－x2－8x－16
＝－2x2－32.
1.实数的混合运算主要考查零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、二次根式等，正确应用它们的化简规则以及熟练掌握运算法则是解答此类题的关键．
2．整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、整式乘法法则、熟练运用乘法公式；分式的混合运算，关键是掌握计算法则，灵活应用因式分解，根据运算顺序进行正确计算．解决化简求值问题的前提是化简一定要正确，求值时要考虑代数式是否有意义，以及注意整体思想等解题技巧．
2. 先化简，再求值： ÷(－ )，其中a满足a2－()－1·a＋6 cos 60°＝0.
3.【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
【验证】如(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和．
【探究】设【发现】中的两个已知正整数为m，n，请论证【发现】中的结论正确．
解：【验证】10的一半为5,5＝1＋4＝12＋22.
【探究】∵(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2
＝2m2＋2n2
＝2(m2＋n2)，
∴两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．(共35张PPT)
第二部分　专题提升
专题四　几何综合
第39讲　相似运用
1．掌握相似三角形模型——基本型、斜交型、旋转型、一线三等角型．
2．从复杂图形中“离析”出相似三角形的基本模型解决问题．
3．通过抽象模型、图形变换、变式类比等方法提高解决综合题的能力．
1．【基本型】(2025·贵阳模拟)如图，在5×4的正方形网格中，点A，C在网格点上，线段AC与网格线交于点B，则AB∶BC等于(　 　)
A
C
3．【一线三等角型】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，F在CD边上，CF＝2，E是BC边上一点，EF⊥AE，求BE的长．
解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，
CD＝AB＝6，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵EF⊥AE，
∴∠AEB＋∠CEF＝90°.∴∠BAE＝∠CEF.
4.(2024·黔南州一模)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，过点B作BE∥AD交CD于点E，点F为AD边上一点，且AF＝BE，连接EF.
(1)判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
解：(1)四边形ABEF是矩形．理由如下：
∵BE∥AF，BE＝AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
又∠A＝90°，∴四边形ABEF是矩形．
(2)由(1)知四边形ABEF是矩形，
∴∠BEF＝∠C＝90°.
∴∠CEB＋∠CBE＝∠CEB＋∠FED＝90°.
小明：经过分析发现，图形中存在与∠BAD相等的角；
小胖：根据我的解题经验，要求AB的长，可以考虑构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例解决问题；
小林：既然构造相似三角形，可以在CD上取一点F，构建“一线三等角”的图形解决问题．
(1)请你完成这个题目的解答过程；
解：如图①，在CD上取点F，连接EF，使∠DEF＝∠ADB.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.
∵∠AED＝∠B，
∴∠ADE＝∠B.
∵∠ADF＝∠B＋∠BAD＝∠EDF＋∠ADE，
∴∠EDF＝∠BAD.
∵∠ADB＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF.
解：如图②，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，连接ER.
∵AB＝AC，AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝∠ABC．
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE.
∵∠ADE＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠AED＝∠ADE.
∵∠BDA＝∠DAT＋∠ATD＝∠BDE＋∠ADE，
∠DAT＝∠BDE，
∴∠ATD＝∠ADE＝∠DBE.
∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER.
∴∠BED＝∠AER.
∴∠BER＝∠AED＝∠DBE.
∴ER＝BR＝DT.
∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，
∴△ABR≌△ACT(AAS)．
∴BR＝CT.∴DT＝CT.
∴CD＝2DT.
变式训练
【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF＝45°.求证：AC·BF＝AD·BD.
证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°.
∵∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF，∠A＝∠CDF＝45°，
∴∠ACD＝∠BDF.
∴△ACD∽△BDF.
【尝试应用】(2)如图②，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A＝∠B＝∠CDF＝45°，若AC＝9，BF＝8，求线段CF的长．
解：如图②，延长AC交BF的延长线于点T.
∵∠A＝∠CDF＝∠B＝45°，
∴∠T＝90°，TA＝TB.
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF，
∴∠ACD＝∠BDF.
∴△ACD∽△BDF.
解：如图③，过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，
则∠B＝∠EFD.
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ADE＝45°.
∴∠BAD＝∠EDF.
∴△ABD∽△DFE.
∵∠EFD＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠EFC＝∠DEC＝135°.
又∠C＝∠C，
∴△EFC∽△DEC．
∴EC2＝FC·CD＝FC×(8＋FC)＝20.
解得FC＝2或FC＝－10(舍去)．
∴CD＝DF＋FC＝10.
基本型与斜交型均有一个公共角，确定公共角后准确找到另一组相等的角即可“离析”出相似三角形，结合方程思维解决问题．
在一条直线上出现三个相等的角，则会存在相似三角形，即“一线三等角”．
判定三角形相似有三个定理，使用最多的是找两对对应角相等，特别是相似的直角三角形，固定直角后，寻找另一组相等的角即可．
(2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
(1)【操作判断】
如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为______度；
90
解：如图①，PC即为所求．
(2)【问题探究】
如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA；
证明：如图②，过点P作PC⊥OB于点C．
由(1)知四边形OAPC是矩形．
∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴PA＝PC．∴矩形OAPC是正方形．
∴OA＝AP＝PC＝OC．
∵PN⊥PM，∠APC＝90°，∴∠APM＝∠CPN.又∠MAP＝∠NCP＝90°，∴△APM≌△CPN(ASA)．∴AM＝CN.
∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP.∴OM＋ON＝2PA．
解：①当点M在线段AO上时，如图，延长NM，PA交于点G.
由(2)知OM＋ON＝2AP.设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x.
∴AM＝AO－OM＝x＝OM.
∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG ，
∴△MON≌△MAG(ASA)．∴AG＝ON＝3x.
②点当M在AO的延长线上时，如图，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于点G.
由(2)，同理得△APM≌△CPN，∴AM＝CN.∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO.设OM＝x，则ON＝3x.∴AO＝x，CN＝AM＝2x.(共31张PPT)
第二部分　专题提升
专题三　数学建模
第36讲　几何类
1．了解初中几何常见模型，如手拉手全等相似模型、对角互补模型、倍长中线模型和123模型等．
2．通过图形建模实现知识多元化认知，顺利找到解题的方法．
3．通过观察与联想，构造出图形模型，把复杂的问题转化为简单的问题求解．
1．【手拉手全等模型】如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.
求证：(1)△BEC≌△ADC；
(2)△PQC是等边三角形．
证明：(1)∵△ABC和△DCE为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°.
∴∠ACD＝∠BCE.
∴△BEC≌△ADC(SAS)．
(2)∵△ADC≌△BEC，∴∠ADC＝∠BEC．
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°.
在△DPC和△EQC中，
∴△DPC≌△EQC(ASA)．∴CP＝CQ.
∵∠QCP＝60°，∴△PQC是等边三角形．
解：∵在△ABC和△ADE中，
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC．
∴∠CAE＝∠BAD＝20°.
3.【倍长中线模型】如图，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE.
∵AD为BC边上中线，
∴CD＝BD.
在△DAC和△DEB中，
∴△DAC≌△DEB(SAS)．∴AC＝EB＝4.
∵AB－BE＜AE＜AB＋BE，AB＝6，
∴2＜AE＜10.∴1＜AD＜5.
∴BC边上的中线AD的取值范围是1＜AD＜5.
4.【对角互补模型】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为(　 　)
A．15 B．12.5
C．14.5 D．17
B
5.【123模型】如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α＋β＝_________.
45°
典型考题
将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE.
(1)如图①，当点D恰好落在BC上时，连接CE.
①当∠B＝70°，∠ACB＝50°时，求证：AC⊥DE.
②当△ABC满足什么条件时，四边形ABCE是平行四边形？说明理由．
①证明：如图①，设AC，ED相交于点F.
由旋转，可得△ABC≌△ADE.
∴∠B＝∠ADE＝70°，AB＝AD.
∴∠B＝∠ADB＝70°.
∴∠FDC＝180°－∠ADB－∠ADE＝40°.
又∠ACB＝50°，∴∠CFD＝180°－∠FDC－∠ACB＝180°－40°－50°＝90°.∴AC⊥DE.
②解：当△ABC满足BC＝AC时，四边形ABCE是平行四边形．理由如下：
如图．∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠2＝∠DAE－∠2，
即∠1＝∠3.
∵BC＝AC，∴∠B＝∠BAC．∴∠5＝180°－2∠B.
同理，可得∠1＝180°－2∠B.
∴∠5＝∠1.∴∠5＝∠3.∴AE∥BC．
又BC＝AC，AC＝AE，∴BC＝AE.
∴四边形ABCE是平行四边形．
(2)如图②，当旋转角为60°时，DE交BC于点P，连接AP.当AC＝6，∠C＝45°时，求PE的长．
解：如图②，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N.设DE与AC交于点H.
∴∠ANE＝∠AMC＝90°.
∵∠C＝∠E＝45°，AC＝AE，
∴△AMC≌△ANE(AAS)．
∴AM＝AN.
变式训练
课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想”．
(1)如图①，在等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，点D在△ABC内部，连接AD，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接DE，CD，BE.请写出BE和CD的数量关系：_________，位置关系：________，并证明．
BE＝CD
BE⊥CD
证明：∵AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°.
∵∠CAD＋∠DAB＝∠CAB＝90°，∠DAB＋∠BAE＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE.
∴△CAD≌△BAE(SAS)．
∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE.
延长CD交BE于点F，如图①所示．
∵∠FCB＋∠ABC＋∠ABE
＝∠FCB＋∠ABC＋∠ACD
＝∠ABC＋∠ACB＝90°，
∴∠CFB＝180°－(∠FCB＋∠ABC＋∠ABE)＝180°－90°＝90°.
∴BE⊥CD.
(2)如图②，在等腰△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，AD＝2，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接DE，BD，BE，取BD的中点M，连接CM.
①当点D在△ABC内部，猜想并证明BE与CM的数量关系和位置关系；
②当B，M，E三点共线时(M，E在AB的下方)，请直接写出CM的长度．
解：①BE＝2CM，BE⊥CM.证明如下：
如图②，取AB的中点为F，BE的中点为P，连接FC，FP，FM，延长CM交BE于点O.
又BD的中点为M，
∴FP是△ABE的中位线，FM是△ABD的中位线．
∴∠PFM＝90°.
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，AB的中点为F，
∴CF⊥AB，CF＝BF.∴∠CFB＝90°.
∵∠CFM＝∠CFB－∠BFM＝90°－∠BFM，∠BFP＝∠PFM－∠BFM＝90°－∠BFM，∴∠CFM＝∠BFP.
又CF＝BF，FM＝FP，∴△CFM≌△BFP(SAS)．
∴CM＝BP，∠FCM＝∠FBP.
∵BE的中点为P，∴BE＝2BP＝2CM.
∵∠FBP＋∠CBA＋∠MCB＝∠FCM＋∠CBA＋∠MCB＝∠FCB＋∠CBA＝180°－∠CFB＝180°－90°＝90°，
∴∠COB＝180°－(∠FBP＋∠CBA＋∠MCB)＝180°－90°＝90°.
∴BE⊥CM.
图形建模就是指建立几何图形模型的整个过程，对真实原型进行提炼、抽象、简单化，以及确立、检验、解释、应用、向外拓展的过程．
利用观察与联想等思想，准确恰当构造出一个或者多个同源问题相关的辅助条件或问题．建立图形模型，把复杂的问题化为简单的问题求解．
(2025·遵义模拟)综合与探究
问题情境：如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC＝90°，连接BE，F是BE的中点，连接AF.
(1)【问题发现】
90
(2)【进阶探究】
如图②，当点E在边BC上时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展延伸】
如图③，将图①中△EDC绕点C逆时针旋转α度(0°<α<360°)，若AB＝4，CD＝2.直接写出AF的最小值．
解：(2)(1)中的结论成立．理由如下：
如图②，延长AF至G，使FG＝AF，连接GE，GD.
∵F是BE的中点，∴BF＝EF.
∵∠AFB＝∠GFE，∴△AFB≌△GFE(SAS)．
∴GE＝AB，∠BAF＝∠EGF，∠B＝∠GEF.
∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC＝90°，
∴GE＝AB＝AC，∠B＝∠GEF＝45°，DE＝DC，∠CED＝∠ECD＝∠ACB＝45°.(共28张PPT)
第二部分　专题提升
专题二　函数、方程、不等式综合运用
第34讲　函数综合
1．以近几年函数综合题为训练背景，让学生感受中考函数题的考查难度．
2．通过解题归纳考查的知识和方法，了解命题者的设问方式．
1．(2022·贵阳)已知二次函数y＝ax2＋4ax＋b.
(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；
(2)在平面直角坐标系中，二次函数的图象过(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f )四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当－2≤m≤1时，n的取值范围是－1≤n≤1，求二次函数的表达式．
解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x2＋4x＋4－4)＋b＝a(x＋2)2＋b－4a，
∴二次函数图象的顶点坐标为(－2，b－4a)．
(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x＝－2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵3－(－2)＞1－(－2)＞(－1)－(－2)＝(－2)－(－3)，
∴d＞c＞e＝f.
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵3－(－2)＞1－(－2)＞(－1)－(－2)＝(－2)－(－3)，
∴d＜c＜e＝f.
解：(1)∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，AB⊥OA．
∵D(4,1)是AB的中点，∴B(4,2)．
∴点E的纵坐标为2.
3.(2025·山西)综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm.
数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式．
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
(2)如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0,75)，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长．
(3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过．如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57 cm，BC＝40 cm，CD＝48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)．
(2)∵抛物线的形状不变，P(0,75)，故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的，
4.(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2,5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式．
(3)如图②，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
(1)解：∵二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2,5)，
∴5＝－4＋c，解得c＝9.
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋9.
(2)证明：当y＝0时，0＝－x2＋9，解得x1＝－3，x2＝3.
∴B(3,0)．
设直线AB的表达式为y＝kx＋b，
5.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A，B(5,0)，且过点C(－1，6)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若直线y1与抛物线交于点M(m，yM)，N(n，yN)，已知m≤1≤n，mn＜0，且当m≤x≤n时，y的最小值为2m，最大值为4n.当y1＜y时，求x的取值范围．
(3)设抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接AD，过点A的直线y2＝k2x＋b2(k2＞0)上是否存在一点P，使得△ABP与△ADE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)由(1)，得抛物线顶点坐标为(1,8)．∴当m≤1≤n时，y的最大值为8，即4n＝8，解得n＝2.
由抛物线的对称性，得当x＝2和x＝0时函数值相等．又m≤1≤n且mn＜0，∴m＜0＜1≤n.(共19张PPT)
第二部分　专题提升
专题二　函数、方程、不等式综合运用
第32讲　函数与方程
1．能列方程(组)求出一次函数、反比例函数、二次函数的解析式．
2．理解函数图象交点坐标即为这两个函数的解析式组成的方程组的解．
3．会求两个函数图象的交点坐标．
1．若关于x的方程ax＋m＝0的解为x＝－2，则直线y＝ax＋m一定经过点(　 　)
A．(－2,0) B．(－2，－2)
C．(0，－2) D．(－2,2)
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(1,0)，(－3,0)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的解为(　 　)
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝－3
A
D
3．物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B浮在水面上的高度h(mm)与铁块A的质量x(g)(如表)，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块A质量为100 g时，木块B浮在水面上的高度h为(　 　)
A．30 mm B．28 mm
C．26 mm D．24 mm
实验次数 一 二 三
铁块A质量x/g 25 50 75
高度h/mm 44 38 32
C
A
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2－bx＋a＝0的根的情况是(　 　)
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
C
7．如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴和y轴相交于C，A(0,3)两点，且与正比例函数y2＝－2x的图象交于点B(m,2)．
典型考题
如图，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m,3)，一次函数图象经过点B(1,1)，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)求△COP的面积；
(4)不解关于x，y的方程(k＋3)x＋b＝0，直接写出方程的解．
(2)由(1)知一次函数解析式是y＝－x＋2，
令x＝0，则y＝2.
∴D(0,2)．
(3)由(1)知一次函数解析式是y＝－x＋2，
令y＝0，得－x＋2＝0，解得x＝2.
∴点C(2,0)．∴OC＝2.
∵P(－1,3)，
(4)由图象可知，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(－1,3)，所以方程的解为x＝－1.
1.两个函数图象交点的坐标即为由函数解析式组成的方程组的解，反之方程组的解即为方程改写成函数时的图象的交点坐标．
2．求交点坐标时，可以用函数图象法，也可以用解方程组法．
3．求函数解析式的方法一般为待定系数法．
具体步骤：①设函数解析式；②把点坐标代入解析式；③解方程组；④写结论．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)当反比例函数值小于一次函数值时，求x的取值范围；
(3)在x轴上存在点P，使得△PAB的周长最小，求出此时点P的坐标．
(3)如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于点P，连接AP，则此时△PAB的周长最小．由轴对称的性质可得C(1，－4)．
设直线BC的解析式为y＝ax＋b，将点C，B的坐标代入，(共41张PPT)
第二部分　专题提升
专题三　数学建模
第35讲　代数类
通过建立方程(组)、 一元一次不等式(组)、函数模型解决实际问题．
1．已知电灯电路两端的电压U为220 V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11 A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是(　 　)
A．R至少2 000 Ω
B．R至多2 000 Ω
C．R至少24.2 Ω
D．R至多24.2 Ω
A
2．(2024·枣庄)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(　 　)
A．200 B．300
C．400 D．500
3．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有___种购买方案．
B
3
4．如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙足够长)，则这个菜地的最大面积为______m2.
32
5.某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价．
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20 000 元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
解：(1)设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为(x＋25)元．
根据题意，得2(x＋25)＋x＝200.解得x＝50.
可得x＋25＝50＋25＝75.
答：A玩具的单价为50元，B玩具的单价为75元．
(2)设商场可以购置A玩具y个，则购置B玩具2y个．
根据题意，得50y＋75×2y≤20 000.
解得y≤100.
答：最多可以购置A玩具100个．
典型考题
类型一　方程(组)与不等式应用题
1．(2025·铜仁三模)贵州近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建3个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资11万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元；
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求投资总额不超过55万元，则最多可以修建A种光伏车棚多少个？
解：(1)设修建每个A种光伏车棚需投资x万元，每个B种光伏车棚需投资y万元．
答：修建每个A种光伏车棚需投资3万元，每个B种光伏车棚需投资2万元．
(2)设可以修建A种光伏车棚m个，则可以修建B种光伏车棚(20－m)个．
根据题意，得3m＋2(20－m)≤55.
解得m≤15.
∴m的最大值为15.
答：最多可以修建A种光伏车棚15个．
变式训练
1.某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，A型车每台进货价格比B型车每台进货价格少3万元，该公司用24万元购买A型车的数量和用30万元购买B型车的数量相同．
(1)求购买一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？
(2)该公司准备用不超过300万，采购A，B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
解：(1)设一台B型新能源汽车的进货价格是x万元，则一台A型新能源汽车的进货价格是(x－3)万元．
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．
∴x－3＝12.
答：购买一台A型新能源汽车的进货价格是12万元，购买一台B型新能源汽车的进货价格是15万元．
(2)设需要采购A型新能源汽车a台，则采购B型新能源汽车(22－a)台．
由题意，得12a＋15(22－a)≤300.
解得a≥10.
答：最少需要采购A型新能源汽车10台．
类型二　方程(组)与一次函数应用题
2．(2024·德阳)罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A，B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A，B两种组合的进价和售价如下表：
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
价格 A B
进价/(元/件) 94 146
售价/(元/件) 120 188
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为16元，每个肉粽的进价为5元．
(2)设该超市准备m件A种组合，则B种组合数量是(3m－5)件，利润为w元．
根据题意，得m＋(3m－5)≤95.解得m≤25.
则利润w＝(120－94)m＋(188－146)(3m－5)＝152m－210.
可以看出利润w是m的一次函数，w随着m的增大而增大，
∴当m＝25时，w最大，最大值为152×25－210＝3 590.
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3 590元．
2.(2025·贵阳一模)贵州玉屏县被誉为“箫笛之乡”．玉屏县某中学举办“箫笛艺术节”活动，现需购买玉箫、玉笛若干支．已知玉箫单价比玉笛单价高10元，用1 000元购买的玉箫数量与800元购买的玉笛数量相同．
(1)玉箫和玉笛的单价各是多少元？
(2)学校计划购买玉箫与玉笛共30支，且玉箫的数量不少于玉笛数量的2倍，则学校最少需花费多少元？
解：(1)设玉箫的单价是x元，则玉笛的单价是(x－10)元．
解得x＝50.
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意．
∴x－10＝40.
答：玉箫的单价是50元，玉笛的单价是40元．
(2)设购买玉箫m支，则购买玉笛(30－m)支．
根据题意，得m≥2(30－m)．
解得m≥20.
设学校需花费w元．
根据题意，得w＝50m＋40(30－m)＝10m＋1 200.
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大．
∴当m＝20时，w有最小值， w最小＝10×20＋1 200＝1 400.
答：学校最少需花费1 400元．
类型三　方程(组)与二次函数应用题
3．(2024·遂宁)某酒店有A，B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为 7 200 元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为 3 200 元．
(1)求A，B两种客房每间定价分别是多少元？
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲．当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额w最大，最大营业额为多少元？
解：(1)设A 种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元．
答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为120元．
答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额最大，最大营业额为4 840元．
3.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时， 每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出 2 盒．
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)设猪肉粽每盒售价x元( 50≤x≤65 )，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求 y关于x 的函数解析式及最大利润．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
(2)由题意，得当猪肉粽每盒售 x元时，每天可售[100－2(x－50)]盒(50≤x≤65)．
∴y＝(x－40)·[100－2(x－50)]＝－2x2＋280x－8 000＝－2(x－70)2＋1 800.
∵－2＜0，且50≤x≤65，
∴当x＝65 时，y取最大值，最大值为1 750.
答：y 关于 x 的函数解析式为y＝－2x2＋280x－8 000(50≤x≤65)，最大利润为1 750 元．
类型四　函数应用题
4．(2024·贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数解析式．
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果就向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，则赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
(2)设日销售利润为w元．
根据题意，得w＝(x－10)·y＝(x－10)·(－2x＋80)＝－2x2＋100x－800＝－2(x－25)2＋450.
∴当x＝25时，w有最大值，最大值为450.
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元．
(3)设日销售利润为w′元．
根据题意，得w′＝(x－10－m)·y
＝(x－10－m)·(－2x＋80)
＝－2x2＋(100＋2m)x－800－80m.
4.为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x/天 3 5 6 9 …
硫化物的浓度y/(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 …
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y关于时间x的函数解析式．
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y关于时间x的函数解析式．
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
1．(2024·甘肃)如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6 的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车___完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．
能
2．(2024·云南)A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；若购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．
成本/(元/个) 销售价格/(元/个)
A种型号 35 a
B种型号 42 b(共24张PPT)
第二部分　专题提升
专题四　几何综合
第38讲　形状判定
1．如图，三角形ABC是直角三角形，CD是AB边上的高．
(1)图中相似的三角形有______________________________________
___________________.
(2)三角形对应边成比例，得
CD2＝__________，AC2＝__________，BC2＝_____________.
△ABC∽△CBD，△ABC∽△ACD，
△ACD∽△CBD
AD·BD
AD·AB
BD·AB
C
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.
(1)BC∶AC∶AB＝____________；
(2)CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为___.
6
3．如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB＋∠PBA＝_________.
45°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是(　 　)
A．△ABE的面积＝△BCE的面积
B．∠AFG＝∠AGF
C．BH＝CH
D．∠FAG＝2∠ACF
C
5．如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，P为△ABC内任一点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，PE＋PF＋PD的值是(　 　)
D
6．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D.若EF＝1，则DF的长为(　 　)
A．2 B．2.5
C．3 D．3.5
C
典型考题
如图，已知等边三角形ABC的边长为3 cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，沿边AB，BC向点B和点C运动，且它们的运动速度都是1 cm/s.直线AQ，CP交于点M.
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)在点P，Q分别在边AB，BC上运动的过程中，求
当运动时间为多少秒时，△ACM是等腰三角形；
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠ABQ＝∠CAP＝60°.
∵点P，Q的速度相同，∴BQ＝AP.∴△ABQ≌△CAP(SAS)．
(2)解：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP.
∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°.
∴∠AMC＝120°.
当△ACM是等腰三角形时，有AM＝CM.
∴∠CAM＝∠ACM＝30°.
∴∠BAM＝∠CAM＝30°.
又∠B＝60°，∴∠AQB＝90°.
(3)连接PQ，当点P，Q运动_________s时，△PBQ是直角三角形．
1或2
变式训练
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D是边AB上的动点(点D与点 A，B不重合)，过点D作DE⊥AB交射线AC于点E，连接BE，点F是BE的中点，连接CD，CF，DF.点E在边AC上(点E与点C不重合)．
(1)设AD＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式及x的取值范围；
解：∵∠A＝60°，DE⊥AB，
∴∠AED＝30°.
∴AE＝2AD＝2x.
又AC＝AE＋CE，
即3＝2x＋y，
(2)当BE平分∠ABC时，AD的长为____________；
(3)求证：△CDF是等边三角形．
证明：由题意，得△ECB与△EDB均为直角三角形．
∴∠FCB＝∠CBF，∠FDB＝∠DBF.
∴∠CFE＝2∠CBF，∠DFE＝2∠DBF.
∴∠CFE＋∠DFE＝2(∠CBF＋∠DBF)，
即∠CFD＝2∠CBA．
∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°.
∴∠CFD＝60°.
∴△CDF是等边三角形．
同一个三角形中出现两个垂直条件，由余角定义推出相等的角，与相似三角形相关，对应边成比例，得出双垂直直角三角形定理，有助于求解三角形中对边的长度．
依据特殊角、特殊边，清晰辨认特殊边长的关系，使运算化繁为简，化简为易，巧用模型，以不变应万变．
遇到等腰三角形分类讨论问题，按以下步骤完成：①本题要分类讨论吗？②分类的依据是什么？③怎样进行分类讨论？④归纳总结．
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH.
【问题发现】
(1)如图①，当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是
______________，EH与AD的位置关系是_______________.
EH⊥AD
【猜想论证】
(2)如图②，当点D在边AB上且不是AB的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图②中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
解：(2)结论仍然成立．证明如下：
如图②，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF.
∵DE＝EF，CE⊥DF，
∴CD＝CF.
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°.
∴∠ECF＝∠ECD＝45°.
∴∠ACB＝∠DCF＝90°.
∴∠ACD＝∠BCF.
又CA＝CB，CD＝CF，
∴△ACD≌△BCF(SAS)．
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°.
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°.∴BF⊥AB.
∵DE＝EF，点H为BD的中点，(共22张PPT)
第二部分　专题提升
专题二　函数、方程、不等式综合运用
第33讲　函数与不等式
1．已知自变量或自变量的大小关系，能利用函数图象或函数解析式比较函数值的大小．
2．已知函数值的大小关系，能利用函数图象判断出自变量的取值范围．
1．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则不等式kx＋b＜0的解集是(　 　)
A．x＞2 B．x＜2
C．x≥2 D．x≤2
B
2．如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2的图象相交于点P(m,4)，则关于x的不等式kx＋b＞x＋2的解集是(　 　)
A．x＜4 B．x＞4
C．x＞2 D．x＜2
D
3．若关于x的不等式ax＋b＜0的解集为x＞－1，则下列各点可能在一次函数y＝ax＋b图象上的是(　 　)
A．(4,1) B．(1,4)
C．(－1,4) D．(－4,1)
D
－1＜x＜0或x＞3
1＜x＜4
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确的有(　 　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
C
7．如图，y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数 y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1,5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为(　 　)
A．－1≤x≤9
B．－1≤x＜9
C．－1＜x≤9
D．x≤－1或x≥9
A
典型考题
一次函数y1＝kx＋b和y2＝－4x＋a的图象如图所示，且A(0,4)，C(－2,0)．
(1)由图可知，不等式kx＋b＞0的解集是____________.
(2)若不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1.
①求点B的坐标；
②求a的值．
x＞－2
解：①∵A(0,4)，C(－2,0)在一次函数y1＝kx＋b上，
∴解得
∴y1＝2x＋4.
∵不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1，
∴点B的横坐标是1.
当x＝1时，y1＝2×1＋4＝6.
∴点B的坐标为(1,6)．
②∵点B(1,6)，∴6＝－4×1＋A．解得a＝10.
变式训练
如图，已知抛物线y＝－x2＋2bx＋3的图象与x轴交于A，B两点，点A(－1,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若M(c，m)，N(2，n)是抛物线上的两点，且m
＜n，求c的取值范围；
(3)将直线BC向上平移a个单位，使平移后的直线与
抛物线只有一个交点，求a的值．
解：(1)将点A(－1,0)代入y＝－x2＋2bx＋3，
解得 b＝1.
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.
则顶点坐标为(1,4)．
(2)将N(2，n)代入y＝－x2＋2x＋3，解得 n＝3.
当y＝3时，3＝－x2＋2x＋3.
解得x1＝0，x2＝2.
∵m＜n，∴c＜0或c＞2.
(3)∵y＝－x2＋2x＋3，∴B(3,0)，C(0,3)．
∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋3.设向上平移a个单位长度后的函数解析式为y＝－x＋3＋a．
即x2－3x＋a＝0.
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴Δ＝9－4a＝0.
几何法：利用函数的图象，判断未知数的取值范围(即不等式的解集)，解题的关键是求函数与坐标轴(或两图象)的交点坐标．
代数法：根据函数值的大小关系，把函数解析式转化成不等式，求不等式的解集．
1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(2,6)，B(－3，－4)两点．
(1)设直线AB的解析式为y＝ax＋m.
①求直线AB与抛物线的解析式；
②直接写出不等式ax＋m＜x2＋bx＋c的解集．
(2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线y＝x＋n与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围．
(2)如图.令y＝x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4.
∴M(－4,0)，N(1,0)．
当直线y＝x＋n经过N(1,0)时，可得n＝－1；
当直线y＝x＋n经过M(－4,0)时，可得n＝4.
∴当－1＜n＜4时，恰好有两个公共点．
翻折后在x轴上方的二次函数解析式为y＝－x2－3x＋4.
当直线y＝x＋n与二次函数y＝－x2－3x＋4的图象只有一个交点时，
x＋n＝－x2－3x＋4.
整理，得 x2＋4x＋n－4＝0，则Δ＝16－4(n－4)＝0，解得 n＝8.
∴当n＞8时，恰好有两个公共点．
综上所述，n的取值范围为－1＜n＜4或n＞8.
2.如图，抛物线y＝x2＋bx与直线y＝－x＋2相交于A，B两点，点A在x轴上．
(1)求A，B两点的坐标、抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)已知P(t，m)和Q(4，n)是抛物线上两点，且m＜n，求t的取值范围；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式－x＋2≥x2＋bx的解集．
解：(1)将y＝0代入y＝－x＋2，得－x＋2＝0，解得x＝2.
∴点A的坐标为(2,0)．
将A(2,0)代入y＝x2＋bx，得4＋2b＝0.解得b＝－2.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x.
(2)将(4，n)代入y＝x2－2x，得n＝16－8＝8.
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴(4,8)关于对称轴的对称点为(－2,8)．
∵m＜8，抛物线开口向上，∴t的取值范围为－2＜t＜4.
(3)由图象，可知不等式－x＋2≥x2＋bx的解集为－1≤x≤2.(共33张PPT)
第二部分　专题提升
专题四　几何综合
第37讲　全等证明
1．熟悉并灵活运用三角形全等基本模型．
2．通过在复杂图形中识别模型、图形变换、变式类比等方法提高综合题的解题能力．
1．【公共角模型】如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE＝BD.若∠CBD＝20°，则∠A的度数为(　 　)
A．20°　 B．40°　
C．60°　 D．70°
B
2．【公共边模型】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为(　 　)
A．21 B．24
C．27 D．30
C
3．【手拉手模型】(2025·铜仁模拟)如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若∠EBC＝35°，则∠ECA的度数为(　 　)
A．35° B．25°
C．30° D．45°
B
4.【一线三直角模型】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
(1)如图②，将一块等腰直角三角板ACB放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A的坐标为(0,2)，点C的坐标为(－1,0)，则点B的坐标为___________；
(－3,1)
(2)如图③，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为(0，－1)，点A的坐标为(2,0)，则点B的坐标为___________；
(3)如图④，∠ACB＝90°，AC＝BC，当点C在x轴正半轴上运动，点A(0，a)在y轴的正半轴上运动，点B(m，n)在第四象限时，a，m，n之间的数量关系为_________________.
(－1,1)
a＋m＋n＝0
典型考题
如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，点O是AD的中点，OE⊥BC于点E，CO平分∠BCD.
(1)求证：AB＝EB；
证明：∵AB∥CD，∠DAB＝90°，OE⊥BC，
∴∠ADC＝∠BEO＝∠CEO＝90°.
∵点O是AD的中点，∴AO＝DO.
∵CO平分∠BCD，∴∠ECO＝∠DCO.
又∠CEO＝∠CDO＝90°，CO＝CO，
∴△OCE≌△OCD(AAS)．∴OE＝OD＝OA．
又∠A＝∠BEO＝90°，OB＝OB，
∴△OAB≌△OEB(HL)．∴AB＝EB.
(2)如图②，以AD为直径画⊙O，求证：直线BC与⊙O相切；
图②
(3)若AD＝DC＝1，求BE的长；
解：由(1)，易得∠AOB＝∠BOE，∠COD＝∠COE，∠ODC＝90°，且∠AOB＋∠BOE＋∠COD＋∠COE＝180°，
∴∠AOB＋∠COD＝90°.
∵∠DCO＋∠COD＝90°，
∴∠AOB＝∠DCO.
又∠BAO＝∠ODC＝90°，
(4)如图③，四边形ADCG是边长为1的正方形，求tan∠BCG的值；
图③
解：如图④，连接OE，OB.
由(1)，可知△ABO≌△EBO，
△DCO≌△ECO，
∴BE＝AB＝1，CE＝CD＝2，
∠COE＝∠COD.
又∠BOE＋∠AOB＋∠COE＋∠COD＝180°，
∴∠BOE＋∠COE＝∠BOC＝90°.
∵OE⊥BC，
∴∠BEO＝∠OEC＝90°.
∴∠OCE＋∠COE＝90°.
∴∠BOE＝∠OCE.
∴△BEO∽△OEC．
变式训练
如图①，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P.连接DP并延长交AB于点E.
(1)求证：DE为半圆O的切线；
图①
证明：连接OP，OD，如图①.
∵BC是⊙O的直径，
∴OP＝OC．
∵以点D为圆心、DA为半径作圆弧，
∴PD＝CD.
又OD＝OD，
∴△ODP≌△ODC(SSS)．
∴∠OPD＝∠OCD＝90°.
∵P点在⊙O上，
∴DE为半圆O的切线．
(2)求证：BE＋CD＝ED；
证明：由(1)，可知DE为半圆O的切线．
∵EB为半圆O的切线，
∴由切线长定理，可得EP＝EB.
又DP＝DC，
∴BE＋CD＝EP＋DP＝ED.
(4)如图②，连接AC，与DE交于点I，连接DO，与AC交于点G，若AB＝2，求IG的长．
图②
三角形的全等证明是中考的必考题型．常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长法和截长补短法，目的为构造全等三角形．
(2023·贵州)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．
(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_________°；
(2)【问题探究】
根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
135
解：(1)如图所示．
(2)PA＝PE.理由如下：
过P作PM∥AB交AC于点M，如图．
∴∠MPC＝∠ABC＝45°，∠PMC＝∠BAC＝45°.∴CP＝CM.
∴CA－CM＝CB－CP，即AM＝BP.
∵∠AMP＝180°－∠PMC＝135°，∠PBE＝∠ABE＋∠ABC＝135°，∴∠AMP＝∠PBE.
∵∠APE＝90°，∴∠EPB＝90°－∠APC＝∠PAC．∴△APM≌△PEB(ASA)．∴PA＝PE.

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