资源简介

(共25张PPT)
第三部分　难点突破
难点四　面积问题
类型1　几何图形面积问题
1．能求复杂的几何图形中规则或不规则图形的面积．
2．能用代数式表示图形的面积，并通过代数式解决图形面积的最值问题．
1．找不到求面积的数量关系．
2．不会把不规则图形“转化”成规则图形来求解．
1．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接BE，CE.若△ABC的面积是8，则图中阴影部分的面积为(　 　)
A．4 B．5
C．5.5 D．6
A
2．(2024·重庆A卷)如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为(　 　)
D
3．(2025·成都)如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为
___.
1．【公式法】如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，求△DEF面积的最大值．
解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，则AN⊥DE.
设AN＝A．
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC．
C
3．【割补法】(2022·铜仁)如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是(　 　)
A．9 B．6
C．3 D．12
A
解法一：公式法
利用三角形面积公式，(特殊)平行四边形面积公式，圆、扇形面积公式等．
解法二：和差法
(1)直接和差法：只需用两个或多个常见的几何图形面积进行加减.
图形 转化后的图形 面积计算方法
S阴影＝S△ABC－S扇形CAD
S阴影＝S△AOB－S扇形COD
图形 转化后的图形 面积计算方法
S阴影＝S半圆AB－S△AOB
S阴影＝S扇形BAD－S半圆AB
图形 转化后的图形 面积计算方法
S阴影＝S扇形EAF－S△ADE
S阴影＝S扇形BAB′＋
S半圆AB′－S半圆AB
(2)构造和差法：通过添加辅助线构建图形，学会转化思维.
图形 转化后的图形 面积计算方法
S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD
S阴影＝S△ODC－S扇形DOE
图形 转化后的图形 面积计算方法
S阴影＝S扇形AOB－S△AOB
S阴影＝S扇形AOC＋S△BOC
解法三：割补法
适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件.
图形 转化后的图形 面积计算方法
S阴影＝S正方形EMCN
S阴影＝S矩形ACDF
图形 转化后的图形 面积计算方法
S阴影＝S扇形COD
S阴影＝S△ACD
1．如图①是贵州安顺市获得了“国家卫生城市”这一称号的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示．若∠BAC＝120°，AB的长为45 cm，AD的长为15 cm，则扇面(阴影)的面积为(　 　)
A．375π cm2 B．450π cm2
C．600π cm2 D．750π cm2
C
2．(2025·山东)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是(　 　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
D
3．(2022·遵义)如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(E不与A，B重合)，交CD于点F.以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N.若AB＝1，则图中阴影部分的面积为(　 　)
B
4．(2025·河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，弧AB所在圆的圆心为O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F.若AB＝4，则图中阴影部分的面
积为______________.
5．(2025·广安)已知△ABC的面积是1.
(1)如图①，若D，E分别是边BC和AC的中点，AD与BE相交于点F，
则四边形CDFE的面积为___.
(2)如图②，若M，N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，
AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为___.(共40张PPT)
第三部分　难点突破
难点一　动点问题
类型1　几何背景下的动点问题
1．熟练掌握基本几何图形的性质及其基本元素与性质、性质与性质之间的关系．
2．不仅能看图，更能构图和解图．
3．不仅能审题，更能思考每一个条件增加的意图，并进行针对性破解．
4．打破代数和几何方法的壁垒，能够运用代数方法解决一些几何问题．
5．强化模型意识，能够在复杂背景中快速提取模型并关联相关结论．
1．在复杂图形中只会分散提取相关要素．
2．无法读取或不会使用隐藏条件．
3．计算障碍．
1．(2025·贵州模拟)如图，已知正三角形ABC的边长为1，D是BC边上的一动点(不与端点重合)，过点D作AB边的垂线，交AB边于点G.设AG＝x，Rt△BGD的面积为y，则y关于x的函数图象为(　 　)
A B C D
B
(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状(不必证明)，并直接写出AQ的长(用含t的代数式表示)；
(2)当点E与点C重合时，求t的值．
解：(1)△APQ是等腰三角形，AQ＝t.
(2)当点E与点C重合时，如图所示．
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝QP.
由(1)，得QA＝QP＝t，
∴AE＝2AQ，即2t＝3.
3.(2024·兰州)综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点(不含端点)，且AN＝BM.
【初步尝试】(1)如图①，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明．
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，延长AE交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由．
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图③，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM的最小值．
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC．
∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，
∴DM＝AM，∠AMD＝120°.
∴∠DMB＝60°.∴∠DMB＝∠A．
又AN＝MB，DM＝MA，∴△ANM≌△MBD(SAS)．∴MN＝DB.
(2)解：四边形AFBD为平行四边形．理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.
∵MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，∴MA＝MD，∠DMA＝∠DMB＝90°.
∴∠MAD＝∠MDA＝45°.
∴∠MAD＝∠ABF＝45°.
∴AD∥BF.
在△ANM和△MBD中，
∴△ANM≌△MBD(SAS)．
∴∠AMN＝∠MDB.
∵AE⊥MN，
∴∠AMN＋∠MAE＝90°.
又∠MDB＋∠MBD＝90°，∠AMN＝∠MDB，
∴∠MBD＝∠MAE.
∴DB∥AF.
∴四边形AFBD为平行四边形．
1．(2025·贵州)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点(点E与点B不重合)．
【问题解决】
(1)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC＝_________，线段BP与线段AC的位置关系是___________；
【问题探究】
(2)如图②，在点P运动过程中，当点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°时，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE＝2FG，AB＝5，求AP的长．
30°
BP⊥AC
解：(2)EC＝2BE.理由如下：
如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ，∴BE＝BQ，∠EBQ＝60°，
∠AEB＝∠BQC．∴△BEQ为等边三角形．∴∠BEQ＝60°＝∠BQE，BE＝EQ.
∵点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，∴∠AEB＝150°，∠BEC＝120°.
∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∠AEB＝∠BQC＝150°.∴∠EQC＝150°－60°＝90°.
∴∠ECQ＝90°－60°＝30°.∴EC＝2EQ＝2BE.
(3)①如图，当点P在线段OA上时，记BP与AD交于点H.
∵AH∥BC，∴∠AHB＝∠CBH.
②如图，当点P在线段OC上时，延长AD交BP于点H.
同理，可得∠AHB＝∠PBC，∠BAH＝∠BEG＝120°.
∴△BAH∽△GEB.
【特例感知】
(1)如图①，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是___________，数量关系是_______________.
AD⊥BE
AD＝BE
【类比迁移】
(2)如图②，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
【拓展应用】
(3)在(1)的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图③所示．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y.
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当BF＝2时，请直接写出AD的长度．
解：(2)猜想：BE＝mAD，AD⊥BE.
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE.
几何变换综合题主要考查学生对几何图形的基本性质以及变换的掌握情况，利用动点的运动速度和时间对相关的线段、面积、角度等进行适当表示，继而建立模型，通过函数或几何模型构造方程解决问题．
D
2．(2024·扬州)如图，已知两条平行线l1，l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C，D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD.连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，连接AH，则当∠BAH最大时，
sin∠BAH的值为___.
3．(2025·安顺一模)综合与探究
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，P是直线AC上的一动点，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.
【操作判断】
(1)如图①，当点P与点C重合时，连接BD，根据题意，在图①中画出PD，BD，图中四边形ABDC的形状是_______________.
【问题探究】
(2)当点P与点A，C都不重合时，连接DC，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图②证明你的猜想．
【拓展延伸】
(3)当点P与点A，C都不重合时，若AB＝6，AP＝5，求CD的长．
平行四边形
解：(1)如图①所示．
(2)DC⊥BC．证明如下：如图②，过点P作PE⊥AC交AB于点E，连接ED，则∠APE＝90°.
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°.∴∠BAC＝∠AEP＝45°.∴AP＝EP.
∴∠AED＝∠AEP＋∠PED＝45°＋45°＝90°.
∴∠AED＝∠ABC＝90°.
∴ED∥BC．
∵AB＝BC，∴ED＝BC．∴四边形EBCD是平行四边形．
又∠ABC＝90°，∴四边形EBCD是矩形．∴∠BCD＝90°.∴DC⊥BC．
4.(2024·重庆B卷)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．
(1)如图①，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E.若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD.
(1)证明：∵∠ACB＝90°，BD∥AC，
∴∠CBD＝90°.
∵AE⊥CD，∴∠ACD＋∠CAE＝90°.
∵∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD.
又AC＝CB，∠CBD＝∠ACE＝90°，
∴△ACE≌△CBD(ASA)．∴CE＝BD.
∵点E是BC的中点，∴BC＝2CE＝2BD.∴AC＝BC＝2BD.
(2)证明：如图②，过点G作GH⊥AB于点H，连接HF.
∵BD∥AC，∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG.
∵点F是AD的中点，∴AF＝DF.∴△AGF≌△DBF(AAS)．
∴AG＝DB，GF＝BF.
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°.
∴∠GFH＝∠FBH＋∠FHB＝2∠FBH，
∠GFC＝∠FBC＋∠FCB＝2∠FBC．
∴∠HFC＝∠GFH＋∠GFC＝2∠FBH＋2∠FBC＝2∠ABC＝90°.
∵FM⊥BG，∴∠BFM＝∠GFM＝90°.∴∠HFM＝∠CFN.
设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°－x，∠CGB＝90°－x.
∴∠HMF＝∠BFM＋∠FBM＝135°－x.(共42张PPT)
第三部分　难点突破
难点二　最值问题
类型2　几何最值问题
1．知道几何最值问题中的相关几何性质．
2．应用轨迹法、构图法、寻找隐圆等方法解决几何最值问题．
1．几何最值问题中不能抓准几何特征．
2．几何最值问题中找不到点的运动轨迹．
1．如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是(　 　)
A．① B．②
C．③ D．④
C
2．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到P的距离之和最短？请画出点P的位置．
解：如图，点P即为所求．
3．(1)问题理解：如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，请在图①中画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；
(2)问题运用：如图②，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E，P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．
解：(1)如图①，点P′即为所求．
(2)如图②，过点C作CT⊥AB于点T.
∵AC＝AB，AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分线段BC．
∴AC，AB关于AD对称．
如图②，作点E关于AD的对称点E′，
连接PE′，则PE＝PE′.
4.⊙O的半径是3 cm，P是⊙O内一点，PO＝1 cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是____________，最大距离是____________.
5．⊙O的半径是3 cm，P是⊙O外一点，PO＝5 cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是____________，最大距离是____________.
2 cm
4 cm
2 cm
8 cm
(1)根据以上作图，你能得出什么结论？
(2)若△ABC的面积是6，点P，N分别为BF，AB上的点，求PA＋PN长度的最小值．
解：(1)根据作法描述，所作的是∠ABC的平分线，即BF平分∠ABC．
(2)如图，连接PN，PA，PC，过点C作CQ⊥AB于点Q.
由(1)可知，BF平分∠ABC．
∵AB＝CB，∴BF垂直平分AC．
∴PA＝PC．
∴PA＋PN＝PC＋PN.
∴当P，C，N三点共线，且与AB垂直，即线段CP，PN与线段CQ重合时，
PC＋PN的长度最小，最小值为线段CQ的长．
∴PA＋PN长度的最小值为3.
1.两定点异侧，共线和最小(模型1)
当定点A与定点B在直线l的异侧时，直线l上有一动点P，求作出点P，使得AP＋PB的值最小. L＝AP＋PB ≥ AB，则当A，P，B三点共线时，Lmin＝AB.
依据：①两点之间线段最短；②三角形两边之和大于第三边．
2.寻找隐圆
如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6.点D为平面
内一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为_____________.
可利用圆的定义确定隐圆，也可利用动点对两定点的张角为定角确定隐圆．
定点与圆中各点之间的距离：如果定点是圆外一点，定点与圆心的直线交圆于两点，最大距离为定点与远点的长度，而最小距离则是定点与近点的长度．
3．四点共圆
(2021·贵阳)在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______________________.
1．(2025·铜仁模拟)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是AB的中点，点M，N分别是BC，AC上的动点，则PM＋MN的最小值是_________.
2．如图，圆柱形玻璃杯的高为14 cm，底面周长为16 cm，在杯内离杯底3 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为______cm.
17
3．(2024·广安)如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则 MA＋MD的最小值为_____.
D
5．(1)问题发现：如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c(a＞c)，则AC的最小值为_________，AC的最大值为_______.
(2)轻松尝试：如图②，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB′，连接B′D，则B′D的最小值为___.
a－c
a＋c
8
图⑤
图⑤
图⑥
6.如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求OP＋PA取最小值时点P的坐标；
(3)求AQ＋QP的最小值；
(2)如图①，过点C作直线CM∥x轴，过点B作BM∥y轴，两直线交于点M，连接AM，点P为AM与BC的交点，连接OP.
图①
∵CM∥OB，CO∥MB，∴四边形OBMC为平行四边形．
∵OB＝OC，∠COB＝90°，∴四边形OBMC为正方形．
∴点M，O关于BC对称，点M的坐标为(3,3)．
∵OP＋PA＝PM＋PA，
∴当A，P，M三点共线时，OP＋PA最小．
图①
图①
(3)设点A关于y轴的对称点为A′，如图②，作A′P⊥BC于点P，A′P 交y轴于点Q，则AQ＋QP的最小值为 A′P 的长度．
图②
图②
(4)如图③，在x轴负半轴上取点G，使∠GCO＝30°，作AH⊥CG于点H，交y轴于点Q.
图③
图③
7.(2025·黔东南州一模)阅读材料，并解决问题：
【思维指引】(1)如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3,4,5，求∠APB的度数．
解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，连接P′P，借助旋转的性质可以推导出△PAP′是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝_________°.
等边
150
【知识迁移】(2)如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F分别为BC上的两点且∠EAF＝45°，请判断EF，BE，FC的数量关系，并证明你的结论．
解：(2)EF2＝BE2＋FC2.证明如下：
如图②，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质，得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°.
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′＋∠CAF＝∠BAE＋∠CAF＝∠BAC－∠EAF＝90°－45°＝45°.
∴∠EAF＝∠E′AF.
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.∴∠E′CF＝∠ACB＋∠ACE′＝90°.
由勾股定理，得E′F2＝CE′2＋FC2，即EF2＝BE2＋FC2.
(3)如图③，在△ABC 内部任取一点P，连接AP，BP，CP，将△BPC绕点B顺时针旋转90°得到△BP′C′，由旋转的性质，得PB＝P′B，PC＝P′C′.
如图，过点A作BC′的垂线AD，交C′B的延长线于点D.
∵∠ABC＝30°，
∴∠BAD＝30°.(共27张PPT)
第三部分　难点突破
难点五　阅读理解问题
1．在阅读理解的基础上，进行判断概括或迁移运用，从而解决题目中提出的问题．
2．能将文字情境转化为数学模型，培养阅读理解能力、自学能力、书面表达能力和知识迁移运用能力等．
1．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论．
2．根据文字提供的数学规律或解题方法展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法拓展迁移，建模应用，解决题目中提出的问题．
阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为(x＋m)2＋n的形式，然后由(x＋m)2≥0就可求出多项式x2＋bx＋c的最小值．
例题：求多项式x2－4x＋5的最小值．
解：x2－4x＋5＝x2－4x＋4＋1＝(x－2)2＋1.
∵(x－2)2≥0，∴(x－2)2＋1≥1.
当x＝2时，(x－2)2＋1＝1.因此(x－2)2＋1有最小值，最小值为1，即x2－4x＋5的最小值为1.
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】
已知代数式A＝x2＋10x＋20，则A的最小值为______.
(2)【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是(3a＋2)m，(2a＋5)m，乙菜地的两边长分别是5a m，(a＋5)m，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由．
－5
解：(2)S甲＞S乙．理由如下：
∵S甲＝(3a＋2)(2a＋5)＝6a2＋19a＋10，S乙＝5a(a＋5)＝5a2＋25a，
∴S甲－S乙＝a2－6a＋10＝(a－3)2＋1.
∵(a－3)2≥0，
∴(a－3)2＋1＞0.
∴S甲＞S乙．
(3)【拓展升华】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝10 cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动；同时点N从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终
点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为___时，
△MCN的面积最大，最大面积为___cm2.
(2021·贵阳)(1)阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程．
(2)问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
(3)拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d.已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α(0°＜α＜90°)变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示)．
解：(1)a2＋b2＝c2.证明如下：
如图①是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为(b－a)的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，
∴4S△ADE＋S正方形EFGH＝S正方形ABCD，
(2)由题意，得正方形ACDE被分成4个全等的四边形，设EF＝a，FD＝b.分两种情况：
①a＞b时，a＋b＝12.
如图②，正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E′F′＝EF，KF′＝FD，E′K＝BC＝5.
需要先认真阅读，对文字、符号、图形和式子进行概括、分析，对所提供的材料进行观察、实验、猜想、调整，就其本质进行归纳、加工提炼，然后作出解答．因此如何读懂题以及如何利用题的信息就是解题的关键．
1．(2025·山西)下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务.
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，那么称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
例如：下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB＝CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段．
【问题解决】
问题1：如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，若AC与BD互为双关联线段，则∠ACB＝______°.
问题2：如图②，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD，BE.
求证：线段AD是线段BE的双关联线段．
证明：延长DA交BE于点F.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°.
∵∠BAC＋∠BAE＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∴∠BAE＝∠ACD(依据)．
∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD.∴BE＝AD，∠E＝∠D.
……
任务：(1)问题1中的∠ACB＝______°，问题2中的依据是_______
______________；
(2)补全问题2的证明过程；
30
等角的
补角相等
解：(2)∵∠AFB是△AEF的外角，
∴∠AFB＝∠EAF＋∠E.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD＋∠D.
∵∠EAF＝∠CAD，∠E＝∠D，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°.
又AD＝BE，
∴线段AD与线段BE是双关联线段．
(3)如图，线段CD即为所求(答案不唯一)．
(3)如图，点C在线段AB上，请在图中作线段AB的双关联线段CD(要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可)．
2.阅读下列材料，并完成相应的任务.
方法一：如图①，E是A4纸AD边上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使点A的对应点A′恰好落在BC边上，另一张A4纸BEFG的长边恰好与BE重合．
方法二：如图②，E，N分别是A4纸AD，CD边上一点，先将矩形ABCD沿BE折叠，使点A的对应点A′恰好落在BC边上，再继续沿BN折叠，使点E的对应点E′落在BC边上，点D的对应点为点D′，发现此时点E′与点C重合．
方法三：如图③，E，G是A4纸AD边上的点，将矩形ABCD沿BE折叠，使点A的对应点A′落在BC边上，然后将矩形ABCD展开，再将矩形ABCD沿CG折叠，使点D的对应点D′恰好落在BC边上，然后将矩形 ABCD 展开，折痕BE与CG交于点O.如图④，将如图③的纸片沿BG，CE折叠，发现AB与OB重合，CD与CO重合．
……
(2)证明：∵纸片沿BG，CE折叠，发现AB与OB重合，CD与CO重合，
∴AB＝OB，CD＝CO，∠GOB＝∠A＝90°.
又矩形ABCD中，AB＝CD，
∴OB＝OC．
∵纸片沿BE，CG折叠，点A，D的对应点A′，D′落在BC边上，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°.
∴∠BOC＝90°.
(3)如图⑤，将如图④的纸片沿CE展开，过点O作OM⊥CD于点M，
则DM(DE)的值为___.(共35张PPT)
第三部分　难点突破
难点三　存在性问题
1．特殊三角形(包括等腰三角形、直角三角形、相似三角形等)的存在性问题等．
2．平行四边形、特殊平行四边形的存在性问题．
1．没有找出隐含的条件．
2．分类讨论不够全面．
1．如图，在平面直角坐标系中有A，B两点，则在x轴上是否存在点C，使△ABC是等腰三角形？请写出解答思路．
解：①几何法
画出点C可能存在的所有位置：两圆一线．
两圆：以点A为圆心、AB为半径画圆；以点B为圆心、AB为半径画圆．
一线：线段AB的垂直平分线．
则共有如图五个点．
②代数法
2.如图，在平面直角坐标系中有A，B两点，则在x轴上是否存在点C，使△ABC是直角三角形？请写出解答思路．
解：①几何法
画出点C可能存在的所有位置：两线一圆．
两线：分别以A，B为垂足作线段AB的垂线．
一圆：以AB为直径画圆．
如图，两线一圆上所有的点都能与A，B两点形成直角三角形，则共有如图四个点．
②代数法
3.如图，在平面直角坐标系中有三个点A，B，C，则在坐标平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形？请写出解答思路．
(1)求抛物线C1的表达式．
(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上．
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
则∠DHP＝∠BGD＝90°，BG＝1，DG＝3.
∵∠BDG＋∠PDH＝90°，∠PDH＋∠DPH＝90°，∴∠BDG＝∠DPH.
又∠DGB＝∠PHD＝90°，BD＝DP，∴△DGB≌△PHD(AAS)．
∴DH＝BG＝1，PH＝DG＝3.∴点P(2,2)．
②当∠DBP为直角时，如图，过点B作BP⊥BD且BP＝BD，连接DP，则△BDP为等腰直角三角形．
过点B作GH∥y轴，过点D作DH∥x轴，过点P作PG∥x轴，如图所示．
则∠DHB＝∠PGB＝90°，BH＝1，DH＝3.
同理，可得△BGP≌△DHB(AAS)．
∴BG＝DH＝3，PG＝BH＝1.∴点P(－1,3)．
③当∠BPD为直角时，如图，作等腰直角三角形BDP.
过点P作GH∥x轴，过点B作BH∥y轴，过点D作DG∥y轴，如图所示．
设点P(x，y)．
同理，可得△PHB≌△DGP(AAS)．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在x轴上是否存在点P，使得△ABP的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在直线BC上是否存在点D，使以O，A，B，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)正比例函数y＝x的图象向下平移3个单位长度后的函数表达式为y＝x－3，
把点B(4，m)代入y＝x－3，得m＝4－3＝1.∴B(4,1)．
1.特殊三角形(包括等腰三角形、直角三角形、相似三角形等)的存在性问题：首先挖掘目标三角形外的图形的隐含条件，然后通过转化将其转移到目标三角形中，再结合特殊三角形的边角关系求解即可．
2．函数图象上因动点产生的平行四边形(包括正方形、菱形、矩形等)问题： 解决此类问题可分三步： 找点—求点—定点. 找点可利用尺规作图， 求点需利用等量关系或联立解析式， 定点指依题意确定符合要求的点坐标．
1．(2024·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，
求t的值．
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，
过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否
存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是
菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称，
(2)∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，∴抛物线上点到对称轴的距离越远，函数值越小．
∵－1≤x≤t时，0≤y≤2t－1，
①当t≤1时，则当x＝t时，函数有最大值，即2t－1＝－t2＋2t＋3.
解得t＝－2或t＝2，均不符合题意，舍去．
②当t>1时，则当x＝1时，函数有最大值，即2t－1＝－12＋2＋3＝4.
(3)存在．
当x＝0时，y＝3.∴B(0,3)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋3，把A(3,0)代入，得k＝－1.
∴y＝－x＋3.
设点C(m，－m2＋2m＋3)(0∴CD＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，
∵点E在y轴上，且BE∥CD，∴BE，CD为菱形的边．
可作如下分类讨论：
2.(2025·贵州模拟)图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．
(1)如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为_______________.
(2)受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m，n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD，BC交于点E，F，直线n分别与AB，CD交于点G，H，且m⊥n，若正方形ABCD的边长为8，求四边形OEAG的面积．
AE＝BF
(3)受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2.在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．
解：(2)如图③，连接OA，OB.
∵m⊥n，∴∠EOG＝90°.∴∠AOE＋∠AOG＝∠BOG＋∠AOG，即∠AOE＝∠BOG.∴△AOE≌△BOG(ASA)．
∴S△AOE＝S△BOG.∴S四边形OEAG＝S△AOE＋S△AOG＝S△BOG＋S△AOG＝S△AOB＝16.
(3)存在．分以下三种情况讨论：
①当∠AFP＝90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q.
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠BAD＝∠B＝∠E＝90°.∴四边形ABEQ是矩形．
∴AQ＝BE＝BC＋CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝∠E＝90°.
∴∠EFP＋∠EPF＝90°.
③当∠PAF＝90°时，如图⑥，过点P作AB的平行线交DA的延长线于点M，延长EF，AD交于点N，同①的方法，得四边形ABPM是矩形．∴PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°.
同①的方法，得四边形ABEN是矩形．∴AN＝BE＝8，EN＝AB＝6.∴FN＝EN－EF＝4.
同①的方法，得△AMP∽△FNA．(共19张PPT)
第三部分　难点突破
难点四　面积问题
类型2　函数图象面积问题
1．在平面直角坐标系中，已知三角形顶点的坐标，求三角形的面积．
2．在平面直角坐标系中，已知三角形两个顶点的坐标，第三个顶点在抛物线上，求三角形的面积最大值和此时第三个顶点的坐标．
3．在平面直角坐标系中，已知三角形的面积，求某个顶点的坐标．
1．不会用适当的方法把所求的图形进行转化．
2．图形转化之后不会用代数式表示相关的线段长度．
3．在计算过程中参数太多而导致计算出错．
1. 在平面直角坐标系中，点A(－1,0)，B(1,2)，O(0,0)，则△AOB的面积为___.
2．在平面直角坐标系中，点A(4,0)，B(0,2)，C(3,3)，则△ABC的面积为___.
3. 在平面直角坐标系中，点A(1,3)，B(3,0)，C(5,4)，则△ABC的面积为___.
1
5
7
1.在平面直角坐标系中，求三角形面积的主要方法有：
(2)补全法：如图②，S△ABC＝S四边形ADEC－S△ADB－S△BEC；
图①
图②
(3)割补法：如图③，S△ABC＝S四边形ABCO－S△ACO＝S△AOB＋S△BCO－S△ACO.
关键：把不在坐标轴上的顶点与坐标原点连接得四边形．
图③
2.求面积最值的主要方法有：
(1)利用二次函数的性质求最值：设动点P的横坐标为m，用含m的代数式表示出三角形的面积，利用二次函数的性质求解；
(2)定底平行线法：如图，平移直线AB，使其与抛物线只有一个交点P时，△ABP的面积最大．
20
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－3,0)，B(0，－2)，C(1,0)三点．
(1)求抛物线的解析式；
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c．
把A(－3,0)，B(0，－2)，C(1,0)代入，
(2)如图，若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，四边形AOBM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
3.(2025·黑龙江)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为(3，－4)．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(3，－4)，
∴y＝(x－3)2－4＝x2－6x＋5.
∴b＝－6，c＝5.
(2)存在．如图，在抛物线上取一点P，连接PC，PB，
作PD∥y轴交直线CB于点D.
把y＝0代入y＝x2－6x＋5，
得x2－6x＋5＝0.
解得x1＝1，x2＝5，即AB＝5－1＝4.
把x＝0代入y＝x2－6x＋5，得y＝5，即OC＝5.(共34张PPT)
第三部分　难点突破
难点二　最值问题
类型1　代数最值问题
1．会审题，能根据题意合理表达相关量．
2．能根据题意找到数量关系，建立模型．
3．能在模型下对实际问题进行分类研判，找到最值．
1．在大阅读量的问题情境中无法找到数量关系．
2．建立模型后不会求解最值．
3．不会将数学模型与实际情境进行综合考量和取舍．
(2024·贵阳一模)“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(0(1)直接写出P与x之间的函数关系．
(2)求W与x之间的函数关系式，并求小王第
几天创造的利润最大？最大利润是多少？
①当0②当10≤x≤15时，W＝－20x＋520.
∵－20＜0，∴W随着x的增大而减小，
此时当x＝10时，W有最大值，最大值为W＝320，
∵320<324，∴当x＝8时，W有最大值，最大值为W＝324.
故小王第8天创造的利润最大，最大利润是324元．
(3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，那么该工人当天可获得20元奖金．在生产该批纪念品过程中，小王能获得_________元的奖金．
180
1．在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5 g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x(cm)(0＜x≤60)，记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．
(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象．
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数解析式；
②求y2关于x的函数解析式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而______(填“增大”或“减小”)，y2随x的增大而______(填“增大”或“减小”)，y2的图象可以由y1的图象向___(填“上”“下”“左”或“右”)平移得到．
减小
减小
下
(3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围．
(1)如图①，建立直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明理由；
解：(1)∵当球达到最大高度8 m时，球移动的水平距离为20 m，
∴抛物线的顶点坐标为(20,8)．
能将文字条件准确转化为代数条件，能建立模型并根据不同函数求最值的方法进行求解．
1．已知实数m，n满足m2－mn＋n2＝3，设P＝m2＋mn－n2，则P的最大值为(　 　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C
2．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果(单位：mm)：9.9,10.1,10.0.若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝____________mm时，(a－9.9)2＋(a－10.1)2＋(a－10.0)2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果(单位：mm)：x1，x2，…，xn.若用x作为这条线段
长度的近似值，当x＝_____________________mm时，(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2最小．
10.0
4．(2025·贵阳一模)为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装队参与充电桩铺设，信息如下：
信息一
安装队 每天安装个数(单位：台) 每天安装成本(单位：元)
甲 x＋20 5 000
乙 x 3 000
信息二
(1)求x的值；
(2)某项目要求甲队先单独施工若干天，再由乙队单独继续施工，总工期为20天，且安装总量不少于1 000个，求该项目安装成本的最小值．
甲队完成某区域600个充电桩的安装所需天数，与乙队完成同区域400个充电桩的安装所需天数相等.
答：x的值为40.
(2)设甲队单独施工m天，则乙队单独施工(20－m)天．
由题意，得(40＋20)m＋40(20－m)≥1 000.解得m≥10.
设该项目安装成本为w元，由题意，得w＝5 000m＋3 000(20－m)＝2 000m＋60 000.
∵2 000＞0，∴w随m的增大而增大．
∴当m＝10时，w最小＝2 000×10＋60 000＝80 000.
答：该项目安装成本的最小值为80 000元．
5.(2024·吉林)小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示，输入x的值为－2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6.
(1)直接写出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图②所示．
Ⅰ.当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ.若关于x的方程ax2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在0＜x＜4时无解，求t的取值范围．
Ⅲ.若在函数图象上有点P，Q(P与Q不重合)，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为－m＋1.小明对P，Q两点之间(含P，Q两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化时，直接写出m的取值范围．
解：(1)k＝1，a＝1，b＝－2.
(2)I.由(1)，可得k＝1，a＝1，b＝－2.一次函数解析式为y＝x＋3，二次函数解析式为y＝x2－2x＋3.
∵当x＜0时，y＝x＋3，k＝1＞0，
∴当x＜0时，y随着x的增大而增大．
∵当x≥0时，y＝x2－2x＋3，其对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴当0≤x＜1时，y随着x的增大而减小；当x≥1时，y随着x的增大而增大．
综上所述，x的取值范围为x＜0或x≥1.
Ⅱ.∵关于x的方程ax2＋bx＋3－t＝0在0＜x＜4时无解，
∴关于x的方程ax2＋bx＋3＝t在0＜x＜4时无解．
∴抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点．
∵抛物线y＝x2－2x＋3的对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴当x＝1时，ymin＝2；当x＝4时，y＝16－8＋3＝11.
∴当t＜2或t≥11时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点．
∴当t＜2或t≥11时，关于x的方程ax2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在0＜x＜4时无解．
Ⅲ.m的取值范围是－1≤m≤0或1≤m≤2.(共31张PPT)
第三部分　难点突破
难点一　动点问题
类型2　代数背景下的动点问题
1．熟悉函数及函数图象的基本性质．
2．掌握求坐标、求解析式的基本方法．
3．能思考每一个条件增加的意图，并进行针对性破解．
4．强化模型意识，能够在复杂背景中快速提取模型并关联相关结论．
1．函数信息与图形信息难以兼顾．
2．隐藏条件无法读取或不会使用．
3．计算障碍．
(2024·贵阳二模)如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A，B(1,0)，与y轴交于点C，且OA＝4OB，P为AC上方抛物线上一动点，其横坐标为m.
(1)抛物线的函数解析式为_______________________；
(2)若S△AOP＝6S△BOC，求点P的坐标；
(3)如图②，过点P作PD⊥AC于点D，求PD长的最大值．
(3)如图②，过点P作PF⊥AB于点F，交AC于点E.设直线AC的函数解析式为y＝px＋q.
如图②，过点A作AH⊥y轴于点H，过点B作BF⊥y轴于点F，则四边形ABFH为矩形．
∵AD∥BC∥x轴，∴H，A，D三点共线，F，B，C三点共线．
∴∠HED＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠EBF＝90°.
∴∠HED＝∠FBE.
2.综合与探究
如图，二次函数y＝－x2＋4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标．
(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值．
解：(1)由 y＝－x2＋4x，得当 y＝0 时，－x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝4.
∵点A在x轴正半轴上，∴点A的坐标为(4,0)．
设直线AB的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)．将A，B两点的坐标 (4,0)，(1,3)分别代入 y＝kx＋b，
(2)①∵点P在第一象限内二次函数 y＝－x2＋4x 的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m，∴点P，D的坐标分别为 P(m，－m2＋4m)，D(m，－m＋4)．∴PE＝－m2＋4m，DE＝－m＋4，OE＝m.
∵点C的坐标为(0,4)，∴OC＝4.
②如图③.由①，得OE＝m，PE＝－m2＋4m，DE＝－m＋4.
∵BQ⊥x 轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为(1,3)，∴OQ＝1.
∵点P在直线AB上方，∴EQ＝m－1.
∵PE⊥x 轴于点E，∴∠OQF＝∠OEP＝90°.∴FQ∥PE.
代数背景下的动点问题往往需要对函数的性质有清晰的认识，以及对动点轨迹所对应的函数图象特征或几何特征有准确的把握．数形结合、分类讨论思想是解题的关键．待定系数法、坐标的代数运算等是常用的方法．
(2024·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x2－5x－6＝0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA－AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB－BA运动，P，Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t s(0＜t＜3.6)，△OPQ的面积为S.
(1)求点A的坐标．
(2)求S与t的函数关系式．
解：(1)解方程x2－5x－6＝0，得x1＝6，x2＝－1.
∵OA的长度是x2－5x－6＝0的根，∴OA＝6.
∵△OAB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°.
如图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．

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