资源简介

第 11章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式的解法
1.【2025武汉】若 3 22和 2 3是实数 的两个平方根，且 = ，则关于 的不等式
2 3 ≥ 5 的解集为( )
3 2 12
A. ≥ 9 B. ≤ 9 C. ≥ 8 D. ≤ 8
10 10 11 11
答案：B
解析：∵ 3 22和 2 3是实数 的两个平方根，∴ 3 22 + 2 3 = 0 ，解
得 = 5，∴ 2 3 = 7，∴ = 49 2 ，∴ = = 7. ∵ 3 ≥ 5 ，
3 2 12
∴ 2 7 3 7 ≥ 5 ,解得 ≤ 9 ，故选 B.
3 2 12 10
2【. 2025宜宾】高斯函数[ ]，也称为取整函数，即[ ]表示不超过 的最大整数.例如：[2.3] = 2；
[ 1.5] = 2.下列结论：①[ 3.1] + [1.2] = 3 ；②[ ] + [ ] = 0；③若[ + 1] = 2，
则 的取值范围是 4 < ≤ 3 ；④当 1 ≤ < 1时，[ + 1] + [ + 1] 的值为 0，1，2.
其中正确的结论有____（写出所有正确结论的序号）.
答案：①
解析：[ 3.1] + [1.2] = 4 + 1 = 3，故①正确.∵ [2.5] = 2，[ 2.5] = 3 ，
∴ [2.5] + [ 2.5] = 2 3 = 1;[3] + [ 3] = 0,∴ [ ] + [ ] = 0 不一定成立，故②
错误.若[ + 1] = 2，则 2 ≤ + 1 < 1，∴ 3 ≤ < 2 ，故③错误.当
1 ≤ < 1时，0 ≤ + 1 < 2，0 < + 1 ≤ 2.分类讨论：当 1 ≤ < 0 时，
0 ≤ + 1 < 1，1 < + 1 ≤ 2，则[ + 1] = 0，[ + 1] = 1 或 2，
∴ [ + 1] + [ + 1] = 1或 2；当 0 ≤ < 1时，1 ≤ + 1 < 2，0 < + 1 ≤ 1 ，
则[ + 1] = 1，[ + 1] = 0或 1，∴ [ + 1] + [ + 1] = 1 或 2,
∴ [ + 1] + [ + 1] = 1 或 2，故④错误.综上所述，正确的是①.故答案为①.
3. 2 + = 2 3 ,在方程组 + 2 = 2 + 中，若未知数 ， 满足 + < 0，则 的取值范围是_______.
答案： > 2
2 + = 2 3 ,①
解析： ①+②得 3 + 3 = 4 2 ，∴ + = 4 2 .
+ 2 = 2 + ,② 3
∵ + < 0 ∴ 4 2 ， < 0 ，解得 > 2，故答案为 > 2 ．
3
87/119
第 11章 不等式与不等式组
4.若不等式 3( + 1) 2 ≤ 4( 3) + 1 1的最小整数解是方程 = 5 的解，则 的值为
2
___．
答案：1
解析：3( + 1) 2 ≤ 4( 3) + 1，3 + 3 2 ≤ 4 12 + 1 ，
3 4 ≤ 12 + 1 3 + 2， ≤ 12， ≥ 12 ，则不等式
3( + 1) 2 ≤ 4( 3) + 1 1的最小整数解为 12.把 = 12代入 = 5 中，得
2
1 × 12 = 5，解得 = 1 ，故答案为 1．
2
5.【2025 5西安】若关于 的不等式(2 ) + 5 > 0 的解集是 < ，则关于 的不等式
2
( ) > 1 的解集是______.
3
答案： < 4
3
解析：(2 ) + 5 > 0，(2 ) > + 5 . ∵ 关于 的不等式(2 ) + 5 >
0 < 5 ∴ +5 = 5 2 < 0 ∴ = 5 ∴ ( ) > 1的解集是 ， 且 ， ， 关于 的不等式 可化
2 2 2 4 3
1 > 1为 . ∵ 2 < 0 ，即 2 × 5 < 0，∴ < 0 4 4，∴ < ，故答案为 < .
4 3 4 3 3
6.阅读与理解，若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式
②是一元一次不等式①的覆盖不等式.例如：不等式 > 1的解都是不等式 ≥ 1 的解，则 ≥
1是 > 1 的覆盖不等式.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请你判断：不等式 < 1____不等式 < 3 的覆盖不等式（填“是”或“不是”）；
答案：是
解：不等式 < 1是不等式 < 3 的覆盖不等式.故答案为是.
（2）若关于 的不等式 3 + < 2是 1 3 > 0的覆盖不等式，且 1 3 > 0 也是关于 的
不等式 3 + < 2的覆盖不等式，求 的值；
2 1
解：依题意有 = ，解得 = 1 .
3 3
（3）若 < 2是关于 的不等式 6 > 0的覆盖不等式，试确定 的取值范围.
解：∵ < 2是关于 的不等式 6 > 0的覆盖不等式，∴ < 0，∴ 不等式 6 > 0的
解集为 < 6 ∴ 6， ≤ 2，解得 ≥ 3 .故 的取值范围是 3 ≤ < 0 .

88/119
第 11章 不等式与不等式组
7.核心素养 应用意识，对于不等式 > ( > 0 且 ≠ 1)，当 > 1时， > ；当 0 < < 1
时， < ，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）解关于 的不等式：25 1 > 23 +1 ；
解：根据题意得 5 1 > 3 + 1，解得 > 1 .
（2 1）若关于 的不等式：( ) 1 > ( 1 )5 2，其解集中无正整数解，求 的取值范围；
2 2
( 1解：由 ) 1 > ( 1 )5 2，得 1 < 5 2，∴ ( 5) < 1. ∵ 其解集中无正整数解，∴ ①
2 2
当 5 > 0，即 > 5 1时， < < 0 ,一定没有正整数解，符合题意；②当 5 = 0，即 = 5
5
时，0 < 1 1，不等式无解，不符合题意；③当 5 < 0，即 < 5时， > > 0 ，一定
5
有正整数解，不符合题意.综上所述, > 5 .
（3）若关于 的不等式： > 5 2，当 > 0 且 ≠ 1时，在 2 ≤ ≤ 1 的范围内恒成立，
求 的取值范围.
解：①当 > 1时， > 5 2 ∴ < 2 ， .∵ 在 2 ≤ ≤ 1 的范围使得
4
> 5 2 ∴ 2 恒成立， > 1,解得 < 6 .
4
②当 0 < < 1时， < 5 2 ∴ > 2 ， .∵ 在 2 ≤ ≤ 1 的范围内使
4
> 5 2 ∴ 2 恒成立， < 2，解得 > 10 .
4
综上所述，当 > 1 时， < 6；当 0 < < 1时， > 10 .
89/119第 11章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式的解法
1.【2025武汉】若 3 22和 2 3是实数 的两个平方根，且 = ，则关于 的不等式
2 3 ≥ 5 的解集为( )
3 2 12
A. ≥ 9 B. ≤ 9 C. ≥ 8 D. ≤ 8
10 10 11 11
2【. 2025宜宾】高斯函数[ ]，也称为取整函数，即[ ]表示不超过 的最大整数.例如：[2.3] = 2；
[ 1.5] = 2.下列结论：①[ 3.1] + [1.2] = 3 ；②[ ] + [ ] = 0；③若[ + 1] = 2，
则 的取值范围是 4 < ≤ 3 ；④当 1 ≤ < 1时，[ + 1] + [ + 1] 的值为 0，1，2.
其中正确的结论有____（写出所有正确结论的序号）.
3. 2 + = 2 3 ,在方程组 + 2 = 2 + 中，若未知数 ， 满足 + < 0，则 的取值范围是_______.
4.若不等式 3( + 1) 2 ≤ 4( 3) + 1 1的最小整数解是方程 = 5 的解，则 的值为
2
___．
5.【2025 5西安】若关于 的不等式(2 ) + 5 > 0 的解集是 < ，则关于 的不等式
2
( ) > 1 的解集是______.
3
6.阅读与理解，若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式
②是一元一次不等式①的覆盖不等式.例如：不等式 > 1的解都是不等式 ≥ 1 的解，则 ≥
1是 > 1 的覆盖不等式.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请你判断：不等式 < 1____不等式 < 3 的覆盖不等式（填“是”或“不是”）；
（2）若关于 的不等式 3 + < 2是 1 3 > 0的覆盖不等式，且 1 3 > 0 也是关于 的
不等式 3 + < 2的覆盖不等式，求 的值；
（3）若 < 2是关于 的不等式 6 > 0的覆盖不等式，试确定 的取值范围.
55/77
第 11章 不等式与不等式组
7.核心素养 应用意识，对于不等式 > ( > 0 且 ≠ 1)，当 > 1时， > ；当 0 < < 1
时， < ，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）解关于 的不等式：25 1 > 23 +1 ；
2 1 1（ ）若关于 的不等式：( ) 1 > ( )5 2，其解集中无正整数解，求 的取值范围；
2 2
（3）若关于 的不等式： > 5 2，当 > 0 且 ≠ 1时，在 2 ≤ ≤ 1 的范围内恒成立，
求 的取值范围.
56/77

展开更多......

收起↑