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26.1.2 反比例函数的图象与性质(3)
第26章 反比例函数
学习目标
知识梳理
1、一次函数的定义：
2、反比例函数的定义：
知识梳理
3、求函数解析式的常用方法： .
.
待定系数法
.
.
知识梳理
4、求函数图像交点坐标的基本方法：
联立函数得方程组，方程组的解
交点坐标
知识梳理
5、求三角形面积的常用方法
类型一：有边平行于坐标轴或在坐标轴上
知识梳理
5、求三角形面积的常用方法
类型二：没有边平行于坐标轴或在坐标轴上
方法一：分割法
知识梳理
5、求三角形面积的常用方法
类型二：没有边平行于坐标轴或在坐标轴上
方法二：补形法
A
B
C
A
B
C
D
典例探究
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象相交A（-4,-3），B（2，6）两点，求 △AOB的面积 ；
A．x＞4
B．－4＜x＜0
C．x＜4或0＜x＜4
D．－4＜x＜0或x＞4
1．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数 的图象交于点A（－4，－2），B（4，2），当y1＞y2时，自变量x的取值范围是（ ）
D
类型1　在平面直角坐标系中判断函数图象
2．反比例函数 的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象大致是（ ）
D
3．已知关于x的函数y＝k（x－1）和 （k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A
4．如图，反比例函数 （x＞0）的图象经过格点（网格线的交点）A，作AC⊥x轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直线AB：y＝kx＋b经过格点A，交x轴于点B.记△ABC（不含边界）围成区域W.
①当直线AB经过格点（0，1）时，区域W内的格点坐标是 ；
②若区域W内恰有1个格点，结合函数图象，直接写出正数k的取值范围．
（1 ，1 ）
≤k＜1
类型2　反比例函数与一次函数的交点问题
5．如图，已知正比例函数y＝kx与反比例函数 的图象在第一象限交于点A（2，4）.
（1）求正比例函数与反比例函数的表达式；
（2）平移直线OA，平移后的直线与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于第一象限的点C（4，n）.
①求直线BC的表达式；
②线段BC的长是 ．
解：(1)∵两函数交于点A（2，4），
∴4＝2k，4＝m/2.
∴解得k＝2，m＝8.
∴正比例函数的表达式为y＝2x，
反比例函数的表达式为
B
C
（2）①∵点C（4，n）在反比例函数y＝8/x的图象上，
∴n＝8/4＝2.
∴点C的坐标为（4，2）.
∵AO∥BC，
∴可设直线BC的表达式为y＝2x＋b.
∵点C（4，2）在直线BC上，
∴2＝2×4＋b.
解得b＝－6.
∴直线BC的表达式为y＝2x－6.
B
C
6．如图，已知反比例函数 （k≠0）与一次函数y＝ax＋b相交于点A（n，－1），B（1，3），过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连结CD.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABCD的面积．
解：（1）∵反比例函数 （k≠0）的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3.
∴反比例函数的表达式为 。
类型3　与图形面积有关的综合题
∴AE＝1－（－3）＝4，BE＝3－（－1）＝4，CE＝1，DE＝1.
∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE
＝ AE BE－ CE DE
＝ ×4×4－ ×1×1
＝7.5.
（2）把A（n，－1）代入 ，
得－1＝ ，解得n＝－3，
∴A（－3，－1）.
延长AD，BC交于点E，则∠AEB＝90°，
∵A（－3，－1），B（1，3），∴D（0，－1），C（1，0）
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝－2x－4 的图象与反比例函数 的图象交于点A（1，n），B（m，2）.
（1）求反比例函数关系式及m的值；
（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；
（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式 ＜－2x－4的解集．
解：（1）∵ 一次函数y＝－2x－4的图象过点 A（1，n），B（m，2），
∴ n＝－2－4，2＝－2m－4.
∴ n＝－6，m＝－3.
∴ A（1，－6）.
把A（1，－6）代入 ，得k＝－6，
∴反比例函数关系式为 .
（2）设直线AB与x轴交于N点，易求得N（－2，0），
设M（a，0），a＞0，
∵S△MAB＝S△BMN＋S△AMN，△MAB的面积为16，
∴ （a＋2）×（2＋6）＝16.
解得a＝2.
∴M（2，0）.
（3）x＜－3或0＜x＜1.
M
8．如图，反比例函数 的图象过第二象限内的点A（－2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3.直线y＝ax＋b经过点A，并且经过反比例函数 的图象上另一点C（n， ）.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求直线y＝ax＋b的表达式；
（3）求△AOC的面积；
（4）直接写出不等式ax＋b≥ 的解集
解：（1）∵A点坐标为（－2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，
∴ ×2×m＝3，解得m＝3.
∴A点坐标为（－2，3）.
把A（－2，3）代入 ，得k＝－2×3＝－6，
∴反比例函数的表达式为 .
（2）把C（n， ）代入 ，得 ＝－6， 解得 n＝4，
∴C点坐标为（4， ）.
把A（－2，3），C（4， ）代入y＝ax＋b，得
解得 .
∴直线y＝ax＋b的表达式为y＝ x＋ .
（3）连结OC，
对于y＝ x＋ ，令y＝0，则 x＋ ＝0，解得x＝2，
∴M点的坐标为（2，0）.
∴S△AOC＝S△AOM＋S△COM＝ ×2×3＋ ×2× ＝ .
（4）x≤－2 或 0＜x ≤4 .
9．如图，直线y1＝－x＋4，y2＝ x＋b都与双曲线 （x>0）交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C 两点．
（1）求k的值；
（2）直接写出当x＞0时，不等式 x＋b＞ 的解集；
（3）若点P在x轴上，连结AP，且AP 把△ABC 的面积分成1∶2两部分，求此时点P的坐标．
解：（1）把A（1，m）代入y1＝－x＋4，可得m＝－1＋4＝3，
∴A（1，3）.
把A（1，3）代入双曲线 ，
可得k＝1×3＝3.
（3）∵AP把△ABC的面积分成1∶2两部分，
∴CP＝ BC＝ ，或BP＝ BC＝ .
∴OP＝3－ ＝ ，或OP＝4－ ＝ .
∴P（－ ，0）或（ ，0）.
P1
P2
（3）若点P在x轴上，连结AP，且AP 把△ABC 的面积分成1∶2两部分，求此时点P的坐标．
反思与小结
GOOD HABIT
同学们，加油！

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