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第四章　三角形
第15讲　线段、角、相交线与平行线 (建议用时：25分钟)
1.(2025贵州)下列图中能说明∠1＝∠2一定成立的是(　 　)
A B
C D
2.(2025自贡)如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1＝115°，则∠2的度数为(　 　)
第2题图
A.75°　 　 B.90°　 　
C.100°　 　D.115°
3.(2025陕西)如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1＝52°，则∠2的度数为(　 　)
第3题图
A.76° B.74°
C.64° D.52°
4.(2025福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　 　)
第4题图
A.5° B.15°
C.25° D.35°
　　5.(2025河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝(　 　)
第5题图
A.70° B.100°
C.110° D.130°
6.如图，电子宠物P在☉O上运动，圆心O处设置有一个信号转换器，将宠物P的位置信号沿着垂直于线段OP的方向OQ传送，被信号接收板l接收.若传送距离越近，接收到的信号越强，则当P点运动到图中几号点的位置时，接收到的信号最强(　 　)
第6题图
A.① B.②
C.③ D.④
7. [跨学科·地理]六分仪(如图1)是一种用来测量远方两个目标之间夹角的光学仪器，通常用它测量某一时刻太阳或其他天体与海平线或地平线之间的夹角，以便迅速得知海船或飞机所在位置的经纬度.其原理如图2所示，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC与0°刻度线AE保持平行(即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线M交于点D，六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC＝ω，观测角为∠SDM.已知某一时刻测得ω＝28°，则∠SDM的度数为(　 　)
图1　　图2
第7题图
A.34° B.45°
C.56° D.70°
第16讲　一般三角形及其性质　　 (建议用时：25分钟)
1.(新北师七下P100阅读·欣赏变式)运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是(　 　)
第1题图
A.垂线段最短
B.两点之间，线段最短
C.两点确定一条直线
D.三角形具有稳定性2.(2025广东省卷)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　 　)
第2题图
A.20°　 　B.40°　 　
C.70°　 　D.110°
3.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　 　)
第3题图
A.5 B.6
C.7 D.8
4.(2025平凉校级一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠BAC＝86°，则∠ADE的度数为(　 　)
第4题图
A.47° B.43°
C.50° D.40°
5.(2025资阳)三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是(　 　)
A.12 cm B.24 cm
C.28 cm D.30 cm
6.(新人教八上P17T9变式)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，若∠BDC＝115°，则∠A的度数为(　 　)A.40° B.50°
第6题图
C.60° D.90°　　
7.已知a，b，c是△ABC的三边长，化简｜a＋b－c｜－｜c－a－b｜的结果为(　 　)
A.2a＋2b－2c B.2a＋2b
C.2c D.0
8.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 .
第8题图
9.(2025威海)如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE.下列结论错误的是(　 　)
第9题图
A.S△DEF＝S△BCF B.S△ADE＝S四边形BCED
C.S△DBF＝S△BCF D.S△ADC＝S△AEB
10. [新定义试题](2025天水麦积区一模)在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么称这样的三角形为“亚直角三角形”.根据这个定义，显然α＋β＜90°，则这个三角形的第三个角为180°－(α＋β)＞90°，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形.若△ABC是“亚直角三角形”，且∠A＝110°，则△ABC中最小角的度数为 °.
第17讲　特殊三角形及其性质 (建议用时：25分钟)
1.(2025兰州安宁区二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.若CD＝4，则AB的长为(　 　)
第1题图
A.2 B.4
C.6 D.8
2.(2025兰州城关区三模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(　 　)
第2题图
A.60° B.45°
C.40° D.30°
3.(2025德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝(　 　)
第3题图
A.3 B.2
C.1 D.
　
4.(2025安徽)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是(　 　)
第4题图
A.4 B.6
C.2 D.3
5.(2025资阳)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 .
第5题图
6.(2025成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为 　.
第6题图
7.(2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝ .
第7题图
8. [数学文化]清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，在证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝(BC＋).当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝ .
第8题图
9.(2025龙东地区)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长度为(　 　)
第9题图
A. B.
C.2 D.
第18讲　全等三角形 (建议用时：40分钟)
1.(2025青海省卷)工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是(　 　)
第1题图
A.AAS　　 B.SAS　　
C.SSS　　 D.ASA　
2.(新人教八上P60T12变式)如图，已知△ABC，AB＝8 cm，BC＝6 cm，AC＝5 cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED周长为(　 　)
第2题图
A.7 cm B.9 cm
C.11 cm D.13 cm
3.(新北师七下P118T13变式)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； (2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；以点C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'； (3)过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB. 第3题图
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是(　 　)
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
4.(2025威海)如图，我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是(　 　)
第4题图
A.BO＝DO，AC⊥BD
B.∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C.∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA
D.∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上，BE∥AC，DE交AB于点M.若点M是AB边的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形BCDE的面积等于(　 　)
第5题图
A.12 B.14
C.24 D.48
6.(2025陕西)如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC.求证：BE＝AC.
第6题图
7.(2025广西)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝65°，＝.
第7题图
(1)求证：△BOC≌△DOC；
(2)求∠ABD的度数.
8.(2025遂宁)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.
(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
第8题图
9. [新定义试题]新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”.如图，直线a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，则△ABC的面积为(　 　)
第9题图
A.m2 B.2m2
C.5m2 D.4m2
10.(2025武威凉州区一模)如图，在△ABC中，tanB＝，∠ACB＝60°，AC＝4，D，E分别是AB，BC上的动点，当AD＝BE时，AE＋CD的最小值是(　 　)
第10题图
A.8 B.6
C.2 D.9
第19讲　相似三角形及其应用(含位似) (建议用时：40分钟)
1.(2025定西三模)已知＝，则的值为(　 　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
2.(人教九下P25T1变式)如图，用放大镜将图形放大，应该属于(　 　)
第2题图
A.相似变换 B.平移变换
C.对称变换 D.旋转变换
3.(2025内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，1)，B(1，2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若△OA'B'与△OAB的相似比为2∶1.则点A的对应点A'的坐标为(　 　)
第3题图
A.(－2，－1) B.(－4，－2)
C.(－1，－2) D.(－2，－4)
4.(2025武威凉州区一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，利用圆规在AC上截取CD＝CB，在AB上截取AE＝AD，E就是AB的黄金分割点.若AB＝4，则AE的长为(　 　)
第4题图
A.2 B.2－2
C. D.－2
5.(2025河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(　 　)
第5题图
A.∠B＋∠4＝180° B.CD∥AB
C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠3
6.(北师九上P90T3变式)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BD＝3，AB＝5，则AC的值为(　 　)
第6题图
A.5 B.6
C. D.
7. [新定义试题]我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为(　 　)
第7题图
A.－1 B.－3
C.＋2 D.
8.(2025广州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若＝，则＝ 　.
第8题图
9. [数学文化]《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边互相垂直的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，则树高PQ＝ m.
第9题图
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转后得到△EDC，连接AE，BD相交于点F，则∠BFE的度数为 .
第10题图
11.(2025武威一模)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且∠ADE＝∠B－∠A.
第11题图
(1)求证：△CDE∽△ACB；
(2)若DA＝，EA＝1时，求CE的长.
12.(2025眉山)如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为 .
第12题图
13.(2025陕西)如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的☉O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为☉O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°.
(1)求证：AB＝AC；(2)若sinA＝，AB＝8，求DG的长.
第13题图
第20讲　解直角三角形及其实际应用 (建议用时：40分钟)
1.(2025定西安定区一模)如图，在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则∠A的正弦值是(　 　)
第1题图
A.　 　B.　 　
C.　 　 D.　　
2.(北师九下P25T12变式)如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔P 45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行60海里到达B处，此时与灯塔P的距离为(　 　)
第2题图
A.27海里 B.50海里
C.75海里 D.15海里
3.(2025陇南一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE的长为(　 　)
第3题图
A.4 B.
C. D.
4.(2025绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是 .
第4题图
5. [地方特色](2025定西临洮县二模)甘州木塔建于隋开皇二年(公元582年)，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一(如图1).某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，木塔OA垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角∠ADF，∠AEF的度数(O，C，B在同一条直线上；A，B，C，D，E，F，O均在同一平面内)，再测得B，C两点之间的距离.
数据收集：测角仪BD＝CE＝1.5 m，测得BC＝29.7 m，∠ADF＝34.6°，∠AEF＝63.4°.问题解决：求甘州木塔OA的高度.(结果精确到0.1m.参考数据：sin34.6°≈0.57，cos34.6°≈0.82，tan34.6°≈0.69，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00)
图1　图2
第5题图
6. [现代科技] (2025天水甘谷县一模)大数据时代的降临带来了大量爆炸性的知识增长，其中很大一部分被转化为实用技术推入商用，激光电视就是近几年发展相当迅猛的一支.激光电视最值得一提的是对消费者眼睛的保护.根据THX，ISF观影标准，水平视角33°～40°时，双眼处于肌肉放松状态，是享受震撼感官体验的客厅黄金观影位.如图，小智家决定换一台激光电视，他家客厅的观影距离(人坐在沙发A处眼睛到屏幕正中间的距离)为3.5 m，小智家要选择电视屏幕宽(BC的长)在什么范围内的激光电视就能享受黄金观影体验？(结果精确到0.1 m.参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，cos16.5°≈0.96，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)
第6题图
7. [中华优秀文化] (2025青海省卷)
数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65°.
环节二：数学抽象如图，已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB＝CD＝1.8 m，BE＝DF＝0.3 m，∠AEF＝∠CFE＝65°，EF＝0.6 m，求OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
【模型求解】【问题总结】交叉点O距顶端A的长度即OA为 m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律.
第7题图
8.(2025湖南省卷)如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB.在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合)，且直线MN⊥l.
(1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
(2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧)，若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？(结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04)
图1　图2
第8题图
9.(2025贵州)某小区在设计时，计划在如图1的住宅楼正前方建一栋文体活动中心.设计示意图如图2所示，已知BD＝28 m，CD＝21 m，该地冬至正午太阳高度角α为35°.如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务.
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离(活动中心高度不变)，求该活动中心移动了多少米？(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.结果保留小数点后一位)
图1　图2
第9题图第四章　三角形
第15讲　线段、角、相交线与平行线 (建议用时：25分钟)
1.(2025贵州)下列图中能说明∠1＝∠2一定成立的是(　A　)
A B
C D
2.(2025自贡)如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1＝115°，则∠2的度数为(　D　)
第2题图
A.75°　 　 B.90°　 　
C.100°　 　D.115°
3.(2025陕西)如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1＝52°，则∠2的度数为(　A　)
第3题图
A.76° B.74°
C.64° D.52°
4.(2025福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　B　)
第4题图
A.5° B.15°
C.25° D.35°
　　5.(2025河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝(　C　)
第5题图
A.70° B.100°
C.110° D.130°
6.如图，电子宠物P在☉O上运动，圆心O处设置有一个信号转换器，将宠物P的位置信号沿着垂直于线段OP的方向OQ传送，被信号接收板l接收.若传送距离越近，接收到的信号越强，则当P点运动到图中几号点的位置时，接收到的信号最强(　A　)
第6题图
A.① B.②
C.③ D.④
7. [跨学科·地理]六分仪(如图1)是一种用来测量远方两个目标之间夹角的光学仪器，通常用它测量某一时刻太阳或其他天体与海平线或地平线之间的夹角，以便迅速得知海船或飞机所在位置的经纬度.其原理如图2所示，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC与0°刻度线AE保持平行(即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线M交于点D，六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC＝ω，观测角为∠SDM.已知某一时刻测得ω＝28°，则∠SDM的度数为(　C　)
图1　　图2
第7题图
A.34° B.45°
C.56° D.70°
第16讲　一般三角形及其性质　　 (建议用时：25分钟)
1.(新北师七下P100阅读·欣赏变式)运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是(　D　)
第1题图
A.垂线段最短
B.两点之间，线段最短
C.两点确定一条直线
D.三角形具有稳定性2.(2025广东省卷)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　C　)
第2题图
A.20°　 　B.40°　 　
C.70°　 　D.110°
3.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　C　)
第3题图
A.5 B.6
C.7 D.8
4.(2025平凉校级一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠BAC＝86°，则∠ADE的度数为(　A　)
第4题图
A.47° B.43°
C.50° D.40°
5.(2025资阳)三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是(　B　)
A.12 cm B.24 cm
C.28 cm D.30 cm
6.(新人教八上P17T9变式)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，若∠BDC＝115°，则∠A的度数为(　B　)A.40° B.50°
第6题图
C.60° D.90°　　
7.已知a，b，c是△ABC的三边长，化简｜a＋b－c｜－｜c－a－b｜的结果为(　D　)
A.2a＋2b－2c B.2a＋2b
C.2c D.0
8.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为　4　.
第8题图
9.(2025威海)如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE.下列结论错误的是(　B　)
第9题图
A.S△DEF＝S△BCF B.S△ADE＝S四边形BCED
C.S△DBF＝S△BCF D.S△ADC＝S△AEB
10. [新定义试题](2025天水麦积区一模)在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么称这样的三角形为“亚直角三角形”.根据这个定义，显然α＋β＜90°，则这个三角形的第三个角为180°－(α＋β)＞90°，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形.若△ABC是“亚直角三角形”，且∠A＝110°，则△ABC中最小角的度数为　20　°.
第17讲　特殊三角形及其性质 (建议用时：25分钟)
1.(2025兰州安宁区二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.若CD＝4，则AB的长为(　D　)
第1题图
A.2 B.4
C.6 D.8
2.(2025兰州城关区三模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(　B　)
第2题图
A.60° B.45°
C.40° D.30°
3.(2025德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝(　B　)
第3题图
A.3 B.2
C.1 D.
　
4.(2025安徽)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是(　B　)
第4题图
A.4 B.6
C.2 D.3
5.(2025资阳)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是　∠BCE＝∠B　.
第5题图
6.(2025成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为　.
第6题图
7.(2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝　－1　.
第7题图
8. [数学文化]清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，在证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝(BC＋).当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　1　.
第8题图
9.(2025龙东地区)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长度为(　A　)
第9题图
A. B.
C.2 D.
第18讲　全等三角形 (建议用时：40分钟)
1.(2025青海省卷)工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是(　C　)
第1题图
A.AAS　　 B.SAS　　
C.SSS　　 D.ASA　
2.(新人教八上P60T12变式)如图，已知△ABC，AB＝8 cm，BC＝6 cm，AC＝5 cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED周长为(　A　)
第2题图
A.7 cm B.9 cm
C.11 cm D.13 cm
3.(新北师七下P118T13变式)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； (2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；以点C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'； (3)过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB. 第3题图
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是(　A　)
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
4.(2025威海)如图，我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是(　D　)
第4题图
A.BO＝DO，AC⊥BD
B.∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C.∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA
D.∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上，BE∥AC，DE交AB于点M.若点M是AB边的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形BCDE的面积等于(　C　)
第5题图
A.12 B.14
C.24 D.48
6.(2025陕西)如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC.求证：BE＝AC.
第6题图
证明：∵D是BC延长线上一点，DE∥AB，
∴∠D＝∠ABC.
在△BDE和△ABC中，，
∴△BDE≌△ABC(SAS)，
∴BE＝AC.
7.(2025广西)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝65°，＝.
第7题图
(1)求证：△BOC≌△DOC；
(2)求∠ABD的度数.
(1)证明：∵＝，
∴∠BOC＝∠DOC.
∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△BOC≌△DOC(SAS).
(2)解：∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB＝65°，
∴∠COB＝180°－∠ABC－∠OCB＝50°，
∴∠DOC＝∠BOC＝50°，
∴∠AOD＝180°－∠DOC－∠BOC＝80°，
∴∠ABD＝∠AOD＝40°.
8.(2025遂宁)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.
(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
第8题图
(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE.
∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF＝∠DCE＝90°.
∵BE＝EF＝FD，
∴BE＋EF＝FD＋EF，
即BF＝DE.
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)解：四边形AECF是菱形.理由如下：
如解图，∵∠ABD＝30°，AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD＝30°.
∵BE＝EF，∠BAF＝90°，
∴AE是Rt△ABF斜边BF上的中线，
∴AE＝BF.
在Rt△ABF中，∠ABD＝30°，
∴AF＝BF，
∴AE＝AF＝BF.
同理可得，CE＝CF＝DE.
∵BF＝DE，
∴AE＝AF＝CE＝CF.
又∵∠EAF≠90°，∴四边形AECF是菱形.
第8题解图
9. [新定义试题]新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”.如图，直线a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，则△ABC的面积为(　A　)
第9题图
A.m2 B.2m2
C.5m2 D.4m2
10.(2025武威凉州区一模)如图，在△ABC中，tanB＝，∠ACB＝60°，AC＝4，D，E分别是AB，BC上的动点，当AD＝BE时，AE＋CD的最小值是(　C　)
第10题图
A.8 B.6
C.2 D.9
第19讲　相似三角形及其应用(含位似) (建议用时：40分钟)
1.(2025定西三模)已知＝，则的值为(　B　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
2.(人教九下P25T1变式)如图，用放大镜将图形放大，应该属于(　A　)
第2题图
A.相似变换 B.平移变换
C.对称变换 D.旋转变换
3.(2025内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，1)，B(1，2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若△OA'B'与△OAB的相似比为2∶1.则点A的对应点A'的坐标为(　B　)
第3题图
A.(－2，－1) B.(－4，－2)
C.(－1，－2) D.(－2，－4)
4.(2025武威凉州区一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，利用圆规在AC上截取CD＝CB，在AB上截取AE＝AD，E就是AB的黄金分割点.若AB＝4，则AE的长为(　B　)
第4题图
A.2 B.2－2
C. D.－2
5.(2025河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(　D　)
第5题图
A.∠B＋∠4＝180° B.CD∥AB
C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠3
6.(北师九上P90T3变式)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BD＝3，AB＝5，则AC的值为(　C　)
第6题图
A.5 B.6
C. D.
7. [新定义试题]我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为(　A　)
第7题图
A.－1 B.－3
C.＋2 D.
8.(2025广州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若＝，则＝　.
第8题图
9. [数学文化]《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边互相垂直的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，则树高PQ＝　6　m.
第9题图
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转后得到△EDC，连接AE，BD相交于点F，则∠BFE的度数为　135°　.
第10题图
11.(2025武威一模)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且∠ADE＝∠B－∠A.
第11题图
(1)求证：△CDE∽△ACB；
(2)若DA＝，EA＝1时，求CE的长.
(1)证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠DCA＝∠A.
在△ADE中，∠DEC＝∠A＋∠ADE，
∵∠ADE＝∠B－∠A，即∠B＝∠A＋∠ADE，
∴∠DEC＝∠B，∴△CDE∽△ACB.
(2)解：∵DC＝DB＝DA＝，∴AB＝2.
∵△CDE∽△ACB，∴＝，
即＝，解得CE＝3，CE＝－4(舍去)，
∴CE的长为3.
12.(2025眉山)如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为　(－，0)　.
第12题图
13.(2025陕西)如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的☉O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为☉O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°.
(1)求证：AB＝AC；(2)若sinA＝，AB＝8，求DG的长.
第13题图
第13题解图
(1)证明：如解图，连接OD，∵∠F＝45°，
∴∠DOE＝2∠F＝90°.
∵☉O与AB相切于点D，∴AB⊥OD，
∴∠ODA＝∠DOE＝90°，∴AB∥OE.
∴∠B＝∠OEC，
∵OC＝OE，∴∠B＝∠OEC＝∠C，
∴AB＝AC.
(2)解：∵＝sinA＝，∴OA＝OD.
∵OF＝OC＝OD，OA＋OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°，∴OD＋OD＝8，∴OF＝OD＝3，
∴OA＝×3＝5，DF＝OF＝3，
∴AD＝＝＝4.
∵AD∥OF，∴△AGD∽△OGF，
∴＝＝，
∴DG＝DF＝DF＝×3＝，
∴DG的长为.
第20讲　解直角三角形及其实际应用 (建议用时：40分钟)
1.(2025定西安定区一模)如图，在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则∠A的正弦值是(　A　)
第1题图
A.　 　B.　 　
C.　 　 D.　　
2.(北师九下P25T12变式)如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔P 45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行60海里到达B处，此时与灯塔P的距离为(　C　)
第2题图
A.27海里 B.50海里
C.75海里 D.15海里
3.(2025陇南一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE的长为(　C　)
第3题图
A.4 B.
C. D.
4.(2025绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是　15 m　.
第4题图
5. [地方特色](2025定西临洮县二模)甘州木塔建于隋开皇二年(公元582年)，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一(如图1).某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，木塔OA垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角∠ADF，∠AEF的度数(O，C，B在同一条直线上；A，B，C，D，E，F，O均在同一平面内)，再测得B，C两点之间的距离.
数据收集：测角仪BD＝CE＝1.5 m，测得BC＝29.7 m，∠ADF＝34.6°，∠AEF＝63.4°.问题解决：求甘州木塔OA的高度.(结果精确到0.1m.参考数据：sin34.6°≈0.57，cos34.6°≈0.82，tan34.6°≈0.69，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00)
图1　图2
第5题图
解：由题意，得DB＝CE＝OF＝1.5 m，
DE＝BC＝29.7 m，
设EF＝x m，∴DF＝DE＋EF＝(29.7＋x) m.
在Rt△AEF中，∠AEF＝63.4°，
∴AF＝EF·tan63.4°≈2x(m).
在Rt△ADF中，∠ADF＝34.6°，
∴AF＝DF·tan34.6°≈0.69(x＋29.7) m，
∴2x＝0.69(x＋29.7)，
解得x≈15.64，
∴AF＝2x＝31.28(m)，
∴AO＝AF＋OF＝31.28＋1.5≈32.8(m).
答：甘州木塔OA的高度约为32.8 m.
6. [现代科技] (2025天水甘谷县一模)大数据时代的降临带来了大量爆炸性的知识增长，其中很大一部分被转化为实用技术推入商用，激光电视就是近几年发展相当迅猛的一支.激光电视最值得一提的是对消费者眼睛的保护.根据THX，ISF观影标准，水平视角33°～40°时，双眼处于肌肉放松状态，是享受震撼感官体验的客厅黄金观影位.如图，小智家决定换一台激光电视，他家客厅的观影距离(人坐在沙发A处眼睛到屏幕正中间的距离)为3.5 m，小智家要选择电视屏幕宽(BC的长)在什么范围内的激光电视就能享受黄金观影体验？(结果精确到0.1 m.参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，cos16.5°≈0.96，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)
第6题图
第6题解图
解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.
当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠BAC＝16.5°，
在Rt△ABD中，AD＝3.5 m，
∴BD＝AD·tan16.5°≈3.5×0.3＝1.05(m)，
∴BC＝2BD＝2.1(m).
当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠BAC＝20°，
在Rt△ABD中，AD＝3.5 m，
∴BD＝AD·tan20°≈3.5×0.36＝1.26(m)，
∴BC＝2BD≈2.5(m).
答：小智家要选择电视屏幕宽约为2.1 m～2.5 m的激光电视就能享受黄金观影体验.
7. [中华优秀文化] (2025青海省卷)
数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65°.
环节二：数学抽象如图，已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB＝CD＝1.8 m，BE＝DF＝0.3 m，∠AEF＝∠CFE＝65°，EF＝0.6 m，求OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
【模型求解】【问题总结】交叉点O距顶端A的长度即OA为　0.8　m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律.
第7题图
解：【模型建立】如图，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
∵∠AEF＝∠CFE＝65°，
∴OE＝OF.
∵EF＝0.6 m，
∴EH＝EF＝0.3(m).
∵在Rt△OEH中，∠OHE＝90°，∠OEF＝65°，
∴OE＝＝≈≈0.7(m).
∴OE的长约为0.7 m.
【问题总结】0.8.
8.(2025湖南省卷)如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB.在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合)，且直线MN⊥l.
(1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
(2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧)，若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？(结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04)
图1　图2
第8题图
解：(1)由题可知，在Rt△AGM中，AM＝13分米，MG＝12分米，AG⊥GM，四边形MGBN为矩形，∴AG＝＝5(分米).
∵AB＝19分米，
∴BG＝AB－AG＝19－5＝14(分米)，
∴MN＝BG＝14分米，
答：该连衣裙MN的长度为14分米.
(2)如图2，过点M作MK⊥AB于点K，则∠AKM＝90°.
在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°，
∴AK＝AM·cos76.1°≈13×0.24＝3.12(分米).
过点N作NP⊥AB于点P，作NQ⊥l于点Q，
则四边形MKPN，四边形BQNP均为矩形，
∴PK＝MN＝14分米，NQ＝BP.
∵AB＝19分米，
∴BK＝AB－AK＝19－3.12＝15.88(分米)，
∴NQ＝BP＝BK－PK＝15.88－14＝1.88≈2(分米).
答：该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米.
9.(2025贵州)某小区在设计时，计划在如图1的住宅楼正前方建一栋文体活动中心.设计示意图如图2所示，已知BD＝28 m，CD＝21 m，该地冬至正午太阳高度角α为35°.如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务.
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离(活动中心高度不变)，求该活动中心移动了多少米？(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.结果保留小数点后一位)
图1　图2
第9题图
解：任务一：如解图，过点A作AE⊥CD于点E，
结合题意，得四边形AEDB为矩形，∠AEC＝90°，
∵BD＝28 m，CD＝21 m，
∴AE＝BD＝28 m，AB＝DE.
在Rt△ACE中，CE＝AE·tan35°≈28×0.7＝19.6(m)，
∴AB＝DE＝CD－CE＝21－19.6＝1.4(m).
任务二：如解图，过点B作AC的平行线，过点C作BD的平行线，两线交于点Q，过点Q作QK⊥BD于点K，
∴∠QBK＝∠CAE＝35°，四边形CDKQ为矩形，
∴QK＝CD＝21 m，
在Rt△BKQ中，BK＝＝≈＝30(m)，
∴DK＝BK－BD＝30－28＝2(m).答：该活动中心大约移动了2米.
第9题解图

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