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(共33张PPT)
第九章 立体几何
第六节 空间直线与平面的位置
职教高考一轮复习
考点 考点解读 山东省近6年春季高考统计
2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年
直线与平面的位置关系 ①理解直线与平面的位置关系②掌握直线与平面平行、垂直关系的判定与性质③理解点到平面的距离、直线到平面的距离并会解决相关的距离问题④理解直线与平面所成角，并会解决相关的简单问题 (29) (20) (27) (14) (20) (25)
直击高考
点到线
距离
线面角
线面平行
线面平行
垂直
线面平行
线面角
本节考查直线与平面位置关系的性质及判定特别是线面平行垂直的证明是近几年考试热点，故复习时注意加强证明题目的训练，提升逻辑分析能力．
知识梳理
1．直线与平面的位置关系
位置关系 公共点个数 符号表示 图形表示
直线在平面内 无数个 a α
直线与平面相交 有且只有一个 a∩α＝A
直线与平面平行 无交点 a∥α
　　【注】　直线与平面相交或平行统称为直线在平面外，符号记作a α.
2．空间直线与平面平行
位置关系 内容 图形表示 符号表示
直线与平面平行 定义 若一条直线与平面无公共点，则称该直线与平面平行 a∥α
直线与平面平行 判定 定理 若平面外一条直线 与平面内一条直线______，则该直线与平面平行
a∥α
平行
直线与平面平行 性质 定理 若一条直线与一平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，则这条直线与两平面的交线平行
l∥m
3．空间直线与平面垂直
位置关系 内容 图形表示 符号表示
直线与平面垂直 定义 若一条直线与一个平面内①________一条直线都垂直，则此直线与该平面垂直 a⊥α，垂足为A
任意
直线与平面垂直 判定 定理 若一条直线与一个平面内两条②________直线垂直，则此直线垂直于该平面 l⊥α
相交
位置关系 内容 图形表示 符号表示
直线与平面垂直 推论 若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于该平面 b⊥α
直线与平面垂直 性质 定理 若两条直线都③________于同一个平面，则这两条直线平行 a∥b
垂直
位置关系 内容 图形表示 符号表示
直线与平面垂直 点到 平面 的距 离 过平面外一点作一条与该平面垂直的直线，则该点与垂足之间的线段长度即为该点到平面的距离 d=|AB|
直线与平面垂直 直线 到平 面的 距离 若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到这个平面的距离都④________，即为直线到平面的距离 —
相等
点到面垂线段长
4．直线与平面所成的角
(1)平面的斜线
若直线与平面相交但不垂直，则称这条直线是该平面的一条斜线．斜线和平面的交点称为________，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO称为__________________________，
斜足
斜线AP在这个平面上的射影
(2)直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面上的________所成的角称为这条直线与这个平面所成的角．若直线与平面垂直，则所成的角为直角；若直线与平面平行或直线在平面内，则所成的角为零角．直线与平面所成角的范围是________．
射影
注意会在直角三角形中求解斜线和平面所成角
典例分析
【知识要点1】直线与平面的位置关系
【例1】　设α表示平面，a，b表示直线．有下列四个命题：
【解析】本题考查直线与平面平行、垂直的判定定理及性质推论．解题关键在于熟记定理推论等相关内容．
其中，正确命题的序号是(　　)
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
A
(2)有下列六个命题：①平行于同一平面的两条直线平行；
②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则此直线垂直于该平面；
③垂直于同一平面的两条直线平行；④若一个平面经过两条平行直线中的一条，则另一条直线与该平面平行；⑤若平面外有两点到已知平面的距离相等，则过此两点的直线与该平面平行；⑥两条平行直线与同一平面所成的角相等．
其中，正确命题的序号是(　　)
A．①②③④ B．②③⑥ C．③⑥ D．④⑤⑥
【举一反三1】 (1)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．m∥n，m⊥α n⊥α B．α∥β，m α，n β m∥n
C．m⊥α，m⊥n n∥α D．m α，n α，m∥β n∥β
A
C
【知识要点2】直线与平面平行的判定
【例2】　在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
Q为PC的中点．求证：PA∥平面BDQ.
【答案】连接AC，与BD交于点O，连接OQ(图略)，则点O为AC的中点．
又∵在△PAC中，点Q为PC的中点，
∴OQ∥PA，
又∵OQ 平面BDQ，PA 平面BDQ，∴PA∥平面BDQ.
【举一反三2】 已知正四棱锥S－ABCD，
M，N分别是侧棱SA，SC的中点，求证：MN∥平面ABCD.
证明：连接AC(图略)，在△SAC中，
∵M，N分别为SA，SC的中点，∴MN∥AC.
∵MN 面ABCD，AC 面ABCD，∴MN∥面ABCD.
【知识要点3】 直线与平面平行的性质
【例3】已知平面α外的两条直线m，n，且m∥n，若m∥α，求证：n∥α.
【答案】　过直线m作与平面α相交的平面β.
设α∩β＝l，又∵m∥α，m β，∴m∥l.
又∵m∥n，∴n∥l.
又∵l α，n α，∴n∥α.
【举一反三3】在四棱锥P－ABCD中，已知BC∥平面PAD，求证：AD∥平面PBC.
证明： 面PAD∩面ABCD＝AD，且BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，
BC∥AD.
又 BC 平面PBC，AD 平面PBC，
AD∥平面PBC.
【知识要点4】直线与平面垂直的判定
【例4】　在四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ .
求证：AO⊥平面BCD.
【答案】　连接OC.
∵AB＝AD，O为BD的中点，
∴AO⊥BD.∵AD＝ ，OD＝1，∴AO＝1.
∵CB＝CD＝BD＝2，∴OC＝ ，
又∵CA＝2，∴CA2＝OA2＋OC2，
∴AO⊥OC，∵BD∩OC＝O，BD，OC均在平面BCD内，
∴AO⊥平面BCD.
【举一反三4】 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
求证：DE⊥平面PBC.
证明：∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥BC.
又∵CD⊥BC，PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PCD，
∵DE 平面PCD，
∴DE⊥BC.
∵PD＝DC，E为PC中点，
∴DE⊥PC，
又∵PC∩BC＝C，
∴DE⊥平面PBC.
A
P
B
C
D
E
【举一反三4】 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
求证：DE⊥平面PBC.
【知识要点5】 直线与平面所成的角
【例5】　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是棱AB，A1C1的中点，求DE与平面ABC所成角的正切值．
【解析】　取BC的中点F，连接C1F，DF.
∵DF是△ABC的中位线，∴DF∥AC，且DF＝ AC.
∵EC1∥AC，且EC1＝ AC，∴DF∥EC1，且DF＝EC1，
∴四边形DFC1E是平行四边形，故DE∥C1F.
∴DE与平面ABC所成的角就是C1F与平面ABC所成的角，即∠C1FC.
在Rt△C1CF中，FC＝ CC1，∴tan ∠C1FC＝ ＝2.
即DE与平面ABC所成角的正切值是2.
【举一反三5】 如图9－6－10所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，EC⊥平面ABC，AC＝3，BC＝4，EC＝1，
D为AB的中点，求ED与平面ABC所成角的正切值．
解：连接CD，
∵EC⊥平面ABC，
∴CD为ED在平面ABC内的射影，
则∠EDC即为ED与平面ABC所成的角．
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
则AB＝5，∴CD＝ .
在Rt△ECD中，tan ∠EDC＝ ＝ ＝ ，
即ED与平面ABC所成角的正切值为 .
一、选择题
1．已知α表示平面，l，m，n表示直线，则下列结论正确的是(　　)
A．若l⊥n，m⊥n，则l∥m B．若l⊥n，m⊥n，则l⊥m
C．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l⊥α，m∥α，则l⊥m
D
随堂检测
2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若l⊥m，m α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥m，m∥α，则l∥α D．若l∥α，m α，则l∥m
B
3．在空间中，下列命题正确的是(　　)
A．若a∥α，b∥α，则b∥a B．若a∥α，b∥α，a β，b β，则β∥α
C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a α，则a∥β
D
4．有下列四个命题：
①若两条直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线平行；
②若一条直线与已知平面平行，则此直线平行于该平面内无数条直线；
③若一条直线与已知平面内的无数条直线不相交，则此直线与该平面平行；
④若一条直线与已知平面内的任意直线不相交，则此直线与该平面平行．
其中，正确命题的序号是(　　)
A．①② B．①②③ C．②③④ D．②④
D
间接法判定线面平行
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列命题中错误的是(　　)
A．AD∥平面D1BC B．D1C与平面ABCD所成的角为45°
C．A1C1与BD所成的角为45° D．AC与BC1所成的角为60°
C
二、填空题
6．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是面AA1D1D的中心，
点Q是B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，
则线段PQ的长为________．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
7．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成的角为________．
60°
8．已知正三角形ABC的边长为2 cm，PA⊥平面ABC，A为垂足，且PA＝2 cm，那么点P到BC的距离为________．
cm
P
A
B
C
A
B
D
三、解答题
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AD，AB的中点．
求证：(1)EF∥平面CB1D1；(2)EF⊥平面ACC1A1.
证明：(1)如图所示，连接BD，
∵点E，F分别为棱AD，AB的中点，
∴EF∥BD，
又∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
DD1∥BB1，且DD1＝BB1，
∴四边形DD1B1B为平行四边形，则BD∥B1D1，
∴EF∥B1D1，
又∵EF 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，
∴EF∥平面CB1D1.
(2)由(1)知EF∥BD，
∵AC⊥BD，∴EF⊥AC，
又∵A1A⊥底面ABCD，EF 平面ABCD，
∴EF⊥A1A，且∵A1A∩AC＝A，
∴EF⊥平面ACC1A1.
10．点P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，
PD与底面成30°，BE⊥PD于点E，求BE与面PAD所成的角．
解：连接AE(如图)，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，且∵PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
则∠BEA即为直线BE与平面PAD所成的角，
又∵∠BAE＝90°，在Rt△PAD中，AD＝2a，∠PDA＝30°，
∴PA＝AD·tan ∠PDA＝ a，
则PD＝
＝
又∵BE⊥PD，BA⊥平面PAD，∴BA⊥PD，BA∩BE＝B，
则PD⊥平面ABE，AE 平面ABE，故PD⊥AE，
∴AE＝ ＝ ＝a，
又∵AB＝a，∴Rt△BAE为等腰直角三角形，则∠BEA＝45°，
即直线BE与平面PAD所成的角为45°.
一、选择题
1．有下列四个命题：
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任何一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；
④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
其中，正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
B
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所
成角的正弦值为(　　)
A．1 B． C． D．
D
3．如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，
C为圆上异于A，B两点的任意一点，则下列关系中
不正确的是(　　)
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
C
二、填空题
4．“直线m∥平面α”是“直线m在平面α外”的_____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
充分不必要
5．在空间四边形ABCD中，四条边AB，BC，CD，DA和两条对角线AC，BD的长度都相等，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成角的正弦值为________．
三、解答题
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB，交PB于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.
证明：(1)连接CA交BD于点O，连接EO，
∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，
又∵在△PAC中，E是PC的中点，
∴EO∥PA，
∵EO 平面EDB，PA 面EDB，
∴PA∥平面EDB.
A
P
B
C
D
E
O
三、解答题
7．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，
作EF⊥PB，交PB于点F.
求证：((2)PB⊥平面EFD.
(2)证明：∵PD⊥底面AC，BC 面AC，
∴PD⊥BC，
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，
∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC，
∵DE 平面PDC，∴BC⊥DE，
又∵PD＝DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC，∵PC∩BC＝C，
∴DE⊥平面PBC，
∵PB 平面PBC，∴DE⊥PB，
又∵EF⊥PB，DE∩EF＝E，
∴PB⊥平面EFD.
8．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝2，
AB＝BC＝ ，且O，M分别为AC，BC的中点．
(1)求证：OM∥平面PAB；(2)求PA与平面ABC所成角的大小．
(1)证明：因为O，M分别为AC，BC的中点，
所以OM∥AB.
又因为AB 平面PAB，OM 平面PAB，
所以OM∥平面PAB.
课堂小结
线面位置
平行
判定：会证明线面平行
性质
垂直
判定：会证明线面垂直
性质
线面成角
会求斜线与平面成角
点到面距离
布置作业
1.书面必做作业：完成复习资料相关练习题目；
2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书练习进一步训练巩固相关内容
下 课
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