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17.1 用提公因式法分解因式
第1课时 提公因式法 (1)
复习导入
填空.
① 将 60 分解成质数的乘积的形式为 __________.
② 将 75 分解成质数的乘积的形式为 __________.
④ 将 x2 - 4 写成整式的乘积的形式为 ____________.
③ 将 x2 + x 写成整式的乘积的形式为 __________.
2×2×3×5
3×5×5
x(x + 1)
(x + 2)(x - 2)
在小学我们学习过公因数及最大公因数，回忆一下，求出下面 2 个数的最大公因数.
24 36
2
24 36
12 18
6 9
2
3
2 3
24 = 2×2×2×3
36 = 2×2×3×3
所以 24 和 36 的最大公因数是：
2×2×3 = 12
复习导入
探究点一：因式分解的概念
探究　请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1） x2+ x = ；
（2） x2 1 = ；
（3）x2+2x+1= .
x( x+1)
( x+1)( x 1)
( x+1)2
（1） x( x+1) = ；
（2）( x+1)( x 1) = ；
（3） ( x+1)2 = .
x2+ x
x2 1
x2+2x+1
x2+ x = x( x+1)
x2+ x的因式
分解因式
整式乘法
多项式
整式相乘
33=3×11
33的因数
分解因数
数的乘法
数字
数字相乘
定义：
把一个多项式化成了几个整式的_____的形式，
像这样的式子变形叫作这个多项式的________，也
叫作把这个多项式________.
乘积
因式分解
分解因式
探究点一：因式分解的概念
pa+pb+pc
p(a+b+c)
分解因式
整式乘法
【针对训练】1.在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么.
x2 + x = x2(1 + )
①
②
③
④
⑤
③
am + bm + c = m(a + b) + c
24x2y = 3x · 8xy
x2－4 = (x + 2)(x－2)
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
最后不是积的形式
等式左边不是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
是因式分解
探究点一：因式分解的概念
问题1：观察下列多项式，它们有什么共同特点？
pa + pb + pc
相同因式 p
x2 ＋ x
相同因式 x
如果多项式的各项都有一个______的因式 p，我们把因式 p 叫作这个多项式各项的_______.
公共
公因式
探究点二： 公因式
探究点二： 公因式
找出下列多项式的公因式.
① 3x + 6y
② ab – 2ac
③ a2 – a3
④ ma2 – 6mb
⑤ 3xy2 – 4y2
3
a
a2
m
y2
【针对训练】
探究点三：提公因式为数字或单字母的因式分解
试一试，将它们写成几个因式的乘积.
pa + pb + pc
x2 + x
= p(a + b + c)
= x(x + 1)
怎么得到的？
(pa + pb + pc)÷p
(x2 + x)÷x
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
例1 分解因式：(1) mx ＋my ； (2) 3x －4xy ＋x.
探究点三：提公因式为数字或单字母的因式分解
解：(1) mx2 + my2
= m(x2 + y2)
分析：(1) 公因式为____
(2)公因式为____
m
x
将 x 提出后，括号内的第三项为 1
(2) 3x2 – 4xy2 + x
= x·3x – x·4y2 + x·1
= x(3x – 4y2 + 1)
运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？
①定系数：各项系数的最大公因数；
②定字母：各项的相同字母；
③定指数：相同字母最低次幂.
注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充.
新知探究
【针对训练】分解因式：
（1）4m2 – 2mn；
（2）3ax2 – 6axy + 3a.
解：4m2 – 2mn
= 2m·2m – 2m·n
= 2m(2m – n)
3ax2 – 6axy + 3a
= 3a·x2 – 3a·2xy + 3a·1
= 3a(x2 – 2xy + 1)
当堂检测
1. 下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1) 4a(a+2b)=4a2+8ab ；
(2) a2 4=(a+2)(a 2) ；
(3) x2 3x+2=x(x 3)+2 .
不是
是
不是
整式乘法
等式右边不是整式乘积的形式.
当堂检测
2. 分解因式：
(1) ax ay ； (2) a2 2a ； (3) a2+ab ； (4) xy y2+yz .
解：(1) ax – ay
= a(x – y)
(2) a2 – 2a
= a·a – a·2
= a(a – 2)
(3) a2 + ab
= a·a + a·b
= a(a + b)
(4) xy – y2 + yz
= y·x – y·y + y·z
= y(x – y + z)
当堂检测
3. 利用因式分解计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ； (2) 49×20.22+52×20.22 20.22 ；
(3) 5×34+4×34+9×32 .
解 （1）原式=1.99×(1.99+0.01)=1.99×2=3.98.
（2）原式=20.22×(49+52 1)=20.22×100=2022.
（3）原式=5×34+4×34+34 =34×(5+4+1)=34×10=810.
当堂检测
4. 已知a+b=7，ab=4，求a2b+ab2的值：
方法总结 含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体代入即可.
解 ∵a+b=7，ab=4，
∴原式=ab(a+b)=4×7=28.
课堂小结
三、分解因式时的注意事项：
二、提取公因式的步骤：
1、定系数 2、定字母 3、定指数
一、因式分解的定义:
把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，这样的变形叫做这个多项式的分解因式，也叫做把这个多项式因式分解.
1.多项式是几项，提公因式后也剩几项。
2.当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1.
3.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项 系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
下 课
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