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(共16张PPT)
14.3　角的平分线（1）
一、知识回顾
1、角平分线的定义
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
A
B
C
如图，∵OC是∠AOB的平分线.
∴
在纸上画一个角，怎么找到这个角的平分线？
思考
可以用量角器、对折等方法.
　　问题 1　如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系．
　　研究几何图形的位置关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．下图中，当 OM 与 ON 满
足什么关系时，PM＝PN？
A
M
P
C
B
N
O
探究新知
　　追问　反过来，如果M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM＝ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM＝PN，那么点 P 在∠AOB 的平分线上吗？
　　问题 2　由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
A
M
P
C
B
N
O
探究新知
A
B
O
　　追问　请任意作一个角∠AOB，用直尺和圆规作出∠AOB 的平分线 OC．
探究新知
性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
　　问题 3　如图，OC 是∠AOB 的平分线．点 P1，P2，P3，… 在 OC 上，过点 P1，P2，P3，… 分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2与 E2、D3 与 E3……．分别比较 P1D1 与P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与P3E3……，你有什么发现？
探究新知
证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：OC 是∠AOB的平分线，点 P 在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为 D，E．
求证：PD=PE．
A
探究新知
　　证明：∵　OC 是∠AOB的平分线，
　　∴　∠AOC＝∠BOC．
　　 ∵　PD⊥OA，PE⊥OB，
　　 ∴　∠PDO＝∠PEO＝90°．
　　在△OPD 和△OPE 中，
　　　　∠AOC＝∠BOC，
　　　　∠PDO＝∠PEO，
　　　　OP＝OP，
　　∴　△OPD≌△OPE（AAS）．
　　∴　PD＝PE．
A
探究新知
1、证明几何命题的一般步骤：
　　（1）明确命题中的已知和求证；
　　（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
　　（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
归纳
A
　　2、角平分线的性质：
角的平分线上的点到角两边的距离相等．
符号语言：
　　∵　OP 是∠AOB 的平分线，
　　 PD⊥OA，PE⊥OB，
　　∴　PD＝PE．
追问 3　角的平分线的性质的作用是什么？
归纳
证明线段相等
　　例　已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．
求证：EB＝FC．
典例精析
　　证明：∵　AD 平分∠BAC，
　　且 DE⊥AB，DF⊥AC，
　　∴　DE＝DF．
　　 在 Rt△BED 和 Rt△CFD 中，
　　　　 BD＝CD，
　　　　 DE＝DF，
　　 ∴　Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．
　　 ∴　EB＝FC ．
　　1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P
到射线 OA 和 OB 的距离相等．　
点 P 在∠AOB 的平分线上
点 P 在直线 MN 上
解：如图所示，点 P 即为所求．
O
M
A
B
N
Ｐ
课堂练习
　　2. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为 D，E．点 F，G 分别在 OA，OB 上，DF＝EG，连接 PF，PG．
　　求证：PF＝PG．
课堂练习
　　证明：∵　OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
　　∴　PD＝PE．
　　∵　PD⊥OA，PE⊥OB，
　　∴　∠PDF＝∠PEG＝90°．
　　在△PDF 和△PEG 中，
　　　　DF＝EG，
　　　　∠PDF＝∠PEG，
　　　　PD＝PE，
　　∴　△PDF≌△PEG（SAS）．
　　∴　PF＝PG．
　　回顾本节课的内容，请思考以下问题：
　　（1）如何作一个角的平分线？
　　（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？角的平分线
的性质具有什么作用？
　　（3）你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？
课堂小结

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