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(共20张PPT)
14.3.1 角的平分线的性质
学习目标
1．学会用尺规作一个已知角的平分线．
2．探索并证明角平分线的性质．
3．会用角平分线的性质解决有关问题．
回顾导入
我们学过的角的平分线的概念是什么？
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
几何语言：
∴ OB 平分∠AOC.
∵∠1=∠2
回顾导入
在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
方法一：用量角器度量
方法二：用折纸的方法
在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？
探究新知
知识点1 角的平分线的作法
角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.
探究
如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系.
C
A
B
O
M
N
P
PM＜PN
B
C
A
O
M
N
P
PM＞PN
C
A
B
O
M
N
P
PM=PN
知识点1 角的平分线的作法
C
A
B
O
M
N
P
OP = OP，∠POM =∠PON，
在△OPM 和△OPN 中，
如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)，
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？
就有 PM = PN.
反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP.
知识点1 角的平分线的作法
A
B
O
M
N
在△OPM 和△OPN 中，
∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON.
P
即点 P 在∠AOB 的平分线上.
知识点1 角的平分线的作法
思 考
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
1
先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.
2
在角的内部作出与这两点距离相等的点.
3
以角的顶点为端点，作过这个点的射线.
作法：如图，已知∠AOB.
(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N.
知识点1 角的平分线的作法
A
B
O
(2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C.
M
N
C
(3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线.
A
B
O
M
N
为什么以大于 MN的长为半径作弧：
知识点1 角的平分线的作法
以小于 MN的长为半径，两弧无交点；
以等于 MN的长为半径，不易操作.
知识点2 角的平分线的性质
探究
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······.
分别比较 P1D1 与 P1E1、
P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3
······，你有什么发现？
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
知识点2 角的平分线的性质
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
题设：
一个点在一个角的平分线上.
结论：
这个点到这个角两边的距离相等.
知识点2 角的平分线的性质
C
A
B
O
D
E
P
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证 PD = PE.
可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE.
知识点2 角的平分线的性质
C
A
B
O
D
E
P
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC.
∠AOC = ∠BOC ，
∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在△OPD 和△OPE 中，
∴PD = PE
∠PDO = ∠PEO ，
OP = OP ，
提炼归纳：证明几何命题的一般步骤
1. 明确命题中的已知和求证；
必要时先将命题改写成
“如果···那么···”的形式
注意可能存在不同情形
2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
如图，∵OC 是∠AOB 的平分线，
性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
C
A
B
O
D
E
P
知识点2 角的平分线的性质
几何语言：
P 是 OC 上一点，
PD⊥OA 于点 D，
PE⊥OB 于点 E，
∴PD = PE.
角分双垂得相等
针对训练
1. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4，则 PE = ______.
4
M
B
C
A
D
E
P
随堂演练
1. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，O B上，DF = EG，连接 PF，PG. 求证 PF = PG.
C
A
B
O
G
F
D
E
P
在 △DPF 和 △EPG 中，
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，
PD = PE，
∠PDF = ∠PEG，
DF = EG，
∴△DPF≌△EPG（SAS）.
∴PF =PG.
随堂演练
教材P50练习 第2题
C
A
B
O
G
F
D
E
P
∴ PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°.
课堂小结
角平分线
尺规作图
性质
添加
辅助线
依据：SSS
过角平分线上一点向两边作垂线段
角分双垂得相等

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