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(共46张PPT)
第2节　代数式与整式
命题探源·强基固本
01
一、列代数式及求值
列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式
求代数式的值 (1)直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值
(2)整体代入法：先观察已知条件和所求代数式的关系，再将所求代数式变形(一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式)，使其与已知条件含有相同的式子，最后把已知条件代入变形后的代数式中求值
二、整式的相关概念
单 项 式 定义 由____________表示的式子．单独的一个数或一个字母也是单项式
系数 单项式中的________ 例：

次数 一个单项式中，所有字母的____的和
数或字母的积
数字因数
指数
多 项 式 定义 几个单项式的和
项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 例：

三次三项式
次数 多项式里，次数最高项的次数
整式 单项式与多项式统称为整式
同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 注意：几个常数项也是同类项
合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项
三、整式的运算
1．幂的运算
am＋n
amn
anbn
相减
2．整式的加减
几个整式相加减，有括号的先去括号，然后再合并同类项．
3．整式的乘法
(1)单项式乘单项式：系数相乘，其他不相同的字母连同它的指数一起作为积的因式，相同字母的指数相加后再作为积的因式．
如3xy·4x2z＝_________．
(2)单项式乘多项式：单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
如a(b＋c－d)＝________________．
12x3yz
ab＋ac－ad
(3)多项式乘多项式：多项式中的项两两相乘，再把所得的积相加．
如(a＋b)(c＋d)＝______________________．
(4)乘法公式
①平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝______．
几何背景：
ac＋ad＋bc＋bd
a2－b2
②完全平方公式：
(a＋b)2＝______________；
(a－b)2＝______________．
几何背景：
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
(2)多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
如(4a3b＋5ab2)÷3ab＝___________．
9ab
四、因式分解
积
m(a＋b＋c)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
考点透析·精研细究
02
考点一 代数式
B
命题角度1　列代数式
　据某省统计局发布，2024年该省有效发明专利数比2023年增长18.9%，假定2025年的年增长率保持不变，2023年和2025年该省有效发明专利分别为a万件和b万件，则(　　)
A．b＝(1＋18.9%×2)a B．b＝(1＋18.9%)2a
C．b＝(1＋18.9%)×2a D．b＝18.9%×2a
命题角度2　求代数式的值
　已知x＝5－y，xy＝2，计算3x＋3y－4xy的值为________．
[解析]　由题意得x＋y＝5，xy＝2，所以3x＋3y－4xy＝3(x＋y)－4xy＝15－8＝7.
7
D
1．一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是(　　)
A．x＋y　　　　　 B．10xy
C．10(x＋y) D．10x＋y
2．若a2＋3a－4＝0，则2a2＋6a－3＝(　　)
A．5 B．1
C．－1 D．0
3．a的平方的2倍与3的差，用代数式表示为________．
A
2a2－3
运用整体代入法求代数式值的三种方法
(1)直接整体代入求值：如果已知代数式与要求代数式之间都含有相同的式子，只要把已知代数式的值直接代入到要求的代数式中，即可得出结果．
(2)把所求代数式变形后再将已知代数式的值代入求值：如果题目中所求代数式与已知代数式成倍数关系，或适当变形后含有已知代数式，就可以先把所求代数式变形，再把已知代数式的值代入变形后的要求的代数式中，计算得出结果．
(3)把所求代数式和已知代数式都变形，再代入求值：将已知代数式和所求代数式同时变形，使它们含有相同的式子，再将变形后的已知代数式的值代入变形后的要求的代数式中，计算得出结果．
考点二 整式的有关概念及运算
命题角度1　整式的有关概念
　(2023·江西)单项式－5ab的系数为________．
－5
命题角度2　整式的运算
(2023·江西)计算(2m2)3的结果为(　　)
A．8m6 B．6m6
C．2m6 D．2m5
A
(2022·江西)下列计算正确的是(　　)
A．m2·m3＝m6
B．－(m－n)＝－m＋n
C．m(m＋n)＝m2＋n
D．(m＋n)2＝m2＋n2
B
　(2024·江西)观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为________．
a100
命题角度3　找规律
　(2022·江西)将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第④个图形中字母“H”的个数是(　　)

A．9 B．10
C．11 D．12
B
B
4．下列各式中，计算结果等于a9的是(　　)
A．a3＋a6 B．a3·a6
C．a10－a D．a18÷a2
5．下列运算错误的是(　　)
A．a3·a2＝a5 B．x5＋x5＝x10
C．(2xy2)2＝4x2y4 D．a3÷a3＝1
B
6．单项式5mn2的次数是________．
7．已知单项式2a4b-2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m＋n＝________．
8．(2023·江西)化简：(a＋1)2－a2＝________．
3
3
2a＋1
9．(2021·江西)下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是________．
3
10．观察以下等式：
第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2；
第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2；
第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2；
第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______________________________；
解：(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．
解：第n个等式为(2n＋1)2＝[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2.
证明：等式左边：(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1，
等式右边：[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2
＝[(n＋1)·2n＋1＋(n＋1)·2n]·[(n＋1)·2n＋1－(n＋1)·2n]
＝[(n＋1)·4n＋1]×1
＝4n2＋4n＋1，左边＝右边，
故等式(2n＋1)2＝[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2成立．
1．幂的运算的应用
(1)同底数幂的乘除法法则应用的前提是底数必须相同，若底数互为相反数时，要应用积的乘方处理好符号问题，转化成同底数幂，再应用乘除法法则．
(2)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算的时候要注意三个方面：一是运算顺序，二是正确选择法则，三是运算符号．
2．规律探索题通常给出一组数字、代数式、等式、不等式或图形，要求学生通过观察、分析、猜想来探索规律，体现了从特殊到一般的数学思想．
解题方法：
(1)标序号．
(2)分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析．
(3)根据各式或图形中的“变”与“不变”写出符合规律的式子．
注意：发现各式或图形与对应序号之间的关系是找出规律的关键．
考点三 因式分解
D
命题角度1　因式分解的概念
　下列从左到右是因式分解且正确的是(　　)
A．x2－4＝(x－2)2
B．(x＋1)2＝x2＋2x＋1
C．x2－4－4x＝(x－2)(x＋2)－4x
D．xy＋x＝x(y＋1)
命题角度2　因式分解的方法
　将多项式1－4x2因式分解正确的是(　　)
A．(2x＋1)(2x－1)
B．(1－2x)(1＋2x)
C．(1＋4x)(4x－1)
D．(1＋4x)(1－4x)
B
　(2024·江西)因式分解：a2＋2a＝________．
a(a＋2)
C
11．下列因式分解正确的是(　　)
A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b)
B．a2－9b2＝(a－3b)2
C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2
D．a2－ab＋a＝a(a－b)
12．(2021·江西)因式分解：x2－4y2＝________________．
13．(2025·江西)因式分解：a2－a＝________．
14．已知x＋y＝2，xy＝－3，则x2y＋xy2＝________．
(x＋2y)(x－2y)
a(a－1)
－6
因式分解在求代数式值中的应用
(1)因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再整体代入求值．
(2)用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
核心素养·新课标新考法
03
D
1．(2024·扬州)1202年，数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，….这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个数为(　　)
A．676　　　　　　 B．674　　　　　　
C．1 348　　　　　　 D．1 350
解析：这一列数为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，可以发现每3个数为一组，每一组前两个数为奇数，第三个数为偶数．由于2 024÷3＝674……2，即前2 024个数共有674组，且余2个数，所以奇数有674×2＋2＝1 350(个).故选D．
(2)若a＝2 024，b＝2 025，c＝2 026，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？(共49张PPT)
第一编　教材梳理与整合
第一章　数与式
第1节　实数及其运算
命题探源·强基固本
01
循环小数
不循环小数
0
二、实数的相关概念
1．数轴
(1)三要素：
(2)性质：实数与数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)非零实数a的相反数为____．特别地，0的相反数为__．
(2)实数a，b互为相反数 a＋b＝__．
(3)几何意义：互为相反数的两个数分别位于数轴上原点的两侧，且到原点的距离____．
－a
0
0
相等
a
－a
4．倒数
(1)非零实数a的倒数是__．特别注意：0没有倒数，倒数是它本身的数是________．
(2)实数a，b互为倒数 ab＝__．
1，－1
1
三、科学记数法
科学记数法的表示形式为______，其中1≤|a|＜10，n为整数．
用科学记数法表示绝对值大于10的数时，n等于原数的整数位数减去1；
用科学记数法表示绝对值小于1的数时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前面零的个数(含小数点前的零).
温馨提示：将含有计数(量)单位的数用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示．常考的计数单位：1万＝104，1亿＝108；常考的计量单位：1 mm＝10-3m，1 μm＝10-6m，1 nm＝10-9m.
a×10n
四、实数大小比较的方法
1．直接比较法：正数>0>负数，两个负数比较大小，绝对值大的数______．
2．数轴比较法：在数轴上，右边的点所表示的实数总比左边的点所表示的实数__．
反而小
大
a>b
a五、平方根、算术平方根、立方根
六、实数的运算
1．几种常见的运算
2．实数的混合运算顺序
22
|－2|
考点透析·精研细究
02
考点一 实数的分类
A
B
2．(2023·江西)下列各数中，正整数是(　　)
A．3　　 B．2.1　　
C．0　　 D．－2
A
命题角度1　数轴
如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，则a＋b________(选填“>”“<”或“＝”)0.
考点二 实数的相关概念
<
A
C
B
B
B
b－1
求相反数、倒数的方法
命题角度1　绝对值大于10的数
(2020·江西)教育部发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50 178亿元，比上年增长8.74%.将50 178亿用科学记数法表示为(　　)
A．5.017 8×1011 B．5.017 8×1012
C．0.501 78×1013 D．0.501 78×1014
考点三 科学记数法
B
命题角度2　绝对值小于1的数
　世界科技不断发展，人们制造出的晶体管尺寸越来越小，某公司研发出尺寸只有0.000 000 006 m的晶体管，该数用科学记数法表示为________m.
6×10-9
7．(2024·江西)“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25 000用科学记数法可表示为(　　)
A．0.25×106 B．2.5×105
C．2.5×104 D．25×103
C
8．某病毒的直径约为120 nm，1 nm＝0.000 000 001 m，则这种病毒的直径(单位：m)用科学记数法表示为(　　)
A．120×10-9 m B．1.2×10-6 m
C．1.2×10-7 m D．1.2×10-8 m
C
考点四 实数的大小比较
B
命题角度2　数轴比较法
　(2022·江西)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是(　　)
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．a＝－b
C
＜
9．(2025·江西)在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是(　　)
晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精
熔点(单位：℃ ) －259 －218 －210 －117
A．固态氢 B．固态氧
C．固态氮 D．固态酒精
D
10．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论正确的是(　　)

A．a>－2 B．a＋b>0
C．|a|<|b| D．b－a>0
D
　－8的立方根是________．
考点五 平方根、算术平方根、立方根
－2
2
3
4
平方根与立方根的性质
实数 正数 0 负数
平方根 有两个平方根，它们互为相反数 0 没有平方根
立方根 有一个立方根 0 有一个立方根
命题角度1　与实数相关概念有关的简单计算
　(2024·江西)计算：(－1)2＝________．
　计算：－4＋(－9)－|－2|＋0.
[解]　原式＝－4－9－2＋0＝－15.
考点六 实数的运算
1
[解]　原式＝2＋1－1＝2.
实数运算的三个关键
(1)常见运算：乘方和开方运算、幂的运算、指数(特别是负整数指数幂、零次幂)运算、根式运算、特殊角的三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
(2)运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减为一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，有括号的先算括号里面的．
(3)运算律的使用：使用运算律可以简化运算过程，提高运算速度和准确度．
核心素养·新课标新考法
03
C
1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于(　　)
A．108　　　　　　　 B．1012　　　　　　　
C．1016　　　　　　　 D．1024
C
2．(2024·宜宾)如果一个数等于它的全部真因数(含单位1，不含它本身)的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1，2，3，且6＝1＋2＋3，则称6为完美数．下列数中为完美数的是(　　)
A．8 B．18
C．28 D．32
解析：因为8＝1×8＝2×4，1＋2＋4＝7≠8，所以8不是完美数，故选项A不符合题意；因为18＝1×18＝2×9＝3×6，1＋2＋3＋6＋9＝21≠18，所以18不是完美数，故选项B不符合题意；因为28＝1×28＝2×14＝4×7，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完美数，故选项C符合题意；因为32＝1×32＝2×16＝4×8，1＋2＋4＋8＋16＝31≠32，所以32不是完美数，故选项D不符合题意．故选C．(共36张PPT)
第3节　分式
命题探源·强基固本
01
一、分式的概念和性质
1．分式的概念
B＝0
B≠0
B≠0
温馨提示：(1)识别分式一看形式，二看分母中是否含有字母．看形式时一般不对式子进行化简．(2)求解有关分式有意义、无意义的字母取值问题时，常需结合条件将其转化为求不等式的解集、方程的解的问题．
不变
公因式
原来的分式相等的同分母
公因式
分子相加减
通分
加减
分子的积
分母的积
颠倒位置
相乘
分别乘方
4．分式的化简求值
(1)分式化简求值的一般步骤
①按照运算顺序对所给分式进行化简，化为最简分式或整式；
②代入求值(代入求值时要注意使原分式及化简过程中出现的分式均有意义).
(2)解答分式的化简求值题时的注意点
①一定要先化简，再求值；
②分式的分子要作为一个整体，在去括号的时候，若括号前为负号，则括号内每一项都要变号；
③除法运算一定要转化为乘法运算后再运算，如果分子、分母是多项式，可先将分子、分母因式分解，再进行运算；
④开放性的字母取值时，不能使原分式及化简过程中出现的分式的分母为0.
考点透析·精研细究
02
考点一 分式及其基本性质
x≠1
A
A
x≠2
0或－4
2．应用分式的基本性质时的两点注意
(1)分子、分母作相同的变形(即乘或除以同一个整式).
(2)乘或除以的同一个整式一定不为0.
考点二 分式的加减运算
A
异分母分式加减运算的步骤
(1)先确定最简公分母．
(2)对每项通分，化分母相同．
(3)按同分母分式加减运算法则进行运算．
(4)注意结果可否化简．
考点三 分式的混合运算
C
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________．(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；
③乘法分配律；④乘法交换律．
②
③
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
分式的混合运算需注意的问题
(1)注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
(2)注意化简结果：要对最后结果的分子、分母进行约分，运算的结果要化成最简分式或整式．
(3)注意运算律的应用：一般按常规运算顺序运算，但也可根据题目的特点，先运用乘法的运算律以简化运算．
考点四 分式的化简求值
核心素养·新课标新考法
03
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________________________；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．(共31张PPT)
第4节　二次根式
命题探源·强基固本
01
一、二次根式的概念
a≥0
二、二次根式的性质
a
a
－a
·
最简二次根式
相同
3．二次根式的混合运算
与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算____，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).
温馨提示：
二次根式运算的注意事项
(1)在进行二次根式的运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式，再利用二次根式的乘除法法则进行乘除运算，同类二次根式之间可以进行加减运算(类似于合并同类项).
(2)运算结果要化为最简二次根式．
乘除
温馨提示：求二次根式离哪个整数较近时，先确定这个二次根式在哪两个连续整数之间，再求这两个整数的平均数，用平方法比较这个二次根式和平均数的大小．若二次根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近；若二次根式的平方小于平均数的平方，则离较小的整数近．
考点透析·精研细究
02
考点一 二次根式的概念
D
x≥8
x≥－2且x≠5
二次根式有意义的条件
(1)如果代数式中含有多个二次根式，那么各个二次根式中的被开方数必须都是非负数．
(2)如果代数式中二次根式的被开方数为分式，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分式有意义．
考点二 二次根式的性质
A
3
π－2
考点三 二次根式的运算
C
3
考点四 二次根式的估值
C
C
1(答案不唯一，－1，0，1均可)
1
核心素养·新课标新考法
03
细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．(其中Sn表示图中第n个三角形的面积)

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