资源简介

(共21张PPT)
课后检测·能力达标
B
2．我国南宋时期的数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a＋b)n展开式的系数规律．
当代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，则x的值为(　　)
A．2 B．－4
C．2或4 D．2或－4
C
3．(2024·广西)如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　)
A．0 B．1
C．4 D．9
D
4．若实数k，b是一元二次方程(x＋3)(x－1)＝0的两个根，且kA．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
5．(2024·南充)当2≤x≤5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，则实数m的值为(　　)
A．－3或0 B．0或1
C．－5或－3 D．－5或1
A
解析：当m＋1>0，即m>－1时，一次函数y随x的增大而增大，
所以当x＝5时，y＝6，即5(m＋1)＋m2＋1＝6，
整理，得m2＋5m＝0，解得m＝0或m＝－5(舍去)；
当m＋1<0，即m<－1时，一次函数y随x的增大而减小，
所以当x＝2时，y＝6，即2(m＋1)＋m2＋1＝6，
整理，得m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1(舍去).
综上，m＝0或m＝－3.故选A.
6．甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y(km)与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300 km；②甲车的平均速度是60 km/h，乙车的平均速度是100 km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车．其中正确的有(　　)
A．①② B．①③
C．②④ D．①④
D
B
C
二、填空题
9．如图，正比例函数y＝－3x与一次函数y＝kx＋b(k>0)的图象交于点A(m，－6)，则关于x的不等式kx＋b<－3x的解集为________．
x<2
解析：因为点A(m，－6)在正比例函数y＝－3x的图象上，
所以当y＝－6时，－3m＝－6，解得m＝2，
所以A(2，－6)，
由图象可得，关于x的不等式kx＋b<－3x的解集为x<2.
10．(2025·宜宾)已知a1，a2，a3，a4，a5是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45，46，47，48，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．
58
解析：设a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝m，那么去掉a1后和为m－a1；去掉a2后和为m－a2；去掉a3后和为m－a3；去掉a4后和为m－a4；去掉a5后和为m－a5.
因为已知这五个和只有四个不同的值，
所以不妨设m－ai＝m－aj(i≠j)，
那么这四个不同的值可以表示为m－a1，m－a2，m－a3，m－a4(假设a5与前面某一个数相等).
因为这四个值分别是45，46，47，48，
不妨令m－a1＝45，m－a2＝46，m－a3＝47，m－a4＝48，
11．如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am－bn＝2，an＋bm＝4.
(1)若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是________；
(2)若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是________．
25
三、解答题
12．(7分)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40 min中，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，学生的注意力指标数y随时间x(min)的变化规律如图所示(其中AB，BC均为线段，CD为双曲线的一部分).
如果有一道数学综合题，需要讲解19 min，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师可否在学生的注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
你的结论是________(选填“可以”或“不可以”)，理由是什么(请通过你计算所得的数据说明理由)
可以(共26张PPT)
专题六 创新作图题
类型一 利用三角形的性质作图
01
1．如图，在△ACB中，∠C＝90°，将△ACB绕点A顺时针旋转90°，可得到△ADE.请仅用无刻度的直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中，作出∠CAD的平分线；
解：如图1，射线AP即为所求．
图1
图1
(2)在图2中，作出线段BE的中点．
解：如图2，点Q即为所求．
图2
图2
2．(2025·江西三模)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AED.请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中，作线段AE绕点A顺时针旋转120°得到的线段AF；
解：线段AF如图所示．
(2)在图2中，作△ADE关于直线CE的对称图形△AEP.
解：△AEP如图所示．
类型二　利用特殊四边形的性质作图
02
3．(2025·江西一模)如图，平行四边形ABCD的顶点A在射线OE上，点B，C在射线OF上，且OA＝OC.请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法).
(1)在图1中，作∠EOF的平分线OP；
解：射线OP如图所示．
(2)在图2中，作一点M，使以点O，A，C，M为顶点的四边形为菱形．
解：点M如图所示．
图1
解：如图1，△AEF(或△DEF)即为所求．
(2)如图2，连接AC，作出将线段AC绕着点C顺时针旋转135°得到的线段CG.
图2
解：线段CG如图2所示．
图2
类型三 利用正多边形的性质作图
03
5．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺完成下列作图(保留作图痕迹，不写作法).
(1)在图1中作出以DF为对角线的菱形；
图1
解：如图1，菱形DEFG即为所求．(答案不唯一)
(2)在图2中作出以DF为边的菱形．
图2
解：如图2，菱形BFDH即为所求．(答案不唯一)
图1
解：点G如图1所示．(作法不唯一)
图1
(2)如图2，在边DE上作一点H，使得EH＝CF.
图2
解：点H如图2所示．(作法不唯一)
图2
类型四 利用圆的性质作图
04
7．如图，⊙O经过△ABO的顶点B，已知∠A＝90°.请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中作出与OA平行的直线BM；
图1
解：直线BM如图1所示．
(2)在图2中作出△ABO的角平分线BN.
图2
解：线段BN如图2所示(作法不唯一).
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，以AB为直径的圆与CD相切于点D.按下列要求仅用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中作出△ABD的重心M；
图1
解：点M如图1所示．
图1
图2
解：点N如图2所示．
图2
类型五 利用网格的性质作图
05
9．(2025·江西二模)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列画图(要求：仅用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法).
(1)在图1中画出一个△ABP，使S△ABP＝S△ABC，P为格点(点P不在点C处)；
解：△ABP如图所示．(答案不唯一)
(2)在图2中的边BC上找一点D，使点D到AB和AC所在直线的距离相等．
解：点D如图所示．(共86张PPT)
第二编 专题突破与提升
专题一 数学思想方法
类型一　整体思想
01
整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径．整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决．
角度1　整体思想在代数式求值方面的运用
(2025·江西二模)若a＝b＋2，则(b－a)2＝________．
[分析]　本题考查求代数式的值，把a＝b＋2整体代入化简计算即可．
[解析]　因为a＝b＋2，
所以(b－a)2＝[b－(b＋2)]2
＝(b－b－2)2
＝(－2)2
＝4.
4
角度2　整体思想在方程(组)方面的运用
已知方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，则另一个方程(x＋3)2＋2(x＋3)－3＝0的解是(　　)
A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝2，x2＝6 D．x1＝－2，x2＝－6
[解析]　因为方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，
所以方程(x＋3)2＋2(x＋3)－3＝0中x＋3＝1或x＋3＝－3，解得x1＝－2，x2＝－6.故选D.
D
角度3　整体思想在几何方面的运用
一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，连续四边的长依次为AB＝1，BC＝3，CD＝3，DE＝2，那么这个六边形ABCDEF的周长是(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
D
[分析]　凸六边形ABCDEF并不是一个规则的六边形，但六个内角都是120°，所以通过适当地向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
[解析]　如图，分别作边AB，CD，EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G，H，P.
因为六边形ABCDEF的六个内角都是120°，
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.
所以△APF，△BGC，△DHE，△GHP都是等边三角形，GC＝BC＝3，DH＝DE＝2.
所以GH＝3＋3＋2＝8.
所以FA＝PA＝PG－AB－BG＝8－1－3＝4，EF＝PH－PF－EH＝8－4－2＝2.
所以六边形ABCDEF的周长为1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.
1．已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝________．
2．若m＋n＝10，mn＝5，则m2＋n2的值为________．
3．若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 026－9a＋3b的值为________．
24
90
2 020
4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4.将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点C处，折痕交OA于点D，则图中阴影部分的面积为____________．
类型二　分类讨论思想
02
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级进行，正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏．
角度1　分类讨论思想在有理数混合运算方面的运用
若a2＝16，|b|＝3，且ab＜0，求a＋b的值.
[分析]　根据a2＝16，|b|＝3，且ab＜0，可以得到a，b的值，从而可以求得a＋b的值．
[解]　因为a2＝16，|b|＝3，
所以a＝±4，b＝±3，
又因为ab＜0，
所以a＝4，b＝－3或a＝－4，b＝3.
当a＝4，b＝－3时，a＋b＝4＋(－3)＝1；
当a＝－4，b＝3时，a＋b＝(－4)＋3＝－1.
综上，a＋b的值为1或－1.
D
记D1E1与AB相交于点G.
故选D.
0或2
角度3　分类讨论思想在抛物线与x轴交点问题方面的运用
已知m为实数，如果函数y＝2mx2＋(m＋2)x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么m的值为________．
[分析]　分类讨论：当2m＝0，即m＝0时，函数为一次函数，其图象与x轴有且只有一个交点；当2m≠0，即m≠0时，函数为二次函数，根据抛物线与x轴的交点问题，当Δ＝(m＋2)2－4×2m＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，然后解关于m的一元二次方程即可得到m的值．
[解析]　当2m＝0，即m＝0时，函数解析式变形为y＝2x＋1，此函数为一次函数，其图象与x轴有且只有一个交点；
当2m≠0，即m≠0时，函数图象为抛物线，当Δ＝(m＋2)2－4×2m＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，解得m＝2.
综上，当m＝0或2时，函数y＝2mx2＋(m＋2)x＋1的图象与x轴有且只有一个交点．
角度4　分类讨论思想在几何方面的运用
(2025·江西二模)如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E在直线AD上移动，连接BE，将△ABE沿着BE翻折得到△A′BE，连接A′C，A′D.当△A′CD是等腰三角形时，∠EBC的度数为________________．
45°或60°或120°
[解析]　因为四边形ABCD是矩形，
所以AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC.
由折叠的性质，得BA＝BA′，∠ABE＝∠A′BE.
当A′C＝A′D时，过点A′作A′N⊥BC于点N，作A′M⊥CD于点M，如图．
所以∠ABE＝∠A′BE＝(90°－30°)÷2＝30°，
所以∠EBC＝∠EBA′＋∠A′BN＝60°或∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝120°.
当CA′＝CD时，如图．
D
6．若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是(　　)
A．8 cm B．13 cm
C．8 cm或13 cm D．11 cm或13 cm
7．(2025·江西三模)如图，在平面直角坐标系中，A(0，8)，B(5，0)，点P是y轴正半轴上的一个动点，将△POB沿BP翻折，若点O的对应点C恰好落
在AO或BO的垂直平分线上，则OP的长为__________________．
解析：当点C在线段AO的垂直平分线上时，
因为A(0，8)，B(5，0)，
所以点C的纵坐标为4，OB＝5.
设C(c，4)，
由折叠的性质，得BC＝OB＝5，OP＝CP，
所以(c－5)2＋(4－0)2＝52，
解得c＝2或c＝8，
所以此时点C的坐标为(2，4)或(8，4).
设P(0，p)，
所以(0－2)2＋(p－4)2＝p2或(0－8)2＋(p－4)2＝p2，
解得p＝2.5或p＝10，
所以P(0，2.5)或P(0，10)，
所以OP＝2.5或OP＝10.
当点C在线段BO的垂直平分线上时，
因为B(5，0)，
所以点C的横坐标为2.5.
类型三　方程思想
03
从分析问题的数量关系入手，通过适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想．
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用．
[分析]　利用互为相反数的两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
2
[解析]　如图，过点A′作A′F⊥BC于点F，
则∠PBA＝∠APA′＝∠A′FP＝90°，
所以∠BPA＋∠FPA′＝90°，∠FPA′＋∠FA′P＝90°，
所以∠BPA＝∠FA′P.
又PA＝A′P，
所以△BPA≌△FA′P(AAS)，
8．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2－7y＋10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为(　　)
A．8 B．20
C．8或20 D．10
解析：解方程y2－7y＋10＝0，得y＝2或5.
因为对角线长为6，2＋2＜6，不能构成三角形，所以菱形的边长为5，所以菱形ABCD的周长为4×5＝20.故选B.
B
9．(2025·江西二模)如图，点E在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAE交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
解：证明：如图，连接OC.
因为AC平分∠BAE，所以∠EAC＝∠BAC.
因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA，
所以∠EAC＝∠OCA，
所以AD∥OC.
因为AE⊥CD，
所以∠D＝∠OCD＝90°，
所以OC⊥CD.
因为OC为半径，
所以CD为⊙O的切线．
(2)若CD＝5，DE＝3，求⊙O的半径．
解：如图，过点O作OF⊥AD，垂足为F.
因为∠OFD＝∠FDC＝∠OCD＝90°，
所以四边形OCDF为矩形．
所以OF＝CD＝5.
设⊙O的半径为r.
因为OF⊥AD，
所以AF＝EF＝r－3.
类型四　函数思想
04
函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决．
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题．构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质．
角度1　函数思想在几何方面的运用
(2025·江西一模)(1)已知直线经过点A(－1，0)与点B(2，3)，求这条直线的解析式；
(2)如图1为汽车沿直线运动的速度v(m/s)与时间t(s)(0≤t≤40)之间的函数图象．根据对此图象分析、理解，在图2中画出描述在这段时间内汽车离开出发点的路程s(m)与运动时间t(s)之间的函数图象．
[解]　依题意，得图1中0～20 s的速度为10 m/s，路程为10×20＝200(m)；
20 s～30 s汽车停止不动，速度为0，路程为0；
30 s～40 s的速度为20 m/s，路程为20×10＝200(m).
故可画出s-t的图象如图所示．
A
[分析]　先把点A(a，9)代入直线y＝－3x求出a，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可．
已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交于点(－5，0)，则关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为___________．
[分析]　利用自变量x＝－5时对应的函数值为0可确定方程kx＋b＝0的解．
[解析]　因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交于点(－5，0)，所以关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为x＝－5.
x＝－5
角度3　函数思想在不等式方面的运用
如图，函数y＝kx＋b(k<0)的图象经过点P，则关于x的不等式kx＋b>3的解集为________．
[分析]　观察一次函数图象，可知当y>3时x的取值范围，即为kx＋b>3的解集．
[解析]　由一次函数图象，得当y>3时，x<－1，则关于x的不等式kx＋b>3的解集是x<－1.
x<－1
角度4　函数思想在实际问题方面的运用
(2025·江西一模)硫酸钠(Na2SO4)是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在100 g水中的溶解度y(单位：g)与温度t(单位：℃)之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是(　　)
A．当温度为0 ℃时，硫酸钠会溶解在水中
B．0～40 ℃时，硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C.40～80 ℃时，温度每升高1 ℃，硫酸钠溶解度的减小量不相同
D．要使硫酸钠的溶解度高于43.7 g，温度必控制在40～80 ℃
D
[解析]　由图象可知，当温度为0 ℃时，硫酸钠在水中是溶解的，A正确；0～40 ℃时，硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，B正确；40～80 ℃时，温度每升高1 ℃，硫酸钠溶解度的减小量不相同，C正确；要使硫酸钠的溶解度大于43.7 g，温度可控制在接近40 ℃至80 ℃，D错误．
故选D.
10．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)其中一个解的范围是(　　)
A.3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
C
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
11．如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象相交于点P(2，－2)，则关于x的不等式x＋b>kx＋4的解集是(　　)
A．x>－2 B．x<－2
C．x<2 D．x>2
D
－6
解析：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D.
设点A的坐标是(m，n)，则AC＝n，OC＝m.
因为∠AOB＝90°，
所以∠AOC＋∠BOD＝90°.
因为∠DBO＋∠BOD＝90°，
所以∠DBO＝∠AOC.
又因为∠BDO＝∠ACO＝90°，
所以△BDO∽△OCA.
14．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2 km，超市离学生公寓2 km.小琪从学生公寓出发，匀速步行了12 min到阅览室；在阅览室停留70 min后，匀速步行了10 min 到超市；在超市停留20 min后，匀速骑行了8 min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离y(km)与离开学生公寓的时间x(min)之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题．
(1)填表：
离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/km 0.5 1.6
解：由图象可得，在前12 min的速度为1.2÷12＝0.1(km/min)，
故当x＝8时，离学生公寓的距离为8×0.1＝0.8 (km)；
在12≤x≤82 时，离学生公寓的距离不变，都是1.2 km，
故当x＝50时，离学生公寓的距离为1.2 km；
在92≤x≤112时，离学生公寓的距离不变，都是2 km，
故当x＝112时，离学生公寓的距离为2 km.
故填表为：
离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/km 0.5 0.8 1.2 1.6 2
(2)填空：
①阅览室到超市的距离为________km；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为________km/min；
③当小琪离学生公寓的距离为1 km时，他离开学生公寓的时间为____________min.
0.8
0.25
10或116
解：①阅览室到超市的距离为2－1.2＝0.8(km).
②小琪从超市返回学生公寓的速度为2÷(120－112)＝0.25(km/min).
③分两种情形：当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为1 km时，他离开学生公寓的时间为1÷0.1＝10(min)；
当小琪返回学生公寓，与学生公寓的距离为1 km时，他离开学生公寓的时间为112＋(2－1)÷0.25＝112＋4＝116(min).
综上，他离开学生公寓的时间为10或116 min.
故答案为：①0.8　②0.25③10或116
(3)当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．
解：当0≤x≤12时，设直线的解析式为y＝kx，
把(12，1.2)代入，得12k＝1.2，
解得k＝0.1，
所以y＝0.1x；
当12当82把(82，1.2)，(92，2)代入，
类型五　数形结合思想
05
数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)；或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决．
角度1　数形结合思想在绝对值方面的运用
两只小虫A，B躺在数轴上睡大觉，已知它们之间的距离为10个单位长度，其中小虫A躺在数＋4对应的点上，小虫B所在位置表示的数的绝对值大于6，则小虫B所在位置表示的数是________．
[解析]　设小虫B所在位置表示的数是a，有|a－4|＝10，可得a＝14或－6.
因为小虫B所在位置表示的数的绝对值大于6，所以a＝14.
14
角度2　数形结合思想在因式分解方面的运用
将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形．请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．
(1)根据你发现的规律填空：
x2＋px＋qx＋pq＝x2＋(p＋q)x＋pq＝________×________．
[分析]　根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；
[解]　(x＋p)　(x＋q)
(x＋p)
(x＋q)
(2)利用(1)的结论将下列多项式分解因式：
①x2＋7x＋10; ②y2－7y＋12.
[分析]　根据(1)的结论直接作答．
[解]　　①x2＋7x＋10＝(x＋2)(x＋5).
②y2－7y＋12＝(y－3)(y－4).
A
角度4　数形结合思想在实际问题方面的运用
某快递公司每天上午9：30—10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快递，乙仓库用来派发快递，该时段内甲、乙两仓库的快递数量y(件)与时间x(min)之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过________min时，两仓库快递件数相同．
20
B
15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN的周长的最小值是5 cm，则∠AOB的度数是(　　)
A．25° B．30°
C．35° D．40°
解析：如图，分别作点P关于OB，OA的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN.
因为点P关于OA的对称点为D，
所以PM＝DM，OP＝OD，
∠DOA＝∠POA.
因为点P关于OB的对称点为C，
所以PN＝CN，OP＝OC，
∠COB＝∠POB，
16．如图，在平面直角坐标系中，A(2，3)，B(5，3)，C(2，5)是三角形的三个顶点，求BC的长．(共42张PPT)
专题二 多解填空题
多解填空题一般会出现以下四种情况．
一、等腰三角形的腰和底不确定
本类型试题往往会给出一条确定的边及一个动点，但这条确定的边可能是腰，也可能是底，需分类讨论．
解题技巧：先利用“两圆一线”，确定等腰三角形的第三个顶点(即动点)的位置，再结合图形自身特点，寻求解题方法．
图解：如图，在直线l上找一点C，使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形．
方法：作“两圆一线”，“两圆”是分别以点 A，B为圆心、AB 的长为半径的圆，“一线”是线段 AB 的垂直平分线，它们与直线l的交点，即为符合题意的点 C.
二、直角三角形的直角顶点不确定
本类型试题往往会给出一条确定的边及一个动点，但这条确定的边可能是直角边，也可能是斜边，需分类讨论．
解题技巧：先利用“两线一圆”，确定直角三角形的第三个顶点(即动点)的位置，再结合图形自身特点，寻求解题方法．
图解：如图，在直线l上找一点C，使以A，B，C为顶点的三角形为直角三角形．
方法：作“两线一圆”，“两线”是分别过点A，B的线段AB 的垂线，“一圆”是以AB 为直径的圆，它们与直线l的交点，即为符合题意的点C.
三、点的位置不确定
1．点在直线AB上的三种可能情况：点在线段AB上，点在线段 AB 的延长线上，点在线段BA的延长线上．
2．点在三角形(或四边形)上需分点在三角形(或四边形)的各个边上进行讨论；当点在四边形对角线上时，因为四边形有两条对角线，所以要分两种情况讨论．
3．点在弧上的两种情况：点在优弧上，点在劣弧上．
4．点在抛物线上的三种情况：点在顶点处，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧．
四、图形变换后的位置不确定
1．图形平移方向不确定，一般按上、下、左、右四个方向分类讨论．
2．图形折叠时，对应点的位置不确定，需分类讨论．
3．图形旋转时，旋转方向(一般分为顺时针和逆时针)或旋转角不确定，需分类讨论．
类型一　以特殊四边形为背景
01
60°或120°或240°
根据旋转可知AB＝AP2，所以AP1＝AP2，所以△AP1P2是等边三角形，所以∠P2AP1＝60°，此时α即为∠BAP2＝120°，且此时△BP2C为等边三角形．②当BP＝BC，此时点P存在两种情况，当点P位于点P2时，同①可知α＝120°；当点P位于点P3时，BP3＝BP2＝BC.根据旋转可得，AP3＝AP2，所以△ABP3≌△ABP2，所以∠BAP3＝∠BAP2＝120°，所以∠P3AP2＝360°－∠BAP3－∠BAP2＝120°，所以此时α即为∠P3AP2＋∠BAP2＝240°.③当BC＝PC，此时同点P2.综上所述，α的值为60°或120°或240°.
2．(2025·赣州模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠B＝60°，P是图中任意线段上一点，且AP＝2，连接BP，则BP的长为________________．
解析：因为AP＝2，所以点P在以点A为圆心，AP长为半径的圆上．
如图，点P分点P1，P2，P3三种情况：
当AP1＝2时，BP1＝6－2＝4；
当AP2＝2时，
因为在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以AC＝6，∠ACB＝60°.
类型二　以特殊三角形为背景
02
3．(2025·江西一模)如图，△ABC是等腰三角形，∠A＝120°，点D在边BC上，BC＝8，CD＝2，点P为边AC上一动点，连接DP，将△CDP沿DP翻折，得到△C′DP，当C′D与腰垂直时，CP＝________________．
则∠AHC′＝90°.
因为∠A＝120°，
所以∠C′AH＝60°，
所以∠AC′H＝30°.
由折叠的性质，得∠PC′D＝∠C＝30°，CP＝PC′，
类型三　以圆为背景
03
4．(2025·宜春模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(2，－1)，(3，－4).若⊙P经过A，B两点，且圆心P的横坐标为正整数、纵坐标为负整数，则圆心P的坐标为_________________________________．
(1，－3)或(4，－2)或(7，－1)
解析：经过A，B两点圆的圆心在AB的垂直平分线上，由条件“圆心P的横坐标为正整数、纵坐标为负整数”所限，
如图，满足题意的点P的坐标为(1，－3)或(4，－2)或(7，－1).
类型四　以函数为背景
04
6．(2025·九江三模)如图，一次函数y＝－3x＋3的图象分别与x轴、y轴交于点A，B.C为第一象限内的一点，当△ABC是等腰直角三角形时，点C的坐标为_________________________．
(3，4)或(4，1)或(2，2)
解析：由y＝－3x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1，
所以点B的坐标为(0，3)，点A的坐标为(1，0).
①当∠ABC1＝90°，AB＝BC1时，如图，过点C1作C1F⊥y轴于点F，
所以∠C1FB＝∠BOA＝90°，
所以∠ABO＋∠BAO＝90°，∠C1BF＋∠ABO＝90°，
所以∠C1BF＝∠BAO.
因为BC1＝AB，
所以△C1BF≌△BAO(AAS)，
所以C1F＝BO＝3，BF＝AO＝1，
所以OF＝OB＋BF＝3＋1＝4，
所以点C1的坐标为(3，4).
②当∠BAC2＝90°，AB＝AC2时，
如图，作C2G⊥x轴于点G，
同理可证得△AC2G≌△BAO(AAS)，
所以AG＝BO＝3，C2G＝AO＝1，
所以OG＝OA＋AG＝1＋3＝4，
所以点C2的坐标为(4，1).
③当∠AC3B＝90°，AC3＝BC3时，
如图，此时C3为AC1的中点(由等腰直角三角形性质可知).
因为A(1，0)，C1(3，4)，
所以点C3的坐标为(2，2).
综上所述，点C的坐标为(3，4)或(4，1)或(2，2).(共19张PPT)
课后检测·能力达标
解答题
1．(12分)(2025·河南)在∠AOB中，C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为D，过点D作DE⊥OA，垂足为E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为G.
(1)【观察猜想】
如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：________________．(3分)
OD＝CG＋OE
因为DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA，
所以∠PEG＝∠CGE＝∠CPE＝90°，
所以四边形CPEG是矩形，
所以PE＝CG，
所以OD＝OP＝PE＋OE＝CG＋OE.
故答案为：OD＝CG＋OE
(2)【类比探究】
如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形(无须尺规作图)，并判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．(4分)
因为DE⊥OA，CG⊥DE，CQ⊥OA，
所以∠QEG＝∠CGE＝∠CQE＝90°，
所以四边形CQEG是矩形，
所以QE＝CG，
所以OD＝OQ＝QE－OE＝CG－OE.
2．(14分)综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．
60°
(4)归纳推理：比较d1，d2，d3的大小：____________，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线(水平线)的距离________(填“越大”或“越小”).(3分)
d1＞d2＞d3
越小
(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心(即圆心)的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线(水平线)的距离d＝________．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．(2分)
0(共22张PPT)
课后检测·能力达标
C
B
解析：如图，作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′G⊥BD于点G，交AD于点H.
由对称性可得当B′，E，F三点共线，且B′F⊥BD时，即点E在点H处，点F在点G处时，BE＋EF的值最小．
二、填空题
3．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM＋MN的最小值是________．
4．如图，∠AOB＝30°，点C，D均在射线OA上，且OC＝6，OD＝2，点E为射线OB上一动点，则CE＋DE的最小值为________．
解析：如图，作点C关于OB的对称点C′，连接C′D交OB于点E，连接C′O，过点C′作C′F⊥OA于点F，所以CE＋DE＝C′E＋DE＝C′D，此时CE＋DE的值最小．
由对称性可知OC＝OC′，∠COB＝∠BOC′.
又因为∠AOB＝30°，
所以∠COC′＝60°，
所以△COC′是等边三角形．
解析：如图，作点G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH＝EF＝1，连接HG′交AB于点E，
因为四边形ABCD是矩形，
所以AB∥CD，AD＝BC＝4，DC＝AB＝9.
因为CH＝EF＝1，CH∥EF，
所以四边形EFCH是平行四边形，
所以EH＝CF.
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝4，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动．若EF＝1，则GE＋CF的最小值为________．
10
6．在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC(∠A＝90°)硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点)，小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠，不留空隙)，则所能拼成的四边形中周长的最小值为________，最大值为________．
8
7．(2025·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6.将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连接AD，使得△ACD的面积为24，连接BD，则BD的最大值是________．
三、解答题
8．(12分)综合与实践
一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是2 km和3 km，AB＝x km.现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺设管道的总长度最短．数学小组设计了两种铺设管道的方案：
图3
(1)方案一：如图1，设该方案中管道长度为d1，则d1＝PA＋AB(其中AP⊥l)＝________km(用含x的式子表示).(2分)
解：由题意，得d1＝PA＋AB＝(x＋2)km.
故答案为：(x＋2)
(x＋2)
(2)方案二：如图2，设该方案中管道长度为d2，则d2＝PA＋PB(其中点B′与点B关于l对称，AB′与l交于点P)，为了计算d2的长，过点A作BB′的垂线，垂足是D，连接AB，如图3所示，计算得d2＝________km(用含x的式子表示).(2分)
(3)归纳推理：
①当x＝4时，比较大小：d1________(选填“>”“＝”或“<”)d2；(1分)
②当x＝6时，比较大小：d1________(选填“>”“＝”或“<”)d2.(1分)
<
>
(4)方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(6分)(共24张PPT)
专题七 类比探究题
类型一 方法类
01
(1)【尝试验证】这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值．
(2)【问题探究】经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程(可以从① ②或者② ①).
135
类型二 操作类
02
3．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G.
【特例感知】
(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG，请给予证明．
解：证明：如题图1，
因为∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，
所以△FAB≌△GAC(AAS)，
所以FB＝CG.
(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA，垂足为E.此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE，DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【联系拓展】
(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)
解：(2)中的猜想仍然成立．
4．在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用如下方法：
【操作感知】
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开(如图1)；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN(如图2).
【猜想论证】
(1)若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论．
解：△BMP是等边三角形．
证明：如图，连接AN.
由折叠可知，∠BNM＝∠BAM＝90°，AB＝BN，EF垂直平分AB，
所以AN＝BN，所以AN＝AB＝BN，
所以△ABN为等边三角形，
所以∠ABN＝60°，所以∠PBN＝∠ABM＝∠NBM＝30°，
所以∠MBP＝∠BMP＝60°，
所以△BMP是等边三角形．
【拓展探究】
(2)在图3中，若AB＝a，BC＝b，当a，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP (共19张PPT)
专题四 几何图形中的折叠问题
折叠问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析图形折叠前后的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等性质、相似性质、三角函数等知识进行解答．
与折叠有关的计算常用性质：
(1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形；
(2)折痕可看作垂直平分线(对应的两点之间的连线被折痕垂直平分)；
(3)折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等).
以矩形折叠为例，列举以下几种类型：
折法1　沿矩形对角线折叠
如图，点P为矩形ABCD边AD上一点，当点P与点D重合时，沿BP将△ABP折叠至△EBP，BE交CD于点H.
结论：①PH＝BH；②△PEH≌△BCH.
1．(2025·抚州二模)如图，在矩形ABCD中，AD∶AB＝3∶5，把矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则cos ∠DAE的值为________．
解析：令AD＝3a，则AB＝5a，由翻折可知，∠EAC＝∠BAC.
因为四边形ABCD是矩形，
所以AB∥CD，CD＝AB＝5a，
所以∠DCA＝∠BAC，
所以∠DCA＝∠EAC，
所以AE＝EC.
2．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为____________．
折法2　沿过矩形一顶点及一边上一点(非顶点)所在直线折叠
如图，点P为矩形ABCD边AD上一点，将△ABP沿BP折叠至△EBP，点A落在CD边上的点E处．
结论：①一线三垂直；②△PDE∽△ECB.
拓展类型
结论：图1中，△PDE∽△DBC或△PDE∽△BDA；
图2中，△DPF∽△EGF∽△CGB；
图3中，①△DPE为等腰三角形；②DE∥BP；③连接AE，△APE为等腰三角形，△ADE为直角三角形；④P，A，B，E四点共圆；⑤△PDE∽△BAE.
3．(2025·抚州模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，E是CD上一点，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，连接CF交BE于点G，H为AF的中点，连接HG.若DE＝2，则GH的长为________．
解析：如图，连接AC(图略).
因为四边形ABCD为矩形，
所以DC＝AB＝5.
因为DE＝2，
所以FE＝CE＝DC－DE＝3.
4．如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边上的点F处，折痕为CE.若∠D＝70°，则∠AEF＝________．
解析：因为四边形ABCD是菱形，∠D＝70°，
所以∠B＝70°，∠A＝110°.
因为将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边上的点F处，
所以∠B＝∠EFC＝70°，CF＝CD，
所以∠CFD＝∠D＝70°，
所以∠AFE＝180°－70°－70°＝40°，
所以∠AEF＝180°－∠A－∠AFE＝30°.
30°
折法3　沿矩形两边上各一点(非顶点)所在直线折叠
如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AD，BC上，沿EF将四边形ABFE折叠至四边形A′B′FE后，点B′落在AD上．
结论：连接BE，四边形EBFB′为菱形．
5．如图，将长16 cm，宽8 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为________cm.
2
折法4　在矩形ABCD中折出30°角
如图1，EF为矩形ABCD的对称轴．
如图2，点B′为矩形ABCD对角线的交点．
结论：图1中，①∠DAG＝∠GAD′＝∠D′AB＝30°，②△GHD′为等边三角形；
图2中，∠BAE＝∠CAE＝∠CAD＝30°.
7．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．点E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是________．
折法5　折痕过动点(选做)
(1)折叠中的动点问题常结合题设条件确定出满足条件的情况，画出图形，再求值．
(2)当折叠方式不确定时，常产生多解问题，可以通过关键条件，进行分类讨论，画出所有可能情况，把折叠方式不确定问题转化为折叠方式确定问题．(共63张PPT)
专题五 几何法求最值
类型一 利用垂线段最短求线段最值
01
模型1　一定一动
【问题】　定点A为直线m外一点，点P为直线m上一动点，当AP最短时，确定点P的位置．
【解题思路】　过点A作AP⊥m于点P，此时点A到直线m的距离最短，即AP的长．点P即为所求．
C
[分析]　连接BE，根据等腰直角三角形的性质及角的和差关系证明△CDP∽△CBE，得出E点的运动轨迹为直线BE，可得当DE⊥BE时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可求得．
模型2　一定两动
1．定点在角的外部
【问题】　定点A在∠POQ的外部，动点B，C分别在OP，OQ上，当AB＋BC的值最小时，确定点B，C的位置．
【解题思路】　过点A作AC⊥OQ于点C，交OP于点B，点B，C即为所求．
2．定点在角的边上
【问题】　定点A、动点B在OP上，动点C在OQ上，当AC＋BC的值最小时，确定点B，C的位置．
【解题思路】　作点A关于OQ的对称点A′，过点A′作A′B⊥OP于点B，交OQ于点C，点B，C即为所求．
3．定点在角的内部
【问题】　点P在∠AOB的内部，在OA上求作一点C，在OB上求作一点D，使PD＋CD的值最小．
【解题思路】　作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA于点C，交OB于点D，此时PD＋CD的值最小，最小值即为P′C的长．
如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC于点D，点E，F分别是线段AD，AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为________．
[分析]　过点C作CF⊥AB于点F，交AD于点E，则此时CE＋EF的值最小，即CF的长，再根据等边三角形的性质知F是AB的中点，最后利用勾股定理求解即可．
B
2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，E为边AC上的动点，F为边AB上的动点，则FE＋EB的最小值是________．
类型二 利用“将军饮马”求线段最值
02
模型1　“一线两点”型(一动点＋两定点)
1．异侧线段和最小值问题
【问题】　两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．
【解题思路】　根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l于点P，点P即为所求．
2．同侧线段和最小值问题
【问题】　两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．
【解题思路】　将两定点同侧问题转化为两定点异侧问题，同1即可解决．可作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，点P即为所求．
3．同侧线段差最大值问题
【问题】　两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|值最大．
【解题思路】　根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求．
4．异侧线段差最大值问题
【问题】　两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|值最大．
【解题思路】　将两定点异侧问题转化为两定点同侧问题，同3即可解决．可作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，与直线l交于点P，点P即为所求．
如图，直线y＝x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为(　　)
A．(－4，0) B．(－3，0)
C．(－2，0) D．(－1，0)
[分析]　由轴对称的性质可知，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′，交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，再求出直线CD′的解析式，即可求得点P的坐标．
C
[解析]　如图，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′，交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，且最小值为CD′.
因为直线y＝x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，
所以令x＝0，则y＝8，
则B(0，8)，
令y＝0，则x＝－8，
则A(－8，0).
因为点C，D分别为线段AB，OB的中点，
所以C(－4，4)，D(0，4).
因为点D关于x轴的对称点为D′，
所以D′(0，－4).
模型2　“一点两线”型(一定点＋两动点)
【问题】　点P是∠AOB内部的一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小．
【解题思路】　要使△PMN的周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
[分析]　分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接OC，OD，CD，则当M，N分别是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最小，最小值为CD的长度，根据对称的性质可以证得△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．
D
模型3　“两点两线”型(两定点＋两动点)
【问题】　点P，Q是∠AOB内部的两定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四边形PQNM的周长最小．
【解题思路】　要使四边形PQNM的周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．
A
[分析]　作点M关于OB的对称点M′，作点N关于OA的对称点N′，连接M′N′，其长度即为MP＋PQ＋QN的最小值；证出∠N′OM′＝90°，由勾股定理即可求出M′N′的长度．
模型4　“建桥选址”模型及其变形
1．“建桥选址”模型
【问题】　直线l1∥l2，且l1，l2之间的距离为d，在直线l1，l2上分别求一点P，Q，使得PQ⊥l2且AP＋PQ＋QB的值最小．
【解题思路】　将点A向下平移d个单位长度到点A1，连接A1B交直线l2于点Q，再将点Q向上平移d个单位长度到点P，则点P，Q即为所求．
2．“建桥选址”模型的变形
【问题】　在直线l上找点P，Q，使得PQ＝a，且AP＋PQ＋QB的值最小．
【解题思路】　将点A向右平移a个单位长度到点A1，连接A1B交直线l于点Q，再将点Q向左平移a个单位长度到点P，则点P，Q即为所求．
如图，某河在CC′处直角拐弯，河宽均相同．现要在河流拐弯的两段分别造桥DD′，EE′，桥要与河岸垂直，如何造桥可使ADD′E′EB的路程最短？
[解]　如图，作AF⊥CM，且AF＝河宽，作BG⊥CN，且BG＝河宽，连接GF，与河岸C′M′，C′N′分别相交于点D′，E′，分别在点D′，E′造桥DD′，EE′，且DD′，EE′均与河岸垂直，可使ADD′E′EB的路程最短．
解析：如图，连接BF，则EF≥BF－BE，当点B，E，F在同一条直线上时，EF的长度有最小值．
由翻折的性质，知BE＝AB＝4.
B
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E，F分别是AD，BC的中点，点P，Q在EF上，且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为________．
解析：因为AB＝5，PQ＝2，
所以四边形APQB的周长为AP＋PQ＋BQ＋AB＝AP＋BQ＋7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP＋BQ最小即可．在AB边上截取AM＝PQ.
因为E，F分别是矩形ABCD的边AD，BC的中点，所以PQ∥AM，点B关于EF的对称点为点C，
12
(1)点C的坐标为________；
（5,0）
(2)若P是y轴上的一动点，求PA＋PB的最小值．
6．请阅读以下材料．
如图1，A，B两村之间有一条两岸互相平行的河，河宽为a.现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使A，B之间的路程最短，试画出造桥位置．对于此题，我们可以这样解决：
如图2，把点A向下平移a个单位长度到点A′，连接A′B交l2于点C；过点C作CD⊥l1于点D，则CD就是造桥位置．
请仿照以上材料解决如下问题：
如图3，A，B两村之间有两条互相平行的河．一条河宽为a，另一条河宽为b，现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使A，B之间的路程最短，试画出造桥的位置．
解：如图，MN，EF即为造桥的位置
类型三 利用圆的相关性质求线段最值
03
定点定长作圆
平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的运动轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆(如图1).
推广：如图2，在四边形ABCD中，点E为边AB上一定点，点F为边BC上一动点(不与点B重合)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以点E为圆心，线段BE为半径的一段弧．
模型1　点圆最值
【模型分析】
平面内一定点D和⊙O上一动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O的半径为r)：
(1)当点D在⊙O外时，d＞r，如图1、图2：
当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r；
B
A
[分析]　根据点N的坐标可确定其为直线y＝2x＋4上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出MN的最小值．
7．(2025·抚州二模)如图，边长为4的正方形ABCD中，半径为1的⊙O在正方形ABCD内平移(⊙O可以与该正方形ABCD的边相切)，设点B到⊙O上的点的距离为x，且x是整数，则x值的所有情况有(　　)
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
C
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是平面内一个动点，且AD＝BC，E为BD的中点，在点D运动过程中，设线段CE的长为m，则m的整数值有(　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
D
在△CEF中，CF－EF所以4因为C，F是定点，E是动点，且点E在以点F为圆心，EF的长为半径的圆上运动，
所以当C，E，F三点共线，且点E在线段CF上时，m取得最小值，最小值为4.
如图，
当C，F，E三点共线，且点E在射线CF上时，m取得最大值，最大值为9.
综上所述，m的取值范围为4≤m≤9，所以m的整数值有6个．
故选D.
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点F是AC上一点，且AF∶FC＝2∶1，点E是边BC上一动点．将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求点P到边AB的距离的最小值．(共35张PPT)
专题三 课本再现
类型一　教材定理证明探究
01
(2025·江西模拟)【课本再现】
定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
【定理证明】
为了证明该定理，小颖同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程．
图1
(1)已知：如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
图1
[解]　证明：因为∠A＝∠B＝90°，所以∠A＋∠B＝180°，
所以AD∥BC，
所以∠C＋∠D＝180°.
因为∠C＝90°，
所以∠D＝180°－90°＝90°，
所以∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
所以四边形ABCD是矩形．
【知识应用】
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB＝AE，F是BC上的一点，且EF＝EC，过点C作CP⊥EF，交BE于点P，过点P作PM⊥BC于点M.
①求证：四边形ABCD是矩形；
图2
证明：因为∠A＝90°，AB＝AE，
所以∠ABE＝∠AEB＝45°.
因为BE平分∠ABC，
所以∠ABC＝2∠ABE＝90°.
又因为∠A＝∠D＝90°，
所以四边形ABCD是矩形．
思考
我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理：
四条边相等的平行四边形是菱形．
1．(2025·江西模拟预测)【课本再现】
【定理证明】
(1)如图1，已知在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，求证：四边形ABCD是菱形．
图1
解：证明：如图1，在四边形ABCD中，
因为AD＝BC，AB＝CD，
所以四边形ABCD是平行四边形．
又因为AB＝AD，
所以平行四边形ABCD是菱形．
图1
【知识应用】
(2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，对角线AC和BD相交于点O.
①求证：四边形ABCD是菱形；
图2
解：证明：因为AD∥BC，
所以∠3＝∠2.
又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4,
所以AB＝AD，BC＝DC.
因为AB＝CD，
所以AB＝AD＝BC＝DC，
所以四边形ABCD是菱形．
图2
②若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形ABCD的面积．
图2
类型二　教材方法应用探究
02
(2025·江西二模)【课本再现】
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
图1
【性质探究】
(1)求证：AC⊥BD.
[解]　证明：因为AD＝CD，AB＝CB，所以BD垂直平分AC，所以AC⊥BD.
图1
【知识应用】
(2)如图2，在△BEF中，BD平分∠EBF，∠ECD＝∠FAD.
①求证：四边形ABCD是“筝形”；
图2
[解]　证明：因为∠ECD＝∠FAD，
所以∠BCD＝∠BAD.
又因为BD平分∠EBF，
所以∠CBD＝∠ABD.
②对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，AD＝5，且∠ADC＝2∠ABC，求AB的长．
[解]　如图，在OB上取一点G，连接AG，使得AG＝AD.
由①可知△BCD≌△BAD，
所以∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD.
因为∠ADC＝2∠ABC，
所以∠ADB＝2∠ABD.
因为AG＝AD＝5，
所以∠ADG＝∠AGD，
所以∠AGD＝2∠ABD，
所以∠GAB＝∠ABD，
所以AG＝BG.
因为AC＝8，所以OA＝4.
2．(2025·赣州二模)【课本再现】(1)如图1，把矩形ABCD对折得到折痕EF，再一次对折，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到新折痕BM，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把∠ABC(　　)
A．二等分　　B．三等分　　　C．四等分
图1
B
图2
△CBO
AO
OC
(3)如图3，先把矩形ABCD沿EF对折，再沿DE折叠，折痕DE交对角线AC于点G，过点G折叠矩形，使得点A落在AD上，得到折痕PQ.请判断点P是否为AD边的“三等分点”？并证明你的结论．
图3
【拓展应用】(4)如图4，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是边AB的三等分点，把△ADP沿DP翻折得到△EDP，直线PE交BC于点F，请求出BF的长．
图4
图1
图2(共11张PPT)
课后检测·能力达标
1．(6分)如图，AB＝AC，BD＝CD.请仅用无刻度的直尺按下列要求作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中，作∠BDC的平分线；(3分)
图1
解：如图1，射线DM即为所求．
(2)在图2中，分别在AB，AC上取点E，F，作DE，DF，使DE＝DF.(3分)
解：DE，DF如图2所示．
图2
2．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在三角形的内部．请根据下列要求，仅用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中，若点O是△ABC的外心，作△ABC的角平分线AD；(3分)
(2)在图2中，若点O是△ABC的内心，作BC的平行线．(3分)
解：线段AD如图1所示．
解：如图2，直线GE即为所求．
3．(6分)(2024·江西二模)如图，已知△ABC和△DEF都是等边三角形，点A，B，D，E在同一直线上，D是AE的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中作线段AE的中垂线；(3分)
(2)在图2中作菱形ADFQ.(3分)
图1　 图2
解：如图1，直线DG即为所求．
解：菱形ADFQ如图2所示．
图1　　图2
4．(6分)(2024·安源区二模)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC.试分别在下列两个图中按要求仅用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中，作出∠DAE的平分线；(3分)
(2)在图2中，作出∠AEC的平分线．(3分)
解：如图1，射线AC即为所求．
解：如图2，射线EF即为所求．
5．(6分)如图，有正六边形ABCDEF.请分别在图1、图2中仅用无刻度的直尺按要求作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中，以AB为直角边，作一个直角三角形；(3分)
(2)在图2中，以AB为边作一个菱形．(3分)
解：如图1，△ABE即为所求．(答案不唯一)
解：如图2，四边形ABOF即为所求．(答案不唯一)
6．(6分)如图，D，E分别是AB，AC的中点，且AB⊥AC于点A.请你仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图1中，点A，B，C在圆上，画出圆心O；(3分)
(2)在图2中，点A，B在圆上，点C在圆内，画出圆心O.(3分)
解：点O如图1所示．
解：点O如图2所示．
7．(6分)(2024·玉山县二模)如图，以等腰三角形ABC的底边AB为直径的圆，与AC，BC分别交于点D，E.请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图(保留画图痕迹，不写画法).
(1)在图1中，画一条与AB平行的直线；(3分)
(2)在图2中，画一个以AB为对角线的矩形．(3分)
解：如图1，直线DE即为所求．(答案不唯一)
解：如图2，四边形AEBT即为所求．(答案不唯一)
解：如图1，直线EF即为所求．
解：直线CD如图2所示．(答案不唯一)
解：线段BE，点F如图1所示．(作法不唯一)
解：线段GH，点P如图2所示．(作法不唯一)(共44张PPT)
课后检测·能力达标
填空题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，D是AB的中点，点E在边AC上，连接DE.把△ADE沿DE翻折得到△A′DE.当A′E与△ABC的一边平行时，AE的长为____________________．
2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(4，0)，点P在x轴上，连接AP，把AP绕点P顺时针旋转90°得到线段A′P，连接A′B.若△A′PB是直角三角形，则点P的横坐标为_______________________．
5．如图，点A的坐标是(－2，2)，若点P在x轴的负半轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是________________________________．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为CD的中点，点P在AE下方矩形的边上，当△APE为直角三角形，且P为直角顶点时，BP的长为____________________．
解析：如图，根据题意可知，点P在以AE为直径的圆上．
因为E为CD的中点，AB＝6，
所以CE＝3.
①当点P在AB上时，即点P落在点P1处，则∠AP1E＝90°.
因为在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
所以P1E∥BC.
又因为AB∥CD，即P1B∥CE，
所以四边形P1BCE是平行四边形，
所以P1B＝CE＝3.
7．(2025·河南)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为_____________．
解析：因为AB＝AC＝5，
所以∠B＝∠C.
因为∠APC＝∠B＋∠BAP，
所以∠APC>∠B，
所以∠APC>∠C.
若△APC为“反直角三角形”，
②如图，当∠APC－∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，
所以∠APC－∠APM＝∠CPM＝90°，
所以∠CAP＝∠APM，
所以AM＝PM.
因为PM⊥BC，AD⊥BC，
所以PM∥AD，
8．(2025· 宜春一模)如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E为BC的中点，F为直线BD上的动点(不与点D重合)，当△AEF为以AE为腰的等腰三角形时，DF的长为_____________________．
9．(2025·新余二模)如图，已知二次函数y＝－3x2＋6x图象的顶点为A，与x轴交于原点和点B.若在y轴正半轴上有一点P，使△PAB为直角三角形，则点P的坐标为_______________________．
解析：设点P的坐标为(0，m)，m>0.
因为y＝－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3，
所以A(1，3).
令y＝0，则－3x2＋6x＝0，
解得x＝0或x＝2，
所以B(2，0)，
所以AB2＝(1－2)2＋(3－0)2＝10，
AP2＝(1－0)2＋(3－m)2＝m2－6m＋10，
BP2＝(2－0)2＋(0－m)2＝m2＋4.
10．(2025·南昌二模)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是AB的中点．将△ACD绕点A旋转α(0°<α<360°)得到△AC1D1(点C与点C1对应，点D与点D1对应)，当点C1落在△ABC的边所在的直线上时，点B到直线C1D1的距离为_____________________．
解析：①当点C1落在边AB上时，过点C1作C1E⊥BC于点E，如图．
在等腰直角三角形ABC中，
因为D是AB的中点，
所以∠ADC＝90°，AD＝DC，
由旋转的性质，得∠AD1C1＝90°，AD＝AD1，
所以AD＝AD1＝DC.
由旋转的性质可得B1A＝B1C1，∠AB1C1＝90°.
因为∠E＝∠F＝90°，
所以∠EAB1＋∠EB1A＝90°＝∠FB1C1＋∠EB1A，
12．(2025·九江二模)如图，四边形ABCD为正方形，射线DC上有一动点E(不与点D重合)，点D，F关于直线AE对称，连接CF，BF.当△FCB是等腰三角形时，∠DFE的度数为_________________．
15°或75°或30°
③如图，当FB＝FC时，则点F在BC的垂直平分线上，也在AD的垂直平分线上，
易知△ADF为等边三角形，
所以∠DFE＝90°－60°＝30°.
④当BC＝FC时，没有满足条件的动点E.
综上所述，∠DFE的度数为15°或75°或30°.
13．(2025·吉安二模)如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系xOy中， A(0，4)，B(－3，0)，AD＝6.若点M在平面直角坐标系内，点F在直线AB上(不在坐标轴上)，且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为________________________________．
解析：连接AC.
在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
因为A(0，4)，B(－3，0)，AD＝6，
所以OB＝3，BC＝AD＝6，
所以OC＝6－3＝3.(共31张PPT)
专题八 中考新题型
类型一 数学文化理解题
01
1．(2025·九江一模)明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个“以碗知僧”的问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意：山上有一座古寺叫都来寺．在这座寺庙里，3位和尚合吃一碗饭，4位和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．设都来寺里有x位和尚，则可列方程：________________．
2．(2025·江西一模)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，
孩子自出生后的天数＝3×72＋2×71＋6＝147＋14＋6＝167(天).请根据图2，计算孩子自出生后的天数是________天．
图1　图2
109
－652
类型二 跨学科问题
02
D
4．(2025·吉安一模)光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形ABFE为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C，测得α＝40°，β＝30°.若P，D，B三点在同一条直线上，则∠BDC的度数为(　　)
A．40° B．30°
C．20° D．10°
5．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷……癸烷(当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……)等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8……其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为________．
C12H26
类型三 阅读理解类问题
03
(1)小宇的解法是从第________步开始出现错误的；
(2)请写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来．
一
7．(2025·宜春一模)“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”小华了解到某地铁1号线列车从万寿宫站开往秋水广场站时，在距离停车线256 m处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后3 s滑行的距离．为了解决这些问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s(m)与滑行时间t(s)的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
(1)建立模型
①收集数据
t/s 0 4 8 12 16 20 24
s/m 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐标系
为了观察s(m)与t(s)的关系，建立如图所示的平面直角坐标系；
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
解：③根据题意，描点、连线如下：
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象；
二次
⑤求函数解析式
请根据上述数据求出s关于t的函数解析式；
(2)应用模型
列车从减速开始，经过多少秒，列车停止？最后3 s，列车滑行的距离为多少米？
类型四 现实热点问题
04
8．随着科技发展，机器人逐步走进我们的生活，给生产活动带来了极大的助力．某种“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似．如图，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB，BC分别为机器人的大、小臂，其中小臂BC＝4 m，大臂AB＝5 m，移动基座AO＝4.5 m，当AB⊥BC，∠OAB＝143°时，求：
(1)大、小臂连接处B到移动基座OA的水平距离；
(2)点C到工作台的高度CD的长．
(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
类型五 新定义问题
05
9．(2025·江西)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m，m)为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点(1，1)为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
(1)对一次函数y＝kx＋b(k≠0)进行探究后，得出下列结论：
①y＝x＋2是“不动点函数”，且只有一个不动点；
解：①对于y＝x＋2，
由于m≠m＋2，
所以y＝x＋2不是“不动点函数”，结论错误；
③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是________(填写正确结论的序号).
解：③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点，结论正确．
故答案为：③
③
(2)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
解：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)是“不动点函数”，
所以将点(m，m)代入，
得m＝mk＋b，
整理，得(1－k)m＝b.
当1－k≠0，即k≠1且k≠0时，b为任意实数．
当1－k＝0，即k＝1时，b＝0.
探究2
(3)对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2－2bx＋c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
解：由抛物线y＝x2－2bx＋c＝(x－b)2＋c－b2，
得顶点坐标为(b，c－b2).
因为抛物线y＝x2－2bx＋c的顶点为该函数图象上的一个不动点，所以b＝c－b2.
探究3
(4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(12－x)件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
解：根据题意，得y＝(x－6)(12－x)＝－x2＋18x－72.
该函数是不动点函数．
理由：令x＝－x2＋18x－72，
整理，得x2－17x＋72＝0，
解得x1＝8，x2＝9，
所以该函数是“不动点函数”．
不动点表达的实际意义：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．(共23张PPT)
课后检测·能力达标
一、选择题
1．如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作：第一步，将图①中的纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④.则DH的长为(　　)
D
A
3．(2025·河北)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是(　　)
A.∠1＝45°－α B．∠1＝α
C．∠2＝90°－α D．∠2＝2α
D
因为∠BDE≠∠CDE，
所以∠1≠α，故B不正确．
由折叠的性质，得∠C′ED＝∠CED.
因为∠2＝180°－2∠CED＝180°－2(90°－α)＝2α，故D正确．
∠DEC＝90°－α，∠2与∠DEC不一定相等，故C不正确．
故选D.
二、填空题
4．(2024·威海)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E.若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝________．
由折叠可得C′M＝CM＝5，
∠D′C′M＝∠C＝∠D′＝∠D＝90°，
所以∠BC′M＋∠AC′E＝∠AEC′＋∠AC′E＝90°，
所以∠BC′M＝∠AEC′.
又因为AC′＝BM＝3，
所以△BC′M≌△AEC′，
所以BC′＝AE＝4，MC′＝C′E＝5，
所以AB＝CD＝C′D′＝7，BC＝AD＝BM＋CM＝3＋5＝8，
所以DE＝AD－AE＝8－4＝4，
D′E＝C′D′－C′E＝7－5＝2.
5．如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P.若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长为________．
解析：因为四边形ABCD是矩形，
所以AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝90°.
因为EF∥BD，
所以∠CEF＝∠CBD，
∠FEM＝∠EMB，
由翻折得∠CEF＝∠FEM，ME＝CE，
7．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边CD上一点(不与点C，D重合)，且CE的长是整数，将纸片沿过点A的一条直线折叠，点B落在点B′处，折痕交BC于点P，沿直线PE再折叠纸片，点C落在C′处，且B′，C′，P三点共线．
(1)∠APE的度数为________；
(2)线段BP的长为________．
90°
1或3
三、解答题
8．(8分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上．将矩形ABCD分别沿BE，EF翻折后点A，D均落在点G处，此时B，G，F三点共线，若BG＝2EG.
(1)求证：矩形ABCD为正方形；(4分)
解：证明：由翻折得EA＝EG，ED＝EG，BG＝BA，
所以EA＝ED＝EG，
所以AD＝2ED＝2EG.
因为BG＝2EG，
所以AD＝BG，
所以AD＝BA.
又因为四边形ABCD是矩形，
所以四边形ABCD是正方形．
(2)若DF＝2，求BC的长．(4分)
解：由翻折得∠GEB＝∠AEB，∠GEF＝∠DEF，所以∠AEG＝2∠GEB，∠DEG＝2∠GEF，
所以2∠GEB＋2∠GEF＝180°，
所以∠BEF＝∠GEB＋∠GEF＝90°.
因为∠D＝90°，
所以∠AEB＝∠DFE＝90°－∠DEF.
9．(9分)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF.
(1)求证：△PDE≌△CDF；(4分)
解：证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以AB＝CD，∠A＝∠B＝∠ADC＝∠C＝90°.
由折叠知，AB＝PD，∠A＝∠P，∠B＝∠PDF＝90°，
所以PD＝CD，∠P＝∠C，∠PDF＝∠ADC，
所以∠PDF－∠EDF＝∠ADC－∠EDF，
所以∠PDE＝∠CDF.
(2)若CD＝4 cm，EF＝5 cm，求BC的长．(5分)
解：如图，过点E作EG⊥BC于点G.
设AE＝x cm，则EP＝x cm.
由△PDE≌△CDF知，EP＝CF＝x cm，PD＝CD＝4 cm，(共18张PPT)
课后检测·能力达标
A
2．函数y＝[x]叫做高斯函数，其中x为任意实数，[x]表示不超过x的最大整数．定义{x}＝x－[x]，则下列说法正确的个数为(　　)
①[－4.1]＝－4；②{3.5}＝0.5；③高斯函数y＝[x]中，当y＝－3时，x的取值范围是－3≤x<－2；④函数y＝{x}中，当2.5A．0 B．1
C．2 D．3
D
解析：设第三行第一列的数字为a，则第三行数字之和为a＋3.
由第三行数字之和等于第三列数字之和，得第二行第三列的数字为a＋3－(－2)＝a＋5.
由第三行数字之和等于对角线数字之和，得第二行第二列的数字为a＋3－a－(－2)＝5.
由第三行数字之和等于第二行数字之和，得x＋5＋a＋5＝a＋3，解得x＝－7.
二、填空题
3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则图中x的值为________
－2
x
3 0
－7
4．(2025·自贡)如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，AB＝DC＝2.以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1；以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1；再以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2；又以点E2为圆心……重复以上操作．则D2 025F2 025的长为____________________．
5．我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是________．
250
三、解答题
6．(10分)(2025·福建)阅读材料，回答问题．
【主题】两个正数的积与商的位数探究．
【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7 293；186×362＝67 332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个(m＋n－1)位的正整数．
【分析探究】问题1：小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
【推广延伸】小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n＋1，数字是a.
借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．
命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m-1，b×10n-1，c×10p-1，其中a，b，c均为正数．
解：小明的猜想不正确．
反例：3×4＝12.
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；(4分)
(3)解决问题2.(4分)(共17张PPT)
课后检测·能力达标
解答题
1．(10分)(2025·宜春一模)【课本再现】九年级上册第51页探究3：

图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？

分析：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
(1)请你完成剩余部分．(3分)
(2)【实际应用】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某市计划进行一场划龙舟比赛，如图是比赛途中经过的一座拱桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，已知水面的宽度OA为60 m，拱桥最高点到水面OA的距离为9 m，设桥拱上的点到水面的竖直高度为y m，到点O的水平距离为x m.
①以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，求y与x的函数解析式；(3分)
解：由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为(30，9)，
可设拱桥所在抛物线的解析式为y＝k(x－30)2＋9，
将(0，0)代入y＝k(x－30)2＋9，得900k＋9＝0，
解得k＝－0.01，
所以拱桥所在抛物线的解析式为
y＝－0.01(x－30)2＋9.
②据调查，龙舟最高处距离水面2 m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为3 m．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为8 m，求最多可设计龙舟赛道的数量．(4分)
解：当y＝2＋3＝5时，－0.01(x－30)2＋9＝5，
解得x＝10或x＝50，
所以可设计龙舟赛道的宽度为50－10＝40(m)，
因为40÷8＝5，
所以最多可设计5条龙舟赛道．
图1
备用图
①②③④
解：因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，OA＝OB.
因为∠AOB＝∠A1OC1＝90°，
所以∠AOE＝∠BOF.
又因为∠OAE＝∠OBF＝45°，
所以△AOE≌△BOF(ASA)，故①正确．
因为∠EBF＝90°，
所以EF2＝BE2＋BF2.
因为AB＝BC，AE＝BF，
所以BE＝CF，
所以EF2＝AE2＋CF2，故④正确．
故答案为：①②③④
【类比迁移】
(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明．(4分)
图2
解：AE2＋CF2＝EF2.
证明：如图，连接AC.
因为O为矩形中心，
所以AC过点O，且AO＝CO.
延长EO交DC于点E′.
因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠ACE′.
又因为∠AOE＝∠COE′，
所以△AOE≌△COE′(ASA)，
所以AE＝CE′，EO＝E′O.
因为四边形A1B1C1O是矩形，
所以∠EOF＝90°＝∠FOE′，
所以FO垂直平分EE′，
所以EF＝E′F.
因为在Rt△FCE′中，CE′2＋FC2＝E′F2，
所以AE2＋CF2＝EF2.
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝2 cm时，求线段EF的长度．(5分)
图3
解：设CF＝x cm.
①当点E在线段AC上时，如图．
②当点E在CA的延长线上时，如图，过点B作BE′∥AC，交ED的延长线于点E′，连接FE′，

展开更多......

收起↑