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(共30张PPT)
第7节　分式方程及其应用
命题探源·强基固本
01
一、分式方程及其解法
定义 ____中含有未知数的方程
解法
口诀：一化、二解、三检验、四写根
分母
温馨提示：分式方程有增根和分式方程无解并非同一概念：(1)分式方程的增根是分式方程去分母后的整式方程的解，也是使分式方程的最简公分母为0的未知数的值．(2)分式方程无解可分两种情况：①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，所以分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程的解是分式方程的增根，所以分式方程无解．
二、分式方程的应用
1．列分式方程解应用题的一般步骤

温馨提示：解分式方程必须“双检验”：①检验所得解是不是分式方程的解；②检验方程的解是否符合实际意义．
2．常见类型及关系式
考点透析·精研细究
02
考点一 分式方程的解法
解：方程两边乘x(x＋1)(x－1)，得4(x－1)－3(x＋1)＝0，解得x＝7.
检验：当x＝7时，x(x＋1)(x－1)≠0，
所以，原分式方程的解为x＝7.
解分式方程的一般步骤
考点二 与分式方程的解有关的字母取值问题
D
B
与分式方程的解有关的两类问题
(1)根据方程的解的性质求字母的取值范围，解题策略是将分式方程化成整式方程，解整式方程，用含有字母的代数式表示整式方程的解，根据解的性质列不等式（组）求出字母的取值范围，注意整式方程的解要满足分母不等于零这个隐藏条件．
(2)分式方程无解，有两种情况：
①将分式方程化成整式方程ax＝b，整式方程出现a＝0，b≠0的情况，此时整式方程无解，所以分式方程也无解；
②将分式方程化成整式方程，整式方程的解使得分式方程的分母为零，此时分式方程无解．
考点三 分式方程的应用
(2019·江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6 m，在绿灯亮时，小明共用11 s通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x m/s，根据题意列方程为
_____________．
5．（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________________．
6．(2021·江西）甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2 400元购买的商品数量比乙用3 000元购买的商品数量少10件．
(1)求这种商品的单价；
(2)甲、乙两人第二次去采购该商品时，单价比上次少了20元，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是_______元，乙两次购买这种商品的平均单价是______元；
(3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合(2)的计算结果，建议按相同________（填“金额”或“油量”）加油更合算．
解：金额
核心素养·新课标新考法
03
2．(2025·南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆；B型客车租车费用为3 000元/辆．
优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3 200－50m)元/辆；租用B型客车，租车费用打八折．
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车；
学校参加研学活动的师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)每辆A，B型号的客车的载客量分别是多少？
(2)本次研学活动，学校的租车费用最少是多少？(共47张PPT)
第8节　不等式(组)及其应用
命题探源·强基固本
01
一、不等式的有关概念
1．不等式的解：能使不等式成立的______的值，叫做不等式的解．
2．不等式的解集：一个含未知数的不等式的________，组成这个不等式的解集．
3．解不等式：求不等式的____的过程叫做解不等式．
未知数
所有的解
解集
二、不等式的性质
>
>
>
改变
<
<
三、一元一次不等式(组)的有关概念
1．一元一次不等式：只含有__个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是__的不等式，叫做一元一次不等式．
2．一元一次不等式组：把两个含有同一个未知数的______________合起来，组成一个一元一次不等式组．
3．不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的________，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
一
1
一元一次不等式
公共部分
四、解一元一次不等式的一般步骤
去分母→______→移项→__________→系数化为1
温馨提示：在数轴上表示解集时，要注意“两定”．
(1)定边界点：“≤”或“≥”在数轴上表示为实心圆点，“＜”或“＞”在数轴上表示为空心圆圈．
(2)定方向：小于向左，大于向右．
去括号
合并同类项
五、一元一次不等式组解集的四种情况(ax>b
xa无解
六、一元一次不等式(组)的应用
1．列不等式(组)解应用题的一般步骤
审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
设 设出未知数
列 根据题目中的不等关系，列出不等式(组)
解 解不等式(组)
答 写出符合题意的答案
2.在不等式的实际问题中，常见关键词与不等号的关系
常见关键词 不等号
大于、多于、超过、高于 ＞
小于、少于、不足、低于 ＜
至少、不低于、不小于、不少于 ≥
至多、不超过、不高于、不大于 ≤
考点透析·精研细究
02
考点一 不等式的性质
D
已知3个实数a，b，c满足a＋b＝2c，则下列结论不正确的是(　　)
A．若a，b互为相反数，则c＝0
B．若a＞0，b＞0，则c＞0
C．a－c＝c－b
D．若a＞c，则c＜b
A
1．若m>n，则根据不等式的性质，下列不等式变形正确的是(　　)
A．m＋1>n＋1 B．m－n<0
C．－2m>－2n D．1－m>1－n
提醒：不等式两边乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向一定要改变．
考点二 一元一次不等式的解法及解集的确定
A
2．(2025·江西)不等式－x＋1>0的解集为________．
x<1
解一元一次不等式时的三点注意
(1)去分母时，不要漏乘不含分母的项．
(2)移项时，注意改变所移项的符号，但不等号的方向不变．
(3)系数化为1时，要注意不等号的方向是否需要改变．
考点三 一元一次不等式组的解法
C
一元一次不等式组的解法
(1)分开解：分别解每个不等式，求出其解集．
(2)集中判：根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”，确定不等式组的解集．(或把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集)
考点四 不等式组的整数解及根据不等式组的解集确定未知字母的值(或取值范围)
0
a≤－2
(2)当m取(1)的一个整数解时，解方程x2－2x－m＝0.
根据不等式组的解集确定未知字母的值(或取值范围)
已知不等式组中含有字母m，可以先求出不等式组的解集(用含字母m的式子表示)，再根据已知解集的情况列出关于m的方程(组)[或不等式(组)]，进而求出m的值(或取值范围).
考点五 一元一次不等式(组)的应用
(2024·江西)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm.
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
[解]　方法一：设该书架上有数学书x本，则有语文书(90－x)本．
依题意，得0.8x＋1.2(90－x)＝84，
解得x＝60.
90－60＝30.
答：该书架上有数学书60本，语文书30本．
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
[解]　设在该书架上还可以摆数学书y本．
依题意，得0.8y＋1.2×10≤84，
解得y≤90.
答：数学书最多还可以摆90本．
8．某超市购进一批智能扫地机器人，进价为800元，出售时标价为1 200元，后来由于该商品积压，超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则下列关于打折的说法正确的是(　　)
A．至多打八折 B．至多打七折
C．至少打七折 D．至少打八折
B
9．(2023·江西)今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
(1)求该班的学生人数；
解：设该班的学生人数为x人．
依题意，得3x＋20＝4x－25，
解得x＝45.
答：该班的学生人数为45人．
(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵40元，购买这批树苗的总费用没有超过5 400元，请问至少购买了甲种树苗多少棵．
解：由(1)可知，树苗总数为3x＋20＝155(棵).
设购买了甲种树苗y棵，则购买了乙种树苗(155－y)棵．
依题意，得30y＋40(155－y)≤5 400，
解得y≥80.
答：至少购买了甲种树苗80棵．
列不等式(组)解应用题的三点注意
(1)在设未知数和写答案时，一定要写清单位，列不等式时两边所表示的量应相同，并且单位要统一．
(2)不等关系的给出一般以“至少”“小于”“不超过”“最多”等关系词语作为标志，列不等式时一定要准确地使用数学符号表示．
(3)检验一个解是否为应用题的解时，需满足：
①是不等式(组)的解；②符合实际问题的意义，如求得的人数必须是正整数等．
核心素养·新课标新考法
03
解析：设四位数m个位上的数为x，十位上的数为y(x是0到9的整数，y是0到8的整数)，所以m＝1 000(9－y)＋100(9－x)＋10y＋x＝99(100－10y－x).
因为m是四位数，所以99(100－10y－x)是四位数，即1 000≤99(100－10y－x)<10 000.
1 188或4 752
2．(2025·连云港)如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．
甲种纸盒
乙种纸盒
硬纸片
(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？
(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？(共41张PPT)
第6节　一元二次方程
命题探源·强基固本
01
一、一元二次方程
1．一元二次方程的定义
只含有__个未知数，并且未知数的最高次数为__的____方程叫做一元二次方程．
2
一
整式
2．一元二次方程的一般形式
一
(2)方法
解法 形式 方程的根
直接开 平方法 x2＝p(p≥0) x＝____
(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0) x＝__________
配方法 (x－m)2＝n(n≥0) x＝______
公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝____________
因式分解法 a(x－x1)(x－x2)＝0(a≠0) x＝________
x1或x2
二、根的判别式
1．根的判别式
(1)一元二次方程根的判别式Δ＝___________．
(2)判别式与一元二次方程根的关系
①Δ＝b2－4ac>0 方程____________的实数根；
②Δ＝b2－4ac＝0 方程__________的实数根；
③Δ＝b2－4ac<0 方程____实数根．
b2－4ac
有两个不相等
有两个相等
没有
2．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根分别为x1，x2，那么x1＋x2＝____，x1x2＝__．
三、一元二次方程的应用
1．一般步骤
审题，找出等量关系→设未知数→列出一元二次方程→解一元二次方程→检验→写出答案．
2．列一元二次方程解应用题的常见类型
a(1－m)2
(a－2x)(b－2x)
(a－x)(b－x)
考点透析·精研细究
02
考点一 一元二次方程的有关概念
B
　已知x＝1是关于x的一元二次方程x2＋x＋2a＝0的一个解，则a的值为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．2
C
2．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则m的值为(　　)
A．4 B．－4
C．3 D．－3
B
已知方程的根，求未知字母的值
已知 一根 直接代入原方程，得到一个关于未知字母的方程，解方程求出未知字母的值
已知 两根 把两个根直接代入原方程，列出关于未知字母的方程组，解方程组，求出未知字母的值
利用根与系数的关系求解
考点二 一元二次方程的解法
　解下列方程：
(1)2(x－1)2－18＝0；
[解]　(x－1)2＝9，x－1＝±3，所以x1＝4，x2＝－2.
(2)x2－6x－4＝0.
D
3．用配方法解方程x2＋8x＋7＝0，配方后所得的方程是(　　)
A．(x＋4)2＝－9 B．(x－4)2＝9
C．(x－4)2＝－9 D．(x＋4)2＝9
4．已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值是(　　)
A．7 B．－1
C．7或－1 D．－5或3
A
一元二次方程解法的选择
(1)直接开平方法适用情况
①当方程缺少一次项时，即形如ax2＋c＝0(ac<0)的方程；
②形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
(2)因式分解法适用情况
①缺少常数项，即形如ax2＋bx＝0(a≠0)的方程；
②一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积．
(3)配方法适用情况
①二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；
②各项的系数比较小且便于配方的情况．
考点三 一元二次方程根的判别式及其应用
1
　(2022·江西)关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
A
6．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
解：因为关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即(－4)2－4m>0，解得m<4，
所以m的取值范围为m<4.
(2)如果m是符合条件的最大整数，试求出此时方程的解．
解：由(1)知，m为3，
则方程为x2－4x＋3＝0，
所以(x－3)(x－1)＝0，
所以x1＝3，x2＝1.
根的判别式的三个应用
(1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况．
(2)根据方程根的情况，确定某个未知字母的值(或范围).
(3)证明一个一元二次方程根的情况．
考点四 一元二次方程根与系数的关系
D
1
7．(2020·江西)若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为________．
8．(2021·江西)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根，则x1＋x2－x1x2＝________．
x＝－2
考点五 一元二次方程的应用
　科技是国家强盛之基，创新是引领发展的第一动力，某公司响应国家号召，在2025年加大科技创新，革新技术实现产值三连增．第一季度产值总额为1 655万元，其中2月份产值为550万元，求1月至3月的月平均增长率．
9．如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为_____________________________．
(11－2x)(7－2x)＝21
核心素养·新课标新考法
03
(1)应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2＋n2的值；(共37张PPT)
第二章　方程(组)及不等式(组)
第5节　一元一次方程与二元一次方程(组)
命题探源·强基固本
01
一、等式的性质
b±c
bc
二、一元一次方程及其解法
1．一元一次方程的定义及一般形式
定义 只含有__个未知数(元)，未知数的次数是__，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程
一般形式 ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)
一
1
2．解一元一次方程的一般步骤及注意事项
步骤 具体做法 依据 注意事项
去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数 等式的性质2 不要漏乘不含分母的项
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 乘法分配律，去括号法则 括号前面有负号，去括号时括号里面的各项均要变号
移项 将含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边 等式的性质1 移项时要变号
步骤 具体做法 依据 注意事项
合并同 类项 把方程化为ax＝b(a≠0)的形式 合并同类项法则 系数相加，字母及其指数不变
系数化 为1 方程两边同除以未知数的系数或同乘未知数系数的倒数 等式的性质2 分母、分子的位置不要颠倒
三、二元一次方程(组)及其解法
1．二元一次方程(组)的定义
含有__个未知数，并且含有__________的次数都是1的____方程叫做二元一次方程．把含有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起就构成了二元一次方程组．
2．二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程组的两个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
两
未知数的项
整式
消元
消元
代入
加减
四、一次方程(组)的应用
1．一次方程(组)的实际应用问题的常见类型
常见类型 等量关系式
行程问题 追及问题：同地不同时出发，前者所用的时间－多用的时间＝追者所用的时间；同时不同地出发，前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程
2.列方程(组)解应用题的一般步骤
审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
设 设其中某个量为______，并注明单位，对含有两个未知量的问题，可设两个未知数
列 弄清题意，找出________，根据________，列方程(组)
解 解方程(组)
检 检验结果是否________
答 写答案(不要忘记单位)
未知数
等量关系
等量关系
符合题意
考点透析·精研细究
02
考点一 等式的性质及二元一次方程(组)的相关概念
C
D
1
已知二元一次方程(组)的解，求方程(组)中字母的值的两种方法
(1)代入法：当已知方程(组)的解时，把解代入方程(组)，得到新的方程(组)，再解新的方程(组)，从而求出字母的值．
(2)整体法：根据方程(组)中的未知数的系数特点，利用整体思想求某些字母的值．
考点二 二元一次方程组的解法
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有，请在错误处打“×”并改正．
解：解法一中的解题过程有错误．
由①－②，得3x＝3.　×
应改为由①－②，得－3x＝3.
(2)请选择一种你喜欢的解法，完成解答．
二元一次方程组解法的选择
(1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者－1时，选用代入消元法较合适．
(2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法较合适．
(3)当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法较合适．
(4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法较合适．
考点三 一次方程(组)的应用
命题角度1　一元一次方程的应用
　春季来临，某商场销售一种新款服装，销售一段时间后发现，若每件服装按标价的九折销售，卖出10件可获利润120元；若服装不打折销售，则每件可获利润30元．请问该服装每件的进价和标价分别为多少元？
[解]　设该服装每件的进价为x元，则标价为(x＋30)元．
根据题意，得10[0.9(x＋30)－x]＝120，解得x＝150，
所以x＋30＝150＋30＝180.
答：该服装每件的进价为150元，标价为180元．
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16 kg；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36 kg，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30%
芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20%
(1)求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅？
A
4．在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50 g．若OA＝20 cm，OB＝40 cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为x g，根据题意列方程得(　　)
A．20x＝40×50×3 B．40x＝20×50×3
C．3×20x＝40×50 D．3×40x＝20×50
5．(2018·江西)中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为____________________．
6．(2020·江西)放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品？请通过运算说明．
解：因为整盒购买笔芯比单支购买每支可优惠0.5元，
所以小贤和小艺可一起购买整盒笔芯．
小工艺品的单价为3元，
小贤剩余钱数：3×0.5＋2＝3.5>3.
小艺剩余钱数：7×0.5＝3.5>3.
所以合买笔芯时，他们既能买到各自的文具，又都能买到一个小工艺品．
核心素养·新课标新考法
03
4 312
8 165
2．(2025·湖北)幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
主题 探究月历与幻方的奥秘
活 动 一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．
(1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是____，b是____；
(2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是_______，d是_______；(注：用含n的代数式表示c和d)
图1　　　图2　　图3
5
11
n＋1
n＋7
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．
(3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是________，f是________；
(4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是________(用含n的代数式表示g).
图4　　 　图5　　 　图6
11
3
n＋8
解析：(1)由图可知，a＝4＋1＝5，b＝4＋7＝11.
(2)由图可知，c＝n＋1，d＝n＋7.
(3)由题意，得e＝2＋10＋18－17－2＝11，f＝2＋10＋18－10－17＝3.
(4)因为最小的数为n，则剩余的数为：n＋1，n＋2，n＋7，n＋8，n＋9，n＋14，n＋15，n＋16，所以3(n＋g＋n＋16)＝n＋n＋1＋n＋2＋n＋7＋n＋8＋n＋9＋n＋14＋n＋15＋n＋16，
解得g＝n＋8.

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