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(共44张PPT)
第22节　与圆有关的位置关系
命题探源·强基固本
01
点与圆的位置关系 示意图 d与r的
大小关系
点A在圆内 d___r
点B在圆上 d___r
点C在圆外 d___r
一、点与圆的位置关系
1．点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外．
设圆O的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系如下表所示：
2．确定圆的条件
不在__________________的三个点确定一个圆．
＜
＝
＞
同一条直线上
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
示意图
d与r的大小关系 d___r d___r d___r
与圆的交点的情况 有两个交点 有且只有一个交点 没有交点
二、直线与圆的位置关系
1．直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．
设圆O的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示：
＜
＝
＞
2．切线的性质与判定
(1)性质：圆的切线______于过切点的半径(或直径).
(2)判定：到圆心的距离______半径的直线是圆的切线；经过半径的外端并且______于这条半径的直线是圆的切线．
3．切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线______两条切线的______．
垂直
等于
垂直
切线长
平分
夹角
三、三角形的外接圆和内切圆
任何一个三角形都有一个外接圆和一个内切圆，只有等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆．三角形的内心和外心容易混淆，解题时要注意结合图形，弄清二者的区别．
三角形的两心 外心 内心
图形
定义 三角形外接圆的圆心 三角形内切圆的圆心
交点 三角形三边垂直平分线的交点 三角形三内角平分线的交点
三角形的内心与外心的区别：
考点透析·精研细究
02
考点一
C　
　　　已知⊙O的半径等于8 cm，圆心O到直线l上某点的距离为8 cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．1或2 D．0或1
点、直线与圆的位置关系的判断
1．已知⊙O的直径是4 cm，OP＝4 cm，则点P(　　)
A．在⊙O外 B．在⊙O上
C．在⊙O内 D．不能确定
解析：因为点到圆心的距离d＝4＞2＝r，所以点P在⊙O外．故选A.
A　
考点二
命题角度1　切线的性质
　　　如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接OM，ON.若∠N＝37°，则∠MON的度数是________．
53°
切线的性质与判定
　　　(2025·江西)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作 ABCD.
图1 图2
(1)当BC经过圆心O时(如图1)，求∠D的度数；
[解]　因为BC经过圆心O，所以BC为⊙O的直径，所以∠BAC＝90°.
因为∠ACB＝35°，
所以∠ABC＝90°－35°＝55°.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以∠D＝∠ABC＝55°.
[解]　如图，连接AO，CO，设AO与BC相交于点E.
因为AD与⊙O相切，
所以AO⊥AD，
所以∠OAD＝90°.
因为在 ABCD中，BC∥AD，
所以∠OEC＝∠OAD＝90°.
所以OA⊥BC，所以BE＝CE，
所以OA垂直平分BC，
命题角度2　切线的判定
　　　(2019·江西)如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC.
(1)连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
图1　　
[解]　证明：连接OC(图略).
因为CD∥AB，BC∥OD，
所以四边形BCDO是平行四边形，所以CD＝BO.
因为OB＝OA，所以CD＝OA.
因为CD∥OA，所以四边形OADC是平行四边形．
又因为AF为半圆的切线，
所以∠OAD＝90°，
所以 OADC是矩形，
所以∠OCD＝90°.
因为OC为半圆的半径，
所以CD是半圆的切线．
(2)如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．
图2
[解]　∠AED＋∠ACD＝90°.
证明：因为CD∥AB，
所以∠ACD＝∠BAC.
因为四边形ABCE是圆内接四边形，
所以∠B＋∠AEC＝180°.
因为∠AED＋∠AEC＝180°，
所以∠AED＝∠B.
因为AB为半圆的直径，
所以∠BCA＝90°，
所以∠B＋∠CAB＝90°，
所以∠AED＋∠ACD＝90°.
命题角度3　切线长定理
　　　如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E，若△PDE的周长为20 cm，则PA的长为________．
10 cm
2．如图，AB，AC是⊙O的切线，B，C为切点，点D是优弧BC上一点，∠BDC＝70°， 则∠A的度数是(　　)
A．20°
B．40°
C．55°
D．70°
B　
解析：如图，连接OB，OC.
因为AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点，
所以OB⊥AB，OC⊥AC，
所以∠ABO＝∠ACO＝90°.
因为∠BDC＝70°，
所以∠BOC＝2×70°＝140°，
所以∠A＝360°－∠ABO－∠ACO－∠BOC＝360°－90°－90°－140°＝40°.
故选B.
解：证明：如图，连接OC.
因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB＝90°.
因为∠DCA＝∠ABC，∠ABC＝∠OCB，
所以∠DCA＝∠OCB，
所以∠DCA＋∠ACO＝∠OCB＋∠ACO，
所以∠DCO＝∠ACB＝90°，
所以OC⊥DC.
因为OC是⊙O的半径，
所以DC是⊙O的切线．
3.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径是3，∠D＝31°，求切线DC的长(参考数据：tan 31°≈0.6).
证明直线是圆的切线的常见方法
(1)若已知直线与圆的公共点，证该直线是圆的切线，则采用判定定理法．其基本思路：连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直，可简述为有切点，连半径，证垂直．
(2)若不知直线与圆的交点，证该直线是圆的切线，则采用数量关系法．其基本思路：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为无切点，作垂线，证半径．
考点三
C　
三角形的外接圆和内切圆
4．如图，已知⊙O与△ABC的边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，若AB＝4，AC＝5，AD＝1，则BC＝________．
7
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，点E是⊙O上一点，连接OE并延长交过点C的切线CD于点D，∠B＝∠D.
(1)求证：OD∥AC；
解：证明：因为BC为⊙O的直径，所以∠A＝90°，所以∠B＋∠BCA＝90°.
因为CD为⊙O的切线，
所以∠BCD＝90°，
所以∠D＋∠COD＝90°.
因为∠B＝∠D，
所以∠BCA＝∠COD，
所以OD∥AC.
核心素养·新课标新考法
03
1.中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示．
问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为________丈．
2.如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣弧BC上的任意一点，连接PA，PC，PD，延长BC至点E，使BD2＝BC·BE.
(1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
所以∠BDE＝90°，
所以BD⊥DE.
又因为BD为⊙O的直径，
所以直线DE为⊙O的切线．(共41张PPT)
第六章　圆
第21节　圆的有关性质
命题探源·强基固本
01
一、圆的有关概念
圆的概念 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以点O为圆心的圆，记作___．圆也可以看成是到定点的距离等于定长的点的集合
同心圆 圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆
等圆 能够______的两个圆叫做等圆
半圆 圆的任意一条______的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
圆心
半径
⊙O
重合
直径
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示．大于半圆的弧叫做______；小于半圆的弧叫做______
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
弦 连接圆上任意两点的______叫做弦
直径 经过______的弦叫做直径
弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形
圆心角 顶点在______的角叫做圆心角
圆周角 顶点在圆上，并且______都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角
优弧
劣弧
线段
圆心
圆心
两边
二、与圆有关的性质和定理
1．对称性
(1)轴对称性：圆是轴对称图形，它的对称轴是______________________．
(2)中心对称性：圆是中心对称图形，它的对称中心是______．
2．垂径定理及其推论
(1)垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径_________弦，并且______弦所对的两条弧．
任何一条直径所在的直线
圆心
平分
平分
垂直于
平分
3．弧、弦、圆心角之间的关系
(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
(2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弦也______．
(3)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的优弧和劣弧分别______．
相等
相等
相等
相等
4．圆周角定理及其推论
一半
∠AOB
相等
直角
直径
概念 一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆
性质 圆内接四边形的对角______，且任何一个外角都等于它的_________ ∠A＋∠BCD＝______，∠B＋∠D＝______，∠DCE＝_________
5.圆内接四边形的概念和性质
互补
内对角
180°
180°
∠A
考点透析·精研细究
02
考点一
D　
　　　(2023·江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
与圆有关的概念
1.如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为(　　)
A．倾斜直线
B．抛物线
C．圆弧
D．水平直线
C　
考点二
C　
垂径定理及其推论
2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO.
(1)当∠BCO＝25°时，求∠A的度数；
解：因为OC＝OB，
所以∠BCO＝∠B.
因为∠B＝∠D，
所以∠D＝∠BCO＝25°.
因为CD⊥AB，
所以在Rt△ADE中，∠A＝90°－25°＝65°.
垂径定理运用中的“两注意”
(1)两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦的一个端点(即半径).这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解．
(2)方程思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将未知的一条线段长度设为x，利用勾股定理构造关于x的方程解决问题．这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路．
考点三
　　　如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝20 m，拱高CD＝5 m，则该拱桥的半径为________m.
12.5
垂径定理及其推论在实际中的应用
B　
图1 图2
用垂径定理及其推论解决实际问题的三个步骤
(1)弄清题意，搞清跨度、拱高等概念，将实际问题抽象成数学问题．
(2)从数学问题中构造直角三角形，利用勾股定理求出数学问题的答案．
(3)根据使实际问题有意义的条件，得出实际问题的答案．
考点四
D　
圆周角与圆心角
所以Rt△OMB≌Rt△OND(HL)，
所以OM＝ON，故②正确；
又因为OP＝OP，
所以Rt△OPM≌Rt△OPN(HL)，
所以PM＝PN，∠BPO＝∠DPO，故④正确；
因为AM＝CN，
所以PA＝PC，故③正确．
综上，四个说法都正确．故选D.
命题角度2　求圆周角、圆心角度数
　　　如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，OC⊥AB，垂足为D.若∠A＝20°，则∠ABC＝________．
35°
命题角度3　圆周角、圆心角与垂径定理相结合
　　　如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是________．
25°
4．如图，在⊙O中，若∠BAC＝40°，则∠BOC＝(　　)
A．80°
B．60°
C．40°
D．20°
A　
5．如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点，点P在劣弧AB上，∠APB＝120°，PC平分∠APB.
解：证明：如图，在PC上截取PD＝PA，连接AD.
因为PC平分∠APB，且∠APB＝120°，
所以∠APC＝∠BPC＝60°，
所以∠BAC＝∠BPC＝60°，
∠ABC＝∠APC＝60°，
∠PAD＝∠PDA＝60°，
(1)求证：PA＋PB＝PC.
所以△APD为等边三角形，△ABC为等边三角形，
所以DA＝PA，AB＝AC，∠CAB＝∠DAP＝60°，
所以∠CAD＝∠BAP，
所以△ACD≌△ABP(SAS)，
所以PB＝CD，
所以PA＋PB＝PC.
解：由题意得：当点P位于劣弧AB的中点时，△APB的面积最大．如图，连接AO.
由(1)可知AC＝BC，当P为劣弧AB的中点时，PA＝PB，
所以PC⊥AB，
所以PC为⊙O的直径．
记PC与AB相交于点E.
由(1)知∠ACB＝60°，
所以∠AOP＝60°，
(2)当点P位于什么位置时，△APB的面积最大？求出最大面积．
考点五
　　　如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝50°，则∠C的度数是________．
130°
圆内接四边形
6．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝3，则AB＝________．
6
解析：因为∠ADC＝120°，
所以∠B＝60°.
因为AB是半圆O的直径，
所以∠ACB＝90°，
所以∠BAC＝30°，
所以AB＝2BC＝2×3＝6.
核心素养·新课标新考法
03
3
图1 图2
(1)如图1所示，试证明BF＝BE；
(2)如图2，若CF∥AB，求证：E是AB的中点．
所以∠CAE＝∠ABF＝60°.
因为CD⊥AB，AD＝DE，
所以∠CAE＝∠CEA＝60°，
所以△ACE为等边三角形，
所以AE＝CE.
因为∠CEA＝∠ABF＝60°，
所以CE∥BF.
又因为CF∥AB，BF＝CF，
所以四边形BECF为菱形，
所以CE＝BE，所以AE＝BE，
所以E是AB的中点．(共57张PPT)
第23节　与圆有关的计算
命题探源·强基固本
01
一、弧长及扇形面积的计算公式
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝____；圆心角为n°的扇
形面积为S＝_______．
比较扇形面积公式和弧长公式，可以用弧长表示扇形面积为S＝_____，其中l为扇形的弧长，R为半径．
二、正多边形
1．定义
各边______、各角也______的多边形叫做正多边形．
2．有关概念
正多边形的_________的圆心叫做这个正多边形的中心，_________的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的_________叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角都等于_______；中心到正多边形的一边的______叫做正多边形的边心距．
相等
相等
外接圆
外接圆
圆心角
距离
三、圆锥的有关计算
如图所示，圆锥的侧面展开图是扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为_，扇形的弧长为___，圆锥的侧面积为___，圆锥的全面积为__________．
l
2πr
πrl
πr(r＋l)
类型 劣弧对应的弓形 优弧对应的弓形
图形
面积计算 S阴影＝S小扇形AOB－S△OAB S阴影＝S大扇形AOB＋S△OAB
四、与圆有关的阴影部分面积的计算
1．弓形面积的求法
2．计算阴影部分面积的常用方法
(1)规则图形，可直接用公式求解．
(2)直接和差法：所求不规则阴影部分的面积可以转化成几个规则图形面积的和或差．
S阴影＝S△AOB－S扇形COD
S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD
(3)构造和差法：所求不规则阴影部分的面积需要添加辅助线构造规则图形，然后相加减．
S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC
S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD
(4)等积转化法：所求阴影部分的面积无法直接计算时，可利用等积转化法将所求阴影部分的面积转化为规则图形的面积或规则图形面积的和或差．
①直接等面积转化(CD∥AB)
S阴影＝S扇形COD
②对称转化法

S阴影＝S扇形DCE
③平移转化法
S阴影＝S矩形ABHG
④旋转转化法

S阴影＝S扇形ABE－S扇形MBN
考点透析·精研细究
02
考点一
D　
　　　如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝(　　)
A.60°
B．54°
C．48°
D．36°
正多边形和圆的有关计算
C　
考点二
　　　(2024·江西)如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°.
弧长及扇形面积的计算
(1)求证：BD是半圆O的切线；
[解]　证明：因为AB是半圆O的直径，
所以∠ACB＝90°.
因为∠ABC＝60°，
所以∠BAD＝30°.
又因为∠D＝60°，
所以∠ABD＝90°，
所以BD⊥OB.
又因为OB是半圆O的半径，
所以BD是半圆O的切线．
B　
(2)若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．
解：证明：如图，由(1)知∠BOE＝100°，
所以∠BAE＝50°.
因为∠EAD＝76°，所以∠BAC＝∠EAD－∠BAE＝26°.
又∠C＝64°，
所以∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝90°，即AB⊥BC.
又OB是⊙O的半径，
所以CB为⊙O的切线．
考点三
　　　如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
B　
圆锥的有关计算
4．已知圆锥的底面半径为50 cm，母线长为80 cm，则此圆锥的侧面积为(　　)
A．4 000π cm2 B．3 600π cm2
C．2 000π cm2 D．1 000π cm2
A　
5．一个圆锥的母线长为6 cm，底面圆的半径为4 cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数是________．
240°
圆锥的有关计算中用到的几个等量关系
(1)扇形的面积＝扇形围成的圆锥的侧面积．
(2)扇形的弧长＝扇形围成的圆锥的底面圆的周长．
(3)设圆锥的底面圆的半径、高和母线长分别为r，h和l，则
①r2＋h2＝l2；
②S圆锥侧＝πrl；
③S圆锥全＝πrl＋πr2.
考点四
D　
与圆有关的阴影部分面积的计算
命题角度2　阴影部分由多个扇形等简单图形组成
　　　如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE.若∠BAE＝55°，∠COD＝50°，则阴影部分的面积为________(结果保留π).
D　
C　
C　
7．如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是________(结果保留π).
16－4π
8．(2021·江西)如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC.
(1)求证：∠CAD＝∠ECB.
图1　
解：证明：因为四边形ABCD内接于⊙O，
所以∠D＋∠ABC＝180°.
因为∠EBC＋∠ABC＝180°，
所以∠D＝∠EBC.
因为AD是⊙O的直径，
所以∠ACD＝90°.
所以∠D＋∠CAD＝90°.
因为CE⊥AE，
所以∠ECB＋∠EBC＝90°.
所以∠CAD＝∠ECB.
图2
解：①四边形ABCO是菱形．
理由：因为CE是⊙O的切线，
所以OC⊥EC.
因为AE⊥EC，
所以OC∥AE.
所以∠ACO＝∠BAC.
因为OA＝OC，
所以∠ACO＝∠CAD.
所以∠BAC＝∠CAD.
因为∠CAD＝∠ECB，∠CAD＝30°，
所以∠EBC＝90°－30°＝60°.
所以∠BAO＝∠EBC＝60°.
所以BC∥AO.
所以四边形ABCO是平行四边形．
又因为OA＝OC，
所以四边形ABCO是菱形．
求几何图形面积的常用方法
求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常通过平移、旋转、割补等方法，把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差，使复杂问题简单化，便于求解．这种解题方法体现了整体思想、转化思想．
核心素养·新课标新考法
03

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