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(共31张PPT)
第25节　投影与视图
命题探源·强基固本
01
一、投影
平行投影 由平行光线形成的投影．如：物体在太阳光的照射下所形成的影子
注意：同一时刻，所有物体的影长与其高度成正比
中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影．如：物体在灯泡发出的光的照射下所形成的影子
二、视图
1．视图的定义：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的________叫做物体的一个视图．
平面图形
2．三视图的定义
对一个物体在三个投影面内进行正投影．
(1)主视图：在________内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图．
(2)左视图：在________内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．
(3)俯视图：在________内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．
正面
侧面
水平面
3．三视图的画法
(1)画三视图时，三个视图都要放在正确的位置：俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，并且注意主视图与俯视图的________，主视图与左视图的________，左视图与俯视图的________．
(2)画图时规定：看得见部分的轮廓线画成________，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成________．
长对正
高平齐
宽相等
实线
虚线
4．常见几何体的三视图
归纳总结
(1)常见几何体中，三个视图相同的几何体有：正方体、球
(2)常见几何体中，只有两个视图相同的几何体有：圆柱、圆锥、圆台
(3)常见几何体中，有一个视图是带圆心的圆，优先考虑圆锥；有一个视图是圆环，优先考虑圆台
考点透析·精研细究
02
考点一 投影
A
身高1.6 m的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC＝2 m，CB＝18 m，则旗杆的高度是________．
16米
D
1．圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面圆环形阴影的面积是(　　)
A．0.324π m2 B．0.288π m2
C．1.08π m2 D．0.72π m2
投影与相似三角形的应用技巧
(1)利用投影线及两个物体对应的线段构造相似三角形．
(2)根据相似三角形的对应边成比例，求出物体的高度或影长．
(3)利用竹竿测量高度的问题中，竹竿和被测量物都是垂直于地面的，因此存在平行关系(但是这个平行关系是隐藏条件，并不在题目中直接出现)，有平行则多数情况下可得到相似关系，然后利用相似三角形的性质求解即可．
考点二 视图
B
B
命题角度3　根据三视图判断几何体的组成
由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是________．
5
命题角度4　根据三视图求几何体的表面积或体积
如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为(结果保留π)(　　)
A．24π B．20π
C．8π＋32 D．16π
A
一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，求这个长方体的体积．
[答案]　144 cm3
D
A
B
5．如图是从三个方向看到的一个几何体的形状．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)若从前面看到的高为10 cm，从上面看到的三角形的三边长都为4 cm，求这个几何体的侧面积．
解：(1)由图可知，这个几何体是三棱柱．
(2)这个几何体的侧面积为4×10×3＝120(cm2).
三视图的投影规律
(1)三视图的投影规律：主视图、俯视图“长对正”；主视图、左视图“高平齐”；左视图、俯视图“宽相等”．
(2)三种视图所反映的规律：主视图反映立体图形的上下层数、左右列数(纵向)，俯视图反映立体图形的前后行数(横向)、左右列数(纵向)，左视图反映立体图形的前后行数(横向)、上下层数．
核心素养·新课标新考法
03
A
A(共60张PPT)
第七章 图形的变化
第24节　图形的变换及尺规作图
命题探源·强基固本
01
一、轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
图形
概念(判断依据) 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等 常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等 常见的既是轴对称图形又是中心对称图形：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等 二、轴对称与中心对称
轴对称 中心对称
图形
性质 (1)成轴对称的两个图形________ (2)成轴对称的两个图形只有_____条对称轴 (3)对称点的连线被对称轴垂直平分 (1)成中心对称的两个图形_____
(2)成中心对称的两个图形只有________个对称中心
(3)对称点的连线交于对称中心，并且被对称中心平分
全等
1
全等
1
三、折叠的性质
1．位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称．
2．折叠前后的两部分图形全等，对应边、对应角、对应线段均相等，周长、面积也均相等．
3．折叠前后，非重合对应点的连线均被折痕所在直线垂直平分．
四、图形的平移与旋转变换
图形的平移 图形的旋转
定义 在平面内，把一个图形沿某一方向移动一定的距离，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种变换叫做平移 在平面内，把一个图形绕着定点O转动一个角度，得到另一个图形，这种变换叫做图形的旋转，点O叫做________，转动的角度叫做________
旋转中心
旋转角
图形的平移 图形的旋转
图示
要素 平移方向、________ 旋转中心、________、旋转角
平移距离
旋转方向
图形的平移 图形的旋转
性质 (1)平移不改变图形的________和________，只改变图形的位置，平移前后的两个图形________ (2)对应点所连线段________ (或在一条直线上)且相等 (1)旋转前后的两个图形________
(2)对应点到旋转中心的距离________
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角________旋转角
大小
形状
全等
平行
全等
相等
等于
图形的平移 图形的旋转
网格 作图 步骤 (1)根据题意，确定平移方向和平移距离 (2)找出原图形的关键点 (3)按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点 (4)按原图形依次连接各关键点的对应点，得到平移后的图形 (1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角
(2)找出原图形的关键点
(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将关键点旋转，得到各关键点的对应点
(4)按原图形依次连接各关键点的对应点，得到旋转后的图形
五、尺规作图
1．尺规作图的工具
无刻度的直尺和圆规．
已知：线段a 求作：线段AB，使AB＝a 作法： ①作一条直线l ②在l上任取一点A，以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，交直线l于点B 线段AB即为所求作的线段 图示：
2．五种基本的尺规作图
(1)作一条线段等于已知线段
(2)作一个角等于已知角
已知：∠AOB 求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB 作法： ①在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q ②画射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧，交EG于点D ③以点D为圆心，PQ长为半径画弧，交第②步中所画弧于点F ④画射线EF ∠DEF即为所求作的角 图示：
(3)作已知角的平分线
(4)作线段的垂直平分线
(5)经过一点作已知直线的垂线
①经过已知直线上一点作这条直线的垂线
已知：直线l和l上一点O 求作：直线l的垂线，使它经过点O 作法： (ⅰ)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于A，B两点 图示：
②经过已知直线外一点作这条直线的垂线
考点透析·精研细究
02
考点一 平移、旋转与对称识别
B
A
B
2．(2021·江西)如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形(忽略拼接线)，小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左、下、右的位置(摆放时无缝隙不重叠)，则还能拼接成不同的轴对称图形的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
理解概念，正确判断
(1)抓住图上的“关键点”平移，以“点”带动“整个图形”的平移．平移不改变图形的形状与大小．
(2)将图形沿某条直线对折，两旁的部分重合，即为轴对称图形．
(3)中心对称图形沿对称中心旋转180°后与原图形重合．
考点二 平移、旋转与对称性质的应用
(2023·江西)如图，在 ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜360°)得到AP，连接PC，PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为_______________________．
90°或180°或270°
3．(2018·江西)如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为____________．
抓住图形变化中的不变性
从“动”的角度去思考，明确“动中不动”．
(1)对应线段相等，对应角相等，形状、大小不变．
(2)把握住平移方向、平移距离，旋转中心、旋转角度及旋转方向．
考点三 图形变化与点的坐标变化
命题角度1　平移与坐标变化
如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A(－3，0)，B(0，4).
(1)画出线段AB先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的线段CD，并写出A的对应点D的坐标，B的对应点C的坐标；
[解]　CD如图所示，D(0，－4)，C(3，0).
(2)连接AD，BC，判断所得图形的形状(直接回答，不必证明).
[解]　如图所示，四边形ABCD是菱形．
命题角度2　中心对称与坐标变化
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0，1)，B(3，3)，C(1，3).
(1)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
(2)点B1的坐标为_________．
[解]　(1)△A1B1C1如图所示．
(－3，－3)
C
命题角度4　轴对称与坐标变化
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，3).画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标．
[解]　△A1B1C1如图所示，C1(3，3).
5．(2017·江西)已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将△AOD沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为__________________________________________．
6．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4).
(1)△ABC向左平移5个单位长度后得到△A1B1C1，此时点B1的坐标为___________；
(2)△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A2B2C2，此时点B2的坐标为____________．
(－1，2)
(－3，－2)
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(2，0)，C(4，4)均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点C1关于y轴的对称点的坐标；
解：△A1B1C1如图所示．
顶点C1关于y轴的对称点的坐标为(－4，－4).
图形变化与点的坐标变化的解题方法
(1)解答此类题目，抓住各类图形变化的特征，找出图形变化前后坐标的关系，同时注意图形变化的性质的应用．
(2)在平面直角坐标系中，图形向右(或左)平移m(m>0)个单位长度，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上(或减去)m；图形向上(或下)平移n(n>0)个单位长度，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上(或减去)n.
(3)由对称引起的坐标变化，依据关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律求解．
(4)求与旋转有关的坐标变化，通常构造直角三角形，利用勾股定理求相关线段的长度．
考点四 与平移、旋转、对称相关的网格作图
(2020·江西)如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；
图1
[解]　△A′B′C′如图1所示．
图1
(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′.
[解]　△AB′C′如图2所示．
图2
图2
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(2，3).
(1)在图中，若B1(－6，2)与点B关于一条直线成轴对称，此时C点关于该直线的对称点C1的坐标为____________；
(－4，3)
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2.
解：△A2B2C2如图所示．

网格中平移、旋转作图的要点
(1)确定图形平移的方向、距离．
(2)确定图形旋转的旋转中心、旋转方向、旋转角．
(3)借助网格确定图形上的关键点，以局部思考整体．
(4)利用网格确定平移的距离和旋转角．
考点五 尺规作图
(2024·江西)如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)如图1，过点B作AC的垂线；
图1
[解]　如图1，直线BD即为所求．
图1
(2)如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线．
图2
[解]如图2，直线BF即为所求(作法不唯一).
图2
9．(2025·江西)如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．(保留作图痕迹)
(1)在图1中作出BC的中点；
图1
解：如图，点D即为所求作．(作法不唯一)
(2)在图2中作出△ABC的重心．
图2
解：如图，点F即为所求作．(作法不唯一)
10．(2018·江西)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图1中，画出△ABD中BD边上的中线；
图1
解：如图1，AF即为所求．
图1
(2)在图2中，若BA＝BD，画出△ABD中AD边上的高．
图2
解：如图2，BG即为所求．
图2
核心素养·新课标新考法
03
D
2．(2025·扬州)材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
解：如图，①在圆弧上任意取一点C，界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC)，求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数(如图3).
(3)请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示)，并说明理由．
(2)材料的疏水性随着接触角的变大而________(选填“变强”“不变”“变弱”).
变强
解：∠CAD＝2∠BAC.
理由：如图，连接OA，
则OA＝OB，
所以∠ABC＝∠OAB.
因为AD为⊙O的切线，
所以OA⊥AD，
所以∠OAB＋∠BAD＝90°.
答案：
因为BC⊥AC，
所以∠ABC＋∠BAC＝90°.
因为∠ABC＝∠OAB，
所以∠BAD＝∠BAC，
所以∠CAD＝∠BAD＋∠BAC＝2∠BAC.
【创新思考】
(4)材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．

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