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(共71张PPT)
微专题二　二次函数的综合问题
类型一　线段问题
?方法总结
1．求线段长
(1)与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下).
(2)与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左).
2．线段数量关系问题
(1)若两条线段的长均可计算或表示出来，直接根据线段数量关系列方程即可求解．
(2)若两条线段的长无法直接计算或表示出来，可通过x轴或y轴的平行线构造相似三角形，将线段进行转化，再根据线段数量关系列方程即可求解．
3．利用二次函数性质求线段长最值
(1)求竖直线段长的最值(如图，求MN的最值)
第一步：设M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；
第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；
第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值．
(2)求水平线段长的最值
原理同(1)，横坐标相减求最值．
(3)求斜线段长的最值(如图，求MP的最值)
利用锐角三角函数化斜为直，得MP＝MN·sin ∠MNP，再根据(1)的步骤解题即可．
4．利用对称性质求线段和最值，即“将军饮马”问题(如图，求PA＋PB的最小值)
(1)求点B关于对称轴l对称的点C的坐标．
(2)连接AC，交直线l于点P，此时点P满足要求，从而可求出PA＋PB的最小值．
图1 　 图2 图3　 图4
(1)点P的坐标为________，点D的坐标为________，点Q的坐标为________；
(2)PD的长为________，DQ的长为________，PQ的长为________；
(3)点P到对称轴的距离为________，CQ的长为________；
(5)若PQ＝DQ，求点P的坐标；
(6)如图2，过点P作PE⊥y轴，交线段BC于点E，求PE的最大值；
(7)如图3，过点P作PN⊥BC于点N，求PN的最大值；
(8)如图4，连接AC，在抛物线的对称轴上找一点M，使△AMC的周长最小，求出此时△AMC的周长及点M的坐标．
?方法总结
方法一：直接公式法
一边在坐标轴上(或平行于坐标轴).
类型二　面积问题
方法三：补全法
三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).
S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCD.
注：对于四边形面积的计算，可连接一条对角线，将四边形的面积转化为两个三角形面积之和求解．
利用二次函数性质求面积最值：
设动点P的横坐标为m，先用含m的代数式表示出所求图形的面积，再利用二次函数性质求最值．
?对点应用
2．抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D是第一象限抛物线上的动点，设点D的横坐标为t.
(1)如图1，当点D位于抛物线的顶点处时，连接OD，CD，求△OCD的面积；
图1
解：如图，连接BC，过点D作DE∥y轴，交BC于点E.
令－x2＋3x＋4＝0，
解得x＝－1或x＝4，
所以A(－1，0)，B(4，0)，
由(1)可知，C(0，4)，
所以AB＝5，OB＝OC＝4.
(2)如图2，若t＝2，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的面积；
图2
(3)如图3，连接AD，BD，若△ABD的面积为15，求点D的坐标；
图3
(4)如图4，连接BD，过点C作CP∥BD，交x轴于点P，连接PD，求△BPD面积的最大值及此时点D的坐标．
图4
因为点D是第一象限抛物线上的动点，所以0又因为－2<0，
所以当t＝2时，S△BPD有最大值，最大值为8.
此时－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，
所以点D的坐标为(2，6).
?方法总结
1．问题一
(1)问题
已知点A，B，直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
类型三　特殊三角形存在性问题
(2)找点
①若点A为直角顶点，过点A作AB的垂线，与直线l的交点P1即为所求；
②若点B为直角顶点，过点B作AB的垂线，与直线l的交点P2即为所求；
③若点P为直角顶点，以AB为直径画圆，与直线l的交点P3，P4即为所求．
(3)求解方法
方法一：设出点P的坐标，表示出三边的长，分三个角分别为直角讨论，在每种情况下利用勾股定理列方程求解．
方法二：找相似，通过构造一线三垂直利用相似求解．
方法三：特殊地，若有30°，45°或60°角，考虑用锐角三角函数求解．
方法四：利用两直线垂直，其解析式中k的关系求解．
(3)求解方法
对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需按照三条边两两相等分三种情况进行讨论，通常先设点坐标，再利用两点间的距离公式，分别表示出三条边的长度，然后再分三种情况列方程求解；在分析定线段是底时，也可根据动点在定线段的垂直平分线上求解；若已知角相等，也可通过全等或相似三角形求解．
?对点应用
3．已知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(2，3)，与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式．
解：将抛物线的解析式化为顶点式，得y＝－(x－1)2＋4，
所以顶点E的坐标为(1，4).
如图，记对称轴与x轴交于点F，过点C作CH⊥EF于点H.
所以EF＝4，AF＝2，
根据勾股定理，得AE2＝22＋42＝20，
EC2＝HC2＋EH2＝(2－1)2＋(4－3)2＝2，
AC2＝(2＋1)2＋32＝18，
所以AE2＝AC2＋EC2，
所以△ACE是直角三角形．
(2)如图1，若抛物线的顶点为E，连接AE，CE，试判断△ACE的形状．
图1
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△QAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索).
图2
(4)在抛物线上是否存在一点M，使△MAC是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图3中探索).
图3
解：存在．
如图，分别过点A，C作AM1⊥AC，CM2⊥AC，分别交抛物线于点M1，M2，过点M1作M1K⊥AB于点K，过点C作CJ⊥AB于点J，连接AM2，CM1.
因为∠CJA＝∠AKM1＝∠CAM1＝90°，
所以∠CAJ＋∠KAM1＝90°，
∠KAM1＋∠KM1A＝90°，
所以∠CAJ＝∠KM1A，
所以△CAJ∽△AM1K.
因为CJ＝AJ＝3，
所以M1K＝AK.
设点M1的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，
所以KA＝m＋1，M1K＝m2－2m－3，
所以m＋1＝m2－2m－3，
整理得m2－3m－4＝0，
解得m1＝－1(舍去)，m2＝4，
所以点M1的中坐标为(4，－5)；
由(2)可知，M2的坐标为(1，4).
综上所述，符合条件的点M的坐标为(4，－5)或(1，4).
(5)在抛物线上是否存在一点N，使△NAB为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由(请在图4中探索).
图4
?方法总结
1．求作平行四边形的方法
(1)三定顶点，一动顶点：分别过三个定点作对边的平行线，三条所作直线的交点即为所求动点．
类型四　特殊四边形存在性问题
(2)两定顶点，两动顶点：已知A，B为两定点，分两种情况讨论：
①情况一：若AB为平行四边形的边，如图1，平移AB，确定另外两点位置；
②情况二：若AB为平行四边形的对角线，如图2，取AB的中点，作过中点的直线确定另外两点位置．
图1 图2
2．求作菱形的方法
当已知线段为边时，以已知线段两端点分别为圆心，长为半径画圆，再根据求作平行四边形的方法确定点的位置；当已知线段为对角线时，可以作已知线段的垂直平分线，垂直平分线上的点即为所求．
3．求作矩形的方法
当已知线段为边时，分别过两端点作已知线段的垂线，再根据求作平行四边形的方法确定点的位置；当已知线段为对角线时，以已知线段为直径作圆，在圆上取与已知线段不重合的任意一点，连接此点与圆心并延长，与圆的另一个交点即为所求．
?对点应用
4．抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是抛物线上一点，Q是x轴上一点，连接AC，若四边形ACPQ是平行四边形，求点Q的坐标(请在图1中探索).
图1
解：由(1)知y＝－x2＋4x＋5，
令x＝0，得y＝5，
所以C(0，5).
如图，
因为四边形ACPQ是平行四边形，
所以AQ＝CP，AQ∥CP.
因为点A，Q都在x轴上，
所以CP∥x轴，
所以yP＝yC＝5.
令y＝5，即－x2＋4x＋5＝5，
解得x1＝0(舍去)，x2＝4，
所以P(4，5).
设点Q的横坐标为q.
因为AQ＝CP，
所以q－(－1)＝4，解得q＝3，
所以点Q的坐标为(3，0).
(3)P是抛物线上一点，连接BC，BC所在直线上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索).
图2
(4)R是抛物线上一点，S为平面内一点，若四边形BRCS是菱形，求点R的坐标(请在图3中探索).
图3
解：设R(r，－r2＋4r＋5)，S(s，t).
因为B(5，0)，C(0，5)，
所以CS2＝(s－0)2＋(t－5)2，
BS2＝(s－5)2＋(t－0)2.
因为四边形BRCS是菱形，
所以BC，RS为对角线，
(5)N为平面内一点，抛物线对称轴上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图4中探索).
图4
解：存在．
由抛物线的解析式可得对称轴为直线x＝2，
所以设点M的坐标为(2，a).
因为B(5，0)，C(0，5)，
所以MB2＝9＋a2，MC2＝4＋(a－5)2，BC2＝50，
分情况讨论：
①当BC为边时，
(ⅰ)若∠MCB＝90°，如图①，连接MB，则有MC2＋BC2＝MB2，
即4＋(a－5)2＋50＝9＋a2，
解得a＝7，
所以M(2，7)；
图①
(ⅱ)若∠MBC＝90°，如图②，连接MC，
则有BC2＋MB2＝MC2，
即50＋9＋a2＝4＋(a－5)2，
解得a＝－3，
所以M(2，－3).
图②
②当BC为对角线时，如图③④，
所以MC2＋MB2＝BC2，
即4＋(a－5)2＋9＋a2＝50，
解得a＝6或a＝－1，
所以M(2，6)或M(2，－1).
综上所述，点M的坐标为(2，7)或(2，－3)或(2，6)或(2，－1).
图③
图④
?方法总结
1．对应关系已知
若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系：
(1)设点坐标．
(2)表示线段长(或点坐标).
(3)列比例关系式求点坐标．
(4)将点坐标代入到满足的函数关系式中求解．
类型四　特殊四边形存在性问题
2．对应关系未知
若两个相似三角形对应关系未知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应关系，再由1中的步骤求解即可．
(2)点P是y轴上的点，连接AP，若以点A，O，P为顶点的三角形与△AOC相似(不包含全等)，求点P的坐标(请在图1中探索).
　图1
(3)点P是y轴上的点，若以点A，O，P为顶点的三角形与△CAP相似，求点P的坐标(请在图2中探索).
图2
(4)若点P是y轴上一点，是否存在以点B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由(请在图3中探索).
　图3(共43张PPT)
第12节　二次函数的图象与性质
命题探源·强基固本
01
一、二次函数的定义
一般地，形如y＝______________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做y关于x的二次函数．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
ax2＋bx＋c
二、二次函数的图象与性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
a＞0 a＜0
图象
开口方向 抛物线开口向上 抛物线开口向下
对称轴 直线x＝________
顶点坐标 _____________
减小
增大
增大
减小
三、二次函数的图象与系数a，b，c的关系
　 项目 字母　　 字母的符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
　 项目 字母　　 字母的符号 图象的特征
c c＝0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac>0 与x轴有两个交点
b2－4ac<0 与x轴没有交点
四、二次函数解析式的确定
1．解析式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0).
(2)顶点式：_____________________(a是常数，a≠0)，(h，k)为顶点坐标．
(3)交点式：__________________________(a是常数，a≠0)，x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标．
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－x1)(x－x2)
2．待定系数法求解析式的步骤
(1)设：巧设二次函数的解析式．
(2)代：根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组).
(3)解：解方程(组)，求出待定系数的值，从而得到二次函数的解析式．
五、二次函数图象的平移
1．平移的步骤
(1)将抛物线解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标．
(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．
2．平移的规律
平移前的函数解析式 平移方向 平移后的 函数解析式 规律
y＝ a(x－h)2 ＋k 向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k 左加右减，只给x加减
向右平移m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k
向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m 上加下减，给等号右边整体加减
向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k－m
六、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
1．二次函数与一元二次方程的关系
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与____的交点的横坐标．
(2)判别式Δ＝b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数：
①Δ__0时，抛物线与x轴有两个交点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实数根；
②Δ__0时，抛物线与x轴有一个交点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；
③Δ__0时，抛物线与x轴没有交点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根．
x轴
>
＝
<
2．二次函数与一元二次不等式的关系
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方部分对应自变量的取值范围．
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴下方部分对应自变量的取值范围．
考点透析·精研细究
02
考点一 二次函数的图象与性质
D
C
[解析]　将(－1，m)代入y＝x2＋(a＋1)x＋a，
得m＝1－a－1＋a＝0.
0
(2)将抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a向上平移2个单位长度，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是________．
2
D
D
1．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是(　　)
A．y＝x2＋1 B．y＝－x2＋1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1
B
B
4．直线y1＝ax＋b和抛物线y2＝ax2＋bx(a，b是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax＋b经过点(－4，0).下列结论：
①抛物线y2＝ax2＋bx的对称轴是直线x＝－2；
②抛物线y2＝ax2＋bx与x轴一定有两个交点；
③关于x的方程ax2＋bx＝ax＋b有两个根x1＝－4，x2＝1；
④若a>0，当x<－4或x>1时，y1>y2.
其中正确的结论是(　　)
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．①④
B
5．在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x＋m经过点A，抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线y＝x＋m上，并说明理由；
解：点B在直线y＝x＋m上．
理由：将A(1，2)代入y＝x＋m，
得2＝1＋m，解得m＝1，
所以直线的解析式为y＝x＋1.
将B(2，3)代入y＝x＋1，式子成立，
所以点B在直线y＝x＋m上．
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点仍在直线y＝x＋m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
考点二 确定二次函数的解析式
(1)求出抛物线L的解析式和顶点坐标；
(2)点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线PQ对称的抛物线L′，则C关于直线PQ的对称点为C′，若△PCC′为等腰直角三角形，求出抛物线L′的解析式．
[解]　如图，记CC′交PQ于点N.
若△PCC′为等腰直角三角形，则PN＝CN＝C′N.
设点P(x，x2－4x＋3)，则x＝|x2－4x＋3－3|，
解得x＝0(舍去)或x＝5或x＝3，即点P的横坐标为5或3.
而抛物线L的对称轴为直线x＝2，则抛物线L′的对称轴为直线x＝8或x＝4，则抛物线L′的顶点坐标为(8，－1)或(4，－1)，
则抛物线L′的解析式为y＝(x－8)2－1或y＝(x－4)2－1.
6．已知抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点位于直线y＝2x上，当该抛物线的顶点是原点时，该抛物线经过点(－2，2).
(1)当h＝－2时，求二次函数y＝a(x－h)2＋k的解析式；
(2)当二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与x轴无交点时，求h的取值范围；
(3)二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与直线x＝4交于点P，求点P到x轴距离的最小值．
二次函数解析式的常用设法
求二次函数的解析式时，已知三点坐标常设一般式；已知顶点及另一个点的坐标常设顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标常设交点式．
考点三 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
(2)求出当y>0时，x的取值范围．
7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的解为________________．
x1＝2，x2＝－6
核心素养·新课标新考法
03
D
1．若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝(t＋1)x2＋(t＋2)x＋s(s，t为常数，t≠－1)总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是(　　)
A．s＜－1　　　　　　　　　　　B．s＜0
C．0＜s＜1 D．－1＜s＜0
B(共31张PPT)
第三章　函　数
第9节　平面直角坐标系及函数的概念
命题探源·强基固本
01
一、平面直角坐标系
1．各象限内点的坐标特征
点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0

点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0
点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0
点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0
2．坐标轴上点的坐标特征
(1)点P(x，y)在x轴上 y＝0.
(2)点P(x，y)在y轴上 x＝0.
(3)点P(x，y)在原点处 x＝0，y＝0.
3．各象限角平分线上点的坐标特征
(1)点P(x，y)在第一、三象限角平分线上 ______．
(2)点P(x，y)在第二、四象限角平分线上 ________．
x＝y
x＝－y
4．点到坐标轴的距离及两点间的距离
(1)点P(x，y)到x轴的距离为______，到y轴的距离为______．
(2)平行于x轴的直线l上两点P1(x1，y)，P2(x2，y)之间的距离为_________．
(3)平行于y轴的直线l上两点P3(x，y1)，P4(x，y2)之间的距离为__________．
|y|
|x|
|x1－x2|
|y1－y2|
5．平面直角坐标系中点的平移与对称
用坐标 表示平移

用坐标 表示对称 点P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为____________
点P(x，y)关于y轴的对称点的坐标为____________
点P(x，y)关于原点的对称点的坐标为______________
(x，－y)
(－x，y)
(－x，－y)
二、函数及其相关概念
1．函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有____确定的值与其对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量．
唯一
2．函数自变量取值范围的确定
3.函数的表示方法：________、______、______．
4．认识函数图象
(1)一般地，对于一个函数，如果把自变量与对应的函数值分别作为点的______________，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
(2)函数图象的画法：①列表；②____；③连线．
(3)观察函数图象增减性的技巧
当函数图象从左到右呈“上升”趋势时，函数y随x的增大而____；当函数图象从左到右呈“下降”趋势时，函数y随x的增大而____．反之也成立．
解析式法
列表法
图象法
横坐标、纵坐标
描点
增大
减小
考点透析·精研细究
02
考点一 平面直角坐标系及点的坐标变换
m>3
命题角度1　坐标系内点的坐标特征
已知点A(2m－5，6－2m)在第四象限，则m的取值范围是________．
命题角度2　点平移的坐标特征
(2024·江西)在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为________．
(3，4)
C
A
1．在平面直角坐标系xOy中，点M(3，－4)关于y轴对称的点的坐标为(　　)
A．(－3，－4) B．(3，－4)
C．(3，4) D．(－3，4)
2．在平面直角坐标系中，点A(1，0)第1次向左跳动至A1(－1，1)，第2次向右跳动至A2(2，1)，第3次向左跳动至A3(－2，2)，第4次向右跳动至A4(3，2)……按照此规律，点A第2 025次跳动至A2 025的坐标是(　　)
A．(－1 014，1 014)
B．(1 014，1 013)
C．(－1 013，1 013)
D．(1 013，1 012)
C
8
3．已知点A(－2，a)关于原点的对称点A′的坐标是(b，－3)，则ba的结果是________．
考点二 确定函数自变量的取值范围
x≥2
x≤2且x≠1
考点三 函数图象的分析与判断
C
D
用图象描述分段函数时的三点注意
(1)自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示．
(2)各个分段中，准确确定函数关系．
(3)确定函数图象的最低点和最高点．
考点四 从函数图象中获取信息
D
(2022·江西)甲、乙两种物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是(　　)
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2 ℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0 ℃时，甲、乙的溶解度都小于20 g
D．当温度为30 ℃时，甲、乙的溶解度相等
D
7．小明在游乐场坐过山车，在某一段60 s时间内过山车的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系图象如图所示，则下列结论错误的是(　　)

A．当t＝41时，h＝15
B．在运动过程中过山车的最高高度为98 m
C．当30D．在0≤t≤60范围内，过山车只有1次高度达到80 m
从函数图象中获取数据和信息的两点注意
(1)理解原点、横轴、纵轴的意义．
(2)数形结合寻找关键点并理解它在实际问题中的意义．
核心素养·新课标新考法
03
1．(2025·达州)定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ(a，θ)变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ(1，180°)变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ(2，180°)变换得△A2B2C2为第二次变换……经γ(n，180°)变换得△AnBnCn，
则点C2 025的坐标是____________________．
(2，1)
2．(2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推．则点(1，4)经过2 024次运算后得到点________．
解析：点(1，4)经过1次运算后得到点(1×3＋1，4÷2)，即为(4，2)，
经过2次运算后得到点(4÷2，2÷2)，即为(2，1)，
经过3次运算后得到点(2÷2，1×3＋1)，即为(1，4)，
……
发现规律：点(1，4)经过3次运算后还是(1，4).
因为2 024÷3＝674……2，
所以点(1，4)经过2 024次运算后得到点(2，1).(共48张PPT)
第11节　反比例函数及其应用
命题探源·强基固本
01
一切非零实数
二、反比例函数的图象与性质
减小
增大
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则S矩形OAPB＝OA·AP＝|m|·|n|＝|mn|＝|k|.
五、反比例函数的应用
1．反比例函数与一次函数的综合应用
(1)根据点的坐标确定函数解析式．
(2)根据图象比较两函数值的大小．
(3)求三角形或四边形的面积．
(4)由几何图形面积确定点的坐标或函数的解析式．
2．反比例函数的实际应用
(1)解题方法
①分析实际问题中变量之间的关系；
②建立反比例函数模型；
③用反比例函数的有关知识解答，注意利用反比例函数两变量之积是定值的性质，算出定值．
考点透析·精研细究
02
考点一 反比例函数解析式的确定
1．若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的解析式为________．
考点二 反比例函数的图象与性质
D
B
p1k<－1 013
比较反比例函数函数值大小的方法
(1)若已知点的横坐标，可直接把点的横坐标代入反比例函数解析式，求出相应的y值，再比较大小；若没有给出横坐标可采用“特殊值法”，根据横坐标的大小关系，设出几个特殊值，求出特殊值对应的y值，再比较大小．
(2)在反比例函数图象上描出各点，根据各点的位置高低，比较函数值的大小．
(3)利用反比例函数的增减性与已知点的横坐标的大小关系比较函数值的大小．
考点三 反比例函数中k的几何意义
－6
B
11
考点四 反比例函数与一次函数的综合应用
(2，2)
(2)求BC所在直线的解析式．
C
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
解：作第一、第三象限的角平分线y＝x，如图．
因为∠1＝∠2，
所以∠COE＝45°－∠2＝45°－∠1＝∠AOE.
根据反比例函数图象的对称性，
知点A和点C关于直线y＝x对称，所以OA＝OC．
过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥y轴于点D．
(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；
(2)连接AC，求△ABC的面积．
考点五 反比例函数的实际应用
东东在网上销售一种成本为30元/件的T恤衫．销售过程中的其他各种费用(T恤衫成本以外的费用)总计50(百元).若销售价格为x(元/件)，销售量为y(百件)，当40≤x≤60时，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝40时，y＝6.有关销售量y(百件)与销售价格x(元/件)的相关信息如下：
(1)求当40≤x≤60时，y与x的函数解析式．
(2)①求销售这种T恤衫的利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数解析式；
②销售价格定为每件多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？
10．已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2 A，那么此用电器的电阻是________Ω.
18
11．甲、乙两家商场进行促销活动．甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元，满400元但不足600元，少付200元……乙商场按顾客购买商品的总金额打六折促销．
(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？
解：付款时应付310元．
(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两家商场的标价都是x(200≤x<400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？
解：当200≤x<250时，y甲当x＝250时，y甲＝y乙，选择两家商场购买该商品花钱相同；
当250y乙，选择乙商场购买该商品花钱较少．
利用反比例函数解决实际问题的步骤
(1)审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系．
(2)根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示．
(3)由题目的已知条件列出方程，求出待定系数的值．
(4)写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围．
(5)用函数的图象和性质解决实际问题．
核心素养·新课标新考法
03
C
1．生物学兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．酒精浓度越大，心率越高　　　　　　　　　
B．酒精对这种鱼类的心率没有影响
C．当酒精浓度是10%时，心率是168次/min
D．心率与酒精浓度是反比例函数关系
－7
答案：3＜k＜4(共52张PPT)
第10节　一次函数及其应用
命题探源·强基固本
01
一、一次函数
1．定义
一般地，形如___________(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数；特别地，若b＝0，y＝kx＋b即_______，称此函数为正比例函数．
y＝kx＋b
y＝kx
2．图象
正比例函数y＝kx的图象 经过点(0，0)和点(1，__)的一条直线
一次函数y＝kx＋b的图象
经过点(0，__)和点(____，0)的一条直线
图象关系 一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到．当b>0时，向__平移__个单位长度；当b<0时，向__平移____个单位长度
k
b
上
b
下
－b
3．性质
函数 系数取值 大致图象 经过的象限 性质
y＝kx (k≠0) k>0 第______象限 y随x的增大而____
k<0 第______象限 y随x的增大而____
y＝kx＋b (k≠0) k>0，b>0 第__________象限 y随x的增大而____
一、三
增大
二、四
减小
一、二、三
增大
函数 系数取值 大致图象 经过的象限 性质
y＝ kx＋b (k≠0) k>0，b<0 第__________象限 y随x的增大而____
k<0，b>0 第__________象限 y随x的增大而____
k<0，b<0 第__________象限
一、三、四
增大
一、二、四
二、三、四
减小
4．一次函数解析式的确定
(1)待定系数法确定函数解析式
①一设：设一次函数解析式为y＝kx＋b；
②二列：找出函数图象上的两个点，并将其坐标分别代入函数解析式，得到一个方程组；
③三解：解方程组，求出待定系数的值；
④四还原：将所求待定系数k，b的值代入所设的函数解析式中．
(2)一次函数图象平移后解析式的确定
方法一：通过特殊点确定
①设直线y＝kx＋b平移后的解析式为y＝kx＋b′；
②在平移前的直线上找一点，根据平移方式求其平移后的对应点；
③将该点的坐标代入y＝kx＋b′，求得b′的值即可．
图象的平移规律可简记为：左加右减，上加下减．
y＝k(x－m)＋b
y＝kx＋b＋m
二、一次函数与一次方程(组)及一元一次不等式的关系
横坐标
交点坐标
一次函数与一元一次不等式的关系 (1)不等式kx＋b＞0的解集 直线y＝kx＋b位于x轴__方的部分对应的自变量的取值范围
(2)不等式kx＋b＜0的解集 直线y＝kx＋b位于x轴__方的部分对应的自变量的取值范围
(3)不等式__________________的解集 直线y＝kx＋b位于直线y＝k1x＋b1上方的部分对应的自变量的取值范围
上
下
kx＋b＞k1x＋b1
考点透析·精研细究
02
考点一 一次函数的图象与性质
D
D
1．关于一次函数y＝－2x＋3，下列结论正确的是(　　)
A．图象经过点(3，－5)
B．图象经过第一、二、三象限
C．y随x的增大而增大
D．图象与y轴交于点(0，3)
2．一次函数y＝kx－1(k≠0)，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A
B
k对一次函数图象的影响
(1)当函数值随着自变量的增大而增大时，k>0；当函数值随着自变量的增大而减小时，k<0.
(2)|k|的大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，y随x变化越快；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，y随x变化越慢．
考点二 一次函数解析式的确定
(1)求点C的坐标；
(2)求线段BC所在直线的解析式．
(2)若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
考点三 一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系
x<1
5．如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x＋b交于点A(1，2).当y16．直线l1：y1＝2x－2与x轴交于点D，直线l2：y2＝kx＋b与x轴交于点A，且经过点B(3，1)，两直线相交于点C(m，2).
(1)求直线l2的解析式和点C的坐标．
(2)当x取何值时，kx＋b≥2x－2
解：由图象知，当x≤2时，kx＋b≥2x－2.
(3)求△ADC的面积．
考点四 一次函数的应用
[解] y＝－0.5x＋75(0≤x≤150).
单层部分的长度x/cm … 4 6 8 10 … 150
双层部分的长度y/cm … 73 72 71 …
70
0
(1)根据表中数据的规律，补全表格，并直接写出y关于x的函数解析式；
(2)根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120 cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；
[解]　根据题意，得x＋y＝120，则x－0.5x＋75＝120，解得x＝90.
答：此时单层部分的长度为90 cm.
(3)设挎带的长度为l cm，求l的取值范围．
[解]　l＝x＋y＝0.5x＋75.
因为0≤x≤150，所以75≤l≤150.
答：l的取值范围为75≤l≤150.
A
7．(2025·江西)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是(　　)

A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
8．小明和小亮分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了30min.小亮骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示．
根据图象信息解答下列问题．
(1)分别求出小明跑步和步行的速度．
解：由题意可得，图象过(30，4 000)，
所以小明家与图书馆之间的路程为4 000 m，
小明步行的速度为(4 000－2 000)÷(30－10)＝100(m/min)；
小明跑步的速度为2 000÷10＝200(m/min).
(2)求出点D的坐标．
(3)两人出发多长时间相遇？
解：4 000÷(200＋300)＝8(min)，
即两人出发8 min相遇．
(4)求小明离家的路程y(m)关于x(min)的函数解析式．
(5)两人出发后，经过多长时间相距1 500 m
9．“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量(人/辆) 45 60
租金(元/辆) 800 1 200
倘若甲、乙两种型号的客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租用x辆甲型客车，租车总费用为y元．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)请你设计一种租车方案，要求费用最省．
应用一次函数解决实际问题常见的三种题型
(1)建立函数模型，借助方程或不等式或函数图象来选择方案解决问题．
(2)利用一次函数图象的性质，如增减性等来解决生活中的优化问题．
(3)利用一次函数图象描述事件的变化过程，此问题要仔细分析图中各点以及每条直线(或线段)表示的意义．
核心素养·新课标新考法
03
B
1．(2025·苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如下表：


研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0).当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为(　　)
A．333 m/s　　　　 B．339 m/s　　　　
C．341 m/s　　　　 D．342 m/s
温度t(℃) －10 0 10 30
声音传播的速度v(m/s) 324 330 336 348
2．在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x，y)移动到点(x＋2，y＋1)称为一次甲方式；从点(x，y)移动到点(x＋1，y＋2)称为一次乙方式．
例　点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M(4，2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2，4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3，3).
(1)设直线l1经过上例中的点M，N，求l1的解析式；并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式．
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x，y).其中，按甲方式移动了m次．

①用含m的式子分别表示x，y；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象．
解：①因为点P按甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，所以点P按乙方式移动了(10－m)次．点P按甲方式移动m次后得到的点的坐标为(2m，m)，点(2m，m)按乙方式移动(10－m)次后得到的点的横坐标为2m＋10－m＝m＋10，纵坐标为m＋2(10－m)＝20－m，所以x＝m＋10，y＝20－m.
②由于x＋y＝m＋10＋20－m＝30，所以直线l3的解析式为y＝－x＋30，函数图象如图所示：
(3)在(1)和(2)中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．(共17张PPT)
微专题一　根据反比例函数k的
几何意义模型解题
模型一
3
2．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为____________．
模型二
C
B
模型三
A
6
模型四
3
O
B
X
X
四边形
四边形
四边形
ABOD
ABCD为
ABCD为
为矩形
平行四边形
平行四边形
D
C
x
A
B
y
A
B
0
D
C
0
个
B
B
A
A
AB⊥y轴
AB⊥y轴
CAB⊥轴
C在x轴
C在y轴
上移动
上移动
Y
A
0
C
X
B
C
0
父
A
A
X
X
B
C
B
BCL⊥y轴
BC⊥x轴
P
X
P
A
△PPA是
直角三角形
A
0
x
B
C
P
C
0
A
D
X
PA⊥x轴，CD⊥x轴
A
B
1
0
2
4
X
A
B
0
C
x(共39张PPT)
第13节　二次函数的实际应用
命题探源·强基固本
01
一、应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路
1．结合题意，建立恰当的平面直角坐标系．
2．数形结合，将已知条件转化为点的坐标．
3．求出抛物线的函数解析式，应用二次函数的性质或点的坐标的意义解决问题．
二、应用二次函数的性质解决最优化问题的思路
1．分析题中的数量关系，确定变量．
2．根据等量关系，构建二次函数模型．
3．根据二次函数的性质，确定最值．
考点透析·精研细究
02
考点一
　　　(2022·江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会
应用二次函数解决抛物线型实际问题
(1)c的值为________．
66
跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(3)若运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
[解]　运动员的落地点能超过K点．
理由：易得抛物线的顶点的坐标为(25，76)，
所以可设抛物线的解析式为y＝a(x－25)2＋76.
因为抛物线过点A(0，66)，
所以66＝a(0－25)2＋76，
1．如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计．深安黄河大桥主拱形OAB呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连．如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆CD到原点O的水平距离OC＝26 m，吊杆EF到原点O的水平距离OE＝134 m，且CD＝EF，主拱形离桥面的距离y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝－0.006(x－h)2＋k，其对称轴为直线x＝h.
图1 图2
(1)求OH的长度；
(2)求主拱形到桥面的最大高度AH的长．
解：由(1)得EB＝OC＝26 m，
所以OB＝134＋26＝160(m)，即点B的坐标为(160，0).
由(1)得OH＝80 m，
所以y＝－0.006(x－80)2＋k.
把点B的坐标(160，0)代入y＝－0.006(x－80)2＋k，
得0＝－0.006×(160－80)2＋k，
解得k＝38.4.
所以y＝－0.006(x－80)2＋38.4，
所以AH＝38.4 m.
即主拱形到桥面的最大高度AH的长为38.4 m.
抛物线型实际问题解题的关键、技巧及常见错误
(1)关键：进行二次函数建模，依据题意，建立合适的平面直角坐标系，并利用二次函数的性质解决问题．
(2)技巧：所建立的坐标系能使所设的解析式形式最简．
(3)常见错误：①题意分析不透，不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确，导致解题错误；②忽视了自变量的取值范围，造成错解；③由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时，忽视了线段所在的象限，造成符号错误．
考点二
命题角度1　利润最大化问题
　　　(2018·江西)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为8元/kg，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天的销售量y(kg)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．
应用二次函数解决最优化问题
(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
[解]　设每天的销售利润为W元．
依题意，得W＝(x－8)(－10x＋300)＝－10(x－19)2＋1 210.
因为a＝－10<0，所以当x＝19时，W取最大值，为1 210.
故当该品种蜜柚定价为19元/kg时，每天销售获得的利润最大，为1 210元．
(3)某农户今年共采摘蜜柚4 800 kg，若该品种蜜柚的保质期为40天，则按照(2)中的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．
[解]　不能．
理由：当x＝19时，y＝－10×19＋300＝110，110×40＝4 400<4 800，
故按照(2)中的方式进行销售，不能销售完这批蜜柚．
命题角度2　线段长、面积最值问题
　　　如图，王叔叔想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长．当矩形ABCD的边AB＝________m时，羊圈的面积最大．
15
2．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x(元/件) 4 5 6
y(件) 10 000 9 500 9 000
(1)求y与x的函数解析式(不求自变量的取值范围)；
(2)当售价为每件多少元时，这一周该商场销售这种商品获得的利润最大，并求出最大值．
3.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8 dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8 dm.现计划将此余料进行切割：
(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形,要求一边在底部边缘AB上且周长最大,求此矩形的周长．
利用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是利用二次函数的图象和性质求函数的最大值或最小值，如经济问题中的最大利润、最低费用，几何问题中的最大面积、最大高度等，其关键是将实际问题“数学化”，即转化为相应的数学模型．
核心素养·新课标新考法
03
1．九年级(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8 m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是(　　)
A.方案1　　　　　　 B．方案2　　　　　　
C．方案3　　　　　　 D．方案1或方案2
方案1　　　　方案2　　　　方案3
C　
2．(2025·山西)综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm.
数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
图1 图2
(1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式．
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
(2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0，75)，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长．
(3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57 cm，BC＝40 cm，CD＝48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内).

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