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(共18张PPT)
微专题四　三角形中点问题模型
模型一　遇三角形边上的中点，考虑构造中位线
?模型分析
遇到三角形边上的中点时，考虑构造中位线，辅助线作法：
①过中点作已知长度的边的平行线；
②直接连接两个中点．
情形1：已知D为AB的中点．
情形2：已知D，E分别为AB，AC的中点．

结论：DE∥BC且DE＝BC，△ADE∽△ABC.
?对点应用
1．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长为(　　)
A．3　　　
B．7
C．8　　　
D．14
D　
?模型分析
遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线．
如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为AB的中点．
模型二　遇直角三角形斜边上的中点，考虑作斜边上的中线
结论：CD＝AD＝BD，△ADC和△CDB均为等腰三角形．
A
?模型分析
遇到等腰三角形底边上的中点时，可考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题．
如图，在等腰三角形ABC中，D是底边BC的中点．
模型三　遇等腰三角形底边上的中点，考虑“三线合一”
结论：AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
?对点应用
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为________．
?模型分析
遇到边的垂线经过边的中点时，常联想到线段的垂直平分线，连接线段垂直平分线上的点和线段的端点，根据线段的垂直平分线的性质解题．
如图，在△ABC中，ED垂直平分BC.
模型四　遇过中点的垂线，考虑垂直平分线的性质
结论：BE＝CE，DE平分∠BEC，∠EBC＝∠ECB.
?对点应用
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则CE的长为________．
?模型分析
遇到中线或与中点有关的线段时，可以尝试倍长中线构造全等三角形，证明线段间的数量关系．
情形1：如图1，AD是边BC上的中线，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
结论：△ACD≌△EBD.
模型五　遇中线或与中点有关的线段，构造中线或倍长中线
?对点应用
5．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于点E，且AE＝EF.求证：BF＝AC.
因为AE＝EF，
所以∠EAF＝∠EFA＝∠BFD.
所以∠G＝∠EAF.
所以AC＝CG.
所以BF＝AC.(共52张PPT)
第四章　几何初步与三角形
第14节　几何初步与相交线、平行线
命题探源·强基固本
01
一、生活中常见的几何体
1．常见的几何体分为______、______、______．
2．立体图形与平面图形的转化
(1)长方体的侧面展开图是______．
(2)圆柱的侧面展开图是______．
(3)圆锥的侧面展开图是______．
柱体
锥体
球体
矩形
矩形
扇形
3．常见几何体的展开图
(1)圆柱、圆锥、三棱柱的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
(2)正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有1个，共6种．如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有1，2个，共3种．如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有2个，只有1种．如下图：

第四类，两排各有3个，也只有1种．如下图：
名称 端点个数 特征 图示 表示及读法
直线 无 可向两方 无限延伸 直线AB或直线BA或直线l
射线 1个 可向一方 无限延伸 射线OA
或射线l
线段 2个 有一定长 度，可度量 线段AB或线段BA或线段a
二、直线、射线与线段
1．直线、射线、线段
两点
线段
长度
三、角
1．角的定义
有公共端点的____________组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的______，这两条射线叫做角的边．
2．角的表示
角有以下几种表示形式：
∠AOB　 　 ∠O ∠1 ∠α(α为小写希腊字母)
两条射线
顶点
温馨提示：用角的顶点字母表示角，只适用于顶点处只有一个角的情况，如图所示的∠AOB不能表示成∠O.
3．余角和补角
(1)余角：如果两个角的和等于_____，那么这两个角互为余角．即若α＋β＝_____，则α，β互为余角．同角或等角的余角相等．
(2)补角：如果两个角的和等于______，那么这两个角互为补角．即若α＋β＝______，则α，β互为补角．同角或等角的补角相等．
90°
90°
180°
180°
性 质 角平分线上的点到角两边的距离______ 因为OC平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，所以PM＝PN
逆定 理 角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的_________上 因为PM⊥OA，PN⊥OB，且PM＝PN，所以OC平分∠AOB 4.角平分线
(1)定义：如果从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个______的角，那么这条射线叫做这个角的平分线．
(2)性质及其逆定理
相等
相等
平分线
对顶角 举例：∠1与∠3，∠2与___ 性质：对顶角相等
邻补角 举例：∠1的邻补角是∠2和___ 性质：互为邻补角的两角之和等于180° 同位角 举例：∠1与___，∠2与∠6 内错角 举例：∠4与___，∠3与∠5 同旁内角 举例：___与∠5，∠3与∠6 四、相交线
1．三线八角
∠4
∠4
∠5
∠6
∠4
2.垂线性质
(1)在同一平面内，过一点____________一条直线与已知直线垂直．
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_________最短．
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
有且只有
垂线段
五、平行线
1．平行线的基本事实及其推论
(1)经过直线外一点，____________一条直线与这条直线平行．
(2)若两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线______．
有且只有
平行
相等
相等
互补
六、命题、定理及反证法
1．命题
(1)定义：判断一件事情的句子叫做命题．
(2)命题的组成部分：命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果……那么……”的形式．
(3)命题的分类：命题分为真命题和假命题．
(4)互逆命题：如果一个命题的题设和结论恰好是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为互逆命题．
2．定理
有些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理．
3．证明命题的步骤
(1)根据命题，画出图形．
(2)根据命题，结合图形，写出已知，求证．
(3)写出证明过程．
考点透析·精研细究
02
考点一
A　
立体图形的展开与折叠
D　
2．(2024·江西)如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有(　　)
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
B　
确定正方体相对面的妙招
(1)因为正方体的任何一个面都与其余的5个面中的4个面相邻、1个面相对，所以展开图中若存在1个小正方形与4个小正方形均有公共顶点，这4个小正方形都是它的相邻面，剩下的一个面就是它的相对面．
(2)在一个正方体中，上、下所对的面是相对面；左、右所对的面也是相对面．因此，展开图的每行或每列中若出现相连的3个面，不相邻的两个面就是相对面．
(3)把展开图中偏中间的面作为下底面，将展开图折叠成一个正方体．分析前、后、左、右、上面的面分别是什么，然后找出相对的面．
提醒：把展开图折叠成立体图形时，若有重合的面，则不能折叠成几何体．据此也可判断一个平面图形是否为一个几何体的展开图．
考点二
　　　如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC与其邻补角大小之比是3∶7.
直线、射线、线段和角平分线
(1)求∠AOC的度数；
[解]　由∠AOC与其邻补角大小之比是3∶7，
设∠AOC＝3x°，
则其邻补角为7x°，
所以3x＋7x＝180，
所以x＝18，所以3x＝54，
即∠AOC＝54°.
(2)若OE⊥CD，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数．
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为(　　)
A．8
B．7.5
C．15
D．无法确定
B　
4．如图，点A，B，C，D四点共线．

(1)图中共有________条射线；
(2)图中共有____条线段，它们分别是_____________________________．
4　
6　
AD，AC，AB，DC，DB，CB
考点三
　　　(2023·江西)如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上．若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
C　
余角、补角和对顶角
5．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是(　　)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
A　
①②③④
　　　(2020·江西)如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是(　　)
A．AB∥CD　　　　　　
B．∠B＝30°
C．∠C＋∠2＝∠EFC
D．CG>FG
考点四
C　
平行线的性质和判定
7．如图，一个弯曲管道AB∥CD，∠ABC＝120°，则∠BCD的度数是________．
60°
8.如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是________．
40°
9．(2025·江西)如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2.求证：AE∥DF.
证明：因为AB∥CD，
所以∠1＝∠ACD.
又因为∠1＝∠2，
所以∠2＝∠ACD，
所以AE∥DF.
两直线平行中的常见问题
(1)两直线平行是得到两角相等或两角互补的一个重要途径，常判断它们所处的“三线八角”中的直线是否平行或将要求的角转化为已知角的同位角、内错角或同旁内角，再进行求解．
(2)在判定两条直线互相平行的问题中，一般都不能直接根据平行线的判定方法得出结论，而是根据题目中的已知条件把问题转化，使之满足平行线的判定方法．
考点五
　　　将一把直尺和一块含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，若∠1＝33°，则∠2为(　　)
A．63° B．107°
C．117° D．120°
C　
平行线与几何教具的综合
10．将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　　)
A．55°
B．65°
C．70°
D．75°
C　
解答平行线与几何教具的综合问题时，首先根据几何教具抽象出几何图形，然后根据平行线的性质、垂直的定义等知识进行解答．
考点六
D　
命题
D　
核心素养·新课标新考法
03
方案Ⅱ：
　　　　　
①作一直线GH，分别交AB，CD于点E，F；
②测量∠AEH和∠CFG的大小；
③计算180°－∠AEH－∠CFG即可．
方案Ⅰ：

①作一直线GH，分别交AB，CD于点E，F；
②利用尺规作∠HEN＝∠CFG；
③测量∠AEM的大小即可．
1．要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案(如图1和图2)：
图1
图2
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是(　　)
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行　 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
C　
2．(2024·常州)如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1，F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB.这一判断过程体现的数学依据是(　　)
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
A　(共19张PPT)
微专题五　与角平分线有关的常见模型
模型一　运用角平分线定理
?模型分析
已知：点P是∠MON的平分线上一点，PA⊥OM于点A.

结论：PA＝PB，Rt△AOP≌Rt△BOP.
2.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ABC的面积是30，AC＝14，BC＝16，则点D至AC的距离为________．
2
?模型分析
1．已知：OC是∠AOB的平分线，点P为OC上一点，点D为OA上一点．
情形1：

结论：△OPQ是等腰三角形．
模型二　构造等腰三角形
情形2：

结论：△DOE是等腰三角形．
2．已知：点P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于点P.

结论：△AOB是等腰三角形，AP＝BP.
2
4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是AC边上一点，连接DE.若∠BAC＝30°，∠CED＝120°，DE＝1，则AE的长为________．
?模型分析
1．已知：点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点(截长法).
模型三　构造全等三角形
结论：△OPB≌△OPA.
2．已知：在△ABC中，AD平分∠BAC(补短法).

结论：△AFD≌△ACD.
?对点应用
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE是∠ABC的平分线，交AC于点D，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2AE.
证明：如图，分别延长AE，BC相交于点F.
因为BE平分∠ABC，AE⊥BE，
所以∠FBE＝∠ABE，∠BEF＝∠BEA＝90°.
又因为BE＝BE，
所以△BEF≌△BEA(ASA)，
所以EF＝EA.
因为∠ACB＝90°，所以∠FCA＝∠DCB＝∠AED＝90°.
因为∠ADE＝∠CDB，
所以∠CAF＝∠CBD.
又因为AC＝BC，
所以△FAC≌△DBC(ASA)，
所以AF＝BD.
因为EF＝EA，所以AF＝2AE，
所以BD＝2AE.
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD，求∠B的度数．
解：法一：如图1，在AC上截取AE＝AB，连接DE.
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠CAD.
又因为AD＝AD，
所以△ABD≌△AED，
所以BD＝DE，∠B＝∠AED.
因为AC＝AB＋BD，AE＝AB，AC＝AE＋CE，
所以CE＝BD＝DE，
所以∠C＝∠CDE，
所以∠B＝∠AED＝2∠C.
因为∠BAC＝60°，
所以∠B＋∠C＝3∠C＝120°，
所以∠C＝40°，
所以∠B＝2∠C＝80°.
法二：如图2，延长AB至点F，使BF＝BD，连接DF.
因为AC＝AB＋BD，AF＝AB＋BF，
所以AF＝AC.
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠CAD.
又因为AD＝AD，
所以△ADF≌△ADC(SAS)，
所以∠F＝∠C.
因为BF＝BD，
所以∠F＝∠FDB，
所以∠ABC＝2∠F＝2∠C.
因为∠BAC＝60°，
所以∠ABC＋∠C＝3∠C＝120°，
所以∠C＝40°，
所以∠ABC＝2∠C＝80°.(共46张PPT)
第15节　三角形与全等三角形
命题探源·强基固本
01
一、三角形
1．三角形的定义与稳定性
(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形．
(2)三角形具有_________．
稳定性
3．三角形三边关系
三角形中任意两边之和______第三边，任意两边之差______第三边．
4．三角形内角和定理及其推论
(1)定理：三角形三个内角的和等于______．
(2)推论：
①直角三角形的两个锐角______．
②有两个角______的三角形是直角三角形．
③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
大于
小于
180°
互余
互余
四线 图形及性质 备注
中线 BD＝____＝___BC，S△ABD＝S△ACD 重心：三角形三条中线的交点
高线 AD⊥___，即∠ADB＝∠ADC＝90° 垂心：三角形三条高线的交点
5．三角形的四条重要线段
DC
BC
∠2
DE
二、全等三角形
1．全等三角形的性质
全等三角形的_________相等，_________相等．
2．全等三角形的判定
(1)判定一般三角形全等的方法：_____，_____，
_____，______．
(2)判定直角三角形全等的方法：除上述四种判定方法外，还有____．
对应边
对应角
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
考点透析·精研细究
02
考点一
D　
　　　已知a，b，5分别是等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x2－8x＋k＋3＝0的两个根，则k的值为(　　)
A．12 B．－13
C．12或－13 D．12或13
三角形三边关系
1．如果三角形的两边长分别为5和8，第三边长为奇数，那么这个三角形的周长不可能是(　　)
A.26 B．24
C．22 D．20
A　
2．已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为整数，则第三边的长为________．
5
活用三角形三边关系解题
(1)判断三条线段能否组成三角形
在已知的三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的一条线段，那么这三条线段能组成一个三角形，否则不能组成一个三角形．
(2)确定第三边的取值范围
设三角形的两边长分别为a，b(a>b)，则第三边长c必须满足条件：a－b考点二
　　　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线，CF是∠ACB的平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是(　　)
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH.
A．①②③④ B．①②③
C．②④ D．①③
D　
三角形的中线、高线和角平分线
3．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1＋S2与S3的大小关系，下列判断正确的是(　　)
A．S1＋S2＝S3
B．S1＋S2C．S1＋S2>S3
D．无法确定
C　
B　
关于三角形中线、高线和角平分线的说明
(1)它们都是线段．
(2)三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形．
(3)等底等高的三角形面积相等．
(4)同底(高)的两个三角形的面积比等于高(底)的比．
(5)题目中高线较多时，可考虑利用三角形的面积或同(等)角的余角相等解题．
考点三
　　　(2020·江西)如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为________．
82°
全等三角形的性质与判定
5．(2023·江西)如图，AB＝AD，AC平分∠BAD.求证：△ABC≌△ADC.
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.

(1)求证：AE＝AD；
(2)若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
解：因为∠ACB＝65°，AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB＝65°，
所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－65°－65°＝50°.
因为∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
所以∠BDC＝∠BAC＝50°.
判定三角形全等的思路
已知两边 找夹角(SAS)
找直角(HL)
找另一边(SSS)
已知一边一角 边为角的对边 找任一角(AAS)
边为角的邻边 找边的另一邻角(ASA)
找角的另一邻边(SAS)
找边的对角(AAS)
已知两角 找夹边(ASA)
找任意一角的对边(AAS)
命题角度1　条件开放与探索
　　　如图，点B，E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是(　　)

A．∠C＝∠D，AC＝ED
B．BC＝FD，AC＝ED
C．∠ABC＝∠EFD，AC＝ED
D．AC＝ED，AB＝EF
考点四
B　
全等三角形的开放性问题
C　
所以△CFG为等边三角形，故②正确；
因为∠EMD＝∠MBD＋∠MDB
＝∠MAC＋∠MDB＝∠FCB
＝60°，
所以∠EMD＝∠FCG，
所以M，F，C，G四点共圆，
所以∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，
所以∠BMC＝∠DMC，
所以CM平分∠BMD，故④正确；
如图，过点E作EP⊥BD于点P，
7．如图，在△ABC和△DEF中，满足AB＝DE，∠A＝∠D，如果要判定这两个三角形全等，添加的条件不正确的是(　　)
A．∠B＝∠E
B．BC＝EF
C．AC＝DF
D．∠C＝∠F
B　
巧用图形条件
判定三角形全等时，一定要注意利用图中隐藏的条件．
(1)两个三角形中相等的角→公共角或对顶角．
(2)两个三角形中相等的边→公共边或相等的线段．

考点五
　　　如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为(　　)
A．18 m
B．24 m
C．36 m
D．54 m
C　
三角形的中位线
8．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝________．
1　
9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为________．
20
三角形中位线的应用
(1)已知三角形的中位线的长求第三边的长，或已知第三边的长求三角形的中位线的长．
(2)利用三角形的中位线可证明平行．
(3)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形周长的比为1∶2，面积的比为1∶4.
核心素养·新课标新考法
03
1．小明家某个家具中的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是(　　)
A．AB，BC，CA　　　　　　　　　 B．AB，BC，∠B
C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
C　
2．(2025·达州)开启作角平分线的智慧之窗
问题：作∠AOB的平分线OP.
甲同学 乙同学 丙同学 工人师傅
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB的平分线．
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是________；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②________________________；
对丙同学的作法陷入了沉思．
任务：
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整．
解：SSS　全等三角形的对应角相等
(2)完成对丙同学作法的验证．
已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB.
解：证明：因为∠AED＝∠AOB，
所以ED∥OB，
所以∠EPO＝∠BOP.
因为EP＝EO，
所以∠EPO＝∠EOP，
所以∠BOP＝∠EOP，
所以OP平分∠AOB.(共39张PPT)
第17节　图形的相似
命题探源·强基固本
01
一、比例的性质
1．比例线段及比例的性质
比例线段 对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段a，b的比与另两条线段c，d的比相等，即a∶b＝c∶d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
2．平行线分线段成比例
二、相似三角形
1．定义
对应角______，对应边_________的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质
(1)对应______的比、对应____________的比、对应___的比都等于相似比．
(2)周长比等于_________．
(3)面积比等于__________________．
相等
成比例
中线
角平分线
高
相似比
相似比的平方
3．判定
(1)一般三角形
①平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似；
②两组角对应相等，两三角形相似；
③两组边对应成比例，且______相等，两三角形相似；
④三组边对应成比例，两三角形相似．
夹角
(2)直角三角形
①一组锐角对应相等，两直角三角形相似；
②两组直角边对应成比例，两直角三角形相似；
③斜边和一组直角边对应成比例，两直角三角形相似．
三、位似图形
1．定义
如果两个____________的每一组对应点所在的直线都_______________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做____________，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的_________．
相似图形
交于同一点
位似中心
位似比
2．性质
位似图形的对应点和位似中心在______________，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_________．
3．在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0，1)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的位似比为|k|.
同一条直线上
位似比
考点透析·精研细究
02
考点一
A　
比例的性质
D　
2．如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AB与AP的比例中项．如果AB＝2，那么AP＝________．
运用比例的性质的两个注意点
(1)留意分母不能为零，像等比性质中分母和不为零，否则无意义，同时合分比性质需满足特定条件．
(2) 牢记各项对应关系，无论是基本性质还是合比等性质，对应错误会致计算出错．
考点二
　　　如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件_________________ __________________，使得△AOB∽△COD.
∠A＝∠C(或∠B＝∠D或AB∥CD)
相似三角形的性质与判定
　　　(2023·江西)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，则树高PQ＝________m.
　6
3．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50 cm处，遮光板在刻度尺70 cm处，光屏在刻度尺80 cm处，量得像高3 cm，则蜡烛的长为(　　)
A．5 cm
B．6 cm
C．4 cm
D．4.5 cm
B　
4．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为________．
5．(2022·江西)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.
(1)求证：△ABC∽△AEB；
解：证明：因为四边形ABCD为菱形，AC为对角线，
所以∠ACB＝∠ACD.
因为∠ACD＝∠ABE，
所以∠ACB＝∠ABE.
又∠BAC＝∠EAB，
所以△ABC∽△AEB，
(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
相似三角形性质的三个应用
(1)利用相似三角形对应角相等计算角的度数．
(2)利用相似三角形对应边成比例确定已知边和未知边的关系，建立方程求出未知边的长或解决与比例式(等积式)有关的证明问题．
(3)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求三角形的面积或周长．
考点三
　　　如图，△OAB与△OA′B′位似，其中A，B的对应点分别为A′，B′，A′，B′均在图中正方形网格格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(　　)
A．(，)
B．(m，n)
C．(2m，2n)
D．(2n，2m)
C　
位似
A　
7．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(3，1)，C(5，4).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
解：△A1B1C1如图所示．
(2)以点P(1，－1)为位似中心，在如图所示的网格中画出△A1B1C1的位似图形
△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2；
解：△A2B2C2如图所示．
(3)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°得到的△A′B′C′，并求出线段BC扫过的面积．
平面直角坐标系中的位似变换
(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
(2)位似中心既可以在两位似图形的同侧，也可以在两位似图形之间．
核心素养·新课标新考法
03
1．(2025·平凉)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知大、小风筝的对应边之比为3∶1，如果小风筝两条对角线的长分别为30 cm和35 cm，那么大风筝两条对角线长的和为________cm.
195
解析：因为小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3∶1，
所以大风筝和小风筝相似，相似比为3∶1，
所以大风筝两条对角线长∶小风筝两条对角线长＝3∶1，
所以大风筝两条对角线的长分别为30×3＝90(cm)和35×3＝105(cm)，
所以大风筝两条对角线长的和为195 cm.
2．刘徽的《海岛算经》里提到的一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝1 000 步，点D，B，H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A，C，F成一线，从D处退行127步到点G处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A，E，G也成一线，则AH＝________丈，HB＝________步．(注：1步＝6尺，1丈＝10尺)
753　
30 750(共37张PPT)
第16节　等腰与直角三角形
命题探源·强基固本
01
一、等腰三角形和等边三角形
等腰三角形 等边三角形
性 质 (1)两底角相等(简称“等边对等角”) (2)顶角的平分线垂直平分底边，顶角_________、底边上的中线、底边上的______互相重合，简称“三线合一” (3)是轴对称图形，有___条对称轴 (1)三边相等
(2)三个内角相等，每一个内角都等于_____
(3)是轴对称图形，有___条对称轴
平分线
高线
一
60°
三
60°
二、线段垂直平分线的性质与判定
1．性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______．
2．判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_______________上．
相等
垂直平分线
三、直角三角形
性质 (1)两锐角之和等于90°
(2)斜边上的中线等于斜边的______
(3)30°角所对的直角边等于斜边的______
(4)若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于_____
(5)勾股定理：两直角边长的平方和等于斜边长的平方，即___________(a，b为直角边长，c为斜边长)
一半
一半
30°
a2＋b2＝c2
90°
考点透析·精研细究
02
考点一
等腰三角形的性质与判定
1．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线交AB于点M，交AC于点N，则△AMN的周长为________．
10
2．(2016·江西)如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，点E为AB边上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是__________________．
3．(2021·江西)如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD.
1．等腰三角形判定的两个方法
(1)运用等腰三角形的定义从边的角度去判定．
(2)运用等腰三角形的判定定理从角的角度去判定．
2．等腰三角形中常用的辅助线
(1)作底边上的高．
(2)作底边上的中线．
(3)作顶角的平分线．
考点二
　　　(2023·江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________cm.
2
等边三角形的性质与判定
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为(　　)
A．9
B．8
C．6
D．7
B　
9或10或18
活用等边三角形的性质：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，利用这些隐含条件可证明三角形全等或构造全等三角形．
考点三
　　　如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是________．
13
线段垂直平分线的性质与判定
B　
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为________°.
40
线段垂直平分线的应用特征
(1)线段垂直平分线中的两组线段相等
①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
②被垂直平分的线段，被分为两条相等的线段．
(2)当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直，且垂足是中点时，要联想到线段垂直平分线的性质．
考点四
直角三角形的性质
　　　(2015·江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_________________．
A　
6
10．(2025·江西)图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB＝BC＝CD＝60 cm，∠ABC＝∠BCD＝135°，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得∠CNM＝6°.
图1 图2
(1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①∠CMN的最小值为________度，最大值为________度；
②△CMN面积的变化情况是(　　)
A．越来越大 B．越来越小
C．先增大后减小
解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时∠CMN有最小值0°；
当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，∠CNM＝6°，则此时∠CMN有最大值．
因为∠CNM＝6°，∠BCD＝135°，
所以∠CMN＝180°－6°－135°＝39°，即∠CMN有最大值为39°.
故答案为：0　39
(2)当∠CMN＝30°时，求△CMN的面积．
直角三角形性质的四个应用
(1)在一个题目中，若直角三角形较多，可考虑利用等面积的方法求线段的长度．
(2)利用直角三角形两锐角互余，根据同(等)角的余角相等，证明两个锐角相等．
(3)在直角三角形中，有30°角时可应用30°角所对直角边等于斜边的一半．
(4)在直角三角形中，若给出斜边中点，可应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
核心素养·新课标新考法
03
(2025·武威)勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形……则第5个图形中共有________个正方形．
31
第1个图形　 第2个图形 第3个图形　　
……
解析：由图可知，第1个图形中有1个正方形，
第2个图形中共有1＋21＝3(个)正方形，
第3个图形中共有1＋21＋22＝7(个)正方形，
……
所以第5个图形中共有1＋21＋22＋23＋24＝31(个)正方形．(共45张PPT)
第18节　解直角三角形
命题探源·强基固本
01
一、锐角三角函数的定义和性质
1．定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sin A＝___，cos A＝___，tan A＝___．
2．性质
(1)锐角三角函数值都是正值
00.
(2)锐角三角函数的正弦值和正切值随着角度的增大而______，余弦值随着角度的增大而______．
(3)特殊关系
sin2A＋cos2A＝_，tanA＝______．
增大
减小
1
二、直角三角形中的常见关系和解法
1．常见关系
a2＋b2＝c2
条件 两条边 一条边一个角 两条直 角边 斜边和一 条直角边 斜边和 一个锐角 一条直角边
和一个锐角
图形
2．常见解法
解直角三角形的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助．
三、解直角三角形的应用
1．仰角和俯角
如图1所示，在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角中，视线在水平线______的叫做仰角，在水平线______的叫做俯角．
图1 图2
上方
下方
2．坡度(坡比)和坡角
如图2所示，通常把坡面的铅直高度h和_____________之比叫做坡度(或坡比)，用字母i表示，即i＝___；坡面与_________的夹角叫做坡角，记作α.所以i＝___＝tan α.
3．方向角
指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．
水平宽度l
水平面
考点透析·精研细究
02
考点一
C　
求三角函数值
1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin ∠ACB的值是________．
根据定义求三角函数值的方法
(1)分清直角三角形中的斜边与直角边．
(2)正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k(有时也可以设为1)，在求三角函数值的过程中约去k.
(3)正确应用勾股定理求第三条边的长．
(4)应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．
(5)求一个角的三角函数值时，若不易直接求出，也可把这个角转化成和它相等的且位于直角三角形中的角．
考点二
C　
解直角三角形
C　
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，∠A＝42°，则BC的长约为________．(结果精确到0.1.参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
8.0
考点三
命题角度1　与高度(或宽度)有关的问题
　　　(2024·江西)图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成．已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝152°.(结果精确到0.1 m)
解直角三角形在实际问题中的应用
图1　　　　　　　图2
(1)求“大碗”的口径AD的长；
[解]　因为AM⊥MN，DN⊥MN，
所以AM∥DN.
又因为AD∥EF，
所以四边形AMND是平行四边形，所以AD＝MN.
因为ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，所以MN＝ME＋EF＋FN＝80.0(m)，所以AD＝80.0(m)，
即“大碗”的口径AD的长为80.0 m．
[解]　如图，过点B作BG⊥AM于点G，
则∠AGB＝∠BGM＝90°.
因为四边形BEFC是矩形，
所以∠BEF＝90°，所以∠BEM＝90°.
因为AM⊥MN，所以∠AME＝90°，
所以四边形GMEB是矩形，
(2)求“大碗”的高度AM的长．
(参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88)
所以GB＝ME＝20.0 m，GM＝BE＝2.4 m，∠GBE＝90°.
因为∠ABE＝152°，
所以∠ABG＝∠ABE－∠GBE＝152°－90°＝62°，
所以AG＝GB·tan ∠ABG＝20×tan 62°≈37.6(m)，
所以AM＝AG＋GM＝37.6＋2.4＝40.0(m)，
即“大碗”的高度AM的长约为40.0 m.
4．(2023·江西)图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8 m，DE＝2 m．(结果保留小数点后一位)
图1　　　　图2
(1)连接CD，求证：DC⊥BC；
(2)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离).
(参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
5.(2021·江西改编)如图是用“额温枪”对小红测温时的侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28 cm，MB＝42 cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3 cm(即MP的长度)，枪身BA＝8.5 cm.
(1)求∠ABC的度数．
利用直角三角形解决实际问题的步骤
利用直角三角形解决实际问题时，有图的可先将题干中的已知条件在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：
(1)根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系．
(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决．
利用直角三角形解决实际问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形并找准三角形．
核心素养·新课标新考法
03
1．(2025·河北)2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1—12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0—12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相
等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______________
解析：如图，设数字0记为圆心O，数字6记为点A，数字7记为点B，连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D.
由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，
因为其中数字1—12对应的点均匀分布在一个圆上，
所以360°÷12＝30°，
所以相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°，
所以∠AOB＝30°×5＝150°，
2．(2025·新疆)某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1.站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处(此时F，C，E三点在同一直线上)； 2.测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3.用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4.向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处(此时N，C，M三点在同一直线上)，测量B，H两点间的距离； 5.用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG. 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验图示 测量数据 1.AD＝4 m
2.BD＝10 m
3.BH＝13.5 m
4.∠EFG＝43°
5.∠MNG＝21.8°
备注 1.图上所有点均在同一平面内； 2.AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40；sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93. 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．(共18张PPT)
微专题六　三角形相似模型
?模型分析
已知：∠1＝∠2，结论：△ADE∽△ABC.


如图，在相似三角形的判定中，我们通过作平行线，从而得出A形或8形相似．在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形．
模型一　A、8模型
C　
D　
?模型分析
已知：∠1＝∠2，结论：△ACD∽△ABC.
如图，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC进而可以得到：AC2＝AD·AB.
模型二　共边共角型
?对点应用
3.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为________．
5
16
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD，BD的长是关于x的方程x2－10x＋m＝0的两个根，且S△ABC＝20，则m的值为________．
?模型分析
已知：如图1、图2、图3中，∠B＝∠ACE＝∠D，结论：△ABC∽△CDE.
模型三　一线三等角型
图1 图2 图3
如图1，
因为∠ACE＋∠DCE＝∠B＋∠A，
又因为∠B＝∠ACE，所以∠DCE＝∠A.
所以△ABC∽△CDE.
图2、图3同理可证△ABC∽△CDE.
在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．
3
解析：因为△ABC是等边三角形，
所以AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°.
因为∠APC＝∠B＋∠BAP，
即∠APD＋∠DPC＝∠B＋∠BAP，
又因为∠APD＝∠B＝60°，
所以∠DPC＝∠BAP.
又因为∠C＝∠B，
6．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有________个．
3
?模型分析
如图1，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD，CE，得到图2.结论：△ABD∽△ACE.
模型四　相似和旋转
图1　　　　　　图2
?对点应用
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AC＝2，CD是AB边上的高，过点C作CE∥AB，且CE＝AB，点E与点B均在CD的右侧，连接DE，交BC于点F.
(1)若点D为AB的中点，则DE的长为________；
(2)若DE⊥BC，则AB的长为________．(共24张PPT)
微专题三　常见的六种全等模型
模型一　平移型
?模型分析
沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(BE＝CF).
?对点应用
1．如图，E，F是BC所在直线上的两点，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF.求证：AC∥DF.
?模型分析
　　　
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．
模型二　轴对称型
?对点应用
2.如图，在△ABC的边BC上取一点D，使得AB＝BD，延长BA至点E，使BE＝BC，连接ED交AC于点O.
(1)求证：∠C＝∠E；
证明：因为AB＝DB，
∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，
所以△ABC≌△DBE(SAS).
所以∠C＝∠E.
(2)连接OB，求证：△ABO≌△DBO.
解：因为AB＝BD，BE＝BC，
所以AE＝DC.
又因为∠E＝∠C，
∠AOE＝∠DOC，
所以△AOE≌△DOC(AAS).
所以AO＝DO.
又因为AB＝DB，OB＝OB，
所以△ABO≌△DBO(SSS).
此模型可看成是将三角形绕某一个点旋转而成，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中．
模型三　旋转型
?模型分析
?对点应用
3．如图，过点A作AD⊥BC，AD＝CD，在AD上取一点E，使得DB＝ED，连接CE，试说明CE与AB的关系．
解：如图，延长CE交AB于点F.
因为AD⊥BC，
所以∠EDC＝∠BDA＝90°.
因为CD＝AD，DE＝DB，
所以△CED≌△ABD(SAS).
所以CE＝AB，∠BAD＝∠ECD.
又因为∠AEF＝∠CED，
所以∠AFE＝∠CDE＝90°.
所以CE⊥AB.
故CE＝AB且CE⊥AB.
?模型分析
条件：∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝CD.
解题思路：通过作角两边的垂线或旋转(旋转角度同∠ADC)，构造特殊图形．
结论：
如图1，
①△ADE≌△CDF；
②△DEB≌△DFB；
③S四边形ABCD＝S四边形DEBF.
模型四　对角互补型
图1
如图2，
①AB＋BC＝BE；
②△ABD≌△CED；
③S四边形ABCD＝S三角形DBE.
图2
?对点应用
4．如图，过点C作CE⊥AB于点E，若∠ADC＋∠B＝180°，CD＝CB.求证：AC平分∠DAB.
证明：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F.
因为∠ADC＋∠B＝180°，
∠ADC＋∠FDC＝180°，
所以∠B＝∠FDC.
因为CE⊥AB，CF⊥AD，
所以∠CEB＝∠F＝90°.
在△CFD和△CEB中，
?模型分析
已知A，P，B三点共线，且∠1＝∠2＝∠3.
(1)点P在线段AB上．
模型五　一线三等角型
(2)点P在线段AB的延长线上．
　　
结论：
①△ACP∽△BPD；
②当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△ACP≌△BPD.
?对点应用
5．如图，在△ABC的AC边上取一点M，使得AM＝AB，过点A有一条直线l，在l上有两点D，E，连接BD，ME，∠ADB＝∠MEA＝∠BAC.求证：DE＝DB＋ME.
证明：因为∠BAE＝∠ADB＋∠ABD，
所以∠BAC＋∠MAE＝∠ADB＋∠ABD.
又因为∠ADB＝∠BAC，
所以∠ABD＝∠MAE.
又因为AB＝MA，∠ADB＝∠MEA，
所以△ABD≌△MAE(AAS).
所以DB＝AE，AD＝ME.
所以DE＝AE＋AD＝DB＋ME.
?模型分析
模型六　手拉手型
“等边三角形”手拉手
“等腰直角三角形”手拉手
“顶角相等的等腰三角形”手拉手
“正方形”手拉手
结论：
①△CAE≌△BAD(SAS)；
②BD＝CE；
③∠BPC＝∠BAC(“8字型”证角相等).
?对点应用
6．如图，△ABC与△ADE是顶角相等的两个等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE.

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