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(共43张PPT)
第20节　特殊的平行四边形
命题探源·强基固本
01
名称 图形 边 角 对角线 对称性 面积
矩形 对边平行且相等 四个角都是______ 两条对角线互相平分且______ 既是轴对称图形，又是中心对称图形 S＝__(a，b分别表示矩形的长和宽)
一、矩形、菱形和正方形的性质
直角
相等
ab
名称 图形 边 角 对角线 对称性 面积
菱形 对边平行，四条边都 ______ 对角相等 两条对角线互相平分且______，每条对角线平分一组对角 既是轴对称图形，又是中心对称图形 S＝____ (l1，l2分别表示两条对角线的长)
相等
垂直
名称 图形 边 角 对角线 对称性 面积
正方形 对边平行，四条边都 ______ 四个角都是______ 两条对角线互相垂直平分且______，每条对角线平分一组对角 既是轴对称图形，又是中心对称图形 S＝__(a表示边长)＝____(l表示对角线的长)
相等
直角
相等
a2
二、矩形、菱形和正方形的判定
1．矩形的判定
2．菱形的判定
3．正方形的判定
考点透析·精研细究
02
考点一
　　　(2019·江西)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．
矩形的性质与判定
1．(2025·江西)如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P.当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15° 时，∠APB的度数可以是______________________．
82.5°或52.5°或37.5°
解析：①当AB′与AB的夹角为15°时，
即∠BAB′＝15°，如图．
因为∠BAB′＝15°，∠BAP＝∠B′AP，
所以∠BAP＝∠B′AP＝15°÷2＝7.5°.
因为∠ABP＝90°，
所以∠APB＝90°－7.5°＝82.5°.
②当AB′与AD的夹角为15°时，
(ⅰ)若∠BAB′＝75°，如图．
因为∠BAB′＝75°，∠BAP＝∠B′AP，
所以∠BAP＝∠B′AP＝75°÷2＝37.5°.
因为∠ABP＝90°，
所以∠APB＝90°－37.5°＝52.5°；
(ⅱ)若∠BAB′＝105°，如图．
因为∠BAB′＝105°，∠BAP＝∠B′AP，
所以∠BAP＝∠B′AP＝105°÷2＝52.5°.
因为∠ABP＝90°，
所以∠APB＝90°－52.5°＝37.5°.
综上，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°.
考点二
　　　(2019·江西)如图所示的图形由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，使拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有(　　)
A．3种　　 B．4种　　
C．5种　　 D．6种
D　
菱形的性质与判定
B　
3.(2017·江西)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(　　)
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
D　
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
解：证明：因为AB∥CD，
所以∠CAB＝∠DCA，
因为AC为∠DAB的平分线，
所以∠CAB＝∠DAC，
所以∠DCA＝∠DAC，
所以CD＝AD，所以CD＝AB.
又因为AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，
又因为AD＝AB，所以四边形ABCD是菱形．
(2)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝3，BD＝6，求OE的长．
考点三
　　　已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
正方形的性质与判定
图1
(1)【建立模型】如图1，连接BE，DE.求证：BE＝DE.
[解]　证明：因为四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
所以AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°.
又因为AE＝AE，
所以△ABE≌△ADE(SAS)，
所以BE＝DE.
(2)【模型应用】如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G.
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
[解]　①△FBG为等腰三角形．理由如下：
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠GAD＝90°，
所以∠AGD＋∠ADG＝90°.
因为FB⊥BE，
所以∠FBG＋∠EBG＝90°.
图2
由(1)可得∠ADG＝∠EBG，
所以∠AGD＝∠FBG.
又因为∠AGD＝∠FGB，
所以∠FBG＝∠FGB，
所以△FBG为等腰三角形．
②如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H.
因为四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB＝4，
所以AG＝BG＝2，AD＝4.
由①知FG＝FB，
所以GH＝BH＝1，
所以AH＝AG＋GH＝3.
在Rt△FHG与Rt△DAG中，
因为∠FGH＝∠DGA，
图3
5．(2024·江西)将图1所示的七巧板拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan ∠CAB＝________．
图1　　　　　　　　　　图2
6．(2018·江西)在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为_____________________．
核心素养·新课标新考法
03
(2025·眉山)综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B′处，折痕交AB于点E，再沿着过点B′的直线折叠，使点D落在B′C边上的点D′处，折痕交CD于点F.将纸片展平，画出对应点B′，D′及折痕CE，B′F，连接B′E，B′C，D′F.
图1
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②________．
经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一．
方法一：证明△AB′E≌△D′CF，得到B′E＝CF，再由B′E＝BE可得结论．
方法二：过点B′作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB′G，然后证B′G＝B′E可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
解：∠ECB′＝∠FB′C　BE＝CF
解：如图，作B′G∥AB交CE于点G，
则B′G∥AB∥CD，
所以∠B′GE＝∠BEC.
又因为CE∥B′F，
所以四边形CFB′G为平行四边形，
所以B′G＝CF.
由折叠的性质，
【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程．
得∠BEC＝∠B′EC，BE＝B′E，
所以∠B′GE＝∠B′EC，
所以B′E＝B′G，
所以BE＝B′E＝B′G＝CF.
【尝试运用】(3)如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，按上述操作折叠并展开后，过点B′作B′G∥AB交CE于点G，连接D′G.当△B′D′G为直角三角形时，求出BE的长．
图2(共34张PPT)
第五章　多边形与平行四边形
第19节　多边形与平行四边形
命题探源·强基固本
01
一、多边形的有关概念
1．与多边形有关的计算
(n－2)×180°
360°
(n－3)
2．平面图形的镶嵌：只用一种正多边形镶嵌时，有正三角形、正方形和正六边形；用两种正多边形镶嵌时，有正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形等．判断用一种或几种多边形能否镶嵌，关键是看一顶点处所有内角的和是否为______．
360°
3．正多边形的有关性质
(1)正多边形的各边相等，各角相等．
(2)正n(n≥3)边形的每一内角都等于_______________．
(3)正n边形有一个外接圆，还有一个内切圆，且它们是同心圆．
(4)对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
(5)正n边形有_条对称轴．
n
二、平行四边形的性质与判定
1．定义：两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．
2．性质
(1)平行四边形的两组对边______．
(2)平行四边形的两组对角______．
(3)平行四边形的对角线互相______．
(4)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是_______________．
平行
相等
相等
平分
对角线交点
3．判定
(1)两组对边分别______的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别______的四边形是平行四边形．
(3)对角线互相______的四边形是平行四边形．
(4)一组对边平行且______的四边形是平行四边形．
(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
平行
相等
平分
相等
4．面积(如图)：S ABCD＝BC·_____＝AD·AE＝4S △AOB＝4S△BOC＝4S△COD＝4S△AOD.
AE
考点透析·精研细究
02
考点一
B　
命题角度1　已知边数求角
　　　如图，五边形ABCDE是正五边形，AF∥DG，若∠2＝20°，则∠1＝(　　)
A．60° B．56°
C．52° D．40°
多边形的内角和与外角和
命题角度2　已知角求边数
　　　如图，小华从A点出发，沿直线前进10 m后向左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是(　　)
A．140 m
B．150 m
C．160 m
D．240 m
B　
1．(2022·江西)正五边形的外角和为________°.
360
2．(2025·江西)如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为________°.
720
考点二
　　　(2016·江西)如图所示，在 ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为________．
50°
平行四边形的性质
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则OE的长为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
A　
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB.请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的平分线交BC于点E.连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．(尺规作图保留作图痕迹，不写作法)
解：如图．
猜想：DF＝3BF.
证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以OA＝OC，OD＝OB.
因为AC＝2AB，所以AO＝AB.
因为∠BAC的平分线交BO于点F，所以点F是BO的中点，即BF＝FO，所以OB＝OD＝2BF，
所以DF＝DO＋OF＝3BF，即DF＝3BF.
平行四边形性质的应用
(1)平行四边形的每条对角线把它分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形．
(2)在解答平行四边形中的线段和角相等的问题时，常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解答．
考点三
　　　如图，E是平行四边形ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，连接CE，BD.添加以下条件，仍不能判定四边形BCED为平行四边形的是(　　)
A．∠ABD＝∠DCE B．∠AEC＝∠CBD
C．EF＝BF D．∠AEB＝∠BCD
D　
平行四边形的判定
5．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F.
(1)请用尺规作∠ADB的平分线DE，交AB于点E(要求保留作图痕迹，不写作法)；
解：DE如图所示．
DBC　
所以∠EDB＝∠DBF，
所以DE∥________(_________________________)(填推理的依据).
又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BE∥DF.
所以四边形DEBF为平行四边形(____________________________________)
(填推理的依据).
BF
内错角相等，两直线平行　
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
判定一个四边形是否是平行四边形的三种途径、五种方法
途径一：从边着眼，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
途径二：从角着眼，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
途径三：从对角线着眼，⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
核心素养·新课标新考法
03
(2025·烟台)【问题呈现】
如图1，已知P是正方形A1A2A3A4外一点，且满足∠PA1A2＋∠PA3A2＝180°，探究PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造△QA3A2与△PA1A2全等，从而得出PA1＋PA3与PA2的数量关系；
思路二：如图3，构造△MA1A2与△NA3A2全等，从而得出PA1＋PA3与PA2的数量关系．
图1 图2 图3
(1)请参考小颖的思路，直接写出PA1＋PA3与PA2的数量关系：__________；
【类比探究】
(2)如图4，若P是正五边形A1A2A3A4A5外一点，且满足∠PA1A2＋∠PA3A2＝180°，PA1＝11，PA3＝49，求PA2的长度(结果精确到0.1，参考数据：sin 54°≈0.81，sin 72°≈0.95，cos 54°≈0.59，cos 72°≈0.31)；
图4
【拓展延伸】
(3)如图5，若P是正十边形A1A2…A10外一点，且满足∠PA1A2＋∠PA3A2＝180°，则PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系为________________________(结果用含有锐角三角函数的式子表示).
图5

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