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1.3
中心对称和中心对称图形
湘教·八年级下册
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把一个图案绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？
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新知探究
如图，在平面内，将 △ABC 绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？
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A
B
C
在平面内，把一个图形绕一个点旋转 180°，得到另一个图形，我们把图形的这种变换称为关于这个点中心对称.
在平面内，如果图形（Ⅰ）绕点 O 旋转 180°，得到的像与另一个图形（Ⅱ）重合， 那么称图形（Ⅰ）与（Ⅱ）关于点 O 成中心对称.
成中心对称的两个图形的对应点连线的中点是对称中心吗？
在平面内，设点A与点B关于点O成中心对称，则把点A绕点O逆时针（或顺时针）旋转180°得到点B，如图所示.
根据旋转的基本性质和概念可得，
OA=OB，∠AOB=180°.
于是点A，O，B在一条直线上，且点O是线段AB的中点.
B
A
在平面内，把点 A 绕点 O 旋转 180°得到点 B.
一般地，在平面内，设图形（Ⅰ）与图形（Ⅱ）关于点O成中心对称，则图形（Ⅰ）绕点O旋转180°的像是图形（Ⅱ），且图形（Ⅰ）上任一点P在该旋转下的对应点P′都在图形（Ⅱ）上. 同时，点P，O，P′在一条直线上，且点O是线段PP′的中点.
B
A
中心对称的基本性质：
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
例 如图，已知△ABC，边AC的中点为D， 作出与△ABC关于点D成中心对称的图形.
作法（1）连接BD并将其延长到B′，使得DB′=DB，于是点B在关于点D中心对称下的对应点是点B′；
（2） 由于D是线段AC的中点，因此在关于点D中心对称下，点A，C的对应点分别是点C，A；
（3） 连接 AB′， C′B，则△CB′A 是所求作的与△ABC关于点D成中心对称的图形.
A
B
C
D
B′
如图，将线段 AB 绕它的中点 O 旋转180°， 你会发现什么？
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如果一个图形绕一个点旋转 180°，所得到的像与原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作图形的对称中心.
线段是中心对称图形，线段的中点是它的对称中心.
平行四边形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？
A
B
C
D
O
如图，已知□ ABCD，连接AC，BD，AC与BD相交于点O.
A
B
C
D
O
如图，已知□ ABCD，连接AC，BD，AC与BD相交于点O.
由平行四边形的性质可知
OA = OC， OB = OD.
又AB CD，DA BC，
于是，点A，C，B，D在关于点 O
中心对称下的像分别是点C，A，D，B，
从而边AB，CD，DA，BC的像分别是边CD，AB，BC，DA.
因此，□ ABCD绕点 O 旋转180°，它的像与自身重合.
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
思考：如何利用平行四边形是中心对称图形来理解平行四边形的性质？
对边相等
对角相等
对角线互相平分
1.如图，四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 关于某点成中心对称，找出它们的对称中心.
【选自教材P21 练习 第1题】
2.如图，分别画出 △ABC 关于点A和点O成中心对称的图形.
△ABC 关于点A成中心对称:
【选自教材P21 练习 第2题】
A
B
C
O
B′
C′
2.如图，分别画出 △ABC 关于点A和点O成中心对称的图形.
【选自教材P21 练习 第2题】
A
B
C
O
B″
C″
△ABC 关于点O成中心对称:
A″
√
√
√
【选自教材P21 练习 第3题】
3.下图是一行英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？
随堂练习
1. 如图， △ABC 和△DEF 关于点 O 成中心对称，要得到△DEF，需要将△ABC 绕点 O 旋转（ ）
A．30° B．90° C．180° D．360 °
C
2. 如图，△ABC 与△DEF 关于点 O 成中心对称，
则线段 BC 与 EF 的关系是______________．
平行且相等　
3. 如图，作出与△ABC 关于点 E 成中心对称的图形．
解: 依次寻找点 A，B，C 关于点 E 的对称点， 顺次连接，所求作图形如图所示.
课堂小结
说一说什么是中心对称、对称中心和成中心对称？
湘教·八年级下册
习 题 1.3
1. 判断（对的画“√”， 错的画“×”）：
（1）线段 AB 的中点 O 是点 A 与点 B 的对称中心. （ ）
（2）中心对称变换是一种特殊的旋转变换. （ ）
√
√
【选自教材P22 习题1.3 第1题】
2. 已知△ABC，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，分别以点E和点F为对称中心，作一个与△ADE成中心对称的图形.
【选自教材P22 习题1.3 第2题】
解：如图，以点E为对称中心作出的图形为△CD′E.
以点F为对称中心作出的图形为△A″D″E″.
A
B
C
D
E
F
D′
A″
D″
E″
3. 下列图形中，哪些是中心对称图形？如果是，找出它们的对称中心.
答：图形（1）是中心对称图形，中心点 O 为其对称中心；
图形（2）是中心对称图形，中心点 O 为其对称中心；
图形（3）不是中心对称图形；
（1）
（2）
（3）
【选自教材P22 习题1.3 第3题】
（4）
图形（4）不是中心对称图形.
4. 试举出一些生活中的中心对称图形的例子.
【选自教材P22 习题1.3 第4题】
5.如图，□ ABCD 的对角线 BD = 4，将 □ABCD 绕其对称中心旋转 180°，求点 D 转过的路径长.
解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴OB=OD.
又∵BD=4，
∴OD=2，
∴点D旋转180°的路径长为
×π·2OD=2π.
【选自教材P22 习题1.3 第5题】
6.用六根一样长的小棒搭成如图所示的图形，试移动AC，BC这两根小棒，使六根小棒成为中心对称图形，若移动AC，DE这两根小棒，能不能也达到要求呢？（画出图形即可）
【选自教材P22 习题1.3 第6题】
A
B
C
D
E
E′
A
B
C
D
E
6.用六根一样长的小棒搭成如图所示的图形，试移动AC，BC这两根小棒，使六根小棒成为中心对称图形，若移动AC，DE这两根小棒，能不能也达到要求呢？（画出图形即可）
【选自教材P22 习题1.3 第6题】
若移动AC，DE这两根小棒，也能达到要求.
E″
C″
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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