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湘教·八年级下册
复 习 题 1
1.（1）是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的 4 倍？
（2）是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的 4 倍？
解：（1）设这个多边形的边数为 n. 根据题意，得
解得 n = 10.
所以正十边形的每个内角都等于相邻外角的4倍.
【选自教材P47 复习题1 第1题】
（2）不存在.
【选自教材P47 复习题1 第2题】
2. 填写下表，在空格中用“√”表示图形具有的性质.
性质 对边相等 对边平行 四边相等 对角相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 对角线相等
平行四边形
矩形
菱形
正方形
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
3. 点 E，F 是 □ ABCD 的对角线 AC 上的不同两点，
CE = AF，线段 BE 与 DF 有怎样的关系？
解：如图所示，
BE // DF 且 BE = DF.
【选自教材P48 复习题1 第3题】
4. 如图，□ ABCD 的对角线相交于点 O，EF 经过点 O，分别与边 AD，BC 相交于点 E，F，点 M，N 分别是线段 OB，OD 的中点．求证： 四边形 EMFN 是平行四边形.
证明：在 △AOE 和△COF 中，
∵AO = CO，∠EAO = ∠FCO，∠AOE = ∠COF，
∴△AOE ≌ △COF . ∴OE = OF.
又 OM = OB，ON = OD，OB = OD，
∴OM = ON.
∵ MN，EF 是四边形 EMFN 的对角线，
∴ 四边形 EMFN 为平行四边形.
【选自教材P48 复习题1 第4题】
5. 下列图形中不是中心对称图形的有（ ）
【教材P48 复习题1 第5题】
C
6. 如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线 AC 的中点，E，F 分别是 AD，BC 的中点，AB = DC，∠PEF = 18°，求∠EPF 的度数.
解：∵E，P 分别是△ACD 的边 AD，AC 的中点，
∴ PE = CD. 同理 PF = AB.
又 AB = CD，∴PE = PF.
∴ ∠PFE = ∠PEF = 18°.
∴∠EPF = 180°– 2×18°= 144°.
【选自教材P48 复习题1 第6题】
7. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 O 是 AC 的中点，点 E，F 在 AC 上，且 AE = CF，DF // EB.
（1）求证：△BOE≌△DOF.
解：（1）∵O 是 AC 的中点，
∴AO = AC.
∵AE = CF，∴OE = OF.
又∵DF // BE，∴∠ODF =∠OBE.
在△BOE 与△DOF 中
∠OBE =∠ODF， ∠BOE =∠DOF，OE = OF，
∴ △BOE≌△DOF（角角边）.
【选自教材P48 复习题1 第7题】
7. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 O 是 AC 的中点，点 E，F 在 AC 上，且 AE = CF，DF // EB.
【选自教材P48 复习题1 第7题】
（2）若 OD = AC，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由.
解：（2）四边形 ABCD 是矩形. 理由如下：
由（1），△BOE≌△DOF，∴OB = OD，即 O 是 BD 的中点.
又 O 是 AC 的中点，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ OD = AC，即 AC = 2OD = BD，
∴AC = BD. ∴四边形ABCD是矩形.
8. 两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是矩形吗？为什么？
【选自教材P48 复习题1 第8题】
解：是矩形. 如图，∵EF // MN，
∴∠FAC +∠NCA = 180°.
又∠1 = ∠FAC，∠2 = ∠NCA，
∴∠1 +∠2 = (∠FAC +∠NCA) = 90°.
∴∠D = 90°. 同理可得 ∠B = 90°.
又∠BAD = ∠1 +∠BAC = ∠FAC + ∠EAC = ×180°= 90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
（3） cm2.
9. 如图， 把边长为 2 cm 的等边△ABC 绕边 AC 的中点 O 旋转 180°，得到△CDA.
（1） 四边形 ABCD 是什么样的四边形？ 试说明理由.
（2） 求四边形 ABCD 的两条对角线的长度.
（3） 求四边形 ABCD 的面积.
【选自教材P48 复习题1 第9题】
（1）是菱形，因为 AB = BC = CD = DA.
（2）对角线 AC = 2 cm， BD = cm.
10. 如图，四边形 ABCD 是正方形， △EBC 是等边三角形，连接 AE，DE，求∠AED 的度数.
【选自教材P49 复习题1 第10题】
解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC，∠ABC = 90°.
∵ △EBC是等边三角形，
∴EB = BC = EC，∠EBC =∠BEC = 60°.
∴ EB = AB，∠ABE = 90°– 60°= 30°.
∴∠BAE = ∠BEA = 75°. 同理 ∠CED = 75°.
∴∠ AED = 360°– 75°– 75°– 60°= 150°.
11. 一条直线将一个矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N，则 M + N 不可能是（ ）
（A）360° （B）540° （C）720° （D）630°
【选自教材P49 复习题1 第11题】
D
解析： 直线将四边形分割成两个三角形，其内角和为 360°；
分割成一个三角形，一个四边形，它们的内角和为 540°；
分割成两个四边形，它们的内角和为 720°；
分割成一个三角形，一个五边形，它们的内角和为 720°.
所以不可能得到 630°.
12. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是边 AB，CD 上的一点，且 BE = DF，BF 与 CE 相交于点 M，DE 与 AF 相交于点 N，EF 与 MN 互相平分吗？为什么？
【选自教材P49 复习题1 第12题】
解： EF 与 MN 互相平分. 理由如下：
∵ BE = DF， BE // DF，
∴ 四边形 BFDE 为平行四边形.
∴ BF // DE.
∵ AE = CF， AE // FC，
∴四边形 AECF 是平行四边形.
∴ AF // EC. ∴ 四边形 EMFN 是平行四边形.
因此 EF 与 MN 互相平分.
13. 如图，矩形 ABCD 和矩形 A′B′C′D 关于点 D 成中心对称. 连接 AC，AC′，A′C′，A′C，求证：四边形 ACA′C′ 是菱形.
【选自教材P49 复习题1 第13题】
证明：∵ 矩形 ABCD 和矩形 A′B′C′D 关于点 D 成中心对称，
∴ A′D = AD ， C′D = CD.
∴ 四边形 ACA′C′ 是平行四边形.
又∵ ∠ADC = 90°，即 AA′⊥CC′，
∴ 四边形 ACA′C′ 是菱形(对角线互相垂
直的平行四边形是菱形).
14. （多选题）如图，直线 l1 // l2 ，点 A，B 是直线 l2 上两定点，点 C 是直线 l1 上一动点，若点 E，F 分别为 CA，CB 的中点，则下列各值不随点 C 的移动而改变的是（ ）
（A）线段 EF 的长 （B）△CEF 的周长
（C）△CEF 的面积 （D）∠ECF 的大小
【选自教材P49 复习题1 第14题】
AC
15. 已知 E，F，G，H 分别是□ ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 是什么四边形？若把条件中的□ ABCD 依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形 EFGH 依次是什么四边形？试说明理由.
【选自教材P49 复习题1 第15题】
解：（1）当 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 各边的中点时，得到四边形 EFGH 是平行四边形. 理由如下：
如图，连接对角线 BD，
则 EH // BD， EH = BD.
同理， FG // BD，FG = BD.
所以 EH // FG，EH = FG.
故四边形 EFGH 是平行四边形.
A
E
B
D
G
C
H
F
（2）当四边形 ABCD 是矩形时，四边形 EFGH 是菱形.
理由： 如图，由于四边形 ABCD 是矩形，
可得 △AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH.
从而 EH = EF = GF = GH，
所以四边形 EFGH 是菱形.
（3）当四边形 ABCD 是菱形时，四边形EFGH 是矩形.
理由：由（1）得，四边形 EFGH 是平行四边形.
如图，连接 EG，FH，可得四边形 AEGD 是平行四边形，
所以 EG = AD.
同理 FH = AB.
由 AB = AD，得 EG = FH，
所以四边形 EFGH 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
（4）当四边形 ABCD 是正方形时，四边形 EFGH 也是正方形.
理由：由（2）（3）可知四边形 EFGH 既是矩形，又是菱形， 故四边形 EFGH 是正方形.
【选自教材P50 复习题1 第16题】
16. 在梯形 ABCD 中，AB // DC，∠ADC +∠BCD = 90°，且 DC = 2AB.
（1）如图，分别以 DA，AB，BC 为边向梯形 ABCD 外作正方形，正方形的面积分别为 S1，S2，S3，请写出并证明 S1，S2，S3 之间的数量关系.
解：（1）S1 + S3 = S2. 证明如下：
过点 B 作 BE // AD 交 CD 于点 E.
∵ AB // DC 且 BE // AD，∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴ AB = DE，AD = BE.
∵ DC = 2AB，∴ CE = DC DE = 2AB AB = AB.
∵ AD // BE，∴∠ADC =∠BEC，
又∠ADC +∠BCD = 90°，
∴∠BEC +∠BCD = 90°，
∴∠EBC = 90°.
在 Rt△BCE 中，BE2 + BC2 = CE2
∴ AD2 + BC2 = AB2
又∵ S1 = AD2，S2 = AB2，S3 = BC2，∴ S1 + S3 = S2 .
解：S1 + S3 = S2. 证明如下：
由（1）得，AD2 + BC2 = AB2.
（2）若分别以 DA，AB，BC 为边向梯形 ABCD 外作正三角形，正三角形的面积分别为 S1，S2，S3，请写出并证明 S1，S2，S3 之间的数量关系.
即S1 + S3 = S2.
（3）若分别以 DA，AB，BC 为直径向梯形 ABCD 外作半圆，半圆的面积分别为 S1，S2，S3，请写出并证明 S1，S2，S3 之间的数量关系.
解：S1 + S3 = S2. 证明如下：
由（1）得，AD2 + BC2 = AB2.
即S1 + S3 = S2.
17. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上的动点
（与点 A，C 不重合），连接 BE. 将射线 BE 绕点 B 顺时针
旋转 45°，交直线 AC 于点 F.
（1）依题意补全图形.
（2）小华通过观察、实验，发现线段 AE，FC，
EF 存在以下数量关系：AE + FC = EF . 小华想
证明这个发现成立，于是与同学们进行了交流讨
论，得到以下两种思路：
思路1：将线段 BF 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到线段 BM，要证 AE，FC，EF 之间的数量关系，只需证 AE，AM，EM 满足对应的数量关系即可.
思路2：将△ABE 沿 BE 翻折，得到△NBE，要证 AE，FC，EF 之间的数量关系，只需证 EN，FN，EF 满足对应的数量关系即可.
请从上述两种思路中选择一种进行证明.
F
【选自教材P50 复习题1 第17题】
解：（2）思路1 如图所示，证明如下：
由题意可知，BF=BM，∠EBF=45°，∠MBF=90°.
∴∠EBM=∠MBF –∠EBF=90°– 45°=45°.
在△EBF与△EBM中，
∵BF=BM，∠EBF=∠EBM，BE=BE，
∴ △EBF≌△EBM（边角边）. ∴EF=EM
∵四边形ABCD为正方形，且∠MBF=90°，
∴∠MBA=∠FBC=90°–∠ABF，AB=CB
在△ABM与△CBF中，
∵BM=BF，∠MBA=∠FBC，AB=CB，
∴ △ABM≌△CBF（边角边）.
∴AM=CF，∠BAM=∠BCF=45°
∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=45°+45°=90°
∴△MAE为直角三角形，∴AE2+AM2=EM2
∴AE2+FC2=EF2
解：（2）思路2 如图所示，证明如下：
由题意可知， AE=EN，AB=NB，∠BAE=∠BNE=45°，
∠ABE=∠NBE，∠EBF = 45°.
∴∠ABE + ∠FBC=∠ABC –∠EBF =45°.
∵∠ABE=∠NBE ，∴∠NBE+∠FBC=45°，
而∠NBE+∠NBF=∠EBF=45°
∴∠NBF= ∠CBF.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CB，而AB=BN，∴NB=CB.
在△NBF与△CBF中，
∵NB=CB，∠NBF=∠CBF，BF=BF，
∴ △NBF≌△CBF（边角边）.
∴NF=CF，∠BNF=∠BCF=45°
∴∠ENF=∠ENB+∠BNF=45°+45°=90°
∴△ENF为直角三角形，∴EN2+FN2=EF2
∴AE2+FC2=EF2

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