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2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第七章 命题与证明 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在下列句子中，是定义的是（ ）
A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2．如图，在中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上．下列能判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图．在中，P是上一点，于点D，于点E，且，F是上一点，且．下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．如图，在中，，为的延长线．①以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一段弧于点；④过点作射线．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．对于命题“已知实数，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为不包括本身，与互补的角的个数为若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直；③两边和一角对应相等的两个三角形全等；④同位角相等．其中假命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ．
12．如图，点是平分线上一点，交边于点，过点作交边于点，若，，则的值为 ．
13．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为 ．
14．如图，，为角平分线上一点，，若，，则 ．
15．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，．
16．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式：
(1)全等三角形的对应角相等；
(2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．
18．老师让同学们以“三角形全等”为主题开展数学活动：
【问题情景】如图1，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？
(1)【操作发现】如图1，善思组通过作图发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形________全等（填“一定”或“不一定”）．
(2)【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题：已知：如图2，在和中，，，．
．求证：．
请阅读并补全证明：
在上取一点G，使．
，________．
又．而．________．
，________．
又________．．．
(3)【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，当点D在线段上时，如图3所示，点E在的延长线上，，连结，与边所在的直线交于点F．请帮忙解决以下问题：求证：．（提示：在上取一点G，使）
19．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)请判断和的关系，并说明理由．
20．如图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为点．设．
(1)请用含x的式子表示的大小；
(2)求证；
(3)设直线与射线交于点，若，求的度数．
21．如图，已知，，试判断与的大小关系，在下列解答中填空．
解：．
理由：（补角的定义），（已知），
（________）．
（________）．
（________）．
又（已知），
（________）．
（________）．
（________）．
22．如图，在中，，D是的中点，，垂足分别为E，F．
(1)求证：．
(2)下面是一个命题，请判断其是真命题还是假命题．若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例，可图示并做好必要标识．
在中，，D是的中点，点E，F分别在上．若，则．
23．如图，和有一条公共边．
(1)命题“如果，，那么”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)从；；中任选两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．
24．在中，，．
(1)如图1若平分，交于F，过B作，垂足为E，探究、的数量关系；
(2)如图2，当点D为线段上一点（不与B，C重合），，，垂足为E，与相交于点F，猜想线段与的数量关系，并说明理由．2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第七章 命题与证明 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D A D D C A C
1．D
本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三角形的定义，符合要求．
解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合定义的特征；
∴选项D是定义．
其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义．
故选：D．
2．A
根据平行线的判定定理，对每个选项逐一进行分析．
解：A、与是内错角，若，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定，符合题意；
B、与，既不是同位角，也不是内错角，所以不能判定，不符合题意；
C、与，既不是同位角，也不是内错角，所以不能判定，不符合题意；
D、，与不是同旁内角，所以不能判定，不符合题意．
故选：A．
本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理，准确判断角之间的关系是否符合判定定理的要求．
3．B
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定．证明，可得，，从而得到，进而得到，再由平行线的性质可得，然后根据题意无法得到与的大小关系，则无法确定与是否全等．
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∴，
根据题意无法得到与的大小关系，
∴无法确定与是否全等，故③错误；
故选：B
4．D
本题考查了尺规作图，平行线的性质与判定，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键．
由作图可得，利用平行线的判定得到，再利用平行线的性质得到，由题意无法证明，结合选项分析判断即可得出答案．
解：由作图可得，，
∴，
∴，
结合选项可得，A、B、C选项结论正确，不符合题意；
由题意无法证明，故D选项结论错误，符合题意；
故选：D．
5．A
本题考查了假命题的概念，通过举反例判断命题真假是解题的关键．
命题成立的条件是，进行判定即可．
解：要说明该命题是假命题，只需举出一个反例．
当时，，而此时，
所以，
故是该命题的一个反例．
故选：A．
6．D
本题主要考查平行线的性质，理解和掌握平行线的性质是解题的关键．设的延长线为，由，，根据平行线的性质得到与相等的角、、、、，因为，可推出互补的角的个数，即可求出答案．
解：设的延长线为，
，，
，，
与互补的角有，，，，，，
，，
．
故选：D．
7．D
先根据折叠可知，结合题意可知，在中，根据勾股定理求出，可得，再根据平行线的性质，进而得出，最后根据三角形的面积公式得出答案．
解：根据折叠可知，
，
则，
在中，，，
即，
解得，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
本题考查了折叠问题，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．C
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的同位角相等以及角平分线平分角是解题的关键．
结合条件，根据平行线的性质及平角定义可得的度数，再由角平分线的定义即可算出．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴．
故选：C．
9．A
此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，且点在点的右侧，则，进而得，，由此得，再根据，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
解：过点作，且点在点的右侧，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
10．C
本题考查判断命题的真假，涉及对顶角、平行线的性质、垂线的性质，三角形全等的条件等知识点，根据相关知识点判断命题的真假即可．
解： ①对顶角相等，是真命题；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，而非垂直，故是假命题；
③两边和一角对应相等，若角不是夹角，则三角形不一定全等（如情况），故是假命题；
④同位角相等需两直线平行，未说明前提，故是假命题；
∴ 假命题有②、③、④，共3个．
故选C．
11．
此题考查命题与定理，解题关键在于掌握其定义．根据题设和结论的定义进行区分“如果”后是题设，“那么”后是结论，即可．
解：根据题意可知：题设是，结论是，
故答案为：，．
12．18
过点作于点，先证明，推出，，接着利用勾股定理求得，接着利用平行和角平分线，证明，从而得到的长度，最后得出答案．
解：过点作于点，如图所示：
∵，，
∴，
∵点是平分线上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18．
本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
13．8
过点P作于点E，根据平行线的性质可得，又根据角平分线的性质可得，结合求解即可．
本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
解：过点P作于点E，
则，
平分，，，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
14．
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，过点作的延长线于点，由角平分线的性质可得，由平行线的性质得，进而根据直角三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：过点作的延长线于点，则，
∵为角平分线上一点，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．或
本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键．
本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数．
解：有两种情况：
情况一：如下图，
在中，，
由“内错角相等，两直线平行”可得：
当时，；
情况二：如下图，
在中，，
由“内错角相等，两直线平行”可得：
当时，，
此时，．
故答案为：或 ．
16．③/3
本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角和补角的定义；通过举反例和定义分析即可判断.
解：①一个角的余角不一定大于这个角，
反例：的余角是，，故①是假命题；
②如果，那么与是对顶角，
反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题；
③补角的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，故③是真命题.
故答案为③
17．(1)如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等；
(2)如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形．
本题考查了改写命题.将命题改写成 “如果……，那么……” 形式，关键是准确区分命题的条件和结论，使改写后的语句逻辑清晰、表意明确．
“如果” 后面接的是命题的条件，“那么” 后面接的是命题的结论．对于 (1)，条件是两个三角形全等，结论是对应角相等；对于 (2)，条件是等腰三角形有一个角为，结论是该三角形是等边三角形．
（1）将全等三角形的对应角相等改写成“如果……，那么……” 的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等；
（2）将有一个角等于的等腰三角形是等边三角形改写成“如果……，那么……” 的形式：如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形．
18．(1)不一定
(2)，，，
(3)见解析
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键；
（1）观察图形，可知两个三角形不一定全等．
（2）由等腰三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案；
（3）在上取一点G，使，证明，由全等三角形的性质得出．
（1）解：由图形可知两个三角形不一定全等；
故答案为：不一定；
（2）证明：在上取一点，使．
，
．
又，
而，
．
，
，
又，
．
．
故答案为：，，，；
（3）证明：在上取一点G，使，如图3.1，
，
，
，
，
∴，
∴
，
又，
，
在和中，
，
，
．
19．(1)见解析
(2)，，理由见解析
本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证明、，再运用即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，，再根据内错角相等、两直线平行即可解答．
（1）证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
．
（2）解：，，理由如下：
，
，
∴．
20．(1)
(2)见解析
(3)
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，是解题的关键．
（1）由角平分线的性质可得，由代入进行计算即可得到答案；
（2）由角平分线的性质可得，，从而得到，由可得，由（1）可得，从而得到，最后由，即可得证；
（3）由平行线的性质及角平分线的性质，进行计算即可得到答案．
（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，垂足为点，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
由（1）知，
∵，
∴，
∴
∴；
（3）解：由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
本题考查平行线的判定和性质，同角的补角相等，等量代换，掌握相关知识是解决问题的关键．根据每一步的推理找到依据即可．
解：．
理由：（补角的定义），（已知），
（同角的补角相等）．
（内错角相等，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
又（已知），
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
22．(1)证明见解析
(2)是假命题，反例见解析
本题考查的是等腰三角形性质、全等三角形判定与性质及判断命题的真假，
（1）先证明，再证明即可得出结论；
（2）先说明命题是假命题，根据题意画出符合命题条件但不符合命题结论的图形即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：是假命题，反例是： 如图，
当点E、F在图上的点处时，
虽然有，但不能得到，故此命题是假命题．
23．(1)假
(2)见解析
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）“边边角”无法证明全等；
（2）根据全等三角形的判定方法解答即可．
（1）解：，，无法证明全等，不能推出；
故答案为：假；
（2）解：命题1：如果，，那么；
证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
命题2：如果，，那么；
证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
24．(1)
(2)，理由见解析
本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，添加辅助线是解答的关键．
（1）延长，交于点H，先证明得到，则，再证明可得结论；
（2）过点D作交延长线于点H，交于点G，根据平行线的性质得到，，进而可得平分，由（1）可知．
（1）解：．
理由如下：如图，延长，交于点H，
∵平分交于F，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，且，，
∴，
∴，
（2）解：，理由如下：
如图，过点D作交延长线于点H，交于点G，
则，，
∵，
∴平分，又，
故由（1）可知．(共5张PPT)
北师大版2024八年级上册
第七章 命题与证明单元测试·基础卷
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 判断是否是命题
2 0.85 内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
3 0.75 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；内错角相等两直线平行
4 0.74 两直线平行内错角相等；尺规作一个角等于已知角；同位角相等两直线平行
5 0.65 举例说明假（真）命题；举反例
6 0.65 两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补；与余角、补角有关的计算
7 0.65 两直线平行内错角相等；用勾股定理解三角形
8 0.65 两直线平行同位角相等；角平分线的有关计算
9 0.64 根据平行线的性质求角的度数；平行公理推论的应用
10 0.64 判断命题真假；对顶角相等；灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
知识点分布
二、填空题 11 0.75 写出命题的题设与结论
12 0.65 两直线平行内错角相等；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；三角形角平分线的定义；用勾股定理解三角形
13 0.65 两直线平行同旁内角互补；角平分线的性质定理
14 0.65 两直线平行同位角相等；角平分线的性质定理；含30度角的直角三角形
15 0.65 三角板中角度计算问题；内错角相等两直线平行
16 0.64 与余角、补角有关的计算；判断命题真假；对顶角相等
知识点分布

三、解答题 17 0.75 写出命题的题设与结论
18 0.65 根据平行线判定与性质证明；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边对等角；全等三角形的概念
19 0.65 两直线平行内错角相等；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；全等三角形的性质；内错角相等两直线平行
20 0.65 根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算；根据平行线的性质求角的度数；同旁内角互补两直线平行
21 0.65 两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行
22 0.64 判断命题真假；举例说明假（真）命题；全等三角形综合问题；等边对等角
23 0.64 判断命题真假；全等三角形综合问题
24 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的有关计算；同位角相等两直线平行

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