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(共19张PPT)
完全平方公式分解因式
学习目标
1. 理解完全平方公式的特点．
2. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式．
3. 能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．
感悟新知
我们把a +2ab+b 和a –2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
a2+2ab+b2
a2–2ab+b2
观察这两个多项式：
(1)每个多项式有几项？
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
三项.
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
感悟新知
把整式乘法的完全平方公式（a+b）2=a2＋2ab＋b2，
（a-b）2=a2－2ab＋b2的等号两边互换，我们能得到什么呢？
a2＋2ab＋b2=（a+b）2
a2－2ab＋b2=（a-b）2.
两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方
针对训练
1.下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.
(1)a2–4a+4; (2)1+4a ;
(3)4b2+4b–1; (4)a2+ab+b2;
(5)x2+x+0.25.
是，(a-2)2
只有两项；
不是
4b 与–1的符号不统一；
不是
不是
是，(x+0.5)2
ab不是a与b的积的2倍.
典例解析
例1 分解因式：
(1)16x2+24x+9； (2)–x2+4xy–4y2
(3)(a+b)2-12(a+b)+36.
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
(2)–x2+ 4xy–4y2
=–(x2–4xy+4y2)
=–(x–2y)2.
(3)(a+b)2-12(a+b)+36.
=(a+b)2+2 (a+b) (-6)+(-6)2
=[(a+b)–6]2=(a+b-6)2
针对训练
2.把下列各式分解因式.
(1)-m2-4+4m;
(2)4x2-20x+25;
(3)4a2+4ab+b2;
(4)(x-1)2+6(1-x)+9;
(5)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2.
解:原式=-(m-2)2.
解:原式=(2x-5)2.
解:原式=(2a+b)2.
解:原式=(x-4)2.
解:原式=4y2.
典例解析
例2 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 11 B. 9 C. –11 D. –9
B
3.如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为___.
针对训练
±8
针对训练
4.已知x,y为实数,求下列式子的最小值:
2x2+4xy+5y2-4x+2y+13.
解:原式=(x2+4xy+4y2)+(x2-4x+4)+(y2+2y+1)+8
=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2+8.
∵(x+2y)2≥0,(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,
∴当x=2,y=-1时,原式有最小值,且最小值为8.
针对训练
5.利用因式分解简便运算:
(1)1 0012-202 202+1012=　 ;
(2)992+198+1=　 ;
(3)662+652-130×66=　 　.
810 000
10 000
1
针对训练
6.已知△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2-6a-6b-10c+43=0,
试判断△ABC的形状.
解:∵a2+b2+c2-6a-6b-10c+43
=a2-6a+9+b2-6b+9+c2-10c+25
=(a-3)2+(b-3)2+(c-5)2=0,
∴a-3=0,b-3=0,c-5=0,
∴a=3,b=3,c=5,
∴△ABC为等腰三角形.
典例解析
例3因式分解：
(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2.
解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)
＝–3a2(x–4)2；
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)
(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2
＝(a＋2)2(a–2)2.
有公因式要先提公因式.
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
针对训练
小聪: 小明:
7. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
x2–2x＋3.
(2)原式＝ (x2–6x＋9)＝ (x–3)2.
解: (1)原式＝(2x)2＋2×2x·1＋1＝(2x+1)2.
×
×
针对训练
8.(1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.
当a–b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
原式＝2×52＝50.
　当ab＝2，a＋b＝5时，
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b);
=x2+2xy+y2-1
=(x+y)2-1
=(x+y+1)(x+y-1).
针对训练
9.理解分组分解法:
①am+an+bm+bn
③2xy+y2-1+x2
②a2-2ab+b2+a-b
=(a2-2ab+b2)+(a-b)
=(a-b)2+(a-b)
=(a-b)(a-b+1);
归纳总结
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
(1)要求多项式有三项.
(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
下 课
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