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北师大版 数学 八年级 上册
第七章 证 明
2 认识证明
第1课时 定义与命题
学习目标
1.理解定义与命题的概念.
2.能分清命题的条件和结论，并能把命题写成“如果……那么……”的形式.
3.能判断命题的真假，并能通过举反例判定一个命题是假命题.
情境导入
爱因斯坦的数学成绩误解
许多人误以为爱因斯坦小时候数学成绩很差，甚至考试只得了 1 分，但经过努力最终成为伟大的物理学家. 然而，这一说法实际上是基于对德国教育评分体系的误解. 在德国，小学成绩评分采用的是 6 分制，其中 1 分代表”优秀”，而非我们通常理解的“不及格”.
新课探究
知识点一
定义
为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语进行“定义”，你能举出一些例子吗？
中华人民共和国公民:具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民.
等腰三角形:有两边相等的三角形叫作等腰三角形。
新知初探
例如：
1.“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“ ”的定义；
2.“无限不循环小数称为无理数” 是“ ”的定义；
3.“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形”是“ ”的定义.
两点之间的距离
无理数
多边形
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义。
例1 下列属于定义的是（ ）
A.两点确定一条直线
B.两直线平行，同位角相等
C.等角的补角相等
D.线段是直线上的两点和两点之间的部分
D
1.下列子中定义的个数为( )
① 同位角相等，两直线平行；
②若两条直线相交所成的四个角中有一个角为直角，则这两条直线互相垂直；
③大于直小于平角的角叫做角；
④两点之间线最短.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
随堂练习
B
[解析] ①④是对事物特征的识别，不是定义，只有②③是定义，故选B.
知识点二
命题的定义及结构
做出了判断
没有做出判断
下列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论 n 为怎样的自然数，式子 n2-n+11 的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段 AB=CD.
尝试·思考
判断一件事情的句子，叫作命题.
1.命题的定义
注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题，命题一般以陈述句的形式出现.
不是命题的形式：
①疑问句；如：你喜欢数学吗？
②感叹句；如：美丽的天空！
③祈使句；如：作线段AB=CD.
知识要点
例2 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）a、b两条直线平行吗？
（2）若 y2=4，求 y 的值.
（3）玫瑰花是动物.
（4）若a2=16，则a=4.
不是
不是
是
是
疑问句
祈使句
2.命题的结构
命题的形式：如果……那么……
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结构特征呢？
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（2）如果a=b，那么a2=b2；
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.
思考·交流
条件
结论
命题的结构：由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
如果a=b，那么a2=b2.
命题
条件
结论
已知事项
由已知事项推断出的事项
注意：命题的条件部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.
知识点三
命题的分类
尝试·思考
(2) 如果 a≠b，b≠c，那么 a ≠ c；
(1) 如果两个角相等，那么它们是对顶角；
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的 你是如何判断的 与同伴进行交流.
条件
结论
条件
结论
命题错误
命题错误
成立
不一定成立
成立
不一定成立
2≠3，3≠2
2＝2
举反例
(4) 三角形三个内角的和等于180°.
(3) 全等三角形的面积相等；
命题正确的
如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.
如果三个角是一个三角形的内角，
那么它们的和等于180°.
命题正确的
条件
结论
条件
结论
成立
一定成立
成立
一定成立
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的 你是如何判断的 与同伴进行交流.
尝试·思考
判断命题的真假：
正确的命题称为真命题；
不正确的命题称为假命题.
真命题——可以用推理的方法
假命题——可以举反例来说明
反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子.
知识要点
（1）同旁内角互补.（ ）
（4）两点可以确定一条直线.（ ）
（7）互补的两个角的平分线互相垂直.（ ）
（2）一个角的补角大于这个角.（ ）
1.判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×.
（5）两点之间线段最短.（ ）
（3）相等的两个角是对顶角.（ ）
×
×
（6）同角的余角相等.（ ）
×
√
√
√
×
针对练习
例3 下列命题中是真命题的是（　　）
A．如果a+b＜0，那么ab＜0
B．内错角相等
C．三角形的内角和等于180°
D．相等的角是对顶角
C
随堂练习
1.（1）列举一些你学过的定义；
（2）分别举出一些是命题和不是命题的语句.
【教材P184 随堂练习 第1题】
（2）是命题的，例如：篮球比乒乓球大；
如果 a>b，b>c 那么 a>c 等等.
不是命题的，例如：你有多高；延长线段 AB 等等.
2.指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其
中的假命题.
（1）在同一年内，如果 5 月 4 日是星期一，那么 5 月11 日也是星期一；
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
解：（1）条件：在同一年内，5 月 4 日是星期一；结论：5 月 11 日也是星期一.
（2）条件：一个三角形的三个内角都相等；结论：这个三角形是等边三角形.
【教材P185 随堂练习 第2题】
（3）如果 ， 那么x=4；
（4）两个锐角之和一定是钝角；
（3）条件： 结论：x=4.
（4）条件：有两个锐角；结论：它们的和一定是钝角.
当两个锐角分别是20°，30°时，它们的和是50°，但50°不是钝角，所以这个命题是假命题.
（5）如果 x2>0，那么 x>0；
（6）两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等.
（5）条件：x2>0；结论：x>0.
当x=-2时，x2=(-2)2=4>0，但 x<0，所以这个命题是假命题.
（6）条件：两个三角形中，两边分别相等且其中一组等边的对角相等；结论：这两个三角形全等.
如图，在△ABC 与△ABD 中，AC = AD，AB = AB，∠ABC = ∠ABD，但 △ABC 与 △ABD 不全等，所以这个命题是假命题.
A
B
C
D
3.下列四个命题中：
①对顶角相等；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④当m≠0时，点P（m2 ，-m）在第四象限内．其中真命题有 　　 （填序号）．
①
课堂小结
定义与命题
定义
命题
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.
定义
结构
分类
判断一件事情的句子叫作命题
如果+条件，那么+结论
真命题
假命题
举反例
当堂达标
1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
⑴ 对顶角相等.
⑵ 画一个角等于已知角.
⑶ 两直线平行，同位角相等.
⑷ a、b 两条直线平行吗？
⑸ 温柔的小李.
⑹ 玫瑰花是动物.
⑺ 若a2＝4，求 a 的值.
⑻ 若 a2＝b2，则 a＝b.
不是
是
不是
不是
是
不是
是
是
当堂达标
2. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
(1) 正数大于一切负数吗？
(2) 两点之间线段最短.
(3) 不是无理数.
(4) 作一条直线和已知直线平行.
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×
√
√
×
当堂达标
如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等.
3. 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，
并指出的条件和结论：
(1) 三条边分别相等的两个三角形全等；
(2) 在同一个三角形中，等角对等边；
(3) 对顶角相等.
如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等.
条件
条件
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件
结论
结论
结论
下 课
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